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Sturmliouville/erik branch

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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
index 94082cf..4df5619 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/beispiele.tex
@@ -4,8 +4,7 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Beispiele 
-\label{sturmliouville:section:examples}}
-\rhead{Beispiele}
+\label{sturmliouville:sec:examples}}
 
 % Fourier: Erik work
 \input{papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 948217a..cef276b 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -20,21 +20,21 @@
 %  5. Base of orthonormal functions
 
 \section{Eigenschaften von Lösungen
-\label{sturmliouville:section:solution-properties}}
+\label{sturmliouville:sec:solution-properties}}
 \rhead{Eigenschaften von Lösungen}
 
-Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
+Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines
 Sturm-Liouville-Problems diskutiert.
-Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
-zustande kommt, damit diese später bei den Beispielen verwendet werden kann.
+Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen
+zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann.
 Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut
 unter welchen Voraussetzungen die Lösungen dieses Problems orthogonal sind.
 Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem
-dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion
+dieser Art ist und es wird auf au die Orthogonalität der Lösungsfunktionen
 geschlossen.
 
 \subsection{Eigenwertprobleme mit symmetrischen Matrizen
-\label{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix}}
+\label{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix}}
 
 % TODO: intro
 
@@ -44,16 +44,17 @@ Dass $A$ symmetrisch ist, bedeutet, dass
     \langle Av, w \rangle
     =
     \langle v, Aw \rangle
+    \qquad
+    v, w \in \mathbb{R}^n
 \]
-für $v, w \in \mathbb{R}^n$ erfüllt ist.
+erfüllt ist.
 
 Für reelle, symmetrische Matrizen zeigt dies auch direkt, dass die Matrix
 selbstadjungiert ist.
 Das ist wichtig, da der Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}
-für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist.
-
-Dieser sagt nun aus, dass die Matrix $A$ diagonalisierbar ist.
-In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in  \mathbb{R}^n$ des 
+für selbstadjungierte Matrizen formuliert ist. Dieser sagt nun aus, dass die
+Matrix $A$ diagonalisierbar ist.
+In anderen Worten bilden die Eigenvektoren $v_i \in \mathbb{R}^n$ des 
 Eigenwertproblems
 \[
     A v_i
@@ -81,7 +82,7 @@ Dieser wird nun verwendet um die Differenzialgleichung
 \]
 in das Eigenwertproblem
 \begin{equation}
-    \label{sturmliouville:eigenvalue-problem}
+    \label{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem}
     L y
     =
     \lambda y.
@@ -90,12 +91,12 @@ umzuschreiben.
 
 \subsection{Orthogonalität der Lösungsfunktionen}
 
-Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eigenvalue-problem} näher
+Nun wird das Eigenwertproblem~\eqref{sturmliouville:eq:eigenvalue-problem} näher
 angeschaut.
 Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der
 Operator $L$ genauer betrachtet.
 Analog zur Matrix $A$ aus 
-Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für
 $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
 \[
     \langle L v, w\rangle
@@ -104,13 +105,15 @@ $L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass
 \]
 gilt.
 Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
-gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems
-sicher gestellt.
-
-Um nun über den Spektralsatz auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu
-schliessen, muss der Operator $L$ ein sogenannter \"kompakter Operator\" sein.
-Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese für $L$ gegeben und wird
-im Weiteren nicht näher diskutiert.
+gezeigt, ist dies durch die
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des
+Sturm-Liouville-Problems sicher gestellt.
+
+Um nun über den Spektralsatz~\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} auf die
+Orthogonalität der Lösungsfunktion $y$ zu schliessen, muss der Operator $L$ ein
+sogenannter ''kompakter Operator'' sein.
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem ist diese Eigenschaft für $L$
+gegeben und wird im Weiteren nicht näher diskutiert.
 
