aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
authorErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-08-19 13:38:12 +0200
committerErik Löffler <erik.loeffler@ost.ch>2022-08-19 13:38:12 +0200
commitbdb5ede61b9ca70834dad6bac69ecdb3e637b95c (patch)
treeeae7e48ae2baedd456d77dae4f29d3b1156edec7
parentAdded some structure hints and subsections. (diff)
parentMerge branch 'sturmliouville/redabranch' (diff)
downloadSeminarSpezielleFunktionen-bdb5ede61b9ca70834dad6bac69ecdb3e637b95c.tar.gz
SeminarSpezielleFunktionen-bdb5ede61b9ca70834dad6bac69ecdb3e637b95c.zip
Merge remote-tracking branch 'origin/master' into sturmliouville/erik-branch
-rw-r--r--buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c60
-rw-r--r--buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c60
-rw-r--r--buch/papers/0f1/teil0.tex6
-rw-r--r--buch/papers/0f1/teil1.tex17
-rw-r--r--buch/papers/0f1/teil2.tex56
-rw-r--r--buch/papers/0f1/teil3.tex35
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/einleitung.tex91
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/elliptic.tex114
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/jacobi.tex137
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex272
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf847
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf1219
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py10
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py87
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/python/k.pgf90
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex70
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex59
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex66
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex44
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex86
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex76
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex75
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex32
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex73
-rw-r--r--buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex72
-rw-r--r--buch/papers/kreismembran/references.bib6
-rw-r--r--buch/papers/kreismembran/teil0.tex14
-rw-r--r--buch/papers/kreismembran/teil1.tex27
-rw-r--r--buch/papers/kreismembran/teil2.tex8
-rw-r--r--buch/papers/kreismembran/teil3.tex22
-rw-r--r--buch/papers/kreismembran/teil4.tex30
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdfbin187016 -> 149406 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdfbin151684 -> 148667 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py11
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg790
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.pngbin356399 -> 318960 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py10
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.ggbbin36225 -> 0 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.svg1
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggbbin21894 -> 0 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdfbin21894 -> 0 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pngbin48606 -> 0 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.svg1
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/teil0.tex10
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/teil1.tex60
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/teil4.tex45
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex87
-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex68
48 files changed, 2308 insertions, 2636 deletions
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
index d897b8f..3caaf43 100644
--- a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
@@ -1,53 +1,27 @@
/**
- * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)
- * @param b0 in 0F1(;b0;z)
- * @param z in 0F1(;b0;z)
- * @param n number of itertions (precision)
+ * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;c;z)
+ * @param c in 0F1(;c;z)
+ * @param z in 0F1(;c;z)
+ * @param k number of itertions (precision)
* @return Result
*/
-static double fractionRekursion0f1(const double c, const double z, unsigned int n)
+static double fractionIter0f1(const double c, const double z, unsigned int k)
{
//declaration
double a = 0.0;
double b = 0.0;
- double Ak = 0.0;
- double Bk = 0.0;
- double Ak_1 = 0.0;
- double Bk_1 = 0.0;
- double Ak_2 = 0.0;
- double Bk_2 = 0.0;
+ double abk = 0.0;
+ double temp = 0.0;
- for (unsigned int k = 0; k <= n; ++k)
+ for (; k > 0; --k)
{
- if (k == 0)
- {
- a = 1.0; //a0
- //recursion fomula for A0, B0
- Ak = a;
- Bk = 1.0;
- }
- else if (k == 1)
- {
- a = 1.0; //a1
- b = z/c; //b1
- //recursion fomula for A1, B1
- Ak = a * Ak_1 + b * 1.0;
- Bk = a * Bk_1;
- }
- else
- {
- a = 1 + (z / (k * ((k - 1) + c)));//ak
- b = -(z / (k * ((k - 1) + c))); //bk
- //recursion fomula for Ak, Bk
- Ak = a * Ak_1 + b * Ak_2;
- Bk = a * Bk_1 + b * Bk_2;
- }
- //save old values
- Ak_2 = Ak_1;
- Bk_2 = Bk_1;
- Ak_1 = Ak;
- Bk_1 = Bk;
+ abk = z / (k * ((k - 1) + c)); //abk = ak, bk
+
+ a = k > 1 ? (1 + abk) : 1; //a0, a1
+ b = k > 1 ? -abk : abk; //b1
+
+ temp = b / (a + temp); //bk / (ak + last result)
}
- //approximation fraction
- return Ak/Bk;
-}
+
+ return a + temp; //a0 + temp
+} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
index 3caaf43..d897b8f 100644
--- a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
@@ -1,27 +1,53 @@
/**
- * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;c;z)
- * @param c in 0F1(;c;z)
- * @param z in 0F1(;c;z)
- * @param k number of itertions (precision)
+ * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)
+ * @param b0 in 0F1(;b0;z)
+ * @param z in 0F1(;b0;z)
+ * @param n number of itertions (precision)
* @return Result
*/
-static double fractionIter0f1(const double c, const double z, unsigned int k)
+static double fractionRekursion0f1(const double c, const double z, unsigned int n)
{
//declaration
double a = 0.0;
double b = 0.0;
- double abk = 0.0;
- double temp = 0.0;
+ double Ak = 0.0;
+ double Bk = 0.0;
+ double Ak_1 = 0.0;
+ double Bk_1 = 0.0;
+ double Ak_2 = 0.0;
+ double Bk_2 = 0.0;
- for (; k > 0; --k)
+ for (unsigned int k = 0; k <= n; ++k)
{
- abk = z / (k * ((k - 1) + c)); //abk = ak, bk
-
- a = k > 1 ? (1 + abk) : 1; //a0, a1
- b = k > 1 ? -abk : abk; //b1
-
- temp = b / (a + temp); //bk / (ak + last result)
+ if (k == 0)
+ {
+ a = 1.0; //a0
+ //recursion fomula for A0, B0
+ Ak = a;
+ Bk = 1.0;
+ }
+ else if (k == 1)
+ {
+ a = 1.0; //a1
+ b = z/c; //b1
+ //recursion fomula for A1, B1
+ Ak = a * Ak_1 + b * 1.0;
+ Bk = a * Bk_1;
+ }
+ else
+ {
+ a = 1 + (z / (k * ((k - 1) + c)));//ak
+ b = -(z / (k * ((k - 1) + c))); //bk
+ //recursion fomula for Ak, Bk
+ Ak = a * Ak_1 + b * Ak_2;
+ Bk = a * Bk_1 + b * Bk_2;
+ }
+ //save old values
+ Ak_2 = Ak_1;
+ Bk_2 = Bk_1;
+ Ak_1 = Ak;
+ Bk_1 = Bk;
}
-
- return a + temp; //a0 + temp
-} \ No newline at end of file
+ //approximation fraction
+ return Ak/Bk;
+}
diff --git a/buch/papers/0f1/teil0.tex b/buch/papers/0f1/teil0.tex
index adccac7..9aca368 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil0.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil0.tex
@@ -5,11 +5,11 @@
%
\section{Ausgangslage\label{0f1:section:ausgangslage}}
\rhead{Ausgangslage}
-Die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ wird in vielen Funktionen als Basisfunktion benutzt,
+Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ wird in vielen Funktionen als Basisfunktion benutzt,
zum Beispiel um die Airy Funktion zu berechnen.
In der GNU Scientific Library \cite{0f1:library-gsl}
ist die Funktion $\mathstrut_0F_1$ vorhanden.
-Allerdings wirft die Funktion, bei negativen Übergabenwerten wie zum Beispiel \verb+gsl_sf_hyperg_0F1(1, -1)+, eine Exception.
+Allerdings wirft die Funktion bei negativen Übergabenwerten wie zum Beispiel \verb+gsl_sf_hyperg_0F1(1, -1)+ eine Exception.
Bei genauerer Untersuchung hat sich gezeigt, dass die Funktion je nach Betriebssystem funktioniert oder eben nicht.
So kann die Funktion unter Windows fehlerfrei aufgerufen werden, beim Mac OS und Linux sind negative Übergabeparameter im Moment nicht möglich.
-Ziel dieser Arbeit war es zu evaluieren, ob es mit einfachen mathematischen Operationen möglich ist, die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ zu implementieren.
+Ziel dieser Arbeit war es zu evaluieren, ob es mit einfachen mathematischen Operationen möglich ist, die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ zu implementieren.
diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex
index f697f45..c0f857d 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -6,12 +6,12 @@
\section{Mathematischer Hintergrund
\label{0f1:section:mathHintergrund}}
\rhead{Mathematischer Hintergrund}
-Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Abschnittes \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
+Basierend auf den Herleitungen des Abschnittes \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
beschrieben.
\subsection{Hypergeometrische Funktion
\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
-Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Anwendung der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist ein Speziallfall der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
\begin{definition}
\label{0f1:math:qFp:def}
@@ -42,7 +42,8 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$
\mathstrut_0F_1
\biggl(
\begin{matrix}
- \\-
+ \text{---}
+ \\\
b_1
\end{matrix}
;
@@ -60,7 +61,7 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$
\subsection{Airy Funktion
\label{0f1:subsection:airy}}
-Die Funktion Ai(x) und die verwandte Funktion Bi(x) werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung \cite{0f1:wiki-airyFunktion}.
+Die Funktion $\operatorname{Ai}(x)$ und die verwandte Funktion $\operatorname{Bi}(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung \cite{0f1:wiki-airyFunktion}.
\begin{definition}
\label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
@@ -70,11 +71,11 @@ Die Funktion Ai(x) und die verwandte Funktion Bi(x) werden als Airy-Funktion bez
\end{definition}
Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen.
-Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Abschnitt \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$, sowie $Bi(0)=0$ und $Bi'(0)=0$.
+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Abschnitt \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $\operatorname{Ai}(0)=1$ und $\operatorname{Ai}'(0)=0$, sowie $\operatorname{Bi}(0)=0$ und $\operatorname{Bi}'(0)=1$.
\begin{align}
\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
-Ai(x)
+\operatorname{Ai}(x)
=&
\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
@@ -83,7 +84,7 @@ Ai(x)
\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
\biggr).
\\
-Bi(x)
+\operatorname{Bi}(x)
=&
\sum_{k=0}^\infty
\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
@@ -95,7 +96,7 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
\qedhere
\end{align}
-Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in diesem speziellem Fall die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
+Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in dieser Arbeit die Airy Funktion $\operatorname{Ai}(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
benutzt.
diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index 15a1c44..ef9f55e 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -6,12 +6,12 @@
\section{Umsetzung
\label{0f1:section:teil2}}
\rhead{Umsetzung}
-Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt \cite{0f1:code}. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.
+Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt, die in vollständiger Form auf Github \cite{0f1:code} zu finden sind. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.
Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Library in Python die Resultate geplottet.
\subsection{Potenzreihe
\label{0f1:subsection:potenzreihe}}
-Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:potenzreihe}, dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt und so der Bruch gegen Null strebt. Spätesten ab $k=167$ stösst diese Umsetzung \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq} an ihre Grenzen, da die Fakultät von $168$ eine Bereichsüberschreitung des \textit{double} Bereiches darstellt \cite{0f1:double}.
+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq}.
\begin{align}
\label{0f1:umsetzung:0f1:eq}
@@ -30,33 +30,57 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings is
\subsection{Kettenbruch
\label{0f1:subsection:kettenbruch}}
-Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form
+Eine weitere Variante zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ ist die Umsetzung als Kettenbruch.
+Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe, ist die schnellere Konvergenz.
+
+Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form
\begin{equation*}
a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}
\end{equation*}
in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.
-Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist
+
+Nimmt man nun folgenden Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:
\begin{equation*}
- a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots
+ f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},
\end{equation*}
-\cite{0f1:wiki-kettenbruch}.
-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies \cite{0f1:wiki-fraction}:
+wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant.
+Ergibt sich folgender Zusammenhang:
\begin{equation*}
+ \cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}
+\end{equation*}
+
+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:
+\begin{equation}
+ \label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq}
\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots
+\end{equation}
+Durch Substitution kann bewiesen werden, dass die nachfolgende Formel eine Relation zur obigen Potenzreihe \eqref{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq} ist:
+\begin{equation*}
+ \mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z).
\end{equation*}
-Umgeformt ergibt sich folgender Kettenbruch
+Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft:
+\begin{align*}
+ f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+1;z)\\
+ k_i =& \frac{1}{(c+1)(c+i-1)}
+\end{align*}
+erhält man:
+\begin{equation*}
+ \cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.
+\end{equation*}
+
+Mit weiteren Relationen ergibt sich nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch
\begin{equation}
\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},
\end{equation}
-der als Code (siehe: Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) umgesetzt wurde.
-\cite{0f1:wolfram-0f1}
+der als Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) umgesetzt wurde.
+
\lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}
\subsection{Rekursionsformel
\label{0f1:subsection:rekursionsformel}}
-Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche}
+Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche \cite{0f1:kettenbrueche} zu finden.
\subsubsection{Herleitung}
Ein Näherungsbruch in der Form
@@ -116,7 +140,7 @@ an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:
\begin{pmatrix}
b_k\\
a_k
- \end{pmatrix}
+ \end{pmatrix}.
\end{align*}
Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix
\begin{equation}
@@ -135,7 +159,7 @@ Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix
a_k
\end{pmatrix}.
\end{equation}
-Und Schlussendlich kann der Näherungsbruch
+Und schlussendlich kann der Näherungsbruch
\[
\frac{A_k}{B_k}
\]
@@ -143,7 +167,7 @@ berechnet werden.
\subsubsection{Lösung}
-Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise aufschreiben: \cite{0f1:wiki-fraction}
+Die Berechnung von $A_k, B_k$ gemäss \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben:
\begin{itemize}
\item Startbedingungen:
\begin{align*}
@@ -162,10 +186,10 @@ B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k
\end{aligned}
\]
\item
-Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$
+Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$.
\end{itemize}
-Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung als Rekursionsformel ist \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion}, dass im Vergleich zum Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.
+Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung als Rekursionsformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.
%Code
\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion}, firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 72b1b21..b283b07 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -7,58 +7,55 @@
\label{0f1:section:teil3}}
\rhead{Resultate}
Im Verlauf dieser Arbeit hat sich gezeigt,
-das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.
+das einen einfachen mathematischen Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.
So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen $z$ in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$.
-Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten ab \cite{0f1:wolfram-0f1}.
+Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten \cite{0f1:wolfram-0f1} ab.
\subsection{Konvergenz
\label{0f1:subsection:konvergenz}}
-Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von -2 bis 2 liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $Ai(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
+Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.
-Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen, bezüglich Konvergenz überlegen.
-Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach einschwingt \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner
-\ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}.
-Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel zurück zu führen\eqref{0f1:math:loesung:eq}. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
+Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen.
+Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von $k$ bis zum Abbruch kleiner.
+Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.
-Ist $z$ negativ wie im Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab.
-Die ansteigende Differenz mit anschliessender, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.
+Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme genügend klein, so dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen.
