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authorErik Löffler <100943759+erik-loeffler@users.noreply.github.com>2022-08-15 16:13:36 +0200
committerGitHub <noreply@github.com>2022-08-15 16:13:36 +0200
commit89c208c9f63fffae60ca53309eefbf4f809931fb (patch)
tree83671577d1d81ab7f4110645f7f9d4c2d1a57f71
parentMerge pull request #4 from haddoucher/sturmliouville/erik-branch (diff)
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SeminarSpezielleFunktionen-89c208c9f63fffae60ca53309eefbf4f809931fb.zip
Merge pull request #5 from haddoucher/sturmliouville/erik-branch
Sturmliouville/erik branch
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc14
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex23
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex107
3 files changed, 74 insertions, 70 deletions
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc
index e2039ce..7ffdad2 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/sturmliouville/Makefile.inc
@@ -3,12 +3,12 @@
#
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-dependencies-sturmliouville = \
+dependencies-sturmliouville = \
papers/sturmliouville/packages.tex \
- papers/sturmliouville/main.tex \
+ papers/sturmliouville/main.tex \
papers/sturmliouville/references.bib \
- papers/sturmliouville/teil0.tex \
- papers/sturmliouville/teil1.tex \
- papers/sturmliouville/teil2.tex \
- papers/sturmliouville/teil3.tex
-
+ papers/sturmliouville/einleitung.tex \
+ papers/sturmliouville/eigenschaften.tex \
+ papers/sturmliouville/beispiele.tex \
+ papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex \
+ papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
index 4c14630..fda8be6 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex
@@ -11,9 +11,9 @@ Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines
Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften
zustande kommen.
-Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel
-\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde,
-noch etwas genauer angeschaut.
+Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in
+Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet
+wurde, noch etwas genauer angeschaut.
Es wird also im Folgenden
\[
L_0
@@ -28,9 +28,8 @@ zusammen mit den Randbedingungen
\end{aligned}
\]
verwendet.
-Wie im Kapitel
-\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt,
-resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
+Wie im Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits
+gezeigt, resultieren die Randbedingungen aus der Anforderung den Operator $L_0$
selbsadjungiert zu machen.
Es wurde allerdings noch nicht darauf eingegangen, welche Eigenschaften dies
für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat.
@@ -65,15 +64,15 @@ Orthonormalsystem existiert.
\subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$}
-Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $ L_0 $ selbstadjungiert ist, eine
+Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine
Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert.
-Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren beziehungsweise alle Lösungen
+Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen
des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem
-Skalarprodukt, in dem $ L_0 $ selbstadjungiert ist.
+Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist.
-Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in Abschnitt
-\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen
-die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
+Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in
+Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und
+erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen
des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die
Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen
Basisfunktionen ist. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index b466d15..b22d5f5 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -15,7 +15,7 @@ Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet.
Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
die partielle Differentialgleichung
\begin{equation}
- \label{eq:slp-example-fourier-heat-equation}
+ \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
\frac{\partial u}{\partial t} =
\kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
\end{equation}
@@ -36,7 +36,7 @@ Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen.
Es folgen nun
\begin{equation}
- \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+ \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
u(t,0)
=
u(t,l)
@@ -62,7 +62,7 @@ dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
verschwinden.
Somit folgen
\begin{equation}
- \label{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+ \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
\frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
=
\frac{\partial}{\partial x} u(t, l)
@@ -85,8 +85,9 @@ Dazu wird
=
T(t)X(x)
\]
-in die partielle Differenzialgleichung
-\eqref{eq:slp-example-fourier-heat-equation} eingesetzt.
+in die partielle
+Differenzialgleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation}
+eingesetzt.
Daraus ergibt sich
\[
T^{\prime}(t)X(x)
@@ -108,13 +109,13 @@ der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
\begin{equation}
- \label{eq:slp-example-fourier-separated-x}
+ \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
=
0
\end{equation}
\begin{equation}
- \label{eq:slp-example-fourier-separated-t}
+ \label{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t}
T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
=
0
@@ -135,7 +136,7 @@ diese direkt für $X(x)$ übernomen werden. Es gilt also $X(0) = X(l) = 0$.
Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
\begin{equation}
\begin{aligned}
- \label{eq:slp-example-fourier-randbedingungen}
+ \label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
k_a X(a) + h_a p(a) X'(a) &= 0 \\
k_b X(b) + h_b p(b) X'(b) &= 0
\end{aligned}
@@ -143,7 +144,7 @@ Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
erfüllt sein und es muss ausserdem
\begin{equation}
\begin{aligned}
- \label{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints}
+ \label{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints}
|k_a|^2 + |h_a|^2 &\neq 0\\
|k_b|^2 + |h_b|^2 &\neq 0\\
\end{aligned}
@@ -153,13 +154,15 @@ gelten.
Um zu verifizieren, ob die Randbedingungen erfüllt sind, wird zunächst
$p(x)$
benötigt.
-Dazu wird die Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} mit der
-Sturm-Liouville-Form \eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
+Dazu wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
+mit der
+Sturm-Liouville-Form~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} verglichen, was zu
$p(x) = 1$ führt.
-Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} in
-\eqref{eq:slp-example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält man
+Werden nun $p(x)$ und die
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+in \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen} eigesetzt, erhält
+man
\[
\begin{aligned}
k_a y(0) + h_a y'(0) &= h_a y'(0) = 0 \\
@@ -167,10 +170,10 @@ Werden nun $p(x)$ und die Randbedingungen
\end{aligned}
\]
Damit die Gleichungen erfüllt sind, müssen $h_a = 0$ und $h_b = 0$ sein.
-Zusätzlich müssen aber die Bedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-coefficient-constraints} erfüllt sein und
-da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$ und $k_b \neq 0$
-gewählt werden.
+Zusätzlich müssen aber die
+Bedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-coefficient-constraints}
+erfüllt sein und da $y(0) = 0$ und $y(l) = 0$ sind, können belibige $k_a \neq 0$
+und $k_b \neq 0$ gewählt werden.
Somit ist gezeigt, dass die Randbedingungen des Stab-Problems für Enden auf
konstanter Temperatur auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
@@ -199,9 +202,9 @@ Die Lösungen für $X(x)$ sind also von der Form
A \cos \left( \alpha x\right) + B \sin \left( \beta x\right).
\]
-Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} enthaltenen Ableitungen vorhanden
-sind.
+Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} enthaltenen
+Ableitungen vorhanden sind.
Man erhält also
\[
X^{\prime}(x)
@@ -217,7 +220,8 @@ und
\beta^{2} B \sin \left( \beta x \right).
\]
-Eingesetzt in Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} ergibt dies
+Eingesetzt in Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
+ergibt dies
\[
-\alpha^{2}A\cos(\alpha x) - \beta^{2}B\sin(\beta x) -
\mu\left(A\cos(\alpha x) + B\sin(\beta x)\right)
@@ -247,18 +251,19 @@ ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss fü
$ A \neq 0 $ oder $ B \neq 0 $.
Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch $ \alpha $ und $ \beta $ zu
bestimmen.
-Dazu werden nochmals die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} und
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} benötigt.
+Dazu werden nochmals die
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+benötigt.
Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ uns $\beta$ im
allgemeninen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
-Es werden nun die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-constant} für einen Stab
-mit Enden auf konstanter Temperatur in die Gleichung
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-x} eingesetzt.
+Es werden nun die
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant}
+für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur in die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingesetzt.
Betrachten wir zunächst die Bedingung für $x = 0$.
Dies fürht zu
\[
@@ -303,9 +308,9 @@ Verletzung der Randbedingungen.
Durch alanoges Vorgehen kann nun auch das Problem mit isolierten Enden gelöst
werden.
-Setzt man nun die Randbedingungen
-\eqref{eq:slp-example-fourier-boundary-condition-ends-isolated} in $X^{\prime}$
-ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
+Setzt man nun die
+Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
+in $X^{\prime}$ ein, beginnend für $x = 0$. Es ergibt sich
\[
X^{\prime}(0)
=
@@ -324,7 +329,7 @@ folgt nun
= 0.