 Es kann nun also dank dem Spektralsatz darauf geschlossen werden, dass die
 Lösungsfunktion $y$ eises regulären Sturm-Liouville-Problems eine
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 4ed3752..4701b8a 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -1,5 +1,6 @@
 %
 % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+% Author: Réda Haddouche
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
@@ -7,7 +8,7 @@
 % TODO:
 % order:
 %   1. State goal of showing examples in intro
-%   2. Show Sturm-Liouville form 
+%   2. Show Sturm-Liouville form
 %   3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples
 %      (make singular property brief)
 %
@@ -15,117 +16,121 @@
 % Check for readability 
 
 \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
-\rhead{Einleitung}
+\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem}
 Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen
 Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
 französischen Mathematiker Joseph Liouville.
 Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
-entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
-jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen
+entwickelt.
+Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
+jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen
 Differentialgleichungen.
-Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
-Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle
-Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche
-Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die
-partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
+Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
+Differentialgleichung 2. Ordnung.
+Wenn es sich um eine partielle
+Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche
+Differentialgleichungen umwandeln. 
 
 \begin{definition}
 	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
 Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
-\begin{equation}
+\[
 	\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
-\end{equation}
+\]
 als
 \begin{equation}
-	\label{eq:sturm-liouville-equation}
+	\label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
 	\frac{d}{dx} (p(x) \frac{dy}{dx}) + (q(x) +
 	\lambda w(x)) y
 	=
 	0 
 \end{equation}
-geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung
+geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung
 bezeichnet.
 \end{definition}
 Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
-in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt
-werden.
+in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} 
+umgewandelt werden.
 
-Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. 
+Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
+Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
 
-\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
+\subsection{Randbedingungen
+\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
 Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer
 Differentialgleichung genau zu bestimmen.
 Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
-		\label{eq:randbedingungen}
+		\label{sturmliouville:eq:randbedingungen}
 		k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
-		k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0.
+		k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
 	\end{aligned}
 \end{equation}
 ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
 
 
-\subsection{Koeffizientenfunktionen\label{sub:koeffizientenfunktionen}}
-Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit
-ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
-Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die Sturm-Liouville-Form bringt.
+\subsection{Koeffizientenfunktionen
+\label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}}
+Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen 
+bezeichnet.
+Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die
+Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht.
 Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
 oder Dichtefunktion bezeichnet.
-Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden im nächsten Kapitel diskutiert. 
-
-
+Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben
+einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden
+im nächsten Kapitel diskutiert.
 
 %
 %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
 %
 
-\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem
-\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
+\subsection{Das reguläre und singuläre Sturm-Liouville-Problem
+\label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
 Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
 Bedingungen beachtet werden.
 \begin{definition}
-	\label{def:reguläres_sturm-liouville-problem}
+	\label{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}
 	\index{regläres Sturm-Liouville-Problem}
 	Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
 	\begin{itemize}
 		\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und
-		reell sein.
-		\item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
+		reell sein
+		\item sowie in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
 		sein.
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
-		\item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei
+		\item Es gelten die Randbedingungen 
+		\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, wobei
 		$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem.
+Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
+Sturm-Liouville-Problem.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
 	\begin{equation}
 		\begin{aligned}
-		x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
+		x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0 \qquad 0<x<a,\\
 		y(a) &= 0
 		\end{aligned}
 	\end{equation}
 	ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
-	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben
+	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformt, dann
+	erhält man
 	die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
-	Schaut man jetzt die Bedingungen im
-	Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit
-	unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
+	Schaut man jetzt die Bedingungen in
+	Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} an und 
+	vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige
+	Probleme:
 	\begin{itemize}
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
 		\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
-		\item Die Randbedingung bei $x = 0$ fehlt.
+		\item Die Randbedingung bei $x = 0$ und $x = a$ fehlt.
 	\end{itemize}
 \end{beispiel}
 
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide
+Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere
 Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung
-eindeutige Ergebnisse hat.
-Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der
-Lösungsfunktion liegen.
-Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es
-immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die
-Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen.
+eindeutig ist.
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/main.tex b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
index d77e068..99a043d 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/main.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/main.tex
@@ -9,11 +9,19 @@
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Réda Haddouche und Erik Löffler}
 
-% TODO: Leser Übersicht geben
 %   -> Repetition: Was ist Sturm-Liouville-Problem
 %   -> Eigenschaften der Lösungen
 %   -> Beispiele erwähnen
 
