Merge pull request #71 from LordMcFungus/master

Parzyl Final

4 files changed, 17 insertions, 9 deletions

diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index eb1a152..e6d27b9 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -202,7 +202,7 @@ Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Hel
 	= 
 	\lambda f(\sigma,\tau,z).
 \end{equation}
-Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird 
+Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden. Dazu wird 
 \begin{equation}
 	f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
 \end{equation}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index e6a55b2..1f9db85 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -6,7 +6,10 @@
 \section{Lösung
 \label{parzyl:section:teil1}}
 \rhead{Lösung}
-\subsection{Lösung harmonischer Oszillator}
+Zur Lösung der Helmholtz-Gleichung müssen erst die Lösungen der separierten
+Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} bis \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
+gefunden werden.
+\subsection{Lösung der Schwingungsgleichung \eqref{parzyl:sep_dgl_3}}
 \eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
 Die Lösung ist somit
 \begin{equation}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 1b63c8e..705dbef 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -14,7 +14,7 @@
 Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
 Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen 
 $A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen geschrieben
 \begin{align}
 	w_1(\alpha,x)
 	&=  
@@ -75,7 +75,7 @@ Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
 \begin{equation}
 	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
 %	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
-	c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+%	c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
 \end{equation}
 und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
 \begin{equation}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 12c28fe..4176b55 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -15,8 +15,9 @@ Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld
 	\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
 	\label{parzyl:fig:leiterplatte}
 \end{figure}
-Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
-Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot, die des elektrischen Feldes in grün und 
+semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
+Das dies so ist, kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
@@ -95,9 +96,9 @@ Dies kann umgeformt werden zu
 \begin{equation}
 	F(s) 
 	= 
-	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} 
+	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{\displaystyle{U(x,y)}} 
 	+ 
-	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
+	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{\displaystyle{V(x,y)}}
 	.
 \end{equation}
 
@@ -143,7 +144,11 @@ Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
 so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung 
 zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
 
-Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. 
+Nun wurde gezeigt, wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet, um 
+das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreiben.
+Um die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich zu lösen, 
+da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetische Welle in der Nähe 
+der Platte interessiert ist, kann man jetzt die parabolischen Zylinderfunktionen verwenden. 
 %Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
 %\begin{equation}
 %	x = \sigma \tau,