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Sturmliouville/erik branch

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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore
index a136337..f08278d 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/.gitignore
+++ b/buch/papers/sturmliouville/.gitignore
@@ -1 +1 @@
-*.pdf
+*.pdf
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
index d5ec3f9..94082cf 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
@@ -4,6 +4,11 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Beispiele 
-\label{sturmliouville:section:teil2}}
+\label{sturmliouville:section:examples}}
 \rhead{Beispiele}
 
+% Fourier: Erik work
+\input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
+
+% Tschebyscheff
+\input{papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 6d37612..9f20070 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -4,7 +4,6 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Eigenschaften von Lösungen
-\label{sturmliouville:section:teil1}}
+\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
-
-
+% Erik work
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
index 4c25843..4b5b8af 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
@@ -1,19 +1,17 @@
+% !TeX root = ../../buch.tex
 %
 % main.tex -- Paper zum Thema <sturmliouville>
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
 \chapter{Sturm-Liouville-Problem\label{chapter:sturmliouville}}
-\lhead{Thema}
+\lhead{Sturm-Liouville-Problem}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler}
 
-
-
-
 \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
 %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem"
-ng\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
+\input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
 %Eigenschaften von Lösungen eines solchen Problems
 \input{papers/sturmliouville/beispiele.tex}
 %Beispiele sind: Wärmeleitung in einem Stab, Tschebyscheff-Polynome
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex b/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex
deleted file mode 100644
index cd0e8dc..0000000
--- a/buch/papers/sturmliouville/standalone.tex
+++ /dev/null
@@ -1,31 +0,0 @@
-\documentclass{book}
-
-\def\IncludeBookCover{0}
-\input{common/packages.tex}
-
-% additional packages used by the individual papers, add a line for
-% each paper
-\input{papers/common/addpackages.tex}
-
-% workaround for biblatex bug
-\makeatletter
-\def\blx@maxline{77}
-\makeatother
-\addbibresource{chapters/references.bib}
-
-% Bibresources for each article
-\input{papers/common/addbibresources.tex}
-
-% make sure the last index starts on an odd page
-\AtEndDocument{\clearpage\ifodd\value{page}\else\null\clearpage\fi}
-\makeindex
-
-%\pgfplotsset{compat=1.12}
-\setlength{\headheight}{15pt} % fix headheight warning
-\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}
-
-\begin{document}
-	\input{common/macros.tex}
-	\def\chapterauthor#1{{\large #1}\bigskip\bigskip}
-	\input{papers/sturmliouville/main.tex}
-\end{document}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
new file mode 100644
index 0000000..54f13d4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -0,0 +1,7 @@
+%
+% tschebyscheff_beispiel.tex
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+\subsection{Tschebyscheff}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
new file mode 100644
index 0000000..14fca40
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -0,0 +1,411 @@
+%
+% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. 
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab}
+
+In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem
+homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
+physikalischen Phänomenes auftritt.
+
+Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
+Wärmeleitkoeffizient $\kappa$.
+Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
+die partielle Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation}
+    \frac{\partial u}{\partial t} =
+    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
+\end{equation}
+wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
+
+Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen
+Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise
+die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter 
+Tempreatur gehalten werden.
+
+%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen %%%%%%%%%
+
+\subsubsection{Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
+
+Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
+Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
+Temperatur zurückgeben darf.
+Es folgen nun
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+    u(t,0)
+    =
+    u(t,l)
+    =
+    0
+\end{equation}
+als Randbedingungen.
+
+%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\subsubsection{Stab mit isolierten Enden}
+
+Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und
+$x = l$ auftreten. In diesem Fall nicht erlaubt ist es, dass Wärme vom Stab
+an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
+
+Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
+Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt
+werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder 
+dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
+verschwinden.
+Somit folgen
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+    \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
+    =
+    \frac{\partial}{\partial x} u(t, l)
+    =
+    0
+\end{equation}
+als Randbedingungen.
+
+%%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
+
+% TODO: Referenz Separationsmethode
+% TODO: Formeln sauber in Text einbinden.
+
+Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
+die Separationsmethode verwendet.
+Dazu wird 
+\[
+    u(t,x)
+    =
+    T(t)X(x)
+\]
+in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt.
+Daraus ergibt sich 
+\[
+    T^{\prime}(t)X(x)
+    =
+    \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
+\]
+als neue Form.
+
+Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
+von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
+der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
+\begin{equation}
+    \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)}
+    =
+    \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}
+    =
+    \mu
+\end{equation}
+Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
+Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-separated-x}
+    X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
+    =
+    0
+\end{equation}
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-separated-t}
+    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
+    =
+    0
+\end{equation}
+
+Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in 
+Sturm-Liouville-Form ist.
+Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
+Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
+Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
+
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+	\label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen}
+	k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
+	k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
+\end{aligned}
+\end{equation}
+erfüllt sein und es muss ausserdem
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+    \label{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints}