+In diesem Kapitel wird zunächst nochmals ein Überblick über das
+Sturm-Liouville-Problem und dessen Randbedingungen gegeben.
+Dann wird ein Zusammenhang zwischen reellen symmetrischen Matrizen und
+dem Sturm-Liouville-Operator $L$ hergestellt, um auf die Orthogonalität der
+Lösungsfunktionen zu schliessen.
+Zuletzt wird anhand von zwei Beispielen gezeigt, dass durch das
+Sturm-Liouville-Problem die Eigenschaften der Lösungen bereits vor dem
+vollständingen Lösen der Beispiele bekannt sind.
+
 \input{papers/sturmliouville/einleitung.tex}
 %einleitung "was ist das sturm-liouville-problem"
 \input{papers/sturmliouville/eigenschaften.tex}
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index cad71d7..b247441 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -1,19 +1,21 @@
 %
 % tschebyscheff_beispiel.tex
+% Author: Réda Haddouche
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?
-\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+\subsection{Tschebyscheff-Polynome
+\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
+\rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
-Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
+Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 \begin{align*}
-	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
-	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
-	q(x) &= 0
-\end{align*}.
+	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\
+	p(x) &= \sqrt{1-x^2}, \\
+	q(x) &= 0.
+\end{align*}
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
@@ -24,65 +26,66 @@ Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \end{equation}
 nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
 ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
-
-\subsubsection*{regulär oder singulär?}
-Für das reguläre Problem laut der
-Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
-$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
-$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
-Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe
-von Hyperbelfunktionen
-\begin{equation}
-	T_n(x)
-	=
-	\cos n (\arccos x)
-\end{equation}.
-Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
-\begin{equation}
-	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
-		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
-\end{equation},
-jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
-müssen.
-Die Funktion
-\begin{equation*}
-	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
-\end{equation*}
-ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
 
 \subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
-Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten,
-sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
-Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man
+Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
+Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
+erhält man
 \begin{equation}
-\begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
-	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
-\end{aligned} 
+	\begin{aligned}
+		k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
+		k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
+	\end{aligned} 
 \end{equation}
 Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
 (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
 Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die
-Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
+Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$.
 Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
-	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
-	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
+		k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
+		k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0.
 	\end{aligned}
 \end{equation}
 Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man,
-damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige
+damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome
-auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden
-Lösungen orthogonal sind.
+Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$,
+die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+
+\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+Für das reguläre Problem muss laut der
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
+$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
+$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art
+\begin{equation}
+	T_n(x)
+	=
+	\cos n (\arccos x).
+\end{equation}
+Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
+müssen.
+Die Funktion
+\begin{equation*}
+	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\end{equation*}
+ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+
+
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und
-	$y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+	Die Gleichung 
+	\[
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0
+	\]
+	
+	mit
+	$y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
+	ergibt
 	\[
 	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
 	\]
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 4992150..2104645 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -5,31 +5,31 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems
-(Wärmeleitung)}
+\subsection{Wärmeleitung in homogenem Stab}
+\rhead{Wärmeleitung in homogenem Stab}
 
 In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab
 betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses
 physikalischen Phänomenes auftritt.
 
-% TODO: u is dependent on 2 variables (t, x)
-% TODO: mention initial conditions u(0, x)
-
 Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
-Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet.
-Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
-die partielle Differentialgleichung
+Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet dessen initiale Wärmeverteilung durch
+$u(t=0, x)$ gegeben ist.
+Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
-    \frac{\partial u}{\partial t} =
-    \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}},
+    \frac{\partial u(t, x)}{\partial t} =
+    \kappa \frac{\partial^{2}u(t, x)}{{\partial x}^{2}},
 \end{equation}
 wobei der Stab in diesem Fall auf der $x$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
 
-Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen
-Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise
-die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter 
-Tempreatur gehalten werden.
+Damit die Sturm-Liouville-Theorie auf das
+Problem~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} angewendet
+werden kann, werden noch Randbedingungen benötigt, welche in Kürze
+vorgestellt werden.
+Aus physikalischer Sicht geben diese Randbedingungen vor, ob die Enden des
+Stabes thermisch isoliert sind oder ob sie auf konstanter Temperatur gehalten
+werden.
 
