reorganize chapter 7

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diff --git a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex
index df968f0..18f1267 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/050-differential/hypergeometrisch.tex
@@ -374,7 +374,7 @@ Wir fassen die Resultate dieses Abschnitts im folgenden Satz zusammen.
 Die eulersche hypergeometrische Differentialgleichung
 \begin{equation}
 x(1-x)\frac{d^2y}{dx^2}
-+(c+(a+b+1)x)\frac{dy}{dx}
++(c-(a+b+1)x)\frac{dy}{dx}
 -ab y
 =
 0
diff --git a/buch/chapters/060-integral/chapter.tex b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex
index 276e4f3..af4bd67 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/060-integral/chapter.tex
@@ -43,7 +43,6 @@ gibt darauf eine Antwort.
 \input{chapters/060-integral/eulertransformation.tex}
 \input{chapters/060-integral/differentialkoerper.tex}
 \input{chapters/060-integral/risch.tex}
-\input{chapters/060-integral/orthogonal.tex}
 
 \section*{Übungsaufgaben}
 \rhead{Übungsaufgaben}
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/Makefile b/buch/chapters/060-integral/images/Makefile
index 790bfb1..28b662e 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/060-integral/images/Makefile
@@ -4,16 +4,10 @@
 #
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
-all:	erf.pdf legendre.pdf orthogonal.pdf
+all:	erf.pdf
 
 erf.pdf:	erf.tex erfpunkte.tex
 	pdflatex erf.tex
 erfpunkte.tex:	erfpunkte.m
 	octave erfpunkte.m
 
-legendrepaths.tex:	legendre.m
-	octave legendre.m
-legendre.pdf:	legendre.tex legendrepaths.tex
-	pdflatex legendre.tex
-orthogonal.pdf:	orthogonal.tex legendrepaths.tex
-	pdflatex orthogonal.tex
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..80bb54b
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,14 @@
+#
+# Makefile.inc -- Makefile dependencies for chapter 7
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+
+CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+	chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex			\
+	chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex			\
+	chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex				\
+	chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex				\
+	chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex				\
+	chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex			\
+	chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex
new file mode 100644
index 0000000..3e9412a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex
@@ -0,0 +1,91 @@
+%
+% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie
+%
+\section{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie}
+\rhead{Bessel-Funktionen}
+Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie.
+Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$
+mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass
+auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt.
+Das Skalarprodukt ist
+\[
+\langle f,g\rangle
+=
+\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr,
+\]
+als Operator verwenden wir
+\[
+A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r),
+\]
+wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann.
+Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist.
+Dazu rechnen wir
+\begin{align}
+\langle Af,g\rangle
+&=
+\int_0^\infty
+r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r)
+\,dr
+\notag
+\\
+&=
+\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr
++
+\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
++
+\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
+\notag
+\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher
+ändern wir daran weiter nichts.
+Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält}
+&=
+\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty
+-
+\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr
++
+\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
++
+\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
+\notag
+\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die
+Funktionen $f$ und $g$.
+Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das
+zweite Integral weg.
+Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$.
+Somit ergibt sich
+}
+&=
+-\langle f',g'\rangle
++
+\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr.
+\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa}
+\end{align}
+Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im
+letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen
+$f$ und $g$ symmetrische auftreten.
+Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist.
+Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch
+orthogonal sind.
+
+Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung
+\[
+\begin{aligned}
+&&
+Af&=\lambda f
+\\
+&\Rightarrow\qquad&
+f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r)
+\\
+&\Rightarrow\qquad&
+r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0
+\end{aligned}
+\]
+sind.
+
+Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator
+$B$ definiert in
+\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}.
+Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten
+des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die
+Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist.
+
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
new file mode 100644
index 0000000..4c6019f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex
@@ -0,0 +1,31 @@
+%
+% chapter.tex -- Spezielle Funktionen definiert durch Integrale
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+% !TeX spellcheck = de_CH
+\chapter{Orthogonalität
+\label{buch:chapter:orthogonalitaet}}
+\lhead{Orthogonalität}
+\rhead{}
+\input{chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex}
+\input{chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex}
+\input{chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex}
+\input{chapters/070-orthogonalitaet/bessel.tex}
+\input{chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex}
+\input{chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex}
+
+\section{TODO}
+\begin{itemize}
+\item Jacobi-Polynome
+\item Tschebyscheff-Polynome
+\end{itemize}
+
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
+\aufgabetoplevel{chapters/070-orthogonalitaet/uebungsaufgaben}
+\begin{uebungsaufgaben}
+%\uebungsaufgabe{0}
+%\uebungsaufgabe{1}
+\end{uebungsaufgaben}
+
diff --git a/buch/chapters/060-integral/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
index 27740ab..870c8a8 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/gaussquadratur.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
@@ -1,7 +1,8 @@
 %
 % Anwendung: Gauss-Quadratur
 %
-\subsection{Anwendung: Gauss-Quadratur}
+\section{Anwendung: Gauss-Quadratur}
+\rhead{Gauss-Quadratur}
 Orthogonale Polynome haben eine etwas unerwartet Anwendung in einem
 von Gauss erdachten numerischen Integrationsverfahren.
 Es basiert auf der Beobachtung, dass viele Funktionen sich sehr
@@ -10,7 +11,7 @@ Wenn man also sicherstellt, dass ein Verfahren für Polynome
 sehr gut funktioniert, darf man auch davon ausgehen, dass es für
 andere Funktionen nicht allzu schlecht sein wird.
 
