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%Title Page
\title{Riemannsche Zeta Funktion}
\author{Raphael Unterer}
\institute{Mathematisches Seminar 2022: Spezielle Funktionen}
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\begin{document}
%Titelseite
\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}
%Inhaltsverzeichnis
\begin{frame}
\frametitle{Inhalt}
\tableofcontents
\end{frame}
\section{Motivation}
\begin{frame}
\frametitle{Summe aller Natürlichen Zahlen}
\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty} n
=
1 + 2 + 3 + \ldots + \infty
=
- \frac{1}{12}
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Summe aller Natürlichen Zahlen}
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{youtube_screenshot.png}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Riemannsche Zeta Funktion}
\begin{equation*}
\zeta(s)
=
\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{1}{n^s}
\end{equation*}
\pause
\begin{equation*}
\zeta(-1)
=
\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{1}{n^{-1}}
=
\sum_{n=1}^{\infty} n
\end{equation*}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Originaler Definitionsbereich}
Wir kennen die divergierende harmonische Reihe
\begin{equation*}
\zeta(1)
=
\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{1}{n}
\rightarrow
\infty,
\end{equation*}
und somit ist $\Re(s) > 1$.
\end{frame}
\section{Analytische Fortsetzung}
\begin{frame}
\frametitle{Plan für die Analytische Fortsetzung von $\zeta(s)$}
\begin{center}
\input{../continuation_overview.tikz.tex}
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Fortsetzung auf $\Re(s) > 0$}
Dirichletsche Etafunktion ist
\begin{equation*}\label{zeta:equation:eta}
\eta(s)
=
\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{(-1)^{n-1}}{n^s},
\end{equation*}
und konvergiert im Bereich $\Re(s) > 0$.
\end{frame}
% Zuerst wiederholen wir zweimal die Definition der Zetafunktion \eqref{zeta:equation1}, wobei wir sie einmal durch $2^{s-1}$ teilen
% \begin{align}
% \zeta(s)
% &=
% \sum_{n=1}^{\infty}
% \frac{1}{n^s} \label{zeta:align1}
% \\
% \frac{1}{2^{s-1}}
% \zeta(s)
% &=
% \sum_{n=1}^{\infty}
% \frac{2}{(2n)^s}. \label{zeta:align2}
% \end{align}
% Durch Subtraktion der beiden Gleichungen \eqref{zeta:align1} minus \eqref{zeta:align2}, ergibt sich
% \begin{align}
% \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)
% \zeta(s)
% &=
% \frac{1}{1^s}
% \underbrace{-\frac{2}{2^s} + \frac{1}{2^s}}_{-\frac{1}{2^s}}
% + \frac{1}{3^s}
% \underbrace{-\frac{2}{4^s} + \frac{1}{4^s}}_{-\frac{1}{4^s}}
% \ldots
% \\
% &= \eta(s).
% \end{align}
% Dies ist die Fortsetzung auf den noch unbekannten Bereich $0 < \Re(s) < 1$
% \begin{equation} \label{zeta:equation:fortsetzung1}
% \zeta(s)
% :=
% \left(1 - \frac{1}{2^{s-1}} \right)^{-1} \eta(s).
% \end{equation}
% \section{Euler Produkt}
%
% \section{Weitere Eigenschaften}
%
%
\end{document}
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