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parzyl

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diff --git a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
new file mode 100644
index 0000000..f55e3cf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib
index 390d5ed..9639d0b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -65,4 +65,13 @@
 	year = {2022},
 	month = {8},
 	day = {17}
+}
+
+@online{parzyl:scalefac,
+	title = {An introduction to curvlinear orthogonal coordinates},
+	url = {http://dslavsk.sites.luc.edu/courses/phys301/classnotes/scalefactorscomplete.pdf},
+	date = {2022-08-18},
+	year = {2022},
+	month = {08},
+	day = {18}
 }
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 8be936d..f9e34d5 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -19,8 +19,8 @@ Die partielle Differentialgleichung
 \begin{equation}
 	\Delta f = \lambda f
 \end{equation}
-ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. 
-Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwertproblem für den Laplace-Operator. 
+Sie ist eine der Gleichungen, welche auftritt, wenn die Wellengleichung
 \begin{equation}
 	\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}  \right ) u(\textbf{r},t)
 	=
@@ -95,12 +95,13 @@ und
     konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
     \label{parzyl:fig:cordinates}
 \end{figure}
-Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
+Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem.
 Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
 Ebene gezogen werden. 
+Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang der $z$-Achse dar.
 
 Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
-können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
+können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}.
 
 Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
 kann im kartesischen Koordinatensystem mit
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 13d8109..0e1ad1b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -13,13 +13,13 @@ Die Lösung ist somit
 	i(z) 
 	= 
 	A\cos{ 
-		\left ( 
-		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\left ( z
+		\sqrt{\lambda + \mu}
 		\right )}
 	+
 	B\sin{ 
-		\left ( 
-		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\left ( z
+		\sqrt{\lambda + \mu}
 		\right )}.
 \end{equation}
 Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
@@ -51,7 +51,7 @@ mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
         M_{k, -m} \left(x\right)
     \end{equation*}
     gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
-    von der Whittaker Differentialgleichung
+    der Whittaker Differentialgleichung
     \begin{equation}
         \frac{d^2W}{d x^2} +
         \biggl( -\frac{1}{4}  + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
@@ -94,8 +94,8 @@ $w$ als Lösung haben.
 %         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
 %              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
 %\end{align}
-
-In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für 
+\subsection{Standardlösungen}
+In der Literatur gibt es verschiedene Standardlösungen für 
 \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils 
 unterschiedlich geschrieben wird.
 Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 573432a..5ba9de8 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -9,15 +9,27 @@
 
 Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
 \begin{figure}
-	 \centering
-	\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
-	\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
-	\label{parzyl:fig:leiterplatte}
+	\centering
+	\begin{minipage}{.7\textwidth}
+		 \centering
+		\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
+		\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+		\label{parzyl:fig:leiterplatte}
+	\end{minipage}%
+	\begin{minipage}{.25\textwidth}
+		\centering
+	\includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
+	\caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
+	\label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
+	\end{minipage}
 \end{figure}
-Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht.
+Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
+Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+
+
 Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
 \begin{equation}
-	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
 \end{equation}  
 Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 
 \begin{equation}
@@ -49,23 +61,31 @@ Aus dieser Bedingung folgt
 	0
 	}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
 \end{equation}
-Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. 
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+
+ 
 Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als 
 \begin{equation}
 	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
 \end{equation}
-Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+
+
 Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
 \begin{equation}
 	\phi(x,y) = U(x,y).
 \end{equation}
-Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
+Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
 \begin{equation}
 	E(x,y) = V(x,y).
 \end{equation}
+
+
 Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete 
 komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
 welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+
+
 Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
 \begin{equation}
 	F(s) 
@@ -83,6 +103,8 @@ Dies kann umgeformt werden zu
 	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
 	.
 \end{equation}
+
+
 Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
 indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
 \begin{equation}
@@ -93,7 +115,9 @@ Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
 	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
 \end{equation}
 beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
-kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. 
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+
+ 
 Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
 \begin{equation}
 	x = \sigma \tau,
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 166eebf..1b59ed9 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -12,9 +12,9 @@
 %Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
 %können auch als Potenzreihen geschrieben werden
 Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
-Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
-Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe
+Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen 
+$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
 \begin{align}
 	w_1(\alpha,x)
 	&=  
@@ -51,7 +51,7 @@ und
 	= 
 	xe^{-\frac{x^2}{4}}
 	\sum^{\infty}_{n=0}
-	\frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
 	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
 	&=
 	e^{-\frac{x^2}{4}}
@@ -67,9 +67,9 @@ und
 \end{align}
 sind.
 Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. 
-Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden 
+Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden 
 und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
-Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
 \begin{equation}
 	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 \end{equation}
@@ -77,7 +77,7 @@ und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
 	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
 \end{equation}
-Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
 Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
 $\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
 \subsection{Ableitung}