+Auch hier konvergiert der Kettenbruch am schnellsten von allen Algorithmen. Ebenso bricht die Rekursionsformel nahezu gleichzeitig mit der Potenzreihe ab.
\subsection{Stabilität
\label{0f1:subsection:Stabilitaet}}
-Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
-
-Wohingegen die Potenzreihe \eqref{0f1:listing:potenzreihe} das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
-Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
-
-Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von z, was zum Phänomen der Auslöschung führt \cite{0f1:SeminarNumerik}. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.
+Verändert sich der Wert von $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.
+Wohingegen die Potenzreihe (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}) das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät im Nenner. Dies führt zu einer Bereichsüberschreitung des \verb+double+ Bereiches \cite{0f1:double}, der spätesten ab $k=167$ eintritt. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.
+Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Konvergenz zu gewährleisten, muss wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.
+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von $z$, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl die Potenzreihe, der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da alle Algorithmen auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Diese programmiertechnischen Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} und \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ} festzustellen.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf}
- \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$.
+ \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $\operatorname{Ai}(0)=1$ und $\operatorname{Ai}'(0)=0$.
\label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}
- \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+ \caption{Konvergenz mit positivem z; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
\label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}
- \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
+ \caption{Konvergenz mit negativem z; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
\label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf}
- \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $Ai(x)$.
+ \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $\operatorname{Ai}(x)$.
\label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}}
\end{figure}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
index 37fd89f..ae7127f 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
@@ -1,56 +1,73 @@
\section{Einleitung}
-% Lineare filter
-
-% Filter, Signalverarbeitung
-
-
-Der womöglich wichtigste Filtertyp ist das Tiefpassfilter.
-Dieses soll im Durchlassbereich unter der Grenzfrequenz $\Omega_p$ unverstärkt durchlassen und alle anderen Frequenzen vollständig auslöschen.
-
-% Bei der Implementierung von Filtern
-
-In der Elektrotechnik führen Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}).
-Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich $|H(\Omega)|$ eines solchen Systems ist dabei immer eine rationale Funktion, also eine Division von zwei Polynomen.
-Die Polynome habe dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen.
-
-
-\begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega}
- | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}
+Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elementen in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik.
+Besonders hilfreich ist die Untergruppe der linearen Filter.
+Elektronische Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen führen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}).
+Durch die Linearität werden beim das Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern. %TODO review sentence
+Diese Eigenschaft macht es Sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben.
+Die Übertragungsfunktion eines linearen Filters im Frequenzbereich $H(\Omega)$ ist dabei immer eine rationale Funktion, also ein Quotient von zwei Polynomen.
+Dabei ist $\Omega = 2 \pi f$ die Frequenzeinheit.
+Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen.
+
+Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt alle Frequenzen eines Signals oberhalb der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen.
+Der Rest soll dabei unverändert passieren.
+Aus dem Tiefpassifilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden.
+Ein solches Filter hat idealerweise die Frequenzantwort
+\begin{equation}
+ H(\Omega) =
+ \begin{cases}
+ 1 & \Omega < \Omega_p \\
+ 0 & \Omega < \Omega_p
+ \end{cases},
\end{equation}
-
-$\Omega = 2 \pi f$ ist die analoge Frequenz
-
-
-% Linear filter
-Damit das Filter implementierbar und stabil ist, muss $H(\Omega)^2$ eine rationale Funktion sein, deren Nullstellen und Pole auf der linken Halbebene liegen.
-
-$N \in \mathbb{N} $ gibt dabei die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.
-
-Damit ein Filter die Passband Kondition erfüllt muss $|F_N(w)| \leq 1 \forall |w| \leq 1$ und für $|w| \geq 1$ sollte die Funktion möglichst schnell divergieren.
-Eine einfaches Polynom, dass das erfüllt, erhalten wir wenn $F_N(w) = w^N$.
+wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:lp}
+\begin{figure}
+ \centering
+ \input{papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex}
+ \caption{Frequenzantwort eines Tiefpassfilters.}
+ \label{ellfilter:fig:lp}
+\end{figure}
+Leider ist eine solche Funktion nicht als rationale Funktion darstellbar.
+Aus diesem Grund sind realisierbare Approximationen gesucht.
+Jede Approximation wird einen kontinuierlichen Übergang zwischen Durchlassbereich und Sperrbereich aufweisen.
+Oft wird dabei der Faktor $1/\sqrt{2}$ als Schwelle zwischen den beiden Bereichen gewählt.
+Somit lassen sich lineare Tiefpassfilter mit folgender Funktion zusammenfassen:
+\begin{equation}
+ | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p},
+\end{equation}
+wobei $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, $|F_N(w)| \leq 1 ~\forall~ |w| \leq 1$ erfüllt und für $|w| \geq 1$ möglichst schnell divergiert.
+Des weiteren müssen alle Nullstellen und Pole von $F_N$ auf der linken Halbebene liegen, damit das Filter implementierbar und stabil ist.
+$w$ ist die normalisierte Frequenz, die es erlaubt ein Filter unabhängig von der Grenzfrequenz zu beschrieben.
+Bei $w=1$ hat das Filter eine Dämpfung von $1/(1+\varepsilon^2)$.
+$N \in \mathbb{N} $ gibt die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.
+Je hoher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in denn Sperrbereich.
+Grössere $N$ sind erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung.
+Eine einfache Funktion, die für $F_N$ eingesetzt werden kann, ist das Polynom $w^N$.
Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pgf}
- \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.}
+ \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne und gelbe Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.}
\label{ellfilter:fig:butterworth}
\end{figure}
-
-wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof?
-
+Eine Reihe von rationalen Funktionen können für $F_N$ eingesetzt werden, um Tiefpassfilter\-approximationen mit unterschiedlichen Eigenschaften zu erhalten:
\begin{align}
F_N(w) & =
\begin{cases}
w^N & \text{Butterworth} \\
T_N(w) & \text{Tschebyscheff, Typ 1} \\
[k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2} \\
- R_N(w, \xi) & \text{Elliptisch (Cauer)} \\
+ R_N(w, \xi) & \text{Elliptisch} \\
\end{cases}
\end{align}
-
-Mit der Ausnahme vom Butterworth filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt.
-Alle diese Filter sind optimal für unterschiedliche Anwendungsgebiete.
+Mit der Ausnahme vom Butterworth-Filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt.
+Alle diese Filter sind optimal hinsichtlich einer Eigenschaft.
Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich.
-Das Tschebyscheff-1 Filter sind maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
+Das Tschebyscheff-1 Filter ist maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter.
+
+Dieses Paper betrachtet die Theorie hinter dem elliptischen Filter, dem wohl exotischsten dieser Auswahl.
+Es weist sich aus durch den steilsten Übergangsbereich für eine gegebene Filterdesignspezifikation.
+Des weiteren kann es als Verallgemeinerung des Tschebyscheff-Filters angesehen werden.
+
+% wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof?
diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
index 88bfbfe..67bcca0 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
@@ -1,92 +1,100 @@
\section{Elliptische rationale Funktionen}
-Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen
+Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis}
\begin{align}
- R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \\
- &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1)\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
+ R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\
+ &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
&= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k)
\end{align}
-
-
-sieht ähnlich aus wie die trigonometrische Darstellung der Tschebyschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
+Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tsche\-byschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf.
Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz.
Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for.
-Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Module $k$ und $k_1$ gebraucht.
-
-
-
-Sinus entspricht $\sn$
-
-Damit die Nullstellen an ähnlichen Positionen zu liegen kommen wie bei den Tschebyscheff-Polynomen, muss die $\cd$-Funktion gewählt werden.
+Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht.
+Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome.
+Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{buch:elliptisch:fig:ellall} können für alle inversen Jacobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden.
Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktion, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd}.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex}
\caption{
- $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$.
+ $z$-Ebene der Funktion $z = \cd^{-1}(w, k)$.
Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
}
\label{ellfilter:fig:cd}
\end{figure}
-Auffallend ist, dass sich alle Nullstellen und Polstellen um $K$ verschoben haben.
-
-Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{ellfilter:fig:fundamental_rectangle} können für alle inversen Jaccobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden.
-Der erste Buchstabe bestimmt die Position der Nullstelle und der zweite Buchstabe die Polstelle.
+Auffallend an der $w = \cd(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen.
+Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann.
\begin{figure}
\centering
- \input{papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex}
+ \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
\caption{
- Fundamentales Rechteck der inversen Jaccobi elliptischen Funktionen.
+ $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen.
+ Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
+ Als Vereinfachung ist die Funktion nur für $w>0$ dargestellt.
}
- \label{ellfilter:fig:fundamental_rectangle}
+ \label{ellfilter:fig:cd2}
\end{figure}
-
-Auffallend an der $w = \sn(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen.
-Die Funktion hat also Equirippel-Verhalten um $w=0$ und um $w=\pm \infty$.
-Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Sti der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
-
-
-
-Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} können wir auch bei den elliptisch rationalen Funktionen die komplexe $z$-Ebene betrachten, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, um die besser zu verstehen.
+Das elliptische Filter hat im Gegensatz zum Tschebyscheff-Filter drei Zonen.
+Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchlaufen.
+Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole durchlaufen werden.
+Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden.
+% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
+Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend.
+Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde.
+Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters.
\begin{figure}
\centering
- \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
- \caption{
- $z_1$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen.
- Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen passiert.
- }
- \label{ellfilter:fig:cd2}
+ \input{papers/ellfilter/python/elliptic.pgf}
+ \caption{$F_N$ und die resultierende Frequenzantwort eines elliptischen Filters.}
+ \label{ellfilter:fig:elliptic_freq}
\end{figure}
-% Da die $\cd^{-1}$-Funktion
-
+\subsection{Gradgleichung}
+Damit die Pol- und Nullstellen genau in dieser Konstellation durchfahren werden, müssen die elliptischen Moduli des inneren und äusseren $\cd$ aufeinander abgestimmt werden.
+In der reellen Richtung müssen sich die Periodizitäten $K$ und $K_1$ um den Faktor $N$ unterscheiden, während die imagiäre Periodizitäten $K^\prime$ und $K^\prime_1$ gleich bleiben müssen.
+Zur Erinnerung, $K$ und $K^\prime$ sind durch elliptische Integrale definiert und vom Modul $k$ abhängig wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:kprime}.
\begin{figure}
\centering
- \input{papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf}
- \caption{$F_N$ für ein elliptischs filter.}
- \label{ellfilter:fig:elliptic}
+ \input{papers/ellfilter/python/k.pgf}
+ \caption{Die Periodizitäten in realer und imaginärer Richtung in Abhängigkeit vom elliptischen Modul $k$.}
+ \label{ellfilter:fig:kprime}
\end{figure}
-
-\subsection{Degree Equation}
-
-Der $\cd^{-1}$ Term muss so verzogen werden, dass die umgebene $\cd$-Funktion die Nullstellen und Pole trifft.
-Dies trifft ein wenn die Degree Equation erfüllt ist.
-
+$K$ und $K^\prime$ sind durch die Ortskurve $K + jK^\prime$ aneinander gebunden und benötigen den Zusatzfaktor $K_1/K$ in \eqref{ellfilter:eq:elliptic}, um die genanten Forderungen einzuhalten.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:degree_eq} zeigt das Problem geometrisch auf, wobei zwei Punkte $K+jK^\prime$ und $K_1+jK_1^\prime$ auf der Ortskurve gesucht sind.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz}
+ \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem ($N=3$).}
+ \label{ellfilter:fig:degree_eq}
+\end{figure}
+Algebraisch kann so die Gradgleichung
\begin{equation}
N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
\end{equation}
+aufgestellt werden, dessen Lösung ist gegeben durch
+\begin{equation} %TODO check
+k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg),
+\quad \text{wobei} \quad
+N = 2L+r.
+\end{equation}
+Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
+% \begin{figure}
+% \centering
+% \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz}
+% \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem.}
+% \end{figure}
-Leider ist das lösen dieser Gleichung nicht trivial.
-Die Rechnung wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
-
-
-\subsection{Polynome?}
+\subsection{Schlussfolgerung}
+Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden.
Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann.
-Im gegensatz zum $\cos^{-1}$ hat der $\cd^{-1}$ nicht nur Nullstellen sondern auch Pole.
+Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole.
Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen.
-Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar.
+% Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar.
+
+
diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
index 6a208fa..567bbcc 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
@@ -1,17 +1,17 @@
\section{Jacobische elliptische Funktionen}
-%TODO $z$ or $u$ for parameter?
-
-Für das elliptische Filter wird statt der, für das Tschebyscheff-Filter benutzen Kreis-Trigonometrie die elliptischen Funktionen gebraucht.
+Für das elliptische Filter werden, wie es der Name bereits deutet, elliptische Funktionen gebraucht.
+Wie die trigonometrischen Funktionen Zusammenhänge eines Kreises darlegen, beschreiben die elliptischen Funktionen Ellipsen.
+Es ist daher naheliegend, dass Kosinus des Tschebyscheff-Filters mit einem elliptischen Pendant ausgetauscht werden könnte.
Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht.
+Die Jacobi elliptischen Funktionen werden ausführlich im Kapitel \ref{buch:elliptisch:section:jacobi} behandelt.
Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen.
Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$.
Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter.
-Zum einen gibt es den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert.
-Zum andern das Winkelargument $z$.
+Den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert und das Winkelargument $z$.
Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das.
-Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft.
+Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbogenlänge nicht linear zum Winkel verläuft.
Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden.
Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art
\begin{equation}
@@ -27,17 +27,8 @@ Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art
1-k^2 \sin^2 \theta
}
}
- =
- \int_{0}^{\phi}
- \frac{
- dt
- }{
- \sqrt{
- (1-t^2)(1-k^2 t^2)
- }
- } %TODO which is right? are both functions from phi?
\end{equation}
-mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung liegt.
+mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung gebracht werden.
Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden.
Beim vollständigen Integral
@@ -53,9 +44,9 @@ Beim vollständigen Integral
}
}
\end{equation}
-wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung.
+wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert, also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung.
Die Zahl wird oft auch abgekürzt mit $K = K(k)$ und ist für das elliptische Filter sehr relevant.
-Alle elliptishen Funktionen sind somit $4K$-periodisch.
+Alle elliptischen Funktionen sind somit $4K$-periodisch.
Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere basis-elliptische Funktionen $\cn$ und $\dn$.
Dazu kommen noch weitere abgeleitete Funktionen, die durch Quotienten und Kehrwerte dieser Funktionen zustande kommen.
@@ -93,37 +84,40 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral
=
\sn(z, k)
=
- w
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
- \phi
- =
- F^{-1}(z, k)
- =
- \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big)
- =
- \sin^{-1} ( w )
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
- F(\phi, k)
- =
- z
- =
- F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k)
- =
- F( \sin^{-1} ( w ), k)
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
- \sn^{-1}(w, k)
- =
- F(\phi, k),
- \quad
- \phi = \sin^{-1}(w)
+ w.
