add new problem

2 files changed, 52 insertions, 0 deletions

diff --git a/buch/chapters/020-exponential/code/xxl.c b/buch/chapters/020-exponential/code/xxl.c
new file mode 100644
index 0000000..2c38ffe
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/020-exponential/code/xxl.c
@@ -0,0 +1,19 @@
+/*
+ * xxl.c -- find solution of x^x = 27
+ *
+ * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschue
+ */
+#include <stdio.h>
+#include <stdlib.h>
+#include <math.h>
+#include <gsl/gsl_sf_lambert.h>
+
+int	main(int argc, char *argv[]) {
+	double	b = 27;
+	double	w = gsl_sf_lambert_W0(log(b));
+	printf("W_0(log(27))  = %f\n", w);
+	double	x = exp(w);
+	printf("x             = %f\n", x);
+
+	return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex
new file mode 100644
index 0000000..c88bdde
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/020-exponential/uebungsaufgaben/1.tex
@@ -0,0 +1,33 @@
+Finde die Lösungen der Gleichung $x^x=27$ mit Hilfe der Lambert $W$-Funktion.
+
+\begin{loesung}
+Wegen der speziellen Form $27=3^3$ der rechten Seite kann man
+zwar die Lösung $x=3$ der Gleichung sofort erraten, für andere 
+Werte der rechten Seite wird es dagegen schwieriger, so dass man
+keine andere Wahl hat, als die folgende Umformung zu verwenden.
+
+Wir schreiben zunächst die Gleichung mit Hilfe der Exponentialfunktion als
+\[
+e^{x\log x} = 27
+\qquad\Rightarrow\qquad
+x\log x = \log 27
+\]
+und substituieren $t=\log x$, also $x=e^t$. 
+So entsteht die Gleichung
+\[
+te^t = \log 27.
+\]
+Auf der linken Seite steht ein Ausdruck, der mit der Lambert $W$-Funktion
+invertiert werden kann, es ist also
+\[
+t = W(\log 27)
+\qquad\Rightarrow\qquad
+x=e^{W(\log 27)}.
+\]
+Für $W(\log 27)$ findet man
+\[
+W(\log 27) = 1.098612
+\qquad\Rightarrow\qquad
+x=3.
+\]
+\end{loesung}