 %
 % Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen
@@ -56,8 +56,10 @@ als Randbedingungen.
 
 \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden}
 
-Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und
-$x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
+Bei isolierten Enden des Stabes können grundsätzlich beliebige Temperaturen für
+$x = 0$ und $x = l$ auftreten.
+Die einzige Einschränkung liefert die Anfangsbedingung $u(0, x)$.
+Im Fall des isolierten Stabes ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab
 an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird.
 
 Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen
@@ -82,15 +84,16 @@ als Randbedingungen.
 
 \subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung}
 
-Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
-die Separationsmethode verwendet.
+Da die Lösungsfunktion $u$ von zwei Variablen abhängig ist, wird die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} zunächst
+mittels Separation in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführt.
 Dazu wird 
 \[
     u(t,x)
     =
     T(t)X(x)
 \]
-in die partielle 
+in die partielle
 Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
 eingesetzt.
 Daraus ergibt sich 
@@ -136,9 +139,12 @@ Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch die Randbedingungen des
 Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage getroffen werden, dass alle
 Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein werden.
 
-Da die Bedingungen des Stab-Problem nur Anforderungen an $x$ stellen, können
-diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$.
-Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
+Da die Bedingungen des Stab-Problems nur Anforderungen an $x$ stellen, können
+diese direkt für $X(x)$ übernomen werden.
+Es gilt also beispielsweise wegen
+\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
+dass $X(0) = X(l) = 0$.
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen nun also die Gleichungen
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
 	\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -156,18 +162,32 @@ erfüllt sein und es muss ausserdem
 \end{equation}
 gelten.
 
-Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst
-$p(x)$
-benötigt.
+Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, werden also die
+Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ benötigt.
 Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
 mit der
-Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
-$p(x) = 1$ führt.
+Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
+verglichen, was zu 
+\[
+\begin{aligned} 
+    p(x) &= 1 \\
+    q(x) &= 0 \\
+    w(x) &= 1
+\end{aligned}
+\]
+führt.
+
+Diese können bereits auf die Bedingungen in
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} geprüft
+werden.
+Es ist schnell ersichtlich, dass die ersten drei Kriterien erfüllt sind.
+Werden nun auch noch die Randbedingungen erfüllt, handelt es sich also um ein
+reguläres Sturm-Liouville-Problem.
 
-Werden nun $p(x)$ und die 
+Es werden nun $p(x)$ und die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
-in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält
-man
+in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt und man
+erhält
 \[
 \begin{aligned}
 	k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
@@ -181,17 +201,20 @@ erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq
 und $k_b \neq 0$ gewählt werden.
 
 Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
-konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
-alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind.
+konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+Daraus folg zunächst, dass es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem
+handelt und weiter, dass alle daraus reultierenden Lösungen orthogonal sind.
 Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
-isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
+isolierten
+Enden~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
 somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
 
 %
 %   Lösung von X(x), Teil mu
 %
 
-\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$}
+\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $x$}
 Als erstes wird auf die
 Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen.
 Aufgrund der Struktur der Gleichung
@@ -298,8 +321,8 @@ Es bleibt noch nach $\beta$ aufzulösen:
 \[
 \begin{aligned}
     \sin(\beta l) &= 0 \\
-    \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
-    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+    \beta l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\
+    \beta &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0
 \end{aligned}
 \]
 
@@ -316,7 +339,7 @@ Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
 werden.
 Setzt man nun die 
 Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
-in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
+in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$, ergibt sich
 \[
     X^{\prime}(0)
     =
@@ -341,8 +364,8 @@ Es folgt nun
 \[
 \begin{aligned}
     \sin(\alpha l) &= 0 \\
-    \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N} \\
-    \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}
+    \alpha l &= n \pi \qquad n \in \mathbb{N}_0 \\
+    \alpha &= \frac{n \pi}{l} \qquad n \in \mathbb{N}_0
 \end{aligned}
 \]
 und somit
@@ -351,7 +374,7 @@ und somit
 \]
 
 Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
-wie auch mit isolierten Enden
+wie auch für den Stab mit isolierten Enden
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
     \mu
@@ -359,24 +382,32 @@ wie auch mit isolierten Enden
     -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
 \end{equation}
 
