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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\frametitle{$L^2$-Hilbertraum}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Definition}
\begin{itemize}
\item
Vektorraum: Funktionen
\[
f\colon [a,b] \to \mathbb{C}
\]
\item
Sesquilineares Skalarprodukt
\[
\langle f,g\rangle
=
\int_a^b \overline{f(x)}\, g(x) \,dx
\]
\item
Norm:
\[
\|f\|^2 = \int_a^b |f(x)|^2\,dx
\]
\item Vollständigkeit?
\end{itemize}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Vollständigkeit}
\begin{itemize}
\item
Funktioniert nicht für Riemann-Integral
\item
Erweiterung des Integrals auf das sogenannte Lebesgue-Integral (nach
Henri Lebesgue)
\item
Abzählbare Mengen spielen keine Rolle $\rightarrow$ Nullmengen
\item
Funktionen $\rightarrow$ Klassen von Funktionen, die sich auf einer Nullmenge
unterscheiden
\item
Konvergenz-Satz von Lebesgue $\rightarrow$ es funktioniert
\end{itemize}
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
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