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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\begin{frame}[t]
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\frametitle{Beispiele: $\mathbb{R},\mathbb{R}^2,\dots,\mathbb{R}^n,\dots,l^2$}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Definition}
\begin{itemize}
\item Quadratsummierbare Folgen von komplexen Zahlen
\[
l^2
=
\biggl\{
(x_k)_{k\in\mathbb{N}}\,\bigg|\, \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2 < \infty
\biggr\}
\]
\item Skalarprodukt:
\begin{align*}
\langle x,y\rangle
&=
\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k,
&
\|x\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |x_k|^2
\end{align*}
\item Vollständigkeit,
Konvergenz: Cauchy-Schwarz-Ungleichung
\[
\biggl|
\sum_{k=0}^\infty \overline{x}_ky_k
\biggr|
\le
\sum_{k=0}^\infty |x_k|^2
\sum_{l=0}^\infty |y_l|^2
\]
\end{itemize}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Standardbasisvektoren}
\begin{align*}
e_i
&=
(0,\dots,0,\underset{\underset{\textstyle i}{\textstyle\uparrow}}{1},0,\dots)
\\
(e_i)_k &= \delta_{ik}
\end{align*}
sind orthonormiert:
\begin{align*}
\langle e_i,e_j\rangle
&=
\sum_k \overline{\delta}_{ik}\delta_{jk}
=
\delta_{ij}
\end{align*}
\end{block}
\vspace{-16pt}
\begin{block}{Analyse}
$x_k$ kann mit Skalarprodukten gefunden werden:
\begin{align*}
\hat{x}_i
=
\langle e_i,x\rangle
&=
\sum_{k=0}^\infty \overline{\delta}_{ik} x_k
=
x_i
\end{align*}
(Fourier-Koeffizienten)
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\egroup
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