\end{equation}
+% \begin{equation} %TODO remove unnecessary equations
+% \phi
+% =
+% F^{-1}(z, k)
+% =
+% \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big)
+% =
+% \sin^{-1} ( w )
+% \end{equation}
+
+% \begin{equation}
+% F(\phi, k)
+% =
+% z
+% =
+% F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k)
+% =
+% F( \sin^{-1} ( w ), k)
+% \end{equation}
+
+% \begin{equation}
+% \sn^{-1}(w, k)
+% =
+% F(\phi, k),
+% \quad
+% \phi = \sin^{-1}(w)
+% \end{equation}
+
+Beim Tschebyscheff-Filter konnten wir mit Betrachten des Arcuscosinus die Funktionalität erklären.
+Für das Elliptische Filter machen wir die gleiche Betrachtung mit der $\sn^{-1}$-Funktion.
+Der $\sn^{-1}$ ist durch das elliptische Integral
\begin{align}
\sn^{-1}(w, k)
& =
@@ -148,11 +142,8 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral
}
}
\end{align}
-
-Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert.
-Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen.
-Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$.
-Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$.
+beschrieben.
+Dazu betrachten wir wieder den Integranden
\begin{equation}
\frac{
1
@@ -160,24 +151,15 @@ Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch posi
\sqrt{
(1-t^2)(1-k^2 t^2)
}
- }
- \in \mathbb{R}
- \quad \forall \quad
- -1 \leq t \leq 1
+ }.
\end{equation}
-Die zweite stelle passiert wenn beide Faktoren unter der Wurzel negativ werden, was bei $t = 1/k$ der Fall ist.
-
-
-
-
-Funktion in relle und komplexe Richtung periodisch
-
-In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch.
-
-
-
-%TODO sn^{-1} grafik
-
+Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert.
+Wenn man das Gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen.
+Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$.
+Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$.
+Ab diesem Punkt knickt die Funktion in die imaginäre Richtung ab.
+Bei $t = 1/k$ ist auch der zweite Term negativ und die Funktion verläuft in die negative reelle Richtung.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen Ebene.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex}
@@ -185,5 +167,20 @@ In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtu
$z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$.
Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
}
- % \label{ellfilter:fig:cd2}
+ \label{ellfilter:fig:sn}
\end{figure}
+In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplementäre vollständige Elliptische Integral ist:
+\begin{equation}
+ K^\prime(k)
+ =
+ \int_{0}^{\pi / 2}
+ \frac{
+ d\theta
+ }{
+ \sqrt{
+ 1-{k^\prime}^2 \sin^2 \theta
+ }
+ },
+ \quad
+ k^\prime = \sqrt{1-k^2}.
+\end{equation}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex b/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex
index 7fdb864..96bdfd3 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex
@@ -76,9 +76,9 @@
%Title Page
\title{Elliptische Filter}
-\subtitle{Eine Anwendung der Jaccobi elliptischen Funktionen}
+\subtitle{Eine Anwendung der Jacobi elliptischen Funktionen}
\author{Nicolas Tobler}
-% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+\institute{Mathematisches Seminar 2022 | Spezielle Funktionen}
% \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}}
\date{\today}
@@ -113,25 +113,38 @@
\end{frame}
\begin{frame}
- \frametitle{Content}
+ \frametitle{Inhalt}
\tableofcontents
\end{frame}
- \section{Linear Filter}
+ \section{Lineare Filter}
\begin{frame}
\frametitle{Lineare Filter}
+ \begin{center}
+ \scalebox{0.75}{
+ \input{../tikz/filter.tikz.tex}
+ }
+ \end{center}
- \begin{equation}
+
+ \begin{equation*}
| H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}
- \end{equation}
+ \end{equation*}
\pause
- \begin{equation}
+ \begin{align*}
+ |F_N(w)| &< 1 \quad \forall \quad |w| < 1 \\
+ |F_N(w)| &= 1 \quad \forall \quad |w| = 1 \\
+ |F_N(w)| &> 1 \quad \forall \quad |w| > 1
+ \end{align*}
+
+
+ \begin{equation*}
F_N(w) = w^N
- \end{equation}
+ \end{equation*}
\end{frame}
@@ -218,10 +231,36 @@
Darstellung mit trigonometrischen Funktionen:
- \begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
+ \begin{align*}
T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\
&= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z)
- \end{align}
+ \end{align*}
+
+ \pause
+
+ \begin{align*}
+ \cos^{-1}(x)
+ &=
+ \int_{x}^{1}
+ \frac{
+ dz
+ }{
+ \sqrt{
+ 1-z^2
+ }
+ }\\
+ &=
+ \int_{0}^{x}
+ \frac{
+ -1
+ }{
+ \sqrt{
+ 1-z^2
+ }
+ }
+ ~dz
+ + \frac{\pi}{2}
+ \end{align*}
\end{frame}
@@ -229,15 +268,41 @@
\begin{frame}
\frametitle{Tschebyscheff-Filter}
- \begin{equation*}
- z = \cos^{-1}(w)
- \end{equation*}
+ \begin{columns}
+
+ \begin{column}{0.2\textwidth}
+
+ \begin{equation*}
+ z = \cos^{-1}(w)
+ \end{equation*}
+
+ \vspace{0.5cm}
+
+ Integrand:
+ \begin{equation*}
+ \frac{
+ -1
+ }{
+ \sqrt{
+ 1-z^2
+ }
+ }
+ \end{equation*}
+
+ \end{column}
+ \begin{column}{0.8\textwidth}
+
+
+ \begin{center}
+ \scalebox{0.7}{
+ \input{../tikz/arccos.tikz.tex}
+ }
+ \end{center}
+
+ \end{column}
+ \end{columns}
+
- \begin{center}
- \scalebox{0.85}{
- \input{../tikz/arccos.tikz.tex}
- }
- \end{center}
\end{frame}
@@ -245,7 +310,7 @@
\frametitle{Tschebyscheff-Filter}
\begin{equation*}
- z_1 = N~\cos^{-1}(w)
+ T_N(w) = \cos \left(z_1 \right), \quad z_1 = N~\cos^{-1}(w)
\end{equation*}
\begin{center}
@@ -257,15 +322,14 @@
\end{frame}
- \section{Jaccobi elliptische Funktionen}
+ \section{Jacobi elliptische Funktionen}
\begin{frame}
- \frametitle{Jaccobi elliptische Funktionen}
+ \frametitle{Jacobi elliptische Funktionen}
+ Elliptisches Integral erster Art
- \begin{equation}
- z
- =
+ \begin{equation*}
F(\phi, k)
=
\int_{0}^{\phi}
@@ -276,18 +340,18 @@
1-k^2 \sin^2 \theta
}
}
- =
- \int_{0}^{\phi}
- \frac{
- dt
- }{
- \sqrt{
- (1-t^2)(1-k^2 t^2)
- }
- }
- \end{equation}
+ % =
+ % \int_{0}^{\phi}
+ % \frac{
+ % dt
+ % }{
+ % \sqrt{
+ % (1-t^2)(1-k^2 t^2)
+ % }
+ % }
+ \end{equation*}
- \begin{equation}
+ \begin{equation*}
K(k)
=
\int_{0}^{\pi / 2}
@@ -298,24 +362,88 @@
1-k^2 \sin^2 \theta
}
}
- \end{equation}
+ \end{equation*}
\end{frame}
+
+
+
+
\begin{frame}
- \frametitle{Jaccobi elliptische Funktionen}
+ \frametitle{Jacobi elliptische Funktionen}
+
+ \begin{equation*}
+ \sn^{-1}(w, k)
+ =
+ F(\phi, k),
+ \quad
+ \phi = \sin^{-1}(w)
+ \end{equation*}
+
+ \begin{align*}
+ \sn^{-1}(w, k)
+ & =
+ \int_{0}^{\phi}
+ \frac{
+ d\theta
+ }{
+ \sqrt{
+ 1-k^2 \sin^2 \theta
+ }
+ },
+ \quad
+ \phi = \sin^{-1}(w)
+ \\
+ & =
+ \int_{0}^{w}
+ \frac{
+ dt
+ }{
+ \sqrt{
+ (1-t^2)(1-k^2 t^2)
+ }
+ }
+ \end{align*}
- \begin{equation*}
- z = \sn^{-1}(w, k)
- \end{equation*}
- \begin{center}
- \scalebox{0.7}{
- \input{../tikz/sn.tikz.tex}
- }
- \end{center}
+
+ \end{frame}
+
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Jacobi elliptische Funktionen}
+ \begin{columns}
+ \begin{column}{0.2\textwidth}
+
+ \begin{equation*}
+ z = \sn^{-1}(w, k)
+ \end{equation*}
+
+ \vspace{0.5cm}
+
+ Integrand:
+ \begin{equation*}
+ \frac{
+ 1
+ }{
+ \sqrt{
+ (1-t^2)(1-k^2 t^2)
+ }
+ }
+ \end{equation*}
+
+ \end{column}
+ \begin{column}{0.8\textwidth}
+ \begin{center}
+ \scalebox{0.75}{
+ \input{../tikz/sn.tikz.tex}
+ }
+ \end{center}
+ \end{column}
+ \end{columns}
+
\end{frame}
@@ -334,7 +462,7 @@
\begin{frame}
- \frametitle{Jaccobi elliptische Funktionen}
+ \frametitle{Jacobi elliptische Funktionen}
\begin{equation*}
z = \cd^{-1}(w, k)
@@ -349,6 +477,23 @@
\end{frame}
+ \section{Elliptisches Filter}
+
+ \begin{frame}
+ \frametitle{Elliptisches Filter}
+
+ % \begin{equation*}
+ % z_1 = N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k)
+ % \end{equation*}
+
+ \begin{center}
+ \scalebox{0.75}{
+ \input{../tikz/cd3.tikz.tex}
+ }
+ \end{center}
+
+ \end{frame}
+
\begin{frame}
\frametitle{Periodizität in realer und imaginärer Richtung}
@@ -360,20 +505,42 @@
\end{frame}
\begin{frame}
+ \frametitle{Gradgleichung}
+
+ \begin{center}
+ \scalebox{0.95}{
+ \input{../tikz/elliptic_transform2.tikz}
+ }
+ \end{center}
+
+ \onslide<5->{
+ \begin{equation*}
+ N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
+ \end{equation*}
+ }
+
+ \end{frame}
+
+ \begin{frame}
\frametitle{Elliptisches Filter}
\begin{equation*}
- z_1 = N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k)
+ R_N = \cd(z_1, k_1),
+ \quad
+ z_1 = N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k),
+ \quad
+ N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
\end{equation*}
\begin{center}
- \scalebox{0.8}{
+ \scalebox{0.75}{
\input{../tikz/cd2.tikz.tex}
}
\end{center}
\end{frame}
+
\begin{frame}
\frametitle{Elliptisches Filter}
@@ -401,13 +568,4 @@
\end{frame}
- \begin{frame}
- \frametitle{Gradgleichung}
-
- \begin{equation}
- N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
- \end{equation}
-
- \end{frame}
-
\end{document}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf
deleted file mode 100644
index 03084c6..0000000
--- a/buch/papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf
+++ /dev/null
@@ -1,847 +0,0 @@
-%% Creator: Matplotlib, PGF backend
-%%
-%% To include the figure in your LaTeX document, write
-%% \input{<filename>.pgf}
-%%
-%% Make sure the required packages are loaded in your preamble
-%% \usepackage{pgf}
-%%
-%% Also ensure that all the required font packages are loaded; for instance,
-%% the lmodern package is sometimes necessary when using math font.
