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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index 2552574..08e25f2 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -15,19 +15,20 @@
 % Check for readability 
 
 \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
-\rhead{Einleitung}
+\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem}
 Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen
 Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem
 französischen Mathematiker Joseph Liouville.
 Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie
-entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
-jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen
+entwickelt.
+Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen,
+jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen
 Differentialgleichungen.
-Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
-Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle
-Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche
-Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die
-partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
+Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche
+Differentialgleichung 2. Ordnung.
+Wenn es sich um eine partielle
+Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche
+Differentialgleichungen umwandeln. 
 
 \begin{definition}
 	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
@@ -43,7 +44,7 @@ als
 	=
 	0 
 \end{equation}
-geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung
+geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung
 bezeichnet.
 \end{definition}
 Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können
@@ -51,7 +52,7 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
 umgewandelt werden.
 
 Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die
-Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. 
+Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird.
 
 \subsection{Randbedingungen
 \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
@@ -62,7 +63,7 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs
 	\begin{aligned}
 		\label{sturmliouville:eq:randbedingungen}
 		k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\
-		k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0.
+		k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
 	\end{aligned}
 \end{equation}
 ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
@@ -70,21 +71,21 @@ ist das klassische Sturm-Liouville-Problem.
 
 \subsection{Koeffizientenfunktionen
 \label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}}
-Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit
-ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
+Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen 
+bezeichnet.
 Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die
-Sturm-Liouville-Form bringt.
+Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht.
 Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion
 oder Dichtefunktion bezeichnet.
 Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben
 einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden
-im nächsten Kapitel diskutiert. 
+im nächsten Kapitel diskutiert.
 
 %
 %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem"
 %
 
-\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem
+\subsection{Das reguläre und singuläre Sturm-Liouville-Problem
 \label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}}
 Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
 Bedingungen beachtet werden.
@@ -94,8 +95,8 @@ Bedingungen beachtet werden.
 	Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
 	\begin{itemize}
 		\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und
-		reell sein.
-		\item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
+		reell sein
+		\item sowie in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar
 		sein.
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
 		\item Es gelten die Randbedingungen 
@@ -103,36 +104,32 @@ Bedingungen beachtet werden.
 		$|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
+Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres
 Sturm-Liouville-Problem.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
 	\begin{equation}
 		\begin{aligned}
-		x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
+		x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0 \qquad 0<x<a,\\
 		y(a) &= 0
 		\end{aligned}
 	\end{equation}
 	ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
-	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben
+	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformt, dann
+	erhält man
 	die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
-	Schaut man jetzt die Bedingungen im
-	Kapitel~\ref{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und 
+	Schaut man jetzt die Bedingungen in
+	Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} an und 
 	vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige
 	Probleme:
 	\begin{itemize}
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
 		\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
-		\item Die Randbedingung bei $x = 0$ fehlt.
+		\item Die Randbedingung bei $x = 0$ und $x = a$ fehlt.
 	\end{itemize}
 \end{beispiel}
 
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide
+Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere
 Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung
-eindeutige Ergebnisse hat.
-Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der
-Lösungsfunktion liegen.
-Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es
-immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die
-Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen.
+eindeutig ist.
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index 18e6198..8f673a5 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -4,14 +4,15 @@
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 
-\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?
+\subsection{Tschebyscheff-Polynome
 \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
+\rhead{Tschebyscheff-Polynome}
 \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
 Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
-Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
+Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
 \begin{align*}
-	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
-	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
+	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\
+	p(x) &= \sqrt{1-x^2}, \\
 	q(x) &= 0.
 \end{align*}
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
@@ -24,66 +25,65 @@ Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \end{equation}
 nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
 ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
-
-\subsubsection*{regulär oder singulär?}
-Für das reguläre Problem laut der
-Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion
-$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
-$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
-Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe
-von Hyperbelfunktionen
-\begin{equation}
-	T_n(x)
-	=
-	\cos n (\arccos x)
-\end{equation}.
-Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
-\begin{equation}
-	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
-		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
-\end{equation},
-jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
-müssen.
-Die Funktion
-\begin{equation*}
-	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
-\end{equation*}
-ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
 
 \subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
-Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten,
-sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
-Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
+Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
+Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
 erhält man
 \begin{equation}
-\begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
-	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
-\end{aligned} 
+	\begin{aligned}
+		k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\
+		k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
+	\end{aligned} 
 \end{equation}
 Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
 (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
 Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die
-Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
+Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$.
 Somit erhält man
 \begin{equation}
 	\begin{aligned}
-	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
-	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
+		k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
+		k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0.
 	\end{aligned}
 \end{equation}
 Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man,
-damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige
+damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
 $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome
-auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden
-Lösungen orthogonal sind.
+Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$,
+die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen.
+
+\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+Für das reguläre Problem muss laut der
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
+$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
+$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art
+\begin{equation}
+	T_n(x)
+	=
+	\cos n (\arccos x).
+\end{equation}
+Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
+müssen.
+Die Funktion
+\begin{equation*}
+	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\end{equation*}
+ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+
+
 
 \begin{beispiel}
-	Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit
-	$y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
+	Die Gleichung 
+	\[
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0
+	\]
+	
+	mit
+	$y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$
 	ergibt
 	\[
 	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.