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index 53dd784..472e61f 100644
--- a/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg
+++ b/buch/papers/nav/bilder/sextant.jpg
diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
index 36e9c99..d8a14af 100644
--- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
+++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
@@ -39,7 +39,7 @@ Unser eigener Standort ist der gesuchte Ecke $P$ und die Ecke $A$ ist in unserem
 Der Vorteil an der Idee des nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol ist. 
 Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so einfach.
 
-\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt $X$ und $Y$}
+\subsection{Ecke $B$ und $C$ - Bildpunkt von $X$ und $Y$}
 Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. 
 Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen.
 Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann wie zum Beispiel die Sonne, der Mond oder die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn.
@@ -85,32 +85,6 @@ Man benutzt ihn vor allem für die astronomische Navigation auf See.
 		\caption[Sextant]{Sextant}
 	\end{center}
 \end{figure}
-\subsubsection{Eingeschaften}
-Für das nautische Dreieck gibt es folgende Eigenschaften:
-\begin{center}
-	\begin{tabular}{ l c l }
-		Legende && Name / Beziehung \\ 
-		\hline
-		$\alpha$ && Rektaszension \\  
-		$\delta$ && Deklination \\
-		$\theta$ && Sternzeit von Greenwich\\
-		$\phi$  &&  Geographische Breite\\
-		$\tau=\theta-\alpha$ && Stundenwinkel und Längengrad des Gestirns. \\
-		$a$ &&      Azimut\\
-		$h$ &&      Höhe
-	\end{tabular}
-\end{center}
-\begin{center}
-	\begin{tabular}{ l c l }
-		Eigenschaften \\
-		\hline
-		Seitenlänge Zenit zu Himmelspol= && $\frac{\pi}{2} - \phi$  \\  
-		Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - \delta$  \\
-		Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn= && $\frac{\pi}{2} - h$ \\
-		Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn=  &&  $\pi-\alpha$\\
-		Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit zu Gestirn= && $\tau$\\
-	\end{tabular}
-\end{center}
 \subsection{Bestimmung des eigenen Standortes $P$}
 Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols.
 Damit wir unseren Standort bestimmen können, bilden wir zuerst das Dreieck $ABC$, dann das Dreieck $BPC$ und zum Schluss noch das Dreieck $ABP$.
diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex
index aca8bd2..fa53189 100644
--- a/buch/papers/nav/trigo.tex
+++ b/buch/papers/nav/trigo.tex
@@ -87,20 +87,21 @@ So kann mit dem Taylorpolynom 2. Grades den Sinus und den Kosinus vom Sphärisch
 Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Ebene:
 \begin{align}
 	a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und}
-	a^2 &\approx 1-\cos(a). \nonumber
+	\frac{a^2}{2} &\approx 1-\cos(a). \nonumber
 \end{align}
 Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert.
 
 \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras}
-Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1-cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
+Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich
 
 \begin{align}
 	\cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c)  \\
-	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \\
-	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} 
+	\bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	\xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2}  \\
 	-a^2-b^2 &=-c^2\\
 	a^2+b^2&=c^2
 \end{align}
+Dies ist der wohlbekannte ebener Satz des Pythagoras.
 
 \subsubsection{Sphärischer Sinussatz}
 Den sphärischen Sinussatz 
@@ -116,7 +117,6 @@ In der sphärischen Trigonometrie gibt es den Seitenkosinussatz
 	\cos \ a = \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \alpha \nonumber
 \end{align} %Seitenkosinussatz
 und den Winkelkosinussatz
-
 \begin{align}
 	\cos \gamma = -\cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos c, \nonumber
 \end{align} der nur in der sphärischen Trigonometrie vorhanden ist.
@@ -124,8 +124,8 @@ und den Winkelkosinussatz
 Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich
 \begin{align}
 	\cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha)  \\
-	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \\
-	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen}
+	\xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\\
 	a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha)
 \end{align}