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% iterativ.tex -- Iterative Approximation in \dot x = J x
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
% Erstellt durch Roy Seitz
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% !TeX spellcheck = de_CH
\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Als Strömungsfeld}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\vfil
\only<1>{
\includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]
{../slides/10/vektorfelder-1.pdf}
}
\only<2>{
\includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]
{../slides/10/vektorfelder-2.pdf}
}
\only<3>{
\includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]
{../slides/10/vektorfelder-3.pdf}
}
\only<4>{
\includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]
{../slides/10/vektorfelder-4.pdf}
}
\only<5>{
\includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]
{../slides/10/vektorfelder-5.pdf}
}
\only<6->{
\includegraphics[width=\linewidth,keepaspectratio]
{../slides/10/vektorfelder-6.pdf}
}
\vfil
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Differentialgleichung}
\[
\dot x(t) = J x(t)
\quad
J = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \phantom-0 \end{pmatrix}
\quad
x_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\]
\end{block}
\only<2>{
Nach einem Schritt der Länge $t$:
\[
x(t) = x_0 + \dot x t = x_0 + Jx_0t = (1 + Jt)x_0
\]
}
\only<3>{
Nach zwei Schritten der Länge $t/2$:
\[
x(t) = \left(1 + \frac{Jt}{2}\right)^2x_0
\]
}
\only<4->{
Nach n Schritten der Länge $t/n$:
\[
x(t) = \left(1 + \frac{Jt}{n}\right)^nx_0
\]
}
\only<6->{
\[
\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{At}{n}\right)^n = \exp(At)
\]
}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup
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