-\subsubsection{Interpolationspolynome}
+\subsection{Interpolationspolynome}
 Zu einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$ 
 ist ein Polynome vom Grad $n$ gesucht, welches in den Punkten
 $x_0<x_1<\dots<x_n$ die Funktionswerte $f(x_i)$ annimmt.
@@ -58,7 +59,7 @@ f(x_j)
 \]
 hat, das Polynome $p(x)$ ist also das gesuchte Interpolationspolynom.
 
-\subsubsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation}
+\subsection{Integrationsverfahren auf der Basis von Interpolation}
 Das Integral einer stetigen Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $[-1,1]$
 kann mit Hilfe des Interpolationspolynoms approximiert werden.
 Wenn $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ ist im Intervall $[-1,1]$, dann gilt
@@ -96,7 +97,7 @@ gewichtete Summe
 \]
 approximiert.
 
-\subsubsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind}
+\subsection{Integrationsverfahren, die für Polynome exakt sind}
 Ein Polynom vom Grad $2n$ hat $2n+1$ Koeffizienten.
 Um das Polynom durch ein Interpolationspolynom exakt wiederzugeben,
 braucht man $2n+1$ Stützstellen.
@@ -223,7 +224,7 @@ verallgemeinert werden.
 Allerdings ist die Rechnung zur Bestimmung der Stützstellen und
 Gewichte sehr mühsam.
 
-\subsubsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome}
+\subsection{Stützstellen und Orthogonalpolynome}
 Sei $R_n=\{p(X)\in\mathbb{R}[X] \mid \deg p\le n\}$ der Vektorraum
 der Polynome vom Grad $n$.
 
@@ -281,7 +282,7 @@ $p(x)$ sein.
 
