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% so2.tex -- Illustration of so(2) -> SO(2)
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
% Erstellt durch Roy Seitz
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% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
\newcommand{\gSL}[2]{\ensuremath{\text{SL}(#1, \mathbb{#2})}}
\newcommand{\gSO}[1]{\ensuremath{\text{SO}(#1)}}
\newcommand{\gGL}[2]{\ensuremath{\text{GL}(#1, \mathbb #2)}}
\newcommand{\asl}[2]{\ensuremath{\mathfrak{sl}(#1, \mathbb{#2})}}
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\begin{frame}[t]
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\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Von der Lie-Gruppe zur -Algebra}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Lie-Gruppe}
Darstellung von \gSO2:
\begin{align*}
\mathbb R
&\to
\gSO2
\\
t
&\mapsto
\begin{pmatrix}
\cos t & -\sin t \\
\sin t & \phantom-\cos t
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{block}
\begin{block}{Ableitung am neutralen Element}
\begin{align*}
\frac{d}{d t}
&
\left.
\begin{pmatrix}
\cos t & -\sin t \\
\sin t & \phantom-\cos t
\end{pmatrix}
\right|_{ t = 0}
\\
=
&
\begin{pmatrix} -\sin0 & -\cos0 \\ \phantom-\cos0 & -\sin0 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \phantom-0 \end{pmatrix}
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Lie-Algebra}
Darstellung von \aso2:
\begin{align*}
\mathbb R
&\to
\aso2
\\
t
&\mapsto
\begin{pmatrix}
0 & -t \\
t & \phantom-0
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[t]
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\frametitle{Von der Lie-Algebra zur -Gruppe}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Differentialgleichung}
Gegeben:
\[
A
=
\dot\gamma(0) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \phantom-0 \end{pmatrix}
\]
Gesucht:
\[ \dot \gamma (t) = \gamma(t) A \qquad \gamma \in \gSO2 \]
\[ \Rightarrow \gamma(t) = \exp(At) \gamma(0) = \exp(At) \]
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Lie-Algebra}
Potenzen von A:
\begin{align*}
A^2 &= -I &
A^3 &= -A &
A^4 &= I &
\ldots
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
Folglich:
\begin{align*}
\exp(At)
&= I + At
+ A^2\frac{t^2}{2!}
+ A^3\frac{t^3}{3!}
+ A^4\frac{t^4}{4!}
+ A^5\frac{t^5}{5!}
+ \ldots \\
&= \begin{pmatrix}
\vspace*{3pt}
1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{4!} - \ldots
&
-t + \frac{t^3}{3!} - \frac{t^5}{5!} + \ldots
\\
t - \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} - \ldots
&
1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \ldots
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos t & -\sin t \\
\sin t & \phantom-\cos t
\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{frame}
\egroup
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