-% TODO: infinite base vectors and fourier series
-\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen}
-
-% TODO: check ease of reading
-\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten}
-
-% TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection
+\subsubsection{Fourierreihe als Lösung}
 
-%
-% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt.
-%
+Das Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} gibt nun
+wegen der neuen Variablen $n \in \mathbb{N}_0$ vor, dass es potentiell
+unendlich viele Lösungen gibt.
+Dies bedeutet auch, dass es nicht ein $A$ und ein $B$ gibt, sondern einen
+Koeffizienten für jede Lösungsfunktion.
+Wir schreiben deshalb den Lösungsansatz zur Linearkombination
+\[
+    X(x)
+    =
+    \sum_{n = 0}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+    +
+    \sum_{n = 0}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+\]
+aus allen möglichen Lösungen um.
 
-Bisher wurde über die Koeffizienten $A$ und $B$ noch nicht viel ausgesagt.
-Zunächst ist wegen vorhergehender Rechnung ersichtlich, dass es sich bei
-$A$ und $B$ nicht um einzelne Koeffizienten handelt.
-Stattdessen können die Koeffizienten für jedes $n \in \mathbb{N}$
-unterschiedlich sein.
-Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
+Als nächstes werden noch die Summanden für $n = 0$ aus den Summen herausgezogen,
+da
+\[
+    \begin{aligned}
+        a_0 \cos\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= a_0 \\
+        b_0 \sin\left(\frac{0 \pi}{l}\right) &= 0
+    \end{aligned}
+\]
+gilt endet man somit bei
 \[
     X(x)
     =
@@ -386,10 +417,33 @@ Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
     +
     \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
 \]
+Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst.
+Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen
+orthogonal zueinander sind, da es sich hier um die Lösung eines
+Sturm-Liouville-Problems handelt.
+Es gilt also
+\[
+\begin{aligned}
+    \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right)
+    \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    &= 0 \qquad n \neq m \\
+    \int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n \pi}{l}x\right)
+    \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    &= 0 \qquad n \neq m \\
+    \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n \pi}{l}x\right)
+    \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+    &= 0.
+\end{aligned}
+\]
+
+\subsubsection{Berechnung der Fourierkoeffizienten}
 
-Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere
-Bedingungen benötigt.
-Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$.
+%
+% Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt.
+%
+
+Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten wird nun die initiale
+Wärmeverteilung oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$ benötigt.
 Es gilt also nun die Gleichung
 \begin{equation}
     \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions}
@@ -456,8 +510,8 @@ gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
 \end{aligned}
 \]
 
-Die Konsequenz davon ist, dass nun das Resultat der Integrale um den Faktor zwei
-skalliert wurde, also gilt nun
+Diese Funktionen wurden gerade so gewählt, dass nun das Resultat der Integrale
+um den Faktor zwei skalliert wurde, also gilt
 \[
 \begin{aligned}
     \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -564,7 +618,7 @@ $ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass
 gilt.
 
 Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$.
-Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
+Wie zuvor bereits erwähnt, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
 zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der
 konstanten Funktion $1$.
 Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
@@ -592,14 +646,14 @@ Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet:
 \]
 
 Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils
-über ein Vielfaches der Periode integriert wird.
+über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird.
 Es bleibt also noch
 \[
     2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
     =
-    a_0 \int_{-l}^{l}dx
+    a_0 \int_{-l}^{l}dx,
 \]
-, was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
+was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
 \[
 \begin{aligned}
     2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
@@ -628,13 +682,19 @@ Es bleibt also noch
 \subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$}
 Zuletzt wird die zweite Gleichung der 
 Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
-Diese wird über das charakteristische Polynom
+Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom
 \[
     \lambda - \kappa \mu
     =
     0
 \]
-gelöst.
+der Gleichung
+\[
+    T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
+    =
+    0
+\]
+und löst dieses.
 
 Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
 Lösung
@@ -654,8 +714,6 @@ ergibt.
 Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt
 werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
 
-% TODO: elaborate
-
 \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
 \[
 \begin{aligned}