 Der Satz~\ref{buch:integral:satz:gaussquadratur} begründet das
 {\em Gausssche Quadraturverfahren}.
-Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:subsection:orthogonale-polynome}
+Die in Abschnitt~\ref{buch:integral:section:orthogonale-polynome}
 bestimmten Legendre-Polynome $P_n$ haben die im Satz
 verlangte Eigenschaft,
 dass sie auf allen Polynomen geringeren Grades orthogonal sind.
@@ -296,7 +297,7 @@ auf Seite~\pageref{buch:integral:beispiel:gaussquadraturn1} befundenen
 Sützstellen.
 \end{beispiel}
 
-\subsubsection{Fehler der Gauss-Quadratur}
+\subsection{Fehler der Gauss-Quadratur}
 Das Gausssche Quadraturverfahren mit $n$ Stützstellen berechnet
 Integrale von Polynomen bis zum Grad $2n-1$ exakt.
 Für eine beliebige Funktion kann man die folgende Fehlerabschätzung
@@ -480,5 +481,5 @@ die Konvergenz des Verfahrens in diesem Fall sehr viel schlechter ist.
 Dies zeigt auch der Graph in
 Abbildung~\ref{buch:integral:gaussquadratur:fehler}.
 
-\subsubsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion}
+\subsection{Skalarprodukte mit Gewichtsfunktion}
 
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/Makefile b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..e3a988a
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/Makefile
@@ -0,0 +1,14 @@
+#
+# Makefile -- Bilder zum Kapitel über durch Integrale definierte spezielle
+#             Funktionen
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+all:	legendre.pdf orthogonal.pdf
+
+legendrepaths.tex:	legendre.m
+	octave legendre.m
+legendre.pdf:	legendre.tex legendrepaths.tex
+	pdflatex legendre.tex
+orthogonal.pdf:	orthogonal.tex legendrepaths.tex
+	pdflatex orthogonal.tex
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.m b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/legendre.m
index 8e8317d..8e8317d 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.m
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/legendre.m
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.pdf b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/legendre.pdf
index 554dc35..a893c26 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.pdf
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/legendre.pdf
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/legendre.tex
index 8409da0..8409da0 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/images/legendre.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/legendre.tex
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/orthogonal.pdf
index f7abb5e..960c4ff 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/orthogonal.pdf
diff --git a/buch/chapters/060-integral/images/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/orthogonal.tex
index 8600281..8600281 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/images/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/images/orthogonal.tex
diff --git a/buch/chapters/060-integral/jacobi.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
index c0e80ec..fb7d5ff 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/jacobi.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/jacobi.tex
@@ -3,6 +3,7 @@
 %
 % (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostsdchweizer Fachhochschule
 %
-\subsection{Jacobi-Polynome
+\section{Jacobi-Polynome
 \label{buch:integrale:subsection:jacobi-polynome}}
+\rhead{Jacobi-Polynome}
 
diff --git a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
index 6c8a1df..12555b8 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/legendredgl.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/legendredgl.tex
@@ -3,7 +3,8 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
+\section{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
+\rhead{Differentialgleichungen orthogonaler Polynome}
 Legendre hat einen ganz anderen Zugang zu den nach ihm benannten
 Polynomen gefunden.
 Er hat sie gefunden als die Lösungen einer speziellen Differentialgleichungen.
@@ -15,7 +16,7 @@ Die Orthogonalität wird dann aus einer Verallgemeinerung der bekannten
 Eingeschaft folgen, dass Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix zu 
 verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind.
 
-\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
+\subsection{Legendre-Differentialgleichung}
 Die {\em Legendre-Differentialgleichung} ist die Differentialgleichung
 \begin{equation}
 (1-x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0
@@ -60,7 +61,7 @@ zerlegen, die als Linearkombinationen der beiden Lösungen
 $y(x)$ und $y_s(x)$ ebenfalls Lösungen der Differentialgleichung
 sind.
 
-\subsubsection{Potenzreihenlösung}
+\subsection{Potenzreihenlösung}
 Wir suchen eine Lösung in Form einer Potenzreihe um $x=0$ und 
 verwenden dazu den Ansatz
 \[
@@ -169,7 +170,7 @@ eine Polynomlösung $\bar{P}_n(x)$ vom Grad $n$ gibt.
 Dies kann aber nicht erklären, warum die so gefundenen Polynome
 orthogonal sind.
 
