Merge branch 'AndreasFMueller:master' into master

22 files changed, 284 insertions, 92 deletions

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
index af094c6..2d08e56 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -25,7 +25,7 @@ Auslenkung.
 Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz für die Gesamtenergie $E$
 dieses Oszillators.
 Leiten Sie daraus eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung
-for den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form
+für den anharmonischen Oszillator ab, die sie in der Form
 $\frac12m\dot{x}^2 = f(x)$ schreiben.
 \item
 Die Amplitude der Schwingung ist derjenige $x$-Wert, für den die
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/Saite.pdf b/buch/papers/kreismembran/images/Saite.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0f87c93
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/Saite.pdf
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/mask_absorber.png b/buch/papers/kreismembran/images/mask_absorber.png
new file mode 100644
index 0000000..5d0cccf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/mask_absorber.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/mask_disk.png b/buch/papers/kreismembran/images/mask_disk.png
new file mode 100644
index 0000000..4b38163
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/mask_disk.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_1.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_1.png
new file mode 100644
index 0000000..84c7c1f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_1.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_2.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_2.png
new file mode 100644
index 0000000..ac6312a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_2.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_3.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_3.png
new file mode 100644
index 0000000..9388074
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_3.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_4.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_4.png
new file mode 100644
index 0000000..e25b4a0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_4.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_5.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_5.png
new file mode 100644
index 0000000..638ec92
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_5.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_6.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_6.png
new file mode 100644
index 0000000..7678da5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_1_6.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_1.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_1.png
new file mode 100644
index 0000000..c3c7a03
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_1.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_2.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_2.png
new file mode 100644
index 0000000..91f3d41
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_2.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_3.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_3.png
new file mode 100644
index 0000000..e04475b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_3.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_4.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_4.png
new file mode 100644
index 0000000..5b203c6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_4.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_5.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_5.png
new file mode 100644
index 0000000..ec76085
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_5.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_6.png b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_6.png
new file mode 100644
index 0000000..9c475eb
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/sim_2_6.png
diff --git a/buch/papers/kreismembran/references.bib b/buch/papers/kreismembran/references.bib
index acf8f90..3d9d0c1 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/references.bib
+++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib
@@ -52,6 +52,14 @@
         url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
 }
 
+@book{kreismembran:Digital_Image_processing,
+	edition = {Fourth Edition},
+	title = {Digital Image Processing},
+	publisher = {Pearson},
+	author = {Rafael C. Gozales and Richard E. Woods},
+	date = {2018},
+}
+
 @book{lokenath_debnath_integral_2015,
 	edition = {Third Edition},
 	title = {Integral Tansforms and Their Applications},
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
index bb8188d..6f55358 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
@@ -5,51 +5,57 @@
 %
 \section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}}
 \rhead{Membran}
-Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein "dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen ...". 
-Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften auf, wie ein gespanntes Stück Papier. 
+Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein ``dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen ...''. 
+Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften wie ein gespanntes Stück Papier. 
 Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. 
 Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. 
-Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. 
-Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert aus der Ruhelage gebracht zu werden. 
+Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. 
+Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert aus der Ruhelage gebracht zu werden. 
 
 Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. 
-Sie besteht herkömmlicher weise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. 
+Sie besteht herkömmlicherweise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. 
 Das Leder alleine erzeugt nach einem Aufschlag keine hörbaren Schwingungen. 
-Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. 
-Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der Folgenden Arbeit Diskutiert.
-
+Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten Weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. 
+Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der folgenden Arbeit diskutiert.
+	
 
-\paragraph{Annahmen} 
+\subsection{Annahmen} \label{kreimembran:annahmen}
 Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. 
-Das untersuchte Modell einer Membrane Erfüllt folgende Eigenschaften:
-\begin{enumerate}[i]
+Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften:
+\begin{enumerate}[i)]
 	\item Die Membran ist homogen. 
 	Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $  und Elastizität hat. 
 	Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $.
 	\item Die Membran ist perfekt flexibel. 
-	Daraus folgt, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. 
-	Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwing-fähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $.
-	\item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass Auslenken.
-	Auslenkungen in der ebene der Membran sind nicht möglich.
+	Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. 
+	Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $.
+	\item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken.
+	Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich.
 	\item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. 
 	Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation.
-	Die resultierende Schwingung wird daher nicht gedämpft sein.
 	