+    |k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\
+    |k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\
+\end{aligned}
+\end{equation}
+gelten.
+
+Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, benötigen wir zunächst
+$p(x)$.
+Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der
+Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
+$p(x) = 1$ führt.
+
+Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} in
+\eqref{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält man
+\[
+\begin{aligned}
+	k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
+	k_b y(l) + h_b y'(l) &= h_b y'(l) = 0.
+\end{aligned}
+\]
+Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein.
+Zusätzlich müssen aber die Bedingungen 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} erfüllt sein und
+da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ und $k_b \neq 0$
+gewählt werden.
+
+Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
+konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
+alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind.
+Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
+isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
+somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
+
+Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung.
+Aufgrund der Struktur der Gleichung
+\[
+    X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
+    =
+    0
+\]
+wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt.
+Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
+\[
+    X(x)
+    =
+    A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right).
+\]
+
+Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden
+sind.
+Man erhält also
+\[
+    X^{\prime}(x)
+    =
+    \alpha A \cos \left( \alpha x \right) -
+    \beta B \sin \left( \beta x \right)
+\]
+und
+\[
+    X^{\prime \prime}(x)
+    =
+    -\alpha^{2} A \sin \left( \alpha x \right) -
+    \beta^{2} B \cos \left( \beta x \right).
+\]
+
+Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies
+\[
+    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x) -
+    \mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right)
+    =
+    0
+\]
+und durch umformen somit
+\[
+    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x) - \beta^{2}B\cos(\beta x)
+    =
+    \mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
+\]
+
+Mittels Koeffizientenvergleich von
+\[
+\begin{aligned}
+    -\alpha^{2}A\sin(\alpha x)
+    &=
+    \mu A\sin(\alpha x)
+    \\
+    -\beta^{2}B\cos(\beta x)
+    &=
+    \mu B\cos(\beta x)
+\end{aligned}
+\]
+ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
+$ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $.
+Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch  $ \alpha $ und $ \beta $ zu
+bestimmen.
+Dazu werden nochmals die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt.
+Zu bemerken ist, dass die Randbedingungen nur Anforderungen in $x$ stellen und
+somit direkt für $X(x)$ übernomen werden können.
+
+Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im
+allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
+trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
+
+Es werden nun die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab
+mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung 
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt.
+Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
+Dies fürht zu
+\[
+    X(0)
+    =
+    A \sin(0 \alpha) + B \cos(0 \beta)
+    =
+    0.
+\]
+Da $\cos(0) \neq 0$ ist, muss in diesem Fall $B = 0$ gelten.
+Für den ersten Summanden ist wegen $\sin(0) = 0$ die Randbedingung erfüllt.
+
+Wird nun die zweite Randbedingung für $x = l$ mit $B = 0$ eingesetzt, ergibt
+sich
+\[
+    X(l)
+    =
+    A \sin(\alpha l) + 0 \cos(\beta l)
+    =
+    A \sin(\alpha l)
+    = 0.
+\]
+
+$\alpha$ muss also so gewählt werden, dass $\sin(\alpha l) = 0$ gilt.
+Es bleibt noch nach $\alpha$ aufzulösen:
+\[
+\begin{aligned}
+    \sin(\alpha l) &= 0 \\
+    \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+    \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+\end{aligned}
+\]
+
+Es folgt nun wegen $\mu = -\alpha^{2}$, dass
+\begin{equation}
+    \mu_1 = -\alpha^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}
+\end{equation}
+sein muss.
+Ausserdem ist zu bemerken, dass dies auch gleich $-\beta^{2}$ ist.
+Da aber $B = 0$ gilt und der Summand mit $\beta$ verschwindet, ist dies keine
+Verletzung der Randbedingungen.
+
+Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
+werden.
+Setzen wir nun die Randbedingungen
+\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$
+ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
+\[
+    X^{\prime}(0)
+    =
+    \alpha A \cos(0 \alpha) - \beta B \sin(0 \beta)
+    = 0.
+\]
+In diesem Fall muss $A = 0$ gelten.
+Zusammen mit der Bedignung für $x = l$
+folgt nun
+\[
+    X^{\prime}(l)
+    =
+    0 \alpha \cos(\alpha l) - \beta B \sin(\beta l)
+    =
+    -\beta B \sin(\beta l)
+    = 0.
+\]
+
+Wiedrum muss über die $ \sin $-Funktion sicher gestellt werden, dass der
+Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
+Es folgt nun
+\[
+\begin{aligned}
+    \sin(\beta l) &= 0 \\
+    \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
+    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+\end{aligned}
+\]
+und somit
+\[
+    \mu_2 = -\beta^{2} = -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
+\]
+
+Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
+wie auch mit isolierten Enden
+\begin{equation}
+    \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
+    \mu
+    =
+    -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
+\end{equation}
+
+%%%% Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt.
+Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei
+$A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt.
+Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$
+unterschiedlich sein.
+Schreiben wir also die Lösung $X(x)$ um zu
+\[
+    X(x)
+    =
+    a_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    b_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+\]
+was für jedes $n$ wiederum eine Linearkombination aus orthogonalen Funktionen 
+ist. 
+
+Betrachten wir zuletzt die zweite Gleichung der Separation
+\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t}.
+Diese Lösen wir über das charakteristische Polynom
+\[
+    \lambda - \kappa \mu
+    =
+    0.
+\]
+Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
+Lösung
+\[
+    T(t)
+    =
+    e^{-\kappa \mu t}
+\]
+führt.
+Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
+\[
+    T(t)
+    =
+    e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+\]
+ergibt.
+
+% TODO: Rechenweg
+TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
+\[
+\begin{aligned}
+    u(t,x)
+    &=
+    \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+    \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \\
+    a_{n}
+    &=
+    \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
+\end{aligned}
+\]
+
+TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
+\[
+\begin{aligned}
+    u(t,x)
+    &=
+    a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+    \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    \\
+    a_{0}
+    &=
+    \frac{1}{l}\int_{0}^{l}u(0,x) dx
+    \\
+    a_{n}
+    &=
+    \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
+\end{aligned}
+\]