-\subsubsection{Eigenfunktionen}
+\subsection{Eigenfunktionen}
 Die Differentialgleichung
 \eqref{buch:integral:eqn:legendre-differentialgleichung}
 Kann mit dem Differentialoperator
@@ -197,7 +198,7 @@ des Operators $D$ zum Eigenwert $n(n+1)$ sind:
 D\bar{P}_n = -n(n+1) \bar{P}_n.
 \]
 
-\subsubsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen}
+\subsection{Orthogonalität von $\bar{P}_n$ als Eigenfunktionen}
 Ein Operator $A$ auf Funktionen heisst {\em selbstadjungiert}, wenn
 für zwei beliebige Funktionen $f$ und $g$ gilt
 \[
@@ -273,7 +274,7 @@ die $\bar{P}_n$ orthogonale Polynome vom Grad $n$ sind, die die
 gleiche Standardierdisierungsbedingung wie die Legendre-Polyonome
 erfüllen, also ist $\bar{P}_n(x)=P_n(x)$.
 
-\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
+\subsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
 %Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
 %
 Die Potenzreihenmethode liefert natürlich auch Lösungen der
diff --git a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
index 0ea9c0c..2b7bf41 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
@@ -3,9 +3,9 @@
 %
 % (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Orthogonalität
-\label{buch:integral:section:orthogonale-polynome}}
-\rhead{Orthogonale Polynome}
+\section{Orthogonale Funktionenfamilien
+\label{buch:orthogonalitaet:section:orthogonale-funktionen}}
+\rhead{Orthogonale Funktionenfamilien}
 Die Fourier-Theorie basiert auf der Idee, Funktionen durch 
 Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines
 Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals
@@ -368,96 +368,96 @@ Nach obigem Satz sind die Eigenfunktionen von $D$ orthogonal.
 Das Beispiel illustriert, dass orthogonale Funktionenfamilien
 ein automatisches Nebenprodukt selbstadjungierter Operatoren sind.
 