-%% \usepackage{lmodern}
-%%
-%% Figures using additional raster images can only be included by \input if
-%% they are in the same directory as the main LaTeX file. For loading figures
-%% from other directories you can use the `import` package
-%% \usepackage{import}
-%%
-%% and then include the figures with
-%% \import{<path to file>}{<filename>.pgf}
-%%
-%% Matplotlib used the following preamble
-%%
-\begingroup%
-\makeatletter%
-\begin{pgfpicture}%
-\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}%
-\pgfusepath{use as bounding box, clip}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetstrokeopacity{0.000000}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{2.500000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetstrokeopacity{0.000000}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{fill}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.501961,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetfillopacity{0.200000}%
-\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{-174.068564in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.247564in}{-174.068564in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.247564in}{1.250043in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.250043in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{-174.068564in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{fill}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,0.647059,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetfillopacity{0.200000}%
-\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.247564in}{1.250043in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.262704in}{1.250043in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.262704in}{1.600680in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.247564in}{1.600680in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.247564in}{1.250043in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{fill}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetfillopacity{0.200000}%
-\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.262704in}{1.600680in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.776737in}{1.600680in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.776737in}{2.301962in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.262704in}{2.301962in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.262704in}{1.600680in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{fill}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.301955in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{0.548769in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.733531in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.0}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.490547in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.490547in}{2.301955in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{1.490547in}{0.548769in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=1.490547in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.5}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.247564in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.247564in}{2.301955in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{2.247564in}{0.548769in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=2.247564in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.0}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.004580in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.004580in}{2.301955in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{3.004580in}{0.548769in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=3.004580in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.5}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{3.761597in}{0.548769in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=3.761597in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {2.0}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=2.247564in,y=0.272534in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle w\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{0.548769in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.348306in, y=0.500544in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{-4}}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.899406in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.899406in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{0.899406in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.348306in, y=0.851181in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{-2}}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.250043in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{1.250043in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{1.250043in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.435112in, y=1.201818in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{0}}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.600680in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{1.600680in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{1.600680in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.435112in, y=1.552455in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{2}}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.951318in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{1.951318in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{1.951318in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.435112in, y=1.903092in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{4}}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{2.301955in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.435112in, y=2.253730in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{6}}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.292751in,y=1.425362in,,bottom,rotate=90.000000]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle F^2_N(w)\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.739446in}{0.534880in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.744132in}{0.623916in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.750947in}{0.699506in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.759276in}{0.759013in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.769120in}{0.808295in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.781235in}{0.852871in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.794865in}{0.891083in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.810009in}{0.924604in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.827425in}{0.955729in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.847112in}{0.984554in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.869071in}{1.011252in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.894059in}{1.036721in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.922075in}{1.060823in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.953878in}{1.084028in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.989467in}{1.106127in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.029598in}{1.127375in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.075031in}{1.147865in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.125764in}{1.167300in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.182554in}{1.185675in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.244645in}{1.202480in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.312036in}{1.217494in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.383214in}{1.230171in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.455905in}{1.239991in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.527083in}{1.246540in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.594474in}{1.249707in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.655808in}{1.249589in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.711084in}{1.246442in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.758788in}{1.240733in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.800434in}{1.232740in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.836780in}{1.222684in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.867825in}{1.211013in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.895085in}{1.197575in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.919315in}{1.182199in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.940517in}{1.165082in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.959447in}{1.145758in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.976106in}{1.124277in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.991250in}{1.099472in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.004122in}{1.072523in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.015480in}{1.041896in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.026081in}{1.004016in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.035168in}{0.959254in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.042740in}{0.905583in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.048797in}{0.840043in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.053341in}{0.758643in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.056369in}{0.659102in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.058129in}{0.534880in}}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.061041in}{0.534880in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.064699in}{0.731366in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.069999in}{0.841854in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.076814in}{0.921040in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.085143in}{0.984050in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.095744in}{1.040507in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.107859in}{1.088435in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.121489in}{1.130355in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.136633in}{1.167522in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.153292in}{1.200289in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.169193in}{1.224889in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.182823in}{1.240496in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.192666in}{1.247725in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.200239in}{1.250017in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.206296in}{1.248902in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.211597in}{1.244804in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.216897in}{1.236352in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.222197in}{1.220917in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.226741in}{1.197982in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.231284in}{1.157051in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.235070in}{1.089329in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.237342in}{1.003949in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.238856in}{0.869518in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.239613in}{0.638914in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.240370in}{0.794881in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.243399in}{1.100517in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.248700in}{1.280424in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.266873in}{1.753784in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.269144in}{1.924021in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.270659in}{2.202839in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.272930in}{1.848446in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.276716in}{1.730165in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.281260in}{1.672036in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.286560in}{1.637950in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.292618in}{1.617444in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.298675in}{1.606779in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.304733in}{1.601737in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.311548in}{1.600286in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.319120in}{1.602150in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.328206in}{1.607676in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.340322in}{1.618928in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.355466in}{1.637536in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.372881in}{1.664058in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.391054in}{1.697587in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.407713in}{1.734758in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.422857in}{1.776122in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.435729in}{1.820082in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.447088in}{1.870149in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.456174in}{1.923894in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.463746in}{1.987030in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.469804in}{2.064340in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.474347in}{2.165039in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.477435in}{2.315844in}}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.481180in}{2.315844in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.484948in}{2.149178in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.490248in}{2.050240in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.497063in}{1.978983in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.505392in}{1.923413in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.515236in}{1.878185in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.526594in}{1.840393in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.539467in}{1.808260in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.553854in}{1.780613in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.569755in}{1.756622in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.587928in}{1.734871in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.608372in}{1.715370in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.631089in}{1.698028in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.656834in}{1.682284in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.686365in}{1.667895in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.720439in}{1.654789in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.759814in}{1.642992in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.806760in}{1.632261in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.862036in}{1.622901in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.928670in}{1.614877in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.008934in}{1.608422in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.108128in}{1.603650in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.233824in}{1.600841in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.396624in}{1.600449in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.619242in}{1.603198in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{1.606074in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{1.606074in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetfillopacity{0.000000}%
-\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.041667in}{-0.041667in}}{\pgfqpoint{0.041667in}{0.041667in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.041667in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.011050in}{-0.041667in}}{\pgfqpoint{0.021649in}{-0.037276in}}{\pgfqpoint{0.029463in}{-0.029463in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.037276in}{-0.021649in}}{\pgfqpoint{0.041667in}{-0.011050in}}{\pgfqpoint{0.041667in}{0.000000in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.041667in}{0.011050in}}{\pgfqpoint{0.037276in}{0.021649in}}{\pgfqpoint{0.029463in}{0.029463in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.021649in}{0.037276in}}{\pgfqpoint{0.011050in}{0.041667in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.041667in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.011050in}{0.041667in}}{\pgfqpoint{-0.021649in}{0.037276in}}{\pgfqpoint{-0.029463in}{0.029463in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.037276in}{0.021649in}}{\pgfqpoint{-0.041667in}{0.011050in}}{\pgfqpoint{-0.041667in}{0.000000in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.041667in}{-0.011050in}}{\pgfqpoint{-0.037276in}{-0.021649in}}{\pgfqpoint{-0.029463in}{-0.029463in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.021649in}{-0.037276in}}{\pgfqpoint{-0.011050in}{-0.041667in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.041667in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.041667in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{0.548769in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{2.050740in}{0.548769in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{2.247564in}{0.548769in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetfillopacity{0.000000}%
-\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.041667in}{-0.041667in}}{\pgfqpoint{0.041667in}{0.041667in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.041667in}{-0.041667in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.041667in}{0.041667in}}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.041667in}{0.041667in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.041667in}{-0.041667in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{2.262704in}{2.301955in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{2.482239in}{2.301955in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.301955in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetfillopacity{0.800000}%
-\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.800000,0.800000,0.800000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetstrokeopacity{0.800000}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.830753in}{1.997171in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.157621in}{1.997171in}}%
-\pgfpathquadraticcurveto{\pgfqpoint{2.185399in}{1.997171in}}{\pgfqpoint{2.185399in}{2.024949in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.185399in}{2.204733in}}%
-\pgfpathquadraticcurveto{\pgfqpoint{2.185399in}{2.232510in}}{\pgfqpoint{2.157621in}{2.232510in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.830753in}{2.232510in}}%
-\pgfpathquadraticcurveto{\pgfqpoint{0.802975in}{2.232510in}}{\pgfqpoint{0.802975in}{2.204733in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.802975in}{2.024949in}}%
-\pgfpathquadraticcurveto{\pgfqpoint{0.802975in}{1.997171in}}{\pgfqpoint{0.830753in}{1.997171in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.830753in}{1.997171in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.858531in}{2.128344in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.997420in}{2.128344in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.136309in}{2.128344in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=1.247420in,y=2.079733in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle N=5, k=0.1\)}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfpicture}%
-\makeatother%
-\endgroup%
diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf
index 31b77d4..32485c1 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf
+++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf
@@ -23,7 +23,7 @@
\begingroup%
\makeatletter%
\begin{pgfpicture}%
-\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{5.000000in}{3.000000in}}%
\pgfusepath{use as bounding box, clip}%
\begin{pgfscope}%
\pgfsetbuttcap%
@@ -34,9 +34,9 @@
\pgfsetstrokeopacity{0.000000}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{2.500000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{5.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{5.000000in}{3.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{3.000000in}}%
\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
\pgfpathclose%
\pgfusepath{}%
@@ -51,16 +51,16 @@
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetstrokeopacity{0.000000}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{2.850000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.850000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}%
\pgfpathclose%
\pgfusepath{fill}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetbuttcap%
\pgfsetmiterjoin%
@@ -72,16 +72,16 @@
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{1.788459in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{1.788459in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{3.541645in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{3.541645in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{1.788459in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{-108.151374in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{-108.151374in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.187964in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.187964in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{-108.151374in}}%
\pgfpathclose%
\pgfusepath{fill}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetbuttcap%
\pgfsetmiterjoin%
@@ -93,16 +93,16 @@
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.189776in}{0.724087in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.205494in}{0.724087in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.205494in}{1.788459in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{1.788459in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{0.724087in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.187964in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{2.187964in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{2.408643in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.408643in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.187964in}}%
\pgfpathclose%
\pgfusepath{fill}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetbuttcap%
\pgfsetmiterjoin%
@@ -114,16 +114,16 @@
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.205494in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.777315in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.777315in}{0.724087in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.205494in}{0.724087in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.205494in}{0.548769in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.750075in}{2.408643in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.746812in}{2.408643in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.746812in}{2.850005in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{2.850005in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{2.408643in}}%
\pgfpathclose%
\pgfusepath{fill}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -131,8 +131,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.850000in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -150,7 +150,295 @@
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.617954in}{0.548769in}%
+\pgfsys@transformshift{0.733531in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.232715in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.232715in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{1.232715in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.731899in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.731899in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{1.731899in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.231083in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.231083in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{2.231083in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.730268in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{2.730268in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.229452in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.229452in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{3.229452in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.728636in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.728636in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{3.728636in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{4.227820in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.227820in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{4.227820in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{4.727004in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.746607in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{0.733531in}{1.746607in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -158,10 +446,10 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.617954in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.0}\)}%
