tscheby kapitel

Randbedingungen

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index ccc2e97..6d21a68 100644
--- a/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/chapters/010-potenzen/tschebyscheff.tex
@@ -102,7 +102,7 @@ die Sütztstellen so zu wählen, dass $l(x)$ kleine Funktionswerte hat.
 Stützstellen in gleichen Abständen erweisen sich dafür als ungeeignet,
 da $l(x)$ nahe $x_0$ und $x_n$ sehr stark oszilliert.
 
-\subsection{Definition der Tschebyscheff-Polynome}
+\subsection{Definition der Tschebyscheff-Polynome \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}}
 \begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=\textwidth]{chapters/010-potenzen/images/lissajous.pdf}
@@ -199,6 +199,7 @@ T_0(x)=1.
 \end{equation}
 Damit können die Tschebyscheff-Polynome sehr effizient berechnet werden:
 \begin{equation}
+\label{eq:tschebyscheff-polynome}
 \begin{aligned}
 T_0(x)
 &=1
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 391841a..d441795 100644
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+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -27,7 +27,7 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
 	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
 		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
 \end{equation},
-jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $\[ -1, 1\]$ sichergestellt.
+jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[\-1, 1 ]\ $ sichergestellt.
 Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^-1$ und $w(x)>0$ sein müssen.
 Die Funktion
 \begin{equation*}
@@ -36,14 +36,29 @@ Die Funktion
 ist die gleiche wie $w(x)$.
 
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
-Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $\[ -1,1 \]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
+Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[\-1, 1 ]\ $ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
 Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= h_a 
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0
+	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0
 \end{aligned} 
-\end{equation}
+\end{equation}.
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
+Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$.
+Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}).
+Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
+Somit erhält man
+\begin{equation}
+	\begin{aligned}
+	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
+	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0
+\end{aligned}
+\end{equation}.
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
 
+Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
+