+%%
+%% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie
+%%
+%\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie}
+%Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie.
+%Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$
+%mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass
+%auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt.
+%Das Skalarprodukt ist
+%\[
+%\langle f,g\rangle
+%=
+%\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr,
+%\]
+%als Operator verwenden wir
+%\[
+%A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r),
+%\]
+%wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann.
+%Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist.
+%Dazu rechnen wir
+%\begin{align}
+%\langle Af,g\rangle
+%&=
+%\int_0^\infty
+%r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r)
+%\,dr
+%\notag
+%\\
+%&=
+%\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr
+%+
+%\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
+%+
+%\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
+%\notag
+%\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher
+%ändern wir daran weiter nichts.
+%Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält}
+%&=
+%\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty
+%-
+%\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr
+%+
+%\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
+%+
+%\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
+%\notag
+%\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die
+%Funktionen $f$ und $g$.
+%Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das
+%zweite Integral weg.
+%Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$.
+%Somit ergibt sich
+%}
+%&=
+%-\langle f',g'\rangle
+%+
+%\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr.
+%\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa}
+%\end{align}
+%Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im
+%letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen
+%$f$ und $g$ symmetrische auftreten.
+%Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist.
+%Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch
+%orthogonal sind.
 %
-% Besselfunktionen also orthogonale Funktionenfamilie
+%Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung
+%\[
+%\begin{aligned}
+%&&
+%Af&=\lambda f
+%\\
+%&\Rightarrow\qquad&
+%f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r)
+%\\
+%&\Rightarrow\qquad&
+%r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0
+%\end{aligned}
+%\]
+%sind.
+%
+%Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator
+%$B$ definiert in
+%\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}.
+%Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten
+%des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die
+%Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist.
 %
-\subsection{Bessel-Funktionen als orthogonale Funktionenfamilie}
-Auch die Besselfunktionen sind eine orthogonale Funktionenfamilie.
-Sie sind Funktionen differenzierbaren Funktionen $f(r)$ für $r>0$
-mit $f'(r)=0$ und für $r\to\infty$ nimmt $f(r)$ so schnell ab, dass
-auch $rf(r)$ noch gegen $0$ strebt.
-Das Skalarprodukt ist
-\[
-\langle f,g\rangle
-=
-\int_0^\infty r f(r) g(r)\,dr,
-\]
-als Operator verwenden wir
-\[
-A = \frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr} + s(r),
-\]
-wobei $s(r)$ eine beliebige integrierbare Funktion sein kann.
-Zunächst überprüfen wir, ob dieser Operator wirklich selbstadjungiert ist.
-Dazu rechnen wir
-\begin{align}
-\langle Af,g\rangle
-&=
-\int_0^\infty
-r\,\biggl(f''(r)+\frac1rf'(r)+s(r)f(r)\biggr) g(r)
-\,dr
-\notag
-\\
-&=
-\int_0^\infty rf''(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
-\notag
-\intertext{Der letzte Term ist symmetrisch in $f$ und $g$, daher
-ändern wir daran weiter nichts.
-Auf das erste Integral kann man partielle Integration anwenden und erhält}
-&=
-\biggl[rf'(r)g(r)\biggr]_0^\infty
--
-\int_0^\infty f'(r)g(r) + rf'(r)g'(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty f'(r)g(r)\,dr
-+
-\int_0^\infty s(r)f(r)g(r)\,dr.
-\notag
-\intertext{Der erste Term verschwindet wegen der Bedingungen an die
-Funktionen $f$ und $g$.
-Der erste Term im zweiten Integral hebt sich gegen das
-zweite Integral weg.
-Der letzte Term ist das Skalarprodukt von $f'$ und $g'$.
-Somit ergibt sich
-}
-&=
--\langle f',g'\rangle
-+
-\int_0^\infty s(r) f(r)g(r)\,dr.
-\label{buch:integrale:orthogonal:besselsa}
-\end{align}
-Vertauscht man die Rollen von $f$ und $g$, erhält man das Gleiche, da im
-letzten Ausdruck~\eqref{buch:integrale:orthogonal:besselsa} die Funktionen
-$f$ und $g$ symmetrische auftreten.
-Damit ist gezeigt, dass der Operator $A$ selbstadjungiert ist.
-Es folgt nun, dass Eigenvektoren des Operators $A$ automatisch
-orthogonal sind.
-
-Eigenfunktionen von $A$ sind aber Lösungen der Differentialgleichung
-\[
-\begin{aligned}
-&&
-Af&=\lambda f
-\\
-&\Rightarrow\qquad&
-f''(r) +\frac1rf'(r) + s(r)f(r) &= \lambda f(r)
-\\
-&\Rightarrow\qquad&
-r^2f''(r) +rf'(r)+ (-\lambda r^2+s(r)r^2)f(r) &= 0
-\end{aligned}
-\]
-sind.
-
-Durch die Wahl $s(r)=1$ wird der Operator $A$ zum Bessel-Operator
-$B$ definiert in
-\eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}.
-Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung zu verschiedenen Werten
-des Parameters müssen also orthogonal sein, insbesondere sind die
-Besselfunktion $J_\nu(r)$ und $J_\mu(r)$ orthogonal wenn $\mu\ne\nu$ ist.
-
 %
 % Orthogonale Polynome
 %
@@ -515,7 +515,7 @@ Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}
 dargestellt.
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics{chapters/060-integral/images/legendre.pdf}
+\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/legendre.pdf}
 \caption{Graphen der Legendre-Polynome $P_n(x)$ für $n=1,\dots,10$.
 \label{buch:integral:orthogonal:legendregraphen}}
 \end{figure}
@@ -663,7 +663,7 @@ setzen muss.
 