\]
-Wiedrum muss über die $ \sin $-Funktion sicher gestellt werden, dass der
+Wiedrum muss über die $\sin$-Funktion sicher gestellt werden, dass der
Ausdruck den Randbedingungen entspricht.
Es folgt nun
\[
@@ -342,7 +347,7 @@ und somit
Es ergibt sich also sowohl für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur
wie auch mit isolierten Enden
\begin{equation}
- \label{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
+ \label{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
\mu
=
-\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}.
@@ -368,12 +373,12 @@ Die Lösung $X(x)$ wird nun umgeschrieben zu
\sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
\]
-Um eine eindeutige Lösung für $ X(x) $ zu erhalten werden noch weitere
+Um eine eindeutige Lösung für $X(x)$ zu erhalten werden noch weitere
Bedingungen benötigt.
Diese sind die Startbedingungen oder $u(0, x) = X(x)$ für $t = 0$.
Es gilt also nun die Gleichung
\begin{equation}
- \label{eq:slp-example-fourier-initial-conditions}
+ \label{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions}
u(0, x)
=
a_0
@@ -388,7 +393,7 @@ gehört, von der wir wissen, dass sie orthogonal zu allen anderen
trigonometrischen Funktionen der Lösung ist, kann direkt das Skalarprodukt
verwendet werden um die Koeffizienten $a_n$ und $b_n$ zu bestimmen.
Es wird also die Tatsache ausgenutzt, dass die Gleichheit in
-\eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
+\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} nach Anwendung des
Skalarproduktes immernoch gelten muss und dass das Skalaprodukt mit einer
Basisfunktion sämtliche Summanden auf der rechten Seite auslöscht.
@@ -396,7 +401,7 @@ Zur Berechnung von $a_m$ mit $ m \in \mathbb{N} $ wird beidseitig das
Skalarprodukt mit der Basisfunktion $ \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)$
gebildet:
\begin{equation}
- \label{eq:slp-dot-product-cosine}
+ \label{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
\langle u(0, x), \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) \rangle
=
\langle a_0
@@ -409,13 +414,13 @@ gebildet:
Bevor diese Form in die Integralform umgeschrieben werden kann, muss überlegt
sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind.
-In diesem Fall haben die $ \sin $ und $ \cos $ Terme beispielsweise keine ganze
-Periode im Intervall $ x \in [0, l] $ für ungerade $ n $ und $ m $.
+In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze
+Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$.
Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges
Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden.
Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem
-neue Funktionen $ \hat{u}_c(0, x) $ für die Berechnung mit Cosinus und
-$ \hat{u}_s(0, x) $ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $ u(0, t) $
+neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und
+$\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$
gerade, respektive ungerade auf $[-l, l]$ fortsetzen:
\[
\begin{aligned}
@@ -451,7 +456,8 @@ skalliert wurde, also gilt nun
\end{aligned}
\]
-Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet:
+Zunächst wird nun das Skalaprodukt~\eqref{sturmliouville:eq:dot-product-cosine}
+berechnet:
\[
\begin{aligned}
\int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -545,11 +551,11 @@ gilt.
Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$.
Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
-zur Basisfunktion $ \cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right) $ beziehungsweise der
+zur Basisfunktion $\cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right)$ beziehungsweise der
konstanten Funktion $1$.
-Um einen Ausdruck für $ a_0 $ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
-der Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} das
-Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $ 1 $ gebildet:
+Um einen Ausdruck für $a_0$ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
+der Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-initial-conditions} das
+Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $1$ gebildet:
\[
\begin{aligned}
\int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx
@@ -606,8 +612,8 @@ Es bleibt also noch
%
\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t}
-Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
-\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
+Zuletzt wird die zweite Gleichung der
+Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
Diese wird über das charakteristische Polynom
\[
\lambda - \kappa \mu
@@ -623,8 +629,7 @@ Lösung
=
e^{-\kappa \mu t}
\]
-führt.
-Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
+führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution}
\[
T(t)
=