+\pgftext[x=0.348306in, y=1.698381in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{-4}}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -169,8 +457,483 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.403865in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.403865in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.187964in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{2.187964in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{0.733531in}{2.187964in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
+\pgfsetfillcolor{textcolor}%
+\pgftext[x=0.435112in, y=2.139739in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{0}}\)}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.629321in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{2.629321in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{0.733531in}{2.629321in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
+\pgfsetfillcolor{textcolor}%
+\pgftext[x=0.435112in, y=2.581096in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{4}}\)}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
+\pgfsetfillcolor{textcolor}%
+\pgftext[x=0.292751in,y=2.298303in,,bottom,rotate=90.000000]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle F^2_N(w)\)}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.501961,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.740931in}{1.732718in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.746516in}{1.786823in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.754507in}{1.832782in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.763497in}{1.866959in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.774485in}{1.896885in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.787470in}{1.923263in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.802453in}{1.946729in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.820433in}{1.968905in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.841409in}{1.989570in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.865382in}{2.008719in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.893350in}{2.027039in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.926313in}{2.044843in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.965268in}{2.062241in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.011216in}{2.079233in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.065155in}{2.095755in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.128084in}{2.111711in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.202000in}{2.127167in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.287903in}{2.141865in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.385792in}{2.155401in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.494668in}{2.167305in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.612535in}{2.177062in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.732399in}{2.183910in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.847269in}{2.187451in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.951151in}{2.187660in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.041049in}{2.184855in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.116963in}{2.179489in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.179891in}{2.172045in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.231833in}{2.162906in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.274784in}{2.152346in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.310743in}{2.140427in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.340709in}{2.127341in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.365681in}{2.113201in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.386657in}{2.097957in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.404637in}{2.081234in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.420619in}{2.062036in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.433604in}{2.041733in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.444591in}{2.019228in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.454580in}{1.991581in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.462571in}{1.960514in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.469563in}{1.920021in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.474557in}{1.873580in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.478553in}{1.805777in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.480586in}{1.732718in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.484219in}{1.732718in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.486544in}{1.815182in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.491538in}{1.891600in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.498530in}{1.947168in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.506521in}{1.987046in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.516510in}{2.021891in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.528496in}{2.052678in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.542480in}{2.080234in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.558462in}{2.105153in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.577441in}{2.128933in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.598417in}{2.150115in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.619393in}{2.167048in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.639371in}{2.179324in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.655352in}{2.185829in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.668338in}{2.187959in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.678326in}{2.186578in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.686317in}{2.182435in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.693309in}{2.175207in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.699303in}{2.164543in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.705296in}{2.146413in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.710290in}{2.119757in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.714286in}{2.080320in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.717282in}{2.018766in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.719280in}{1.902417in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.720279in}{1.787994in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.723275in}{2.052161in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.728270in}{2.159459in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.187964in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.187964in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,0.647059,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.187964in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.739948in}{2.296201in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{2.408537in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{2.408537in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.750075in}{2.408537in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.755020in}{2.489017in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.757987in}{2.575142in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.759965in}{2.739853in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.760954in}{2.732944in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.763921in}{2.559521in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.767876in}{2.498072in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.772821in}{2.462357in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.778755in}{2.439486in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.785678in}{2.424627in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.793589in}{2.415351in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.801501in}{2.410617in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.811391in}{2.408469in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.823258in}{2.409298in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.838093in}{2.413594in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.856883in}{2.422398in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.879629in}{2.436615in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.904353in}{2.455827in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.928088in}{2.478242in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.948856in}{2.502012in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.966657in}{2.526883in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.982481in}{2.554434in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.995337in}{2.583034in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.006216in}{2.614845in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.015116in}{2.650561in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.022039in}{2.690604in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.027973in}{2.745226in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.031928in}{2.812248in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.033527in}{2.863889in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.038280in}{2.863889in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.041818in}{2.775420in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.047752in}{2.709952in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.054675in}{2.667083in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.063575in}{2.631439in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.073465in}{2.603860in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.085332in}{2.579578in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.099178in}{2.558262in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.115001in}{2.539530in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.133791in}{2.522224in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.155548in}{2.506551in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.181261in}{2.492030in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.210930in}{2.478899in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.246533in}{2.466615in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.289058in}{2.455313in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.340484in}{2.444955in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.402788in}{2.435657in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.479927in}{2.427399in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.575856in}{2.420378in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.697498in}{2.414729in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.854742in}{2.410690in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.063413in}{2.408586in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.355156in}{2.408934in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{2.412037in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{2.412037in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetfillopacity{0.000000}%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.041667in}{-0.041667in}}{\pgfqpoint{0.041667in}{0.041667in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.041667in}}%
+\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.011050in}{-0.041667in}}{\pgfqpoint{0.021649in}{-0.037276in}}{\pgfqpoint{0.029463in}{-0.029463in}}%
+\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.037276in}{-0.021649in}}{\pgfqpoint{0.041667in}{-0.011050in}}{\pgfqpoint{0.041667in}{0.000000in}}%
+\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.041667in}{0.011050in}}{\pgfqpoint{0.037276in}{0.021649in}}{\pgfqpoint{0.029463in}{0.029463in}}%
+\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.021649in}{0.037276in}}{\pgfqpoint{0.011050in}{0.041667in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.041667in}}%
+\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.011050in}{0.041667in}}{\pgfqpoint{-0.021649in}{0.037276in}}{\pgfqpoint{-0.029463in}{0.029463in}}%
+\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.037276in}{0.021649in}}{\pgfqpoint{-0.041667in}{0.011050in}}{\pgfqpoint{-0.041667in}{0.000000in}}%
+\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.041667in}{-0.011050in}}{\pgfqpoint{-0.037276in}{-0.021649in}}{\pgfqpoint{-0.029463in}{-0.029463in}}%
+\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.021649in}{-0.037276in}}{\pgfqpoint{-0.011050in}{-0.041667in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.041667in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.041667in}}%
+\pgfpathclose%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{0.733531in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{2.470692in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{2.720284in}{1.746607in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetfillopacity{0.000000}%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.041667in}{-0.041667in}}{\pgfqpoint{0.041667in}{0.041667in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.041667in}{-0.041667in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.041667in}{0.041667in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.041667in}{0.041667in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.041667in}{-0.041667in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{2.750235in}{2.850000in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{3.039762in}{2.850000in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetmiterjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetmiterjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetmiterjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.746607in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.746607in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetmiterjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.850000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{2.850000in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetmiterjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetstrokeopacity{0.000000}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.473611in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.473611in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}%
+\pgfpathclose%
+\pgfusepath{fill}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetmiterjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.501961,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetfillopacity{0.200000}%
+\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.150435in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{1.150435in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{2.253828in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.253828in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.150435in}}%
+\pgfpathclose%
+\pgfusepath{fill}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetmiterjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,0.647059,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetfillopacity{0.200000}%
+\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.730268in}{0.480557in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{0.480557in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{1.150435in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{1.150435in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{0.480557in}}%
+\pgfpathclose%
+\pgfusepath{fill}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetmiterjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetfillopacity{0.200000}%
+\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.750075in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.746812in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.746812in}{0.480557in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{0.480557in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{0.370218in}}%
+\pgfpathclose%
+\pgfusepath{fill}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.473611in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{0.733531in}{0.370218in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
+\pgfsetfillcolor{textcolor}%
+\pgftext[x=0.733531in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.00}\)}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.232715in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.232715in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -188,7 +951,7 @@
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{1.403865in}{0.548769in}%
+\pgfsys@transformshift{1.232715in}{0.370218in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -196,10 +959,10 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=1.403865in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.5}\)}%
+\pgftext[x=1.232715in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.25}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -207,8 +970,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.189776in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.731899in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.731899in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -226,7 +989,7 @@
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{2.189776in}{0.548769in}%
+\pgfsys@transformshift{1.731899in}{0.370218in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -234,10 +997,10 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=2.189776in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.0}\)}%
+\pgftext[x=1.731899in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.50}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -245,8 +1008,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.975686in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.975686in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.231083in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.231083in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -264,7 +1027,7 @@
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{2.975686in}{0.548769in}%
+\pgfsys@transformshift{2.231083in}{0.370218in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -272,10 +1035,10 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=2.975686in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.5}\)}%
+\pgftext[x=2.231083in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.75}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -283,8 +1046,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.730268in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -302,7 +1065,7 @@
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{3.761597in}{0.548769in}%
+\pgfsys@transformshift{2.730268in}{0.370218in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -310,16 +1073,48 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=3.761597in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {2.0}\)}%
+\pgftext[x=2.730268in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.00}\)}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.229452in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.229452in}{1.473611in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{3.229452in}{0.370218in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=2.189776in,y=0.272534in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle w\)}%
+\pgftext[x=3.229452in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.25}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -327,8 +1122,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.728636in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.728636in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -340,13 +1135,13 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.617954in}{0.548769in}%
+\pgfsys@transformshift{3.728636in}{0.370218in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -354,10 +1149,10 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.343262in, y=0.500544in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.0}\)}%
+\pgftext[x=3.728636in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.50}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -365,8 +1160,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.899406in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.899406in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{4.227820in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.227820in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -378,13 +1173,13 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.617954in}{0.899406in}%
+\pgfsys@transformshift{4.227820in}{0.370218in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -392,10 +1187,10 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.343262in, y=0.851181in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.2}\)}%
+\pgftext[x=4.227820in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.75}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -403,8 +1198,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{1.250043in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{1.250043in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -416,13 +1211,13 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.617954in}{1.250043in}%
+\pgfsys@transformshift{4.727004in}{0.370218in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -430,10 +1225,10 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.343262in, y=1.201818in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.4}\)}%
+\pgftext[x=4.727004in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {2.00}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -441,8 +1236,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{1.600680in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{1.600680in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.370218in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -460,7 +1255,7 @@
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.617954in}{1.600680in}%
+\pgfsys@transformshift{0.733531in}{0.370218in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -468,10 +1263,10 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.343262in, y=1.552455in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.6}\)}%
+\pgftext[x=0.458839in, y=0.321992in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.0}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -479,8 +1274,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{1.951318in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{1.951318in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.921914in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.921914in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -498,7 +1293,7 @@
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.617954in}{1.951318in}%
+\pgfsys@transformshift{0.733531in}{0.921914in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -506,10 +1301,10 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.343262in, y=1.903092in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.8}\)}%
+\pgftext[x=0.458839in, y=0.873689in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.5}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
@@ -517,8 +1312,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.473611in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -536,7 +1331,7 @@
\pgfusepath{stroke,fill}%
}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.617954in}{2.301955in}%
+\pgfsys@transformshift{0.733531in}{1.473611in}%
\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfscope}%
@@ -544,120 +1339,140 @@
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.343262in, y=2.253730in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.0}\)}%
+\pgftext[x=0.458839in, y=1.425386in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.0}\)}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.287707in,y=1.425362in,,bottom,rotate=90.000000]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle |H(w)|\)}%