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics{chapters/060-integral/images/orthogonal.pdf}
+\includegraphics{chapters/070-orthogonalitaet/images/orthogonal.pdf}
 \caption{Orthogonalität der Legendre-Polynome $P_4(x)$ ({\color{blue}blau})
 und $P_7(x)$ ({\color{darkgreen}grün}).
 Die blaue Fläche ist die Fläche unter dem Graphen 
@@ -723,24 +723,3 @@ Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert,
 dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind.
 Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$.
 
-\input{chapters/060-integral/jacobi.tex}
-
-\subsection{TODO}
-\begin{itemize}
-\item Jacobi-Polynome
-\item Tschebyscheff-Polynome
-\end{itemize}
-
-%%
-%% Differentialgleichungen
-%%
-%\subsection{Orthogonale Polynome und Differentialgleichungen}
-%\subsubsection{Legendre-Differentialgleichung}
-%\subsubsection{Legendre-Polyome}
-%\subsubsection{Legendre-Funktionen zweiter Art}
-%Siehe Wikipedia-Artikel \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Legendre-Polynom}
-
-\input{chapters/060-integral/legendredgl.tex}
-\input{chapters/060-integral/sturm.tex}
-\input{chapters/060-integral/gaussquadratur.tex}
-
diff --git a/buch/chapters/060-integral/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
index e374bae..c8ee11a 100644
--- a/buch/chapters/060-integral/sturm.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
@@ -3,14 +3,15 @@
 %
 % (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\subsection{Sturm-Liouville-Problem
+\section{Das Sturm-Liouville-Problem
 \label{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}}
+\rhead{Das Sturm-Liouville-Problem}
 Sowohl bei den Bessel-Funktionen wie bei den Legendre-Polynomen
 konnte die Orthogonalität der Funktionen dadurch gezeigt werden,
 dass sie als Eigenfunktionen eines bezüglich eines geeigneten
 Skalarproduktes selbstadjungierten Operators erkannt wurden.
 
-\subsubsection{Differentialgleichung}
+\subsection{Differentialgleichung}
 Das klassische Sturm-Liouville-Problem ist das folgende Eigenwertproblem.
 Gesucht sind Lösungen der Differentialgleichung
 \begin{equation}
@@ -29,7 +30,7 @@ erfüllen, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 Weitere Bedingungen an die Funktionen $p(x)$, $q(x)$, $w(x)$  sowie die
 Lösungsfunktionen $y(x)$ sollen später geklärt werden.
 
-\subsubsection{Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen}
+\subsection{Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für symmetrische Matrizen}
 Ein zu \eqref{buch:integrale:eqn:sturm-liouville} analoges Eigenwertproblem
 für Matrizen ist das folgende verallgemeinerte Eigenwertproblem.
 Das gewohnte Eigenwertproblem verwendet die Matrix $B=E$.
@@ -171,7 +172,7 @@ ist damit ein gewöhnliches Eigenwertproblem für selbstadjungierte
 Matrizen des Operators $\tilde{A}$ bezüglich des verallgemeinerten
 Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_B$.
 
-\subsubsection{Der Operator $L_0$ und die Randbedingung}
+\subsection{Der Operator $L_0$ und die Randbedingung}
 Die Differentialgleichung kann auch in Operatorform geschrieben werden.
 Dazu schreiben wir
 \[
@@ -271,7 +272,7 @@ Ausgeschrieben bedeutet dies, dass die Randbedingung
 \eqref{buch:integrale:sturm:randbedingung}
 erfüllt sein muss.
 
-\subsubsection{Skalarprodukt}
+\subsection{Skalarprodukt}
 Das Ziel der folgenden Abschnitte ist, das Sturm-Liouville-Problem als
 Eigenwertproblem für einen selbstadjungierten Operator in einem 
 Funktionenraum mit einem geeigneten Skalarprodukt zu finden.
@@ -310,7 +311,7 @@ mit der Gewichtsfunktion $w(x)$ verwendet werden.
 Damit dies ein vernünftiges Skalarprodukt ist, muss $w(x)>0$ im
 Innerend es Intervalls sein.
 