 \end{enumerate}
 
 \subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet.
-Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension.
+Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension.
 Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor.
-%Wie analog zur Membran kann eine Saite erst unter Spannung schwingen. 
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}		
+		\includegraphics[width=5cm,angle=-90]{papers/kreismembran/images/Saite.pdf}
+		\caption{Infinitesimales Stück einer Saite}
+		\label{kreismembran:im:Saite}
+	\end{center}	
+\end{figure}
 
-Abbildung \ref{TODO} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert.
-Wie für die Membran ist die Annahme iii gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $.
+Abbildung \ref{kreismembran:im:Saite} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert.
+Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $.
 Um dies zu erfüllen muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark in Richtung $ -\hat{x} $ gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung $ \hat{x} $ gezogen wird. Ist $ T_1 $ die Kraft welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte 
 \begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation}
 	T_1 \cos \alpha = T_2 \cos \beta = T
 \end{equation}
 gleichgesetzt werden. 
-Das dynamische verhalten der senkrechten Auslenkung $ u(x,t) $ muss das newtonsche Gesetz 
+Das dynamische Verhalten der senkrechten Auslenkung $ u(x,t) $ muss das newtonsche Gesetz 
 \begin{equation*}
 	\sum F = m \cdot a
 \end{equation*} 
@@ -69,14 +75,18 @@ geschrieben werden.
 Der $ \tan \alpha $ entspricht der örtlichen Ableitung von $ u(x,t) $ an der Stelle $ x_0 $ und analog der $ \tan \beta $ für die Stelle $ x_0 + dx $.
 Die Gleichung wird dadurch zu
 \begin{equation*}
-	\frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
+	\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
 \end{equation*} 
 Durch die Division mit $ dx $ entsteht 
 \begin{equation*}
-	\frac{1}{dx} \bigg[\frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0}\bigg] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
+	\frac{1}{dx} \left[\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0}\right] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
 \end{equation*}
-Auf der Linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervall-Länge geteilt, in anderen Worten die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $ berechnet. Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird mit $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. Somit resultiert die, in der Literatur gebräuchliche Form 
+Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt, in anderen Worten die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $ berechnet. 
+Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird durch $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. 
+Somit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form 
 \begin{equation}
+	\label{kreismembran:Ausgang_DGL}
 	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u.
 \end{equation}
-In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. Für den Fall einer Membran muss lediglich die Ableitung in zwei Dimensionen gerechnet werden.
\ No newline at end of file
+In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. 
+Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen gerechnet werden.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
index 39ca598..f0d478f 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode 
 	\label{kreismembran:section:teil1}}
 \rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode}
-An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
+An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Abschnitt wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
 
 \subsection{Aufgabestellung\label{sub:aufgabestellung}}
 Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt:
@@ -30,37 +30,36 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d
 ergibt.
 
 Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die das Gebiet $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist.
-Es wird daher davon ausgegangen, dass die Membran aus einem homogenen Material von vernachlässigbarer Dicke gefertigt ist.
-Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran.
+Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran nach den Annahmen von \ref{kreimembran:annahmen}.
 
 Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$:
 \begin{align*}
 	u: \overline{\rm \Omega} \times \mathbb{R}_{\geq 0} &\longrightarrow \mathbb{R}\\
 	(r,\varphi,t) &\longmapsto u(r,\varphi,t)
 \end{align*}
-Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} \cite{prof_dr_horst_knorrer_kreisformige_2013}
-\begin{equation*}
-	u\big|_{\Gamma} = 0 \quad \text{für} \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\quad t \geq 0
-\end{equation*}
-gilt.
+Um die Vergleichbarkeit der beiden nachfolgend vorgestellten Lösungsverfahren in Abschnitt \ref{kreismembran:vergleich} zu vereinfachen, werden keine Randbedingungen vorgegeben.
 
-Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt:
+Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt zur zeit $t = \text{0}$:
 \begin{align*}
 	u(r,\varphi, 0) &= f(r,\varphi)\\
 	u_t(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi).
 \end{align*}
 
 \subsection{Lösung\label{sub:lösung1}}
+Nun wird das in Abschnitt \ref{sub:aufgabestellung} vorgestellte Problem mit Hilfe der varibalen Trennungsmethode gelöst.
 \subsubsection{Ansatz der Separation der Variablen\label{subsub:ansatz_separation}}
-Daher muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden:
+Bezug muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden:
 \begin{equation*}
 	u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t)
 \end{equation*}
-Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich:
+Dank der Randbedingungen kann gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich:
 \begin{equation*}
-	\frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}.
+	\frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\kappa^2=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}.
 \end{equation*}
-Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Gründen suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen:
+Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. 
+Laut Annahme iv) in \ref{kreimembran:annahmen} erfährt die Membran keine Dämpfung.
+Daher werden Lösungen gesucht, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. 
+Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $-\kappa^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen:
 \begin{align*}
 	T''(t) + c^2\kappa^2T(t) &= 0\\
 	r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 &= - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}.
@@ -72,14 +71,14 @@ In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rec
 \end{align*}
 
 \subsubsection{Lösung für $G(\varphi)$\label{subsub:lösung_G}}
-Da für die Zweite Gelichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt die gemeinsame Konstante als $-\nu^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also:
+Da für die zweite Gleichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt man die gemeinsame Konstante als $\nu=-\omega^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also:
 \begin{equation*}
  G(\varphi) = C_n \cos(\varphi) + D_n \sin(\varphi)
  \label{eq:cos_sin_überlagerung}
 \end{equation*}
 
 \subsubsection{Lösung für $F(r)$\label{subsub:lösung_F}}
-Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt
+Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt (verweis auf \ref{buch:differentialgleichungen:bessel-operator})
 \begin{align}
 	r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 
 	\label{eq:2nd_degree_PDE}
@@ -90,19 +89,9 @@ Wir bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt,
 \end{equation*}
 Lösungen der Besselschen Differenzialgleichung
 \begin{equation*}
-	x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0
-\end{equation*}
-Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}. Die
-Randbedingung $F(R)=0$ impliziert, dass $\kappa R$ eine Nullstelle der Besselfunktion
-$J_n$ sein muss. Man kann zeigen, dass die Besselfunktionen $J_n, n \geq 0$, alle unendlich
-viele Nullstellen
-\begin{equation*}
-	\alpha_{1n} < \alpha_{2n} < ...
-\end{equation*}
-haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergibt sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass
-\begin{equation*}
-	F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad \text{mit} \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R}
+	x^2 y'' + xy' + (\kappa^2 - \nu^2)y = 0
 \end{equation*}
+Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}.
 
 \subsubsection{Lösung für $T(t)$\label{subsub:lösung_T}}
 Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. 
@@ -115,7 +104,21 @@ Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung
 \end{align}
 
 Dabei sind $m$ und $n$ ganze Zahlen, wobei $m$ für die Anzahl der Knotenkreise und $n$
-für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei $\kappa mn$ die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten.
+für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie; siehe Abbildung \ref{buch:pde:kreis:fig:pauke}. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei $\kappa mn$ die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten.
+
+\begin{figure}
+	\centering
+	\includegraphics[width=\textwidth]{chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf}
+	%\includegraphics{chapters/090-pde/bessel/pauke.pdf}
+	\caption{Vorzeichen der Lösungsfunktionen und Knotenlinien
+		für verschiedene Werte von $\mu$ und $k$.
+		Die Bereiche, in denen die Lösungsfunktion positiv sind, ist 
+		rot dargestellt, die negativen Bereiche blau.
+		In jeder Darstellung gibt es genau $k+\mu$ Knotenlinien.
+		Die Radien der kreisförmigen Knotenlinien müssen aus den Nullstellen
+		der Besselfunktionen berechnet werden.
+		\label{buch:pde:kreis:fig:pauke}}
+\end{figure}
 
 
-An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist.
+An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass eine weitere Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist.
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
index 6efda49..4fb139c 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
@@ -11,30 +11,30 @@ Er studierte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der
 Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind.
 In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert.
 
-\subsubsection{Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}}
+\subsubsection{Definition der Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}}
 Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
 \begin{align}
-	\mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\
-	\mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) \; dx dy \label{equation:inv_fourier_transform}
+	\mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx \; dy,\label{equation:fourier_transform}\\
+	\mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}F(k,l) \; dx \; dy \label{equation:inv_fourier_transform}
 \end{align}
-wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problemen am besten geeignet, mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach:
+wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problem am besten geeignet, mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach:
 \begin{align}
 	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r \; dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) \; d\phi.
 	\label{equation:F_ohne_variable_wechsel}
 \end{align}
-Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren:
+Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, weil die \textit{Fourier-Theorie} besagt, dass sich jede Funktion durch Überlagerung solcher Terme darstellen lässt. Es wird auch eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren:
 \begin{align}
 	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) \; dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} \; d\alpha,
 	\label{equation:F_ohne_bessel}
 \end{align}
 wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$.
 
