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% chapter.tex -- Spezielle Funktionen definiert durch Integrale
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% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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\chapter{Integrale
\label{buch:chapter:integral}}
\lhead{Integrale}
\rhead{}
Der Analysis-Unterricht vermittelt manchmal den Eindruck, dass sich
für jede einigermassen anständige Funktion eine Stammfunktion
gefunden werden kann, wenn man nur genügend schlau ist und den
nötigen Fleiss in die Lösung des Problems investiert.
Die Realität ist leider eine ganz andere, Ableiten ist zwar einfach,
eine Stammfunktion finden ist oft viel schwieriger und manchmal schlicht
unmöglich.
Der Ausweg aus dieser unangenehmen Situation ist, solche Integrale
als neue spezielle Funktionen zu definieren.
Eines der berühmtesten Beispiele für diesen Weg aus der Krise ist die
Fehlerfunktion, die im Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:fehlerfunktion}
besprochen wird.
Auch geometrische Anwendungen führen auf solche Integrale.
Die Länge eines Ellipsenbogens kann mit Hilfe eines Integrals
berechnet werden, doch scheint es nicht möglich zu sein, für den
Umfang der Ellipse eine einfache Formel anzugeben, wie dies beim
Kreis möglich ist.
Dieses Problem führt auf eine ganze Familie von Integranden, die nicht in
geschlossener Form integriert werden können, nämlich die elliptischen
Funktionen.
Sie werden in Kapitel~\ref{buch:chapter:elliptischefunktionen} erklärt.
Doch wie entscheidet man, ob ein Integral tatsächlich nicht in geschlossener
Form dargestellt werden kann oder ob die Versuche einfach an mangelnden
eigenen Fähigkeiten gescheitert sind?
Denn warum soll man eine neue spezielle Funktion definieren, wenn es
dafür bereits eine gute Darstellung in geschlossener Form gibt?
Der Risch-Algorithmus von Abschnitt~\ref{buch:integral:section:risch}
gibt darauf eine Antwort.
\input{chapters/060-integral/fehlerfunktion.tex}
\input{chapters/060-integral/eulertransformation.tex}
\input{chapters/060-integral/differentialkoerper.tex}
\input{chapters/060-integral/risch.tex}
\input{chapters/060-integral/orthogonal.tex}
\section*{Übungsaufgaben}
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