+\pgftext[x=0.403284in,y=0.921914in,,bottom,rotate=90.000000]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle |H(w)|\)}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.501961,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.473611in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.778480in}{1.472092in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.824428in}{1.467451in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.872374in}{1.459441in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.922317in}{1.447955in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.977255in}{1.432096in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.039185in}{1.410937in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.116097in}{1.381211in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.241955in}{1.328667in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.380797in}{1.271746in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.469697in}{1.238676in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.547608in}{1.212952in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.618528in}{1.192719in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.685452in}{1.176794in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.748381in}{1.164963in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.807314in}{1.156972in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.863250in}{1.152493in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.915192in}{1.151401in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.964136in}{1.153458in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.009085in}{1.158380in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.051038in}{1.165994in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.090992in}{1.176379in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.127950in}{1.189125in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.162911in}{1.204375in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.196872in}{1.222581in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.229835in}{1.243857in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.261799in}{1.268239in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.293762in}{1.296564in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.327724in}{1.330955in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.368677in}{1.377168in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.423615in}{1.439002in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.444591in}{1.457728in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.460573in}{1.467921in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.473559in}{1.472628in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.484546in}{1.473549in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.495534in}{1.471251in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.505522in}{1.466094in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.516510in}{1.456841in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.528496in}{1.442365in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.541482in}{1.421636in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.556465in}{1.391771in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.575443in}{1.346664in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.642367in}{1.179908in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.654354in}{1.161187in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.662345in}{1.153583in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.668338in}{1.151382in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.673332in}{1.152493in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.678326in}{1.156976in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.683321in}{1.165718in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.689314in}{1.183573in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.695307in}{1.212352in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.701300in}{1.256368in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.708292in}{1.333653in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.719280in}{1.472196in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.720279in}{1.473481in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.722277in}{1.459537in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.725273in}{1.387304in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{1.151360in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{1.151360in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,0.647059,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.730268in}{1.151360in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.739978in}{0.709346in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.746805in}{0.536003in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{0.480388in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{0.480388in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.646254in}{2.300410in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.674554in}{2.295805in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.703640in}{2.287983in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.734298in}{2.276528in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.767315in}{2.260797in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.802690in}{2.240472in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.842781in}{2.213774in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.889947in}{2.178486in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.952050in}{2.127836in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.147791in}{1.965399in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.205963in}{1.922684in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.257846in}{1.888382in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.305012in}{1.860803in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.349034in}{1.838524in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.390698in}{1.820826in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.430003in}{1.807434in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.466950in}{1.798051in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.501539in}{1.792361in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.534555in}{1.790011in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.566000in}{1.790875in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.595872in}{1.794823in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.624172in}{1.801709in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.650899in}{1.811365in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.676841in}{1.824030in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.701996in}{1.839797in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.726365in}{1.858757in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.749949in}{1.880985in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.773532in}{1.907483in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.797115in}{1.938719in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.820698in}{1.975139in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.845068in}{2.018557in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.871009in}{2.071217in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.903240in}{2.144258in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.949620in}{2.249449in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.965342in}{2.277408in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.977134in}{2.292569in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.986567in}{2.299856in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.993642in}{2.301922in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.000717in}{2.300685in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.007792in}{2.295839in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.014867in}{2.287135in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.023514in}{2.271025in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.032947in}{2.246492in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.043953in}{2.209014in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.057317in}{2.152165in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.076183in}{2.056775in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.114702in}{1.858945in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.126494in}{1.815249in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.134355in}{1.796399in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.139858in}{1.790308in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.143002in}{1.790254in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.146147in}{1.793264in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.150077in}{1.802263in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.154794in}{1.822852in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.159510in}{1.857784in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.165013in}{1.924261in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.170516in}{2.030210in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.181521in}{2.301670in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.182308in}{2.299748in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.183880in}{2.267565in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.186238in}{2.135783in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.192527in}{1.496420in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.198816in}{1.001269in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.205105in}{0.731898in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.211393in}{0.583247in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.213752in}{0.552138in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.220827in}{0.630495in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.227902in}{0.675607in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.234977in}{0.701566in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.241266in}{0.714626in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.247554in}{0.721456in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.253843in}{0.723972in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.260918in}{0.723210in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.269565in}{0.718770in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.281357in}{0.708826in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.300224in}{0.688160in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.385123in}{0.590361in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.417354in}{0.559882in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.430717in}{0.549063in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.463734in}{0.574407in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.498323in}{0.597083in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.535270in}{0.617584in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.574575in}{0.635868in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.617811in}{0.652529in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.664977in}{0.667359in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.717646in}{0.680619in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.776604in}{0.692216in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.843424in}{0.702155in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.920462in}{0.710422in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.010864in}{0.716921in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.118561in}{0.721464in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.250627in}{0.723829in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.419640in}{0.723619in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.651542in}{0.720038in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.717600in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.717600in}}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.750075in}{0.480388in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.756998in}{0.398490in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.759965in}{0.373708in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.760954in}{0.373969in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.768865in}{0.418088in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.776777in}{0.445199in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.784689in}{0.461928in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.792600in}{0.471986in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.800512in}{0.477584in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.809413in}{0.480262in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.820291in}{0.480059in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.834137in}{0.476323in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.852927in}{0.467773in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.886552in}{0.448435in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.959734in}{0.406057in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.006216in}{0.383080in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.036873in}{0.370620in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.085332in}{0.388800in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.137747in}{0.405140in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.195107in}{0.419767in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.259389in}{0.432926in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.332572in}{0.444663in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.415645in}{0.454798in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.512563in}{0.463443in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.627282in}{0.470496in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.766725in}{0.475859in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.940782in}{0.479318in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.167253in}{0.480557in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.484709in}{0.478977in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.476474in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.476474in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -667,8 +1482,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -678,8 +1493,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -689,8 +1504,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.370218in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
@@ -700,8 +1515,8 @@
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.473611in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.473611in}}%
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\end{pgfpicture}%
diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py
index b3336a1..6e0fd12 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py
+++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py
@@ -324,9 +324,9 @@ K_prime = ell_int(np.sqrt(1-k**2))
f, axs = plt.subplots(1,2, figsize=(5,2.5))
-axs[0].plot(k, K, linewidth=0.1)
+axs[0].plot(k, K, linewidth=1)
axs[0].text(k[30], K[30]+0.1, f"$K$")
-axs[0].plot(k, K_prime, linewidth=0.1)
+axs[0].plot(k, K_prime, linewidth=1)
axs[0].text(k[30], K_prime[30]+0.1, f"$K^\prime$")
axs[0].set_xlim([0,1])
axs[0].set_ylim([0,4])
@@ -342,9 +342,9 @@ k = np.array([0.1,0.2,0.4,0.6,0.9,0.99])
K = ell_int(k)
K_prime = ell_int(np.sqrt(1-k**2))
-axs[1].plot(K, K_prime, '.', color=last_color(), markersize=2)
-for x, y, n in zip(K, K_prime, k):
- axs[1].text(x+0.1, y+0.1, f"$k={n:.2f}$", rotation_mode="anchor")
+# axs[1].plot(K, K_prime, '.', color=last_color(), markersize=2)
+# for x, y, n in zip(K, K_prime, k):
+# axs[1].text(x+0.1, y+0.1, f"$k={n:.2f}$", rotation_mode="anchor")
axs[1].set_ylabel("$K^\prime$")
axs[1].set_xlabel("$K$")
axs[1].set_xlim([0,6])
diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py
index 29c6f47..20a7428 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py
+++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py
@@ -1,5 +1,6 @@
# %%
+import enum
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.signal
import numpy as np
@@ -8,7 +9,9 @@ from matplotlib.patches import Rectangle
import plot_params
-def ellip_filter(N):
+N=5
+
+def ellip_filter(N, mode=-1):
order = N
passband_ripple_db = 3
@@ -26,7 +29,16 @@ def ellip_filter(N):
fs=None
)
- w, mag_db, phase = scipy.signal.bode((a, b), w=np.linspace(0*omega_c,2*omega_c, 4000))
+ if mode == 0:
+ w = np.linspace(0*omega_c,omega_c, 2000)
+ elif mode == 1:
+ w = np.linspace(omega_c,1.00992*omega_c, 2000)
+ elif mode == 2:
+ w = np.linspace(1.00992*omega_c,2*omega_c, 2000)
+ else:
+ w = np.linspace(0*omega_c,2*omega_c, 4000)
+
+ w, mag_db, phase = scipy.signal.bode((a, b), w=w)
mag = 10**(mag_db/20)
@@ -38,105 +50,96 @@ def ellip_filter(N):
return w/omega_c, FN2 / epsilon2, mag, a, b
-plt.figure(figsize=(4,2.5))
+f, axs = plt.subplots(2, 1, figsize=(5,3), sharex=True)
-for N in [5]:
- w, FN2, mag, a, b = ellip_filter(N)
- plt.semilogy(w, FN2, label=f"$N={N}, k=0.1$", linewidth=1)
+for mode, c in enumerate(["green", "orange", "red"]):
+ w, FN2, mag, a, b = ellip_filter(N, mode=mode)
+ axs[0].semilogy(w, FN2, label=f"$N={N}, k=0.1$", linewidth=1, color=c)
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
+axs[0].add_patch(Rectangle(
(0, 0),
1, 1,
fc ='green',
alpha=0.2,
lw = 10,
))
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
+axs[0].add_patch(Rectangle(
(1, 1),
- 0.01, 1e2-1,
+ 0.00992, 1e2-1,
fc ='orange',
alpha=0.2,
lw = 10,
))
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
- (1.01, 100),
+axs[0].add_patch(Rectangle(
+ (1.00992, 100),
1, 1e6,
fc ='red',
alpha=0.2,
lw = 10,
))
-zeros = [0,0.87,1]
+zeros = [0,0.87,0.995]
poles = [1.01,1.155]
import matplotlib.transforms
-plt.plot( # mark errors as vertical bars
+axs[0].plot( # mark errors as vertical bars
zeros,
np.zeros_like(zeros),
"o",
mfc='none',
color='black',
transform=matplotlib.transforms.blended_transform_factory(
- plt.gca().transData,
- plt.gca().transAxes,
+ axs[0].transData,
+ axs[0].transAxes,
),
)
-plt.plot( # mark errors as vertical bars
+axs[0].plot( # mark errors as vertical bars
poles,
np.ones_like(poles),
"x",
mfc='none',
color='black',
transform=matplotlib.transforms.blended_transform_factory(
- plt.gca().transData,
- plt.gca().transAxes,
+ axs[0].transData,
+ axs[0].transAxes,
),
)
-plt.xlim([0,2])
-plt.ylim([1e-4,1e6])
-plt.grid()
-plt.xlabel("$w$")
-plt.ylabel("$F^2_N(w)$")
-plt.legend()
-plt.tight_layout()
-plt.savefig("F_N_elliptic.pgf")
-plt.show()
-
-
-
-plt.figure(figsize=(4,2.5))
-plt.plot(w, mag, linewidth=1)
+for mode, c in enumerate(["green", "orange", "red"]):
+ w, FN2, mag, a, b = ellip_filter(N, mode=mode)
+ axs[1].plot(w, mag, linewidth=1, color=c)
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
+axs[1].add_patch(Rectangle(
(0, np.sqrt(2)/2),
1, 1,
fc ='green',
alpha=0.2,
lw = 10,
))
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
+axs[1].add_patch(Rectangle(
(1, 0.1),
- 0.01, np.sqrt(2)/2 - 0.1,
+ 0.00992, np.sqrt(2)/2 - 0.1,
fc ='orange',
alpha=0.2,
lw = 10,
))
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
- (1.01, 0),
+axs[1].add_patch(Rectangle(
+ (1.00992, 0),
1, 0.1,
fc ='red',
alpha=0.2,
lw = 10,
))
-plt.grid()
-plt.xlim([0,2])
-plt.ylim([0,1])
-plt.xlabel("$w$")
-plt.ylabel("$|H(w)|$")
+axs[0].set_xlim([0,2])
+axs[0].set_ylim([1e-4,1e6])
+axs[0].grid()
+axs[0].set_ylabel("$F^2_N(w)$")
+axs[1].grid()
+axs[1].set_ylim([0,1])
+axs[1].set_ylabel("$|H(w)|$")
plt.tight_layout()
plt.savefig("elliptic.pgf")
plt.show()
diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf
index 95d61d4..bbb823a 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf
+++ b/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf
@@ -320,7 +320,7 @@
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.100375pt}%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
@@ -434,7 +434,7 @@
\pgfusepath{clip}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.100375pt}%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,0.498039,0.054902}%
\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
\pgfsetdash{}{0pt}%
@@ -1011,56 +1011,6 @@
\pgfusepath{stroke}%
\end{pgfscope}%
\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{2.874885in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{1.940523in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.006944in}{-0.006944in}}{\pgfqpoint{0.006944in}{0.006944in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.006944in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.001842in}{-0.006944in}}{\pgfqpoint{0.003608in}{-0.006213in}}{\pgfqpoint{0.004910in}{-0.004910in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.006213in}{-0.003608in}}{\pgfqpoint{0.006944in}{-0.001842in}}{\pgfqpoint{0.006944in}{0.000000in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.006944in}{0.001842in}}{\pgfqpoint{0.006213in}{0.003608in}}{\pgfqpoint{0.004910in}{0.004910in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{0.003608in}{0.006213in}}{\pgfqpoint{0.001842in}{0.006944in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.006944in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.001842in}{0.006944in}}{\pgfqpoint{-0.003608in}{0.006213in}}{\pgfqpoint{-0.004910in}{0.004910in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.006213in}{0.003608in}}{\pgfqpoint{-0.006944in}{0.001842in}}{\pgfqpoint{-0.006944in}{0.000000in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.006944in}{-0.001842in}}{\pgfqpoint{-0.006213in}{-0.003608in}}{\pgfqpoint{-0.004910in}{-0.004910in}}%
-\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.003608in}{-0.006213in}}{\pgfqpoint{-0.001842in}{-0.006944in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.006944in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.006944in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{3.384190in}{1.844597in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{3.388110in}{1.606330in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{3.405294in}{1.376014in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{3.441114in}{1.248396in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{3.612461in}{1.128939in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{3.960478in}{1.102320in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
\pgfsetrectcap%
\pgfsetmiterjoin%
\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
@@ -1116,42 +1066,6 @@
\pgfsetfillcolor{textcolor}%
\pgftext[x=3.415254in,y=0.583833in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle \pi/2\)}%
\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=3.416532in,y=1.879661in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.10\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=3.420452in,y=1.641394in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.20\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=3.437636in,y=1.411078in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.40\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=3.473456in,y=1.283460in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.60\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=3.644803in,y=1.164003in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.90\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=3.992820in,y=1.137383in,left,base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle k=0.99\)}%
-\end{pgfscope}%
\end{pgfpicture}%
\makeatother%
\endgroup%
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex
index 2772620..b11c25d 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex
@@ -8,29 +8,6 @@
\begin{scope}[xscale=0.6]
- \clip(-7.5,-2) rectangle (7.5,2);
-
- \draw[thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,1.5);
- \draw[thick, ->, orange] (1, 0) -- (0,0);
- \draw[thick, ->, red] (2, 0) -- (1,0);
- \draw[thick, ->, blue] (2,1.5) -- (2, 0);
-
- \foreach \i in {-2,...,1} {
- \begin{scope}[opacity=0.5, xshift=\i*4cm]
- \draw[->, orange] (-1, 0) -- (0,0);
- \draw[->, darkgreen] (0, 0) -- (0,1.5);
- \draw[->, darkgreen] (0, 0) -- (0,-1.5);
- \draw[->, orange] (1, 0) -- (0,0);
- \draw[->, red] (2, 0) -- (1,0);
- \draw[->, blue] (2,1.5) -- (2, 0);
- \draw[->, blue] (2,-1.5) -- (2, 0);
- \draw[->, red] (2, 0) -- (3,0);
-
- \node[zero] at (1,0) {};
- \node[zero] at (3,0) {};
- \end{scope}
- }
-
\node[gray, anchor=north] at (-6,0) {$-3\pi$};
\node[gray, anchor=north] at (-4,0) {$-2\pi$};
\node[gray, anchor=north] at (-2,0) {$-\pi$};
@@ -43,16 +20,53 @@
% \node[gray, anchor=south east] at (0, 0) {$0$};
\node[gray, anchor=east] at (0, 1.5) {$\infty$};
+ \clip(-7.5,-2) rectangle (7.5,2);
+
+ % \pause
+ \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0);
+ % \pause
+ \draw[ultra thick, ->, orange] (0, 0) -- (0,1.5);
+ % \pause
+ \draw[ultra thick, ->, cyan] (2, 0) -- (1,0);
+ \draw[ultra thick, ->, blue] (2,1.5) -- (2, 0);
+
+ % \pause
+
+ \foreach \i in {-2,...,1} {
+ \begin{scope}[xshift=\i*4cm]
+ \begin{scope}[]
+ \draw[->, darkgreen] (-1, 0) -- (0,0);
+ \draw[->, orange] (0, 0) -- (0,1.5);
+ \draw[->, orange] (0, 0) -- (0,-1.5);
+ \draw[->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0);
+ \draw[->, cyan] (2, 0) -- (1,0);
+ \draw[->, blue] (2,1.5) -- (2, 0);
+ \draw[->, blue] (2,-1.5) -- (2, 0);
+ \draw[->, cyan] (2, 0) -- (3,0);
+ \end{scope}
+ \node[zero] at (1,0) {};
+ \node[zero] at (3,0) {};
+ \end{scope}
+ }
+
\end{scope}
- \begin{scope}[yshift=-2.5cm]
+ \node[zero] at (4,2) (n) {};
+ \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle};
+
+ \begin{scope}[yshift=-3.25cm]
