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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\frametitle{Sobolev-Raum}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Vektorrraum $W$}
Funktionen $f\colon \Omega\to\mathbb{C}$
\begin{itemize}
\item<2->
$f\in L^2(\Omega)$
\item<3->
$\nabla f\in L^2(\Omega)$
\item<4->
homogene Randbedingungen:
$f_{|\partial \Omega}=0$
\end{itemize}
\end{block}
\uncover<5->{%
\begin{block}{Skalarprodukt}
\begin{align*}
\langle f,g\rangle_W
&\uncover<6->{=
\int_\Omega \overline{\nabla f}(x)\cdot\nabla g(x)\,d\mu(x)}
\\
&\uncover<7->{\qquad + \int_{\Omega} \overline{f}(x)\,g(x)\,d\mu(x)}
\\
&\uncover<8->{=\langle f,-\Delta g + g\rangle_{L^2(\Omega)}}
\end{align*}
\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<9->{%
\begin{block}{Vollständigkeit}
\dots
\end{block}}
\uncover<10->{%
\begin{block}{Anwendung}
``Ein Hilbertraum für jedes partielle Differentialgleichungsproblem''
\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
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