-Unter Verwendung der Integraldarstellung der Besselfunktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung}
+Unter Verwendung der Integraldarstellung
 \begin{equation*}
 	J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} \; d\alpha
 	\label{equation:bessel_n_ordnung}
 \end{equation*}
-\eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu:
+ der Besselfunktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} wird \eqref{equation:F_ohne_bessel} zu:
 \begin{align}
 	F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr  \nonumber \\ 
 	&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa),
@@ -47,37 +47,28 @@ wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel-Transformation} von $f(r)$ und i
 \end{align}
 
 \subsubsection{Inverse Hankel-Transformation \label{subsub:inverse_hankel_tansformation}}
-Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \eqref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \eqref{equation:inv_fourier_transform}:
+Wie bei der Entwicklung der Hankel-Transformation können auch für die Umkehrformel Analogien zur Fourier-Transformation hergestellt werden. Vergleicht man die beiden Transformationen, so stellt man fest, dass sie sehr ähnlich sind, wenn man den Term $J_n(\kappa r)$ der Hankel-Transformation durch $e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}$ der Fourier-Transformation ersetzt. Diese beide Funktionen sind orthogonal, und bei orthogonalen Matrizen genügt bekanntlich die Transponierung, um sie zu invertieren. Da das Skalarprodukt der Bessel-Funktionen jedoch nicht dasselbe ist wie das der Exponentialfunktionen, muss man durch $\kappa\; d\kappa$ statt nur durch $d\kappa$ integrieren, um die Umkehrfunktion zu erhalten.
 
-\begin{align*}
-	e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \; d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) \; d\phi  \\
-	&= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} \; d\phi,
-\end{align*}
-was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$,
-
-\begin{align*}
-	&= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} \; d\alpha \\
-	&= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa,
-\end{align*}
-
-von \eqref{equation:bessel_n_ordnung} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert:
+Von \eqref{equation:hankel} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert:
 \begin{align}
 	\mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa.
 	\label{equation:inv_hankel}
 \end{align}
 
-Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird.
-\eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden.
-Alternativ kann auch die berühmte Hankel-Transformationsformel verwendet werden, 
+Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig einfach $\tilde{f}(\kappa)$ für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird.
+Die Integrale \eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} existieren für bestimmte grosse Klassen von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen vorkommen.
+
+Alternativ dazu kann die berühmte Hankel-Integralformel 
 
 \begin{align*}
 	f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \; d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) \; dp,
 	\label{equation:hankel_integral_formula}
 \end{align*}
-um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren.
+verwendet werden, um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Umkehrung \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren.
+
 Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden.
 
-\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel-Transformation\label{sub:op_properties_hankel}}
+\subsection{Operatoreigenschaften der Hankel-Transformation \label{sub:op_properties_hankel}}
 In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert.
 
 \begin{satz}{Skalierung:}
@@ -88,7 +79,7 @@ In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation
 	\end{equation*}
 \end{satz}
 
-\begin{satz}{Persevalsche Relation (Skalarprodukt bleibt erhalten):}
+\begin{satz}{Parsevalsche Relation:}
 Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann:
 
 \begin{equation*}
@@ -103,7 +94,7 @@ Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann:
 	&\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\
 	&\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa),
 \end{align*}
-bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty$.
+vorausgesetzt dass $[rf(r)]$ verschwindet wenn $r\to0$ und $r\to\infty$.
 \end{satz}
 
 \begin{satz}
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
index 7d5648a..276f911 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
@@ -40,7 +40,7 @@ bekommt man:
 	\tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{f}(\kappa), \quad 
 	\tilde{u}_t(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa).
 \end{equation*}
-Die allgemeine Lösung für diese Transformation lautet, wie in Gleighung \eqref{eq:cos_sin_überlagerung} gesehen, wie folgt
+Die allgemeine Lösung für diese Gleichung lautet, wie in Abschnitt \eqref{eq:cos_sin_überlagerung} gesehen, wie folgt
 
 \begin{equation*}
 	\tilde{u}(\kappa,t)=\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) + \frac{1}{c\kappa}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t).
@@ -60,7 +60,7 @@ Es wird in Folgenden davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Z
 \end{equation*}
 so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und
 \begin{equation*}
-	\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}
+	\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}.
 \end{equation*}
 Die formale Lösung  \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
 \begin{align*}
@@ -68,7 +68,7 @@ Die formale Lösung  \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
 	&=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}
 \end{align*}
 
-Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung mit Summationen, 
+Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung durch Überlagerung, 
 
 \begin{align}
 	u(r, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} J_0 (k_{m}r)[a_{m}\cos(c \kappa_{m} t)+b_{m}\sin(c \kappa_{m} t)]
@@ -78,7 +78,8 @@ kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen.
 
 \subsection{Vergleich der Analytischen Lösungen
 \label{kreismembran:vergleich}}
-Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, und in einer unendlichen Membran gibt es keine. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist.
+Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. 
+Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, welche unter der Annahme einer rotationssymmetrischen Lösung nicht vorhanden sein können. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist.
 Die Funktion hängt also nicht mehr von der Besselfunktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der $0$-ter Ordnung. 
 
 
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index c124354..74bb87d 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -5,12 +5,191 @@
 %
 \section{Lösungsmethode 3: Simulation 
 	\label{kreismembran:section:teil4}}
-\paragraph{TODO Einleitung}
 
 Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden.
-Die Membran wird hier in Form der Matrix $  A $ digitalisiert.
-Jedes Element  $ A_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
-Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  X[] $ aus $ v \times A $ Matrizen dargestellt.
-Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ X[] $ also $ X[w]_{ij} $ entspricht der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+Die Membran wird hier in Form der Matrix $  U $ digitalisiert.
+Jedes Element  $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
+Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ entspricht somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran.
+Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht.
+Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+Da die DGL von Zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. 
+Es wird neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit jedes Membran-Elementes benötigt um den Zustand eindeutig zu beschreiben. 
+Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elementen repräsentiert. 
+$ V[w]_{ij} $ entspricht also $ \dot{u}(i,j,w) $. 
+Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was $ U[w] $ und $ V[w] $ beinhaltet.
+
+\subsection{Propagation}
+Um das Verhalten der Membran zu berechnen, muss aus einem gegebenen Zustand $ X[w] $ der Folgezustand $ X[w+1] $ gerechnet werden können, wobei dazwischen ein Zeitintervall $ dt $ vergeht. 
+Die Berechnung von Folgezuständen kann anschliessend repetiert werden über das zu untersuchende Zeitfenster.
+Die Folgeposition $ U[w+1] $ ergibt sich als 
+\begin{equation}
+	U[w+1] =  U[w] + dt \cdot V[w],
+\end{equation} 
+also die Ausgangslage $ + $ die Strecke welche während des Zeitintervall mit der Geschwindigkeit des Elementes zurückgelegt wurde. 
+Neben der Position muss auch die Geschwindigkeit aktualisiert werden.
+Analog zur Folgeposition wird
+\begin{equation*}
+	V[w+1] = V[w] + dt \cdot \frac{\partial^2u}{\partial t^2}.
+\end{equation*}    
+Die Beschleunigung $ \frac{\partial^2u}{\partial t^2} $  eines Elementes ist durch die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} gegeben als
+\begin{equation*}
+	\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u \cdot c^2.
+\end{equation*}
+Die Geschwindigkeit des Folgezustandes kann somit mit
+\begin{equation}
+	V[w+1] = V[w] + dt \cdot \Delta_h U \cdot c^2
+\end{equation}
+berechnet werden.
+Während $ c^2 $ lediglich eine Material spezifische Konstante ist, muss noch erläutert werden, wie der diskrete Laplace-Operator für $ \Delta_h u $ definiert ist.
+
+\subsection{Diskreter Laplace-Operator $\Delta_h$}
+Die diskrete Ableitung zweiter Ordnung kann mit Hilfe der Taylor-Reihen-Entwicklung als
+\begin{equation*}
+	\frac{\partial^2f}{\partial x^2} \approx \frac{f(x+dx)-2f(x)+f(x-dx)}{dx^2}
+\end{equation*}
+approximiert werden \cite{kreismembran:Digital_Image_processing}.
