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author | runterer <r.unterer@gmx.ch> | 2022-05-28 18:13:13 +0200 |
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committer | runterer <r.unterer@gmx.ch> | 2022-05-28 18:13:13 +0200 |
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\frac{1}{12} + \end{equation*} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Summe aller Natürlichen Zahlen} + \begin{center} + \includegraphics[width=0.7\textwidth]{youtube_screenshot.png} + \end{center} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Riemannsche Zeta Funktion} + \begin{equation*} + \zeta(s) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n^s} + \end{equation*} + \pause + \begin{equation*} + \zeta(-1) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n^{-1}} + = + \sum_{n=1}^{\infty} n + \end{equation*} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Originaler Definitionsbereich} + Wir kennen die divergierende harmonische Reihe + \begin{equation*} + \zeta(1) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{1}{n} + \rightarrow + \infty, + \end{equation*} + und somit ist $\Re(s) > 1$. + \end{frame} + + \section{Analytische Fortsetzung} + \begin{frame} + \frametitle{Plan für die Analytische Fortsetzung von $\zeta(s)$} + \begin{center} + \input{../continuation_overview.tikz.tex} + \end{center} + \end{frame} + \begin{frame} + \frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$} + Dirichletsche Etafunktion ist + \begin{equation*}\label{zeta:equation:eta} + \eta(s) + = + \sum_{n=1}^{\infty} + \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}, + \end{equation*} + und konvergiert im Bereich $\Re(s) > 0$. + \end{frame} + +% Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen +% \begin{align} +% \zeta(s) +% &= +% \sum_{n=1}^{\infty} +% \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1} +% \\ +% \frac{1}{2^{s-1}} +% \zeta(s) +% &= +% \sum_{n=1}^{\infty} +% \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2} +% \end{align} +% Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich +% \begin{align} +% \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right) +% \zeta(s) +% &= +% \frac{1}{1^s} +% \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}} +% + \frac{1}{3^s} +% \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}} +% \ldots +% \\ +% &= \eta(s). +% \end{align} +% Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$ +% \begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1} +% \zeta(s) +% := +% \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s). +% \end{equation} +% \section{Euler Produkt} +% +% \section{Weitere Eigenschaften} +% +% + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/zeta/presentation/youtube_screenshot.png b/buch/papers/zeta/presentation/youtube_screenshot.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..434041b --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/presentation/youtube_screenshot.png |