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% spektral.tex -- slide template
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\bgroup
\begin{frame}[t]
\setlength{\abovedisplayskip}{5pt}
\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Spektraltheorie für selbstadjungierte Operatoren}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Voraussetzungen}
\begin{itemize}
\item
Hilbertraum $H$
\item
$A\colon H\to H$ linear
\end{itemize}
\end{block}
\begin{block}{Eigenwerte}
$x\in H$ ein EV von $A$ zum EW $\lambda\ne 0$
\begin{align*}
\langle x,x\rangle
&=
\frac1{\lambda}
\langle x,\lambda x\rangle
=
\frac1{\lambda}
\langle x,Ax\rangle
\\
&=
\frac1{\lambda}
\langle Ax,x\rangle
=
\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}
\langle x,x\rangle
\\
\frac{\overline{\lambda}}{\lambda}&=1
\quad\Rightarrow\quad
\overline{\lambda} = \lambda
\quad\Rightarrow\quad
\lambda\in\mathbb{R}
\end{align*}
\end{block}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Orthogonalität}
$u,v$ EV zu EW $\mu,\lambda\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$, $\overline{\mu}=\mu\ne\lambda$
\begin{align*}
\langle u,v\rangle
&=
\frac{1}{\mu}
\langle \mu u,v\rangle
=
\frac{1}{\mu}
\langle Au,v\rangle
\\
&=
\frac{1}{\mu}
\langle u,Av\rangle
=
\frac{1}{\mu}
\langle u,\lambda v\rangle
=
\frac{\lambda}{\mu}
\langle u,v\rangle
\\
\Rightarrow
\;
0
&=
\underbrace{\biggl(\frac{\lambda}{\mu}-1\biggr)}_{\displaystyle \ne 0}
\langle u,v\rangle
\;\Rightarrow\;
\langle u,v\rangle = 0
\end{align*}
EV zu verschiedenen EW sind orthogonal
\end{block}
\end{column}
\end{columns}
\begin{block}{Spektralsatz}
Es gibt eine Hilbertbasis von $H$ aus Eigenvektoren von $A$
\end{block}
\end{frame}
\egroup
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