+Dank der Linearität der Ableitung kann die Ableitung einer weiteren Dimension addiert werden.
+Daraus folgt für den zweidimensionalen Fall 
+\begin{equation*}
+	\Delta_h u= \frac{u(x+dh,y,t)+u(x,y+dh,t)-4f(x)+u(x-dh,y,t)+u(x,y-dh,t)}{dh^2}.
+\end{equation*}
+Um $ \Delta_h $ auf eine Matrix anwenden zu können wird die Gleichung in Form einer Filtermaske 
+ \begin{equation}
+ 	\Delta_h u= \frac{1}{dh^2}
+ 	\left[ {\begin{array}{ccc}
+ 			0 & 1  & 0\\
+ 			1 & -4 & 1\\
+ 			0 & 1  & 0\\
+ 	\end{array} } \right]
+ \end{equation}
+formuliert.
+Die Filtermaske kann dann auf jedes Element einzeln angewendet werden mit einer Matrizen-Faltung um $ \Delta_h U[] $ zu berechnen.
+
+\subsection{Simulation: Kreisförmige Membran}
+Als Beispiel soll nun eine schwingende kreisförmige Membran simuliert werden.
+\paragraph{Initialisierung}
+Die Anzahl der simulierten Elementen soll $ m \times n $ was dementsprechend die Dimensionen von $ U $ und $ V $ vorgibt.
+Als Anfangsbedingung wird eine Membran gewählt, welche bei $ t=0 $ mit einer Gauss-Kurve ausgelenkt wird.
+Die Membran soll sich zu Beginn nicht bewegen, also wird $ V[0] $ mit Nullen initialisiert.
+Die Auslenkung kann kompakt erreicht werden, wenn $ U[0] $ als Null-Matrix mit einer $ 1 $ in der Mitte initialisiert wird. 
+Diese Matrix wird anschliessend mit einer Filtermaske in Form einer Gauss-Glocke gefaltet.
+Die Faltung mit einer Gauss-Glocke ist in Programmen wie Matlab eine Standartfunktion, da dies einm Tiefpassfilter in der Bildverarbeitung entspricht.
+
+\paragraph{Rand}
+Bislang ist die definierte Matrix rechteckig.
+Um eine kreisförmige Membran zu simulieren muss der Rand angepasst werden.
+Da in den meisten Programme keine Möglichkeit besteht, mit runden Matrizen zu rechnen, wird der Rand in der Berechnung des Folgezustandes implementiert.
+Der Rand bedeutet, das Membran-Elemente auf dem Rand sich nicht Bewegen können.
+Die Position sowie die Geschwindigkeit aller Elemente welche nicht auf der definierten Membran sind müssen zu beliebiger Zeit $0$ entsprechen.
+Hierzu wird eine Maske $M$ erstellt. 
+Diese Maske besteht aus einer binären Matrix von identischer Dimension wie $ U $ und $ V $. 
+Ist in der Matrix $M$ eine $1$ abgebildet so ist an jener stelle ein Element der Membran, ist es eine $0$ so befindet sich dieses Element auf dem Rand oder ausserhalb der Membran.
+In dieser Anwendung ist $M$ eine Matrix mit einem Kreis voller $1$ umgeben von $0$ bis an den Rand der Matrix.
+Die Maske wird angewendet indem das Resultat des nächsten Zustandes noch mit der Maske elementweise multipliziert wird. 
+Der Folgezustand kann also mit den Gleichungen
+\begin{align}
+	\label{kreismembran:eq:folge_U} 
+	U[w+1] &= (U[w] + dt \cdot V[w])*M\\
+	\label{kreismembran:eq:folge_V}
+	V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)*M
+\end{align}
+berechnet werden.
+\paragraph{Simulation}
+Mit den gegebenen Gleichungen \ref{kreismembran:eq:folge_U} und \ref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden. 
+In der Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_rund} sind Simulationsresultate zu sehen.
+Die Erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten.
+Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet.
+Erreicht die Störung den Rand wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentrum. 
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_1.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_2.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_3.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_4.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_5.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_1_6.png}
+		\caption{Simulations Resultate einer kreisförmigen Membran. Simuliert mit $ 200 \times 200 $ Elementen, dargestellt sind die Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ Iterationsschritten.}
+		\label{kreismembran:im:simres_rund}
+		
+	\end{center}	
+\end{figure} 
+\subsection{Simulation: Unendliche Membran}
+
+Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren könnte der unpraktische weg gewählt werden die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen.