-\subsubsection{Der Vektorraum $H$}
+\subsection{Der Vektorraum $H$}
 Damit können wir jetzt die Eigenschaften der in Frage kommenden
 Funktionen zusammenstellen.
 Zunächst müssen sie auf dem Intervall $[a,b]$ definiert sein und
@@ -342,7 +343,7 @@ f\in L^2([a,b],w)\;\bigg|\;
 \biggr\}.
 \]
 
-\subsubsection{Differentialoperator}
+\subsection{Differentialoperator}
 Das verallgemeinerte Eigenwertproblem für $A$ und $B$ ist ein
 gewöhnliches Eigenwertproblem für die Operator $\tilde{A}=B^{-1}A$
 bezüglich des modifizierten Skalarproduktes.
@@ -362,9 +363,13 @@ $\lambda$ ist der zu $y(x)$ gehörige Eigenwert.
 Der Operator ist definiert auf Funktionen des im vorangegangenen Abschnitt
 definierten Vektorraumes $H$.
 
+\subsection{Beispiele}
+Die meisten der früher vorgestellten Funktionenfamilien stellen sich
+als Lösungen eines geeigneten Sturm-Liouville-Problems heraus.
+Alle Eigenschaften aus der Sturm-Liouville-Theorie gelten daher
+automatisch für diese Funktionenfamilien.
 
-
-\subsubsection{Beispiel: Trigonometrische Funktionen}
+\subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
 Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators
 $d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$
 und $w(x)=0$.
@@ -426,7 +431,7 @@ Dann ist wegen
 die Bedingung~\eqref{buch:integrale:sturm:sabedingung}
 ebenfalls erfüllt, $L_0$ ist in diesem Raum selbstadjungiert.
 
-\subsubsection{Beispiel: Bessel-Funktionen}
+\subsubsection{Bessel-Funktionen}
 Der Bessel-Operator \eqref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}
 hat die Form eines Sturm-Liouville-Operators
 \[
@@ -438,7 +443,7 @@ mit $p(x)=x^2$, $q(x)=x^2$.
 
 XXX TODO: Faktor 2 fehlt.
 
-\subsubsection{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome}
+\subsubsection{Tschebyscheff-Polynome}
 Die Tschebyscheff-Polynome sind Lösungen der
 Tschebyscheff-Differentialgleichung
 \[
@@ -477,3 +482,128 @@ bezüglich des Skalarproduktes
 \langle f,g\rangle = \int_{-1}^1 f(x)g(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
 \]
 
