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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
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\setlength{\belowdisplayskip}{5pt}
\frametitle{Bytes}
\vspace{-20pt}
\begin{columns}[t,onlytextwidth]
\begin{column}{0.48\textwidth}
\begin{block}{Endlicher Körper}
1 Byte = 8 bits: $\mathbb{F}_{2^8}$
mit Minimalpolynom:
\[
m(X) = X^8+X^4+X^3+X+1
\]
\end{block}
\vspace{-10pt}
\uncover<2->{%
\begin{block}{Inverse $a^{-1}$}
Mit dem euklidischen Algorithmus
\[
\begin{aligned}
sa+tm&=1
&&\Rightarrow&
\uncover<3->{
a^{-1} &= s}
\\
&
&&&
\uncover<4->{
\overline{a}
&=
\begin{cases}
a^{-1}&\; a\ne 0\\
0 &\; a = 0
\end{cases}}
\end{aligned}
\]
\end{block}}
\vspace{-10pt}
\uncover<5->{%
\begin{block}{Vektorraum}
$\mathbb{R}_{2^8}$
ist ein $8$-dimensionaler $\mathbb{F}_2$-Vektorraum
\end{block}}
\end{column}
\begin{column}{0.48\textwidth}
\uncover<6->{%
\begin{block}{S-Box}
$S\colon a\mapsto A\overline{a}+q$ mit
\begin{align*}
\only<1-7>{\phantom{\mathstrut^{-1}}A}
\ifthenelse{\boolean{presentation}}{}{\only<8>{A^{-1}}}
&=\only<1-7>{\begin{pmatrix}
1&0&0&0&1&1&1&1\\
1&1&0&0&0&1&1&1\\
1&1&1&0&0&0&1&1\\
1&1&1&1&0&0&0&1\\
1&1&1&1&1&0&0&0\\
0&1&1&1&1&1&0&0\\
0&0&1&1&1&1&1&0\\
0&0&0&1&1&1&1&1
\end{pmatrix}}
\ifthenelse{\boolean{presentation}}{}{
\only<8->{
\begin{pmatrix}
0&0&1&0&0&1&0&1\\
1&0&0&1&0&0&1&0\\
0&1&0&0&1&0&0&1\\
1&0&1&0&0&1&0&0\\
0&1&0&1&0&0&1&0\\
0&0&1&0&1&0&0&1\\
1&0&0&1&0&1&0&0\\
0&1&0&0&1&0&1&0
\end{pmatrix}}
}
\\
q&=X^7+X^6+X+1
\end{align*}
\end{block}}
\vspace{-10pt}
\uncover<7->{%
\begin{block}{Inverse $S$-Box}
\vspace{-10pt}
\[
S^{-1}(b) = \overline{A^{-1}(b-q)}
\]
\end{block}}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
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