+Etwas geeigneter ist es die Matrix so gross wie möglich zu definieren wie es die Kapazitäten erlauben.
+Wenn anschliessend nur das Verhalten im Zentrum, bei der Störung beobachtet wird, verhaltet sich die Membran wie eine unendliche. 
+Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das innere zu beobachtende Zentrum beeinflusst.
+Soll erst gar keine Reflexion entstehen, muss ein Absorber modelliert werden welcher die Störung möglichst ohne Reflexion aufnimmt.
+
+\paragraph{Absorber}
+Sehr knapp formuliert entstehen Reflexionen, wenn eine Welle von einem Material in ein anderes Material mit unterschiedlichen Eigenschaften eindringen möchte.
+Je unterschiedlicher und abrupter der Übergang zwischen den Materialien umso ausgeprägter die Reflexion.
+In diesem Fall sind die Eigenschaften vorgegeben.
+Im Zentrum soll sich die Membran verhalten, wie von der DGL vorgegeben, am Rand jedoch muss sich jedes Membran-Element in der Ausgangslage befinden. 
+Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges.
+Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ ein binärer Übergang von Membran zu Rand bezweckt.
+Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt.
+Die Elemente werden auf Basis ihres Abstand $r$ zum Zentrum definiert. 
+Der Abstand entspricht 
+\begin{equation*}
+	r(i,j) = \sqrt{|i-\frac{m}{2}|^2+|j-\frac{n}{2}|^2},
+\end{equation*} 
+wobei $ m $ und $n$ den Dimensionen der Matrix entsprechen.
+Für einen Stufenlosen Übergang werden die Elemente der Maske auf 
+
+\begin{align}
+	M_{ij} = \begin{cases} 1-e^{(r(i,j)-b)a} & \text{wenn $x > b$} \\
+		0 & \text{sonst} \end{cases}
+\end{align}
+gesetzt.
+Der Parameter $a > 0$ bestimmt wie Steil der Übergang sein soll, $b$ bestimmt  wie weit weg vom Zentrum sich der Übergang befindet.
+In der Abbildung \ref{kreismembran:im:masks} ist der Unterschied der beiden Masken zu sehen. 
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		
+		\includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/kreismembran/images/mask_disk.png}
+		\includegraphics[width=0.45\textwidth]{papers/kreismembran/images/mask_absorber.png}
+		\caption{Vergleich von Masken: Links Binär für eine endliche Membran, rechts mit Absorber für eine unendliche Membran}
+		\label{kreismembran:im:masks}
+	\end{center}	
+\end{figure} 
+\paragraph{Simulation}
+Bis auf die Absorber-Maske kann nun identisch zur endlichen Membran simuliert werden.
+Auch hier wurde eine Gauss-Glocke als Anfangsbedingung gewählt. 
+Die Simulationsresultate von Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_unendlich}
+
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}
+		
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_1.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_2.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_3.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_4.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_5.png}
+		\includegraphics[width=0.32\textwidth]{papers/kreismembran/images/sim_2_6.png}
+		\caption{Simulations Resultate einer unendlichen Membran. Simuliert mit $ 200 \times 200 $ Elementen, dargestellt sind die Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ Iterationsschritten.}
+		\label{kreismembran:im:simres_unendlich}
+		
+	\end{center}	
+\end{figure}
+zeigen deutlich wie die Störung vom Zentrum weg verläuft.
+Nähert sich die Störung dem Rand, so wird sie immer stärker abgeschwächt.
+Die Wirkung des Absorber ist an der letzten Figur zu erkennen, in welcher kaum noch Auslenkungen zu sehen sind.
+Dieses Verhalten spricht für den Absorber-Ansatz, es soll jedoch erwähnt sein, dass der Übergangsbereich eine sanft ansteigende Dämpfung in das System bringt.
+Die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} welche simuliert wird geht jedoch von der Annahme \ref{kreimembran:annahmen} iv) aus, dass die Membran keine Art von Dämpfung erfährt.
+
+\section{Schlusswort}
+Auch wenn ein Physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen.
+Lösungen einer unendlich grosse Membran scheinen fern der Realität zu sein, doch dies darf es im Sinne der Mathematik.
+Und wer weis, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung. 
+
+
+
+
+
+
 
-\paragraph{title}
\ No newline at end of file