+\subsubsection{Jacobi-Polynome}
+TODO
+
+\subsubsection{Hypergeometrische Differentialgleichungen}
+%\url{https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hypergeometric_equation}
+Auch die Eulersche hypergeometrische Differentialgleichung
+lässt sich in die Form eines Sturm-Liouville-Operators
+bringen.
+Dazu setzt man
+\begin{align*}
+p(z)
+&=
+z^c(z-1)^{a+b+1-c}
+\\
+q(z)
+&=
+-abz^{c-1}(z-1)^{a+b-c}
+\\
+w(z)
+&=
+z^{c-1}(z-1)^{a+b-c}.
+\end{align*}
+Setzt man dies in den Sturm-Liouville-Operator ein, erhält man
+\begin{equation}
+L
+=
+-\frac{d}{dz}p(z)\frac{d}{dz} + q(z)
+=
+-p(z)\frac{d^2}{dz^2}
+-p'(z)\frac{d}{dz}
++q(z)
+\label{buch:orthgonalitaet:eqn:hypersturm}
+\end{equation}
+Wir brauchen also
+\begin{align*}
+p'(z)
+&=
+cz^{c-1}(z-1)^{a+b+1-c}
++
+(a+b+1-c)
+z^c
+(z-1)^{a+b-c}
+\\
+&=
+\bigl(
+c(z-1)+
+(a+b+1-c)z
+\bigr)
+\cdot
+z^{c-1}(z-1)^{a+b-c}
+\\
+&=
+-
+\bigl(
+c-(a+b+1)z
+\bigr)
+\cdot
+z^{c-1}(z-1)^{a+b-c}.
+\end{align*}
+Einsetzen in~\eqref{buch:orthgonalitaet:eqn:hypersturm} liefert
+\begin{align*}
+L
+%=
+%-\frac{d}{dz}p(z)\frac{d}{dz}+q(z)
+&=
+-z^c(z-1)^{a+b+1-c} \frac{d^2}{dz^2}
++
+w(z)
+(c-(a+b+1)z)
+\frac{d}{dz}
+-
+abw(z)
+\\
+&=
+w(z)
+\biggl(
+-
+z(z-1)
+\frac{d^2}{dz^2}
++
+(c-(a+b+1)z)
+\frac{d}{dz}
+-ab
+\biggr)
+\\
+&=
+w(z)
+\biggl(
+z(1-z)
+\frac{d^2}{dz^2}
++
+(c-(a+b+1)z)
+\frac{d}{dz}
+-ab
+\biggr).
+\end{align*}
+Die Klammer auf der rechten Seite ist tatsächlich die linke Seite der
+eulerschen hypergeometrischen Differentialgleichung.
+
+Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1(a,b;c;z)$ ist ein
+Eigenvektor des Operators $L$ zum Eigenwert $\lambda$.
+Sei jetzt $w(z)$ eine Eigenfunktion zum Eigenwert $\lambda\ne 0$,
+also
+\[
+z(1-z)w''(z) + (c-(a+b+1)z)w'(z) - ab w(z) = \lambda w(z).
+\]
+Kann man $a$ und $b$ so in $a_1$ und $b_1$ ändern, dass $a+b=a_1+b_1$
+gleich bleiben aber das Produkt den Wert $a_1b_1=ab-\lambda$?
+$a_1$ und $b_1$ sind die Lösungen der quadratischen Gleichung
+\[
+x^2 - (a+b)x + ab-\lambda = 0.
+\]
+Alle Eigenfunktionen des Operators $L$ sind also hypergeometrische
+Funktion $\mathstrut_2F_1$.
+
+Da die Gewichtsfunktion $w(z)$ bei der Ersetzung $a\to a_1$ und $b\to b_1$
+sich nicht ändert ($w(z)$ hängt nur von der Summe $a+b$ ab, welche sich
+nicht ändert), sind die beide beiden Eigenfunktionen bezüglich
+des Skalarproduktes mit der Gewichtsfunktion $w(z)$ orthogonal.
+
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/chapters/Makefile.inc b/buch/chapters/Makefile.inc
index 9a452e0..fc769c8 100644
--- a/buch/chapters/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/Makefile.inc
@@ -14,5 +14,6 @@ include chapters/020-exponential/Makefile.inc
 include chapters/030-geometrie/Makefile.inc
 include chapters/040-rekursion/Makefile.inc
 include chapters/060-integral/Makefile.inc
+include chapters/070-orthogonalitaet/Makefile.inc
 include chapters/080-funktionentheorie/Makefile.inc
 
diff --git a/buch/chapters/part1.tex b/buch/chapters/part1.tex
index e141255..a61f908 100644
--- a/buch/chapters/part1.tex
+++ b/buch/chapters/part1.tex
@@ -17,7 +17,7 @@
 % analytisch definierte spezielle Funktionen
 \input{chapters/050-differential/chapter.tex}
 \input{chapters/060-integral/chapter.tex}
-%\input{chapters/070-reihenprodukte/chapter.tex}
+\input{chapters/070-orthogonalitaet/chapter.tex}
 \input{chapters/080-funktionentheorie/chapter.tex}
 \input{chapters/090-pde/chapter.tex}
 % Gamma und Pi