+
+ \draw[->, thick](0,0) -- node[anchor=center, fill=white]{$z = \cos^{-1}(w)$} (0,1);
+
+ \end{scope}
+ \begin{scope}[yshift=-4cm]
\draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$w$};
- \draw[thick, ->, blue] (-4, 0) -- (-2, 0);
- \draw[thick, ->, red] (-2, 0) -- (0, 0);
- \draw[thick, ->, orange] (0, 0) -- (2, 0);
- \draw[thick, ->, darkgreen] (2, 0) -- (4, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, blue] (-4, 0) -- (-2, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, cyan] (-2, 0) -- (0, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (2, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (4, 0);
\node[anchor=south] at (-4,0) {$-\infty$};
\node[anchor=south] at (-2,0) {$-1$};
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex
index 3fc3cc6..2cec75f 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex
@@ -2,34 +2,45 @@
\tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm]
\tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
+ \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm]
- \begin{scope}[xscale=0.5]
- \draw[gray, ->] (0,-2) -- (0,2) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$};
- \draw[gray, ->] (-10,0) -- (10,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z_1$};
+ \begin{scope}[xscale=0.75]
+
+ \draw[gray, ->] (0,-1) -- (0,2) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$};
+ \draw[gray, ->] (-2,0) -- (9,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z_1$};
\begin{scope}
- \draw[>->, line width=0.05, thick, blue] (2, 1.5) -- (2,0.05) -- node[anchor=south, pos=0.5]{$N=1$} (0.1,0.05) -- (0.1,1.5);
- \draw[>->, line width=0.05, thick, orange] (4, 1.5) -- (4,0) -- node[anchor=south, pos=0.25]{$N=2$} (0,0) -- (0,1.5);
- \draw[>->, line width=0.05, thick, red] (6, 1.5) node[anchor=north west]{$-\infty$} -- (6,-0.05) node[anchor=west]{$-1$} -- node[anchor=north]{$0$} node[anchor=south, pos=0.1666]{$N=3$} (-0.1,-0.05) node[anchor=east]{$1$} -- (-0.1,1.5) node[anchor=north east]{$\infty$};
+ \draw[->, ultra thick, blue] (8, 1.5) -- node[align=center]{Sperrbereich} (8,0);
+ \draw[->, ultra thick, cyan] (8, 0) -- node[yshift=-0.5cm]{Durchlassbereich}(4,0);
+ \draw[->, ultra thick, darkgreen] (4, 0) -- node[yshift=-0.5cm]{Durchlassbereich} (0,0);
+ \draw[->, ultra thick, orange] (0, 0) -- node[align=center]{Sperrbereich} (0,1.5);
+
+ \node[anchor=north east] at (8, 1.5) {$-\infty$};
+ \draw (8, 0) node[dot]{} node[anchor=south east] {$1$};
+ \draw (6, 0) node[dot]{} node[anchor=south] {$-1$};
+ \draw (4, 0) node[dot]{} node[anchor=south] {$1$};
+ \draw (2, 0) node[dot]{} node[anchor=south] {$-1$};
+ \draw (0, 0) node[dot]{} node[anchor=south west] {$1$};
+ \node[anchor=north west] at (0, 1.5){$\infty$};
+ \node at(4,1) {$N = 4$};
- \node[zero] at (-7,0) {};
- \node[zero] at (-5,0) {};
- \node[zero] at (-3,0) {};
+ % \node[zero] at (-7,0) {};
+ % \node[zero] at (-5,0) {};
+ % \node[zero] at (-3,0) {};
\node[zero] at (-1,0) {};
\node[zero] at (1,0) {};
\node[zero] at (3,0) {};
\node[zero] at (5,0) {};
\node[zero] at (7,0) {};
-
\end{scope}
- \node[gray, anchor=north] at (-8,0) {$-4\pi$};
- \node[gray, anchor=north] at (-6,0) {$-3\pi$};
- \node[gray, anchor=north] at (-4,0) {$-2\pi$};
+ % \node[gray, anchor=north] at (-8,0) {$-4\pi$};
+ % \node[gray, anchor=north] at (-6,0) {$-3\pi$};
+ % \node[gray, anchor=north] at (-4,0) {$-2\pi$};
\node[gray, anchor=north] at (-2,0) {$-\pi$};
\node[gray, anchor=north] at (2,0) {$\pi$};
\node[gray, anchor=north] at (4,0) {$2\pi$};
@@ -37,9 +48,29 @@
\node[gray, anchor=north] at (8,0) {$4\pi$};
- \node[gray, anchor=east] at (0,-1.5) {$-\infty$};
+ % \node[gray, anchor=east] at (0,-1.5) {$-\infty$};
\node[gray, anchor=east] at (0, 1.5) {$\infty$};
\end{scope}
+ \node[zero] at (6.5,2) (n) {};
+ \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle};
+
+ \begin{scope}[xshift=2.75cm, yshift=-2cm]
+
+ \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$w$};
+
+ \draw[ultra thick, ->, blue] (-4, 0) -- (-2, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, cyan] (-2, 0) -- (0, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (2, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (4, 0);
+
+ \node[anchor=south] at (-4,0) {$-\infty$};
+ \node[anchor=south] at (-2,0) {$-1$};
+ \node[anchor=south] at (0,0) {$0$};
+ \node[anchor=south] at (2,0) {$1$};
+ \node[anchor=south] at (4,0) {$\infty$};
+
+ \end{scope}
+
\end{tikzpicture} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex
index 7155a85..0cf2417 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
\tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
- \begin{scope}[xscale=1, yscale=2]
+ \begin{scope}[xscale=0.9, yscale=1.8]
\draw[gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$};
\draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$};
@@ -22,32 +22,35 @@
\fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5);
+ \foreach \i in {-2,...,1} {
+ \foreach \j in {-2,...,1} {
+ \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
+ \draw[->, orange!50] (0, 0) -- (0,0.5);
+ \draw[->, darkgreen!50] (1, 0) -- (0,0);
+ \draw[->, cyan!50] (2, 0) -- (1,0);
+ \draw[->, blue!50] (2,0.5) -- (2, 0);
+ \draw[->, purple!50] (1, 0.5) -- (2,0.5);
+ \draw[->, red!50] (0, 0.5) -- (1,0.5);
+ \draw[->, orange!50] (0,1) -- (0,0.5);
+ \draw[->, blue!50] (2,0.5) -- (2, 1);
+ \draw[->, purple!50] (3, 0.5) -- (2,0.5);
+ \draw[->, red!50] (4, 0.5) -- (3,0.5);
+ \draw[->, cyan!50] (2, 0) -- (3,0);
+ \draw[->, darkgreen!50] (3, 0) -- (4,0);
+ \end{scope}
+ }
+ }
- \draw[thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5);
- \draw[thick, ->, orange] (1, 0) -- (0,0);
- \draw[thick, ->, red] (2, 0) -- (1,0);
- \draw[thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0);
- \draw[thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5);
- \draw[thick, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5);
-
-
+ \draw[ultra thick, ->, orange] (0, 0) -- (0,0.5);
+ \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0);
+ \draw[ultra thick, ->, cyan] (2, 0) -- (1,0);
+ \draw[ultra thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5);
+ \draw[ultra thick, ->, red] (0, 0.5) -- (1,0.5);
\foreach \i in {-2,...,1} {
\foreach \j in {-2,...,1} {
\begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
- \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, orange] (1, 0) -- (0,0);
- \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (1,0);
- \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0);
- \draw[opacity=0.5, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0,1) -- (0,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 1);
- \draw[opacity=0.5, ->, purple] (3, 0.5) -- (2,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (4, 0.5) -- (3,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (3,0);
- \draw[opacity=0.5, ->, orange] (3, 0) -- (4,0);
-
\node[zero] at ( 1, 0) {};
\node[zero] at ( 3, 0) {};
\node[pole] at ( 1,0.5) {};
@@ -63,16 +66,21 @@
\end{scope}
- \begin{scope}[yshift=-3.5cm, xscale=0.75]
+ \node[zero] at (4,3) (n) {};
+ \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle};
+ \node[pole, below=0.25cm of n] (n) {};
+ \node[anchor=west] at (n.east) {Polstelle};
+
+ \begin{scope}[yshift=-4cm, xscale=0.75]
\draw[gray, ->] (-6,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$};
- \draw[thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0);
- \draw[thick, ->, blue] (-3, 0) -- (-2, 0);
- \draw[thick, ->, red] (-2, 0) -- (0, 0);
- \draw[thick, ->, orange] (0, 0) -- (2, 0);
- \draw[thick, ->, darkgreen] (2, 0) -- (3, 0);
- \draw[thick, ->, cyan] (3, 0) -- (5, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, blue] (-3, 0) -- (-2, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, cyan] (-2, 0) -- (0, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (2, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (3, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, red] (3, 0) -- (5, 0);
\node[anchor=south] at (-5,0) {$-\infty$};
\node[anchor=south] at (-3,0) {$-1/k$};
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex
index 0743f7d..d4187c4 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex
@@ -5,9 +5,9 @@
\tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
- \begin{scope}[xscale=1.25, yscale=2.5]
+ \begin{scope}[xscale=1.25, yscale=3.5]
- \draw[gray, ->] (0,-0.75) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$};
+ \draw[gray, ->] (0,-0.55) -- (0,1.05) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$};
\draw[gray, ->] (-1.5,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z_1$};
\draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$};
@@ -35,18 +35,30 @@
% \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=3$};
\fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5);
- \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5);
+ % \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.1);
\node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=5$};
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, yshift=0.05cm]
- (5,0.5) node(t_k_unten){} -- node[above, yshift=0.1cm]{$NK$}
+ (5,0.5) node(t_k_unten){} -- node[above, yshift=0.1cm]{$NK_1$}
(0,0.5) node(t_k_opt_unten){};
\draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, xshift=0.1cm]
(5,0) node(t_k_unten){} -- node[right, xshift=0.1cm]{$K^\prime \frac{K_1N}{K} = K^\prime_1$}
(5,0.5) node(t_k_opt_unten){};
+
+ \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (5, 0) -- node[yshift=-0.5cm]{Durchlassbereich} (0,0);
+ \draw[ultra thick, ->, orange] (-0, 0) -- node[align=center]{Übergangs-\\berech} (0,0.5);
+ \draw[ultra thick, ->, red] (0,0.5) -- node[align=center, yshift=0.7cm]{Sperrbereich} (5, 0.5);
+
+ \draw (4,0 ) node[dot]{} node[anchor=south] {\small $1$};
+ \draw (2,0 ) node[dot]{} node[anchor=south] {\small $-1$};
+ \draw (0,0 ) node[dot]{} node[anchor=south west] {\small $1$};
+ \draw (0,0.5) node[dot]{} node[anchor=north west] {\small $1/k$};
+ \draw (2,0.5) node[dot]{} node[anchor=north] {\small $-1/k$};
+ \draw (4,0.5) node[dot]{} node[anchor=north] {\small $1/k$};
+
\foreach \i in {-2,...,1} {
\foreach \j in {-2,...,1} {
\begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
@@ -60,24 +72,22 @@
}
}
+ \end{scope}
+ \end{scope}
+ \begin{scope}[xshift=1cm , yshift=-3cm, xscale=0.75]
- \draw[thick, ->, darkgreen] (5, 0) -- node[yshift=-0.5cm]{Durchlassbereich} (0,0);
- \draw[thick, ->, orange] (-0, 0) -- node[align=center]{Übergangs-\\berech} (0,0.5);
- \draw[thick, ->, red] (0,0.5) -- node[align=center, yshift=0.5cm]{Sperrbereich} (5, 0.5);
-
- \draw (4,0 ) node[dot]{} node[anchor=south] {\small $1$};
- \draw (2,0 ) node[dot]{} node[anchor=south] {\small $-1$};
- \draw (0,0 ) node[dot]{} node[anchor=south west] {\small $1$};
- \draw (0,0.5) node[dot]{} node[anchor=north west] {\small $1/k$};
- \draw (2,0.5) node[dot]{} node[anchor=north] {\small $-1/k$};
- \draw (4,0.5) node[dot]{} node[anchor=north] {\small $1/k$};
-
-
+ \draw[gray, ->] (-1,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$};
- \end{scope}
+ \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (2, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (3, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, red] (3, 0) -- (5, 0);
+ \node[anchor=south] at (0,0) {$0$};
+ \node[anchor=south] at (2,0) {$1$};
+ \node[anchor=south] at (3,0) {$1/k$};
+ \node[anchor=south] at (5,0) {$\infty$};
\end{scope}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..ae18519
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex
@@ -0,0 +1,86 @@
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2]
+
+ \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm]
+ \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm]
+
+ \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
+
+ \begin{scope}[xscale=1.25, yscale=2.5]
+
+ \draw[gray, ->] (0,-0.55) -- (0,1.05) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}$};
+ \draw[gray, ->] (-1.5,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}$};
+
+ % \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$};
+ % \draw[gray] ( 5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $5K_1$};
+ % \draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime_1$};
+
+ \begin{scope}
+
+ \clip(-1.5,-0.75) rectangle (6.8,1.25);
+
+ % \draw[>->, line width=0.05, thick, blue] (1, 0.45) -- (2, 0.45) -- (2, 0.05) -- ( 0.1, 0.05) -- ( 0.1,0.45) -- (1, 0.45);
+ % \draw[>->, line width=0.05, thick, orange] (2, 0.5 ) -- (4, 0.5 ) -- (4, 0 ) -- ( 0 , 0 ) -- ( 0 ,0.5 ) -- (2, 0.5 );
+ % \draw[>->, line width=0.05, thick, red] (3, 0.55) -- (6, 0.55) -- (6,-0.05) -- (-0.1,-0.05) -- (-0.1,0.55) -- (3, 0.55);
+ % \node[blue] at (1, 0.25) {$N=1$};
+ % \node[orange] at (3, 0.25) {$N=2$};
+ % \node[red] at (5, 0.25) {$N=3$};
+
+
+
+ % \draw[line width=0.1cm, fill, red!50] (0,0) rectangle (3, 0.5);
+ % \draw[line width=0.05cm, fill, orange!50] (0,0) rectangle (2, 0.5);
+ % \fill[yellow!50] (0,0) rectangle (1, 0.5);
+ % \node[] at (0.5, 0.25) {\small $N=1$};
+ % \node[] at (1.5, 0.25) {\small $N=2$};
+ % \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=3$};
+
+ % \fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5);
+ \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5);
+
+
+ % \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, yshift=0.05cm]
+ % (5,0.5) node(t_k_unten){} -- node[above, yshift=0.1cm]{$NK_1$}
+ % (0,0.5) node(t_k_opt_unten){};
+
+ % \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, xshift=0.1cm]
+ % (5,0) node(t_k_unten){} -- node[right, xshift=0.1cm]{$K^\prime \frac{K_1N}{K} = K^\prime_1$}
+ % (5,0.5) node(t_k_opt_unten){};
+
+ \foreach \i in {-2,...,1} {
+ \foreach \j in {-2,...,1} {
+ \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
+
+ \node[zero] at ( 1, 0) {};
+ \node[zero] at ( 3, 0) {};
+ \node[pole] at ( 1,0.5) {};
+ \node[pole] at ( 3,0.5) {};
+
+ \end{scope}
+ }
+ }
+
+
+
+ \onslide<2->{
+ \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (5, 0) -- node[yshift=-0.4cm]{Durchlassbereich} (0,0);
+ \draw[ultra thick, ->, orange] (-0, 0) -- node[align=center]{Übergangs-\\berech} (0,0.5);
+ \draw[ultra thick, ->, red] (0,0.5) -- node[align=center, yshift=0.4cm]{Sperrbereich} (5, 0.5);
+ \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=5$};
+ }
+ \onslide<1->{
+ \draw (4,0 ) node[dot]{} node[anchor=south] {\small $1$};
+ \draw (2,0 ) node[dot]{} node[anchor=south] {\small $-1$};
+ \draw (0,0 ) node[dot]{} node[anchor=south west] {\small $1$};
+ \draw (0,0.5) node[dot]{} node[anchor=north west] {\small $1/k$};
+ \draw (2,0.5) node[dot]{} node[anchor=north] {\small $-1/k$};
+ \draw (4,0.5) node[dot]{} node[anchor=north] {\small $1/k$};
+
+ }
+
+
+ \end{scope}
+
+
+ \end{scope}
+
+\end{tikzpicture} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..2a36ee0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex
@@ -0,0 +1,76 @@
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2]
+
+ \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm]
+
+ \tikzset{pole/.style={cross out, draw, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
+
+ \begin{scope}[xscale=1, yscale=1.5]
+
+ \begin{scope}[]
+
+ \fill[orange!25] (0,0) rectangle (1.5, 0.75);
+ \fill[yellow!50] (0,0) rectangle (0.5, 0.25);
+
+ \draw[gray, ->] (0,-0.75) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$};
+ \draw[gray, ->] (-1.75,0) -- (1.75,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$};
+
+ \draw[gray] ( 0.5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$};
+ \draw[gray] (0, 0.25) +(0.05, 0) -- +(-0.05, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$};
+
+ % \draw[gray] ( 1.5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$};
+ % \draw[gray] (0, 0.75) +(0.05, 0) -- +(-0.05, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK_1^\prime$};
+
+ \clip(-1.6,-0.6) rectangle (1.6,1.6);
+ \begin{scope}[xscale=0.5, yscale=0.25, blue]
+ \foreach \i in {-1,...,1} {
+ \foreach \j in {-1,...,2} {
+ \begin{scope}[xshift=\i*2cm, yshift=\j*2cm]
+ \node[zero] at ( 1, 0) {};
+ \node[zero] at ( -1, 0) {};
+ \node[pole] at ( 1,1) {};
+ \node[pole] at ( -1,1) {};
+ \end{scope}
+ }
+ }
+ \end{scope}
+
+ \node at (0,2) {$\cd \left(N~K_1~z , k_1 \right)$};
+ \node at (0,2) {$w= \cd(z K, k)$};
+
+ \draw[scale=0.2, domain=0.02:5, variable=\x, red] plot ({\x1+3}, {1/\x+2});
+
+ \end{scope}
+
+ \begin{scope}[xshift=5cm]
+
+ \fill[orange!50] (0,0) rectangle (1.5, 0.75);
+ \fill[yellow!25] (0,0) rectangle (0.5, 0.25);
+
+ \draw[gray, ->] (0,-0.75) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$};
+ \draw[gray, ->] (-1.75,0) -- (1.75,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$};
+
+ % \draw[gray] ( 0.5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$};
+ % \draw[gray] (0, 0.25) +(0.05, 0) -- +(-0.05, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$};
+
+ \draw[gray] ( 0.5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$};
+ \draw[gray] (0, 0.75) +(0.05, 0) -- +(-0.05, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK_1^\prime$};
+
+ \clip(-1.6,-0.6) rectangle (1.6,1.6);
+ \begin{scope}[xscale=0.5, yscale=0.75, red]
+ \foreach \i in {-1,...,1} {
+ \foreach \j in {-1,...,0} {
+ \begin{scope}[xshift=\i*2cm, yshift=\j*2cm]
+ \node[zero] at ( 1, 0) {};
+ \node[zero] at ( -1, 0) {};
+ \node[pole] at ( 1,1) {};
+ \node[pole] at ( -1,1) {};
+ \end{scope}
+ }
+ }
+ \end{scope}
+
+ \end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..20c2d82
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+
+\def\d{0.2}
+\def\n{3}
+\def\nn{2}
+\def\a{2.5}
+
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2]
+
+ \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm]
+ \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm]
+
+ \tikzset{pole/.style={cross out, draw, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
+
+ \begin{scope}[xscale=3, yscale=3]
+
+ \begin{scope}[]
+ % \onslide<4->{
+ \fill[orange!30, scale=1.735] (0,0) rectangle (\d*\a+0.5, \d/\a+0.5);
+ % }
+ % \onslide<2->{
+ \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (\d*\a+0.5, \d/\a+0.5);
+ % }
+
+ \begin{scope}[]
+ \clip(0,0) rectangle (2,1.25);
+ \draw[thick, scale=1, domain=0.1:10, variable=\x, smooth, samples=200] plot ({\d*\x1+0.5}, {\d/\x+0.5});
+ \node at(1.25,0.7) {$K + jK^\prime$ Ortskurve};
+ \end{scope}
+
+ % \onslide<2->{
+ \begin{scope}[blue]
+ \draw[] (0,0) rectangle (\d*\a+0.5, \d/\a+0.5);
+
+
+ \node[pole] at ( \d*\a+0.5, \d/\a+0.5) {};
+ \node[zero] at ( \d*\a+0.5, 0) {};
+
+ \draw[] ( \d*\a+0.5,0) node[anchor=north] {\small $K$};
+ \draw[] (0, \d/\a+0.5) node[anchor=east]{\small $jK^\prime$};
+
+ % \onslide<3->{
+
+ \foreach \i in {1,...,\nn} {
+ \draw[gray, dotted] (\i*\d*\a/\n+\i*0.5/\n, 0) -- (\i*\d*\a/\n+\i*0.5/\n, \d/\a+0.5);
+ }
+
+ \node[dot, gray] at (\d*\a/\n+0.5/\n, \d/\a+0.5) {};
+ \node[above] at (0.5*\d*\a/\n+0.5*0.5/\n, \d/\a+0.5) {\small $K/N$};
+ % }
+ \end{scope}
+ % }
+
+ % \onslide<4->{
+ \begin{scope}[scale=1.735, red]
+ \draw (0,0) rectangle (\d*\a/\n+0.5/\n, \d/\a+0.5);
+ \draw[gray] (0,0) -- (\d*\a/\n+0.5/\n, \d/\a+0.5);
+
+ \node[pole] at ( \d*\a/\n+0.5/\n, \d/\a+0.5) {};
+ \node[zero] at ( \d*\a/\n+0.5/\n, 0) {};
+
+
+ \draw[] ( \d*\a/\n+0.5/\n,0) node[anchor=north] {\small $K_1$};
+ \draw[] (0, \d/\a+0.5) node[anchor=east]{\small $jK_1^\prime$};
+
+ \end{scope}
+ % }
+
+ \draw[gray, ->] (0,-0.25) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}$};
+ \draw[gray, ->] (-0.25,0) -- (2,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}$};
+
+ \end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..769602a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex
@@ -0,0 +1,32 @@
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2]
+
+ \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm]
+
+ \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
+
+ \begin{scope}[xscale=3, yscale=2.5]
+
+ \fill[darkgreen!15] (0,0) rectangle (1,1);
+ \node[darkgreen] at (0.5,0.5) {Durchlassbereich};
+ \fill[orange!15] (1,0) rectangle (2.5,1);
+ \node[orange] at (1.75,0.5) {Sperrbereich};
+
+ \draw[gray, ->] (0,0) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$|H(\Omega)|$};
+ \draw[gray, ->] (0,0) -- (2.75,0) node[anchor=west]{$\Omega$};
+
+ \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$};
+ \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$};
+
+ \node[left] at(0,1) {$1$};
+
+ \draw[red, thick] (0,1) -- (1,1) -- (1,0) -- (2.5,0);
+
+ \node[anchor=north, red] at (0.5,1) {Ideal};
+
+ \draw[thick, domain=0:2.5, variable=\x, smooth, samples=200] plot
+ ({\x}, {sqrt(abs(1/ (1 + \x^10)))});
+ \node[anchor=south] at (0.5,1) {Butterworth ($N=5$)};
+
+ \end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex
index 87c63c0..0546fda 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
\tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
- \begin{scope}[xscale=1, yscale=2]
+ \begin{scope}[xscale=0.9, yscale=1.8]
\draw[gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$};
\draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$};
@@ -17,35 +17,45 @@
\begin{scope}[xshift=-1cm]
- \draw[thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5);
- \draw[thick, ->, orange] (1, 0) -- (0,0);
- \draw[thick, ->, red] (2, 0) -- (1,0);
- \draw[thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0);
- \draw[thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5);
- \draw[thick, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5);
+ \foreach \i in {-2,...,2} {
+ \foreach \j in {-2,...,1} {
+ \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
+ \draw[<-, blue!50] (0, 0) -- (0,0.5);
+ \draw[<-, cyan!50] (1, 0) -- (0,0);
+ \draw[<-, darkgreen!50] (2, 0) -- (1,0);
+ \draw[<-, orange!50] (2,0.5) -- (2, 0);
+ \draw[<-, red!50] (1, 0.5) -- (2,0.5);
+ \draw[<-, purple!50] (0, 0.5) -- (1,0.5);
+ \draw[<-, blue!50] (0,1) -- (0,0.5);
+ \draw[<-, orange!50] (2,0.5) -- (2, 1);
+ \draw[<-, red!50] (3, 0.5) -- (2,0.5);
+ \draw[<-, purple!50] (4, 0.5) -- (3,0.5);
+ \draw[<-, darkgreen!50] (2, 0) -- (3,0);
+ \draw[<-, cyan!50] (3, 0) -- (4,0);
+ \end{scope}
+ }
+ }
+
+ % \pause
+ \draw[ultra thick, <-, darkgreen] (2, 0) -- (1,0);
+ % \pause
+ \draw[ultra thick, <-, orange] (2,0.5) -- (2, 0);
+ % \pause
+ \draw[ultra thick, <-, red] (1, 0.5) -- (2,0.5);
+ % \pause
+ \draw[ultra thick, <-, blue] (0, 0) -- (0,0.5);
+ \draw[ultra thick, <-, purple] (0, 0.5) -- (1,0.5);
+ \draw[ultra thick, <-, cyan] (1, 0) -- (0,0);
+ % \pause
\foreach \i in {-2,...,2} {
\foreach \j in {-2,...,1} {
\begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
- \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, orange] (1, 0) -- (0,0);
- \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (1,0);
- \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0);
- \draw[opacity=0.5, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0,1) -- (0,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 1);
- \draw[opacity=0.5, ->, purple] (3, 0.5) -- (2,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (4, 0.5) -- (3,0.5);
- \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (3,0);
- \draw[opacity=0.5, ->, orange] (3, 0) -- (4,0);
-
\node[zero] at ( 1, 0) {};
\node[zero] at ( 3, 0) {};
\node[pole] at ( 1,0.5) {};
\node[pole] at ( 3,0.5) {};
-
\end{scope}
}
}
@@ -57,20 +67,23 @@
\draw[gray] ( 1,0) +(0,0.1) -- +(0, -0.1) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$};
\draw[gray] (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$};
-
-
\end{scope}
- \begin{scope}[yshift=-3.5cm, xscale=0.75]
+ \node[zero] at (4,3) (n) {};
+ \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle};
+ \node[pole, below=0.25cm of n] (n) {};
+ \node[anchor=west] at (n.east) {Polstelle};
+
+ \begin{scope}[yshift=-4cm, xscale=0.75]
\draw[gray, ->] (-6,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$};
- \draw[thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0);
- \draw[thick, ->, blue] (-3, 0) -- (-2, 0);
- \draw[thick, ->, red] (-2, 0) -- (0, 0);
- \draw[thick, ->, orange] (0, 0) -- (2, 0);
- \draw[thick, ->, darkgreen] (2, 0) -- (3, 0);
- \draw[thick, ->, cyan] (3, 0) -- (5, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, blue] (-3, 0) -- (-2, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, cyan] (-2, 0) -- (0, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (2, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (3, 0);
+ \draw[ultra thick, ->, red] (3, 0) -- (5, 0);
\node[anchor=south] at (-5,0) {$-\infty$};
\node[anchor=south] at (-3,0) {$-1/k$};
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
index 7d426b6..639c87c 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
@@ -1,9 +1,8 @@
\section{Tschebyscheff-Filter}
-Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter.
-Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon.
-
-Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind:
+Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter.
+Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter.
+Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \label{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind:
\begin{align}
T_{0}(x)&=1\\
T_{1}(x)&=x\\
@@ -16,7 +15,7 @@ Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometri
T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\
&= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z)
\end{align}
-übereinstimmt.
+übereinstimmen.
Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären.
Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome.
\begin{figure}
@@ -28,7 +27,7 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-P
Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt.
Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$.
Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter.
-Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert.
+Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forderungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf}
@@ -36,12 +35,11 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraus
\label{ellfiter:fig:chebychef}
\end{figure}
-
Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist.
-Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.
+Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.
-Starten wir mit der Funktion, die als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
-Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt werden:
+Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
+Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden:
\begin{align}
\cos^{-1}(x)
&=
@@ -63,9 +61,9 @@ Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt wer
}
}
~dz
- + \frac{\pi}{2}
+ + \frac{\pi}{2}.
\end{align}
-Der Integrand oder auch die Ableitung
+Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$
\begin{equation}
\frac{
-1
@@ -75,59 +73,37 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung
}
}
\end{equation}
-bestimmt dabei die Richtung, in der die Funktion verläuft.
+bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft.
Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert.
Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte.
Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ.
Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen.
Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab.
-Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den Arcuscosinus in der komplexen Ebene.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex}
\caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.}
\label{ellfilter:fig:arccos}
\end{figure}
-Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch und es entstehen periodische Nullstellen.
-% \begin{equation}
-% \frac{
-% 1
-% }{
-% \sqrt{
-% 1-z^2
-% }
-% }
-% \in \mathbb{R}
-% \quad
-% \forall
-% \quad
-% -1 \leq z \leq 1
-% \end{equation}
-% \begin{equation}
-% \frac{
-% 1
-% }{
-% \sqrt{
-% 1-z^2
-% }
-% }
-% = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R}
-% \quad
-% \forall
-% \quad
-% z \leq -1 \cup z \geq 1
-% \end{equation}
+Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch.
+Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion.
+
-Die Tschebyscheff-Polynome skalieren diese Nullstellen mit dem Ordnungsfaktor $N$, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}.
+In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert.
+Die Skalierung hat zur folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden.
+Somit passiert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}.
\begin{figure}
\centering
\input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex}
\caption{
$z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion.
- Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für verschiedene Ordnungen $N$.
- Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
+ Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w\in(-\infty, \infty)$ für $N = 4$.
+ Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equirippel-Verhalten führen.
+ Die vertikalen Segmente der Funktion sorgen für das Ansteigen der Funktion gegen $\infty$ nach der Grenzfrequenz.
+ Die eingezeichneten Nullstellen sind vom zurücktransformierenden Kosinus.
}
\label{ellfilter:fig:arccos2}
\end{figure}
-Somit passert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen.
-Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet.
+Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet.
+Equirippel bedeutet, dass alle lokalen Maxima der Betragsfunktion gleich gross sind.
diff --git a/buch/papers/kreismembran/references.bib b/buch/papers/kreismembran/references.bib
index 3d9d0c1..65173f8 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/references.bib
+++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib
@@ -89,4 +89,10 @@
type = {Dissertation},
author = {{Eric John Ruggiero Doctor of Philosophy In Mechanical Engineering}},
date = {2005},
+}
+
+@online{noauthor_laplace_nodate,
+ title = {Laplace Transform of Bessel Function of the First Kind of Order Zero - {ProofWiki}},
+ url = {https://proofwiki.org/wiki/Laplace_Transform_of_Bessel_Function_of_the_First_Kind_of_Order_Zero},
+ urldate = {2022-08-15},
} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
index c6dac06..27c6f0f 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
@@ -7,9 +7,9 @@
\rhead{Membran}
Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein ``dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen \dots''.
Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften wie ein gespanntes Stück Papier.
-Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}.
-Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird.
-Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier.
+Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membran unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}.
+Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation, sobald sie gekrümmt wird.
+Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt, wie zum Beispiel Papier.
Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt, welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden.
Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel.
@@ -28,11 +28,11 @@ Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften:
Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $.
\item Die Membran ist perfekt flexibel.
Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann.
- Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $.
+ Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie mit einer Kraft $ T $ gespannt werden.
\item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken.
Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich.
\item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung.
- Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation.
+ Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Reibungsverluste durch Deformation.
\end{enumerate}
@@ -64,7 +64,7 @@ befolgen. Die senkrecht wirkenden Kräfte werden mit $ T_1 $ und $ T_2 $ ausgedr
\begin{equation*}
T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} .
\end{equation*}
-Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \ref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann
+Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \eqref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann
\begin{equation*}
\frac{T_2 \sin \beta}{T_2 \cos \beta} - \frac{T_1 \sin \alpha}{T_1 \cos \alpha} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
\end{equation*}
@@ -91,4 +91,4 @@ Damit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form
\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u.
\end{equation}
In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran.
-Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen gerechnet werden. \ No newline at end of file
+Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen verwendet werden. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
index f6ba7d1..a9b2fad 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
\section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode 
\label{kreismembran:section:teil1}}
\rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode}
-An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Abschnitt wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
+An diesem Punkt bleibt also ``nur'' noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Abschnitt wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
\subsection{Aufgabestellung\label{sub:aufgabestellung}}
Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt:
@@ -30,7 +30,7 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d
ergibt.
Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die das Gebiet $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist.
-Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran nach den Annahmen von \ref{kreimembran:annahmen}.
+Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran nach den Annahmen von Abschnitt \ref{kreimembran:annahmen}.
Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$:
\begin{align*}
@@ -50,9 +50,9 @@ Nun wird das in Abschnitt \ref{sub:aufgabestellung} vorgestellte Problem mit Hil
\subsubsection{Ansatz der Separation der Variablen\label{subsub:ansatz_separation}}
Hierfür wird folgenden Ansatz gemacht:
\begin{equation*}
- u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t)
+ u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t).
\end{equation*}
-Dank der Randbedingungen kann gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich:
+Dank der Randbedingungen kann gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$-periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich nach Division durch $u$:
\begin{equation*}
\frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\kappa^2=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}.
\end{equation*}
@@ -71,9 +71,9 @@ In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rec
\end{align*}
\subsubsection{Lösung für $G(\varphi)$\label{subsub:lösung_G}}
-Da für die zweite Gleichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt man die gemeinsame Konstante als $\nu=-\omega^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also:
+Da für die zweite Gleichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-n^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt man die gemeinsame Konstante als $\nu=-n^2$, was die Formeln später vereinfacht. $n$ muss auch eine ganze Zahl sein, weil $G(\varphi)$ sonst nicht $2\pi$-periodisch ist. Also:
\begin{equation*}
- G(\varphi) = C_n \cos(\nu\varphi) + D_n \sin(\nu\varphi)
+ G(\varphi) = C_n \cos(n\varphi) + D_n \sin(n\varphi)
\label{eq:cos_sin_überlagerung}
\end{equation*}
@@ -85,17 +85,20 @@ Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt (Verweis auf \label{buch:differentialglei
\end{align}
Wie bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Bessel-Funktionen
\begin{equation*}
- J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)}
+ J_{n}(x) = r^n \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+n}m! \Gamma (n + m+1)}
\end{equation*}
Lösungen der Besselschen Differenzialgleichung
\begin{equation*}
- x^2 y'' + xy' + (\kappa^2 - \nu^2)y = 0
+ x^2 y'' + xy' + (\kappa^2 - n^2)y = 0
\end{equation*}
Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}.
\subsubsection{Lösung für $T(t)$\label{subsub:lösung_T}}
-Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$.
-
+Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. Um eine Einschränkung der möglichen Frequenzen zu erhalten und die Lösung als Reihe schreiben zu können, muss die folgende homogene Randbedingung definiert werden:
+\begin{equation*}
+ u\big|_{\Gamma} = 0 \quad \text{für} \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\quad t \geq 0,
+\end{equation*}
+welche die $\kappa$ auf mögliche werte $\kappa_{mn}$ einschränkt.
\subsubsection{Zusammenfassung der Lösungen\label{subsub:zusammenfassung_lösungen}}
Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung
\begin{align}
@@ -120,5 +123,7 @@ für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membr
\label{buch:pde:kreis:fig:pauke}}
\end{figure}
-
+\begin{center}
+ * \quad *\quad *
+\end{center}
An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass eine weitere Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist.
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
index ec27bd3..4ceeb84 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
@@ -7,12 +7,12 @@
Hermann Hankel (1839--1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analysis und insbesondere für die nach ihm benannte Transformation bekannt ist.
Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von Funktionen auf, die nur von der Entfernung des Ursprungs abhängen.
-Er untersuchte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art.
+Er untersuchte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel-Funktionen genannt, der dritten Art.
Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind.
In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert.
\subsubsection{Definition der Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}}
-Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
+Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Trans\-formation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
\begin{align}
\mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx \; dy,\label{equation:fourier_transform}\\
\mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}F(k,l) \; dx \; dy \label{equation:inv_fourier_transform}
@@ -49,13 +49,13 @@ wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel-Transformation} von $f(r)$ und i
\subsubsection{Inverse Hankel-Transformation \label{subsub:inverse_hankel_tansformation}}
Wie bei der Entwicklung der Hankel-Transformation können auch für die Umkehrformel Analogien zur Fourier-Transformation hergestellt werden. Vergleicht man die beiden Transformationen, so stellt man fest, dass sie sehr ähnlich sind, wenn man den Term $J_n(\kappa r)$ der Hankel-Transformation durch $e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}$ der Fourier-Transformation ersetzt. Diese beide Funktionen sind orthogonal, und bei orthogonalen Matrizen genügt bekanntlich die Transponierung, um sie zu invertieren. Da das Skalarprodukt der Bessel-Funktionen jedoch nicht dasselbe ist wie das der Exponentialfunktionen, muss man durch $\kappa\; d\kappa$ statt nur durch $d\kappa$ integrieren, um die Umkehrfunktion zu erhalten.
-Von \eqref{equation:hankel} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert:
+Die inverse \textit{Hankel-Transformation} ist also als
\begin{align}
\mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa.
\label{equation:inv_hankel}
\end{align}
+definiert.
-Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig einfach $\tilde{f}(\kappa)$ für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird.
Die Integrale \eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} existieren für bestimmte grosse Klassen von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen vorkommen.
Alternativ dazu kann die berühmte Hankel-Integralformel
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
index a9dcd95..d143ec7 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
@@ -60,19 +60,23 @@ so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und
\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}.
\end{equation*}
-Aus der Laplace-Transformation und unter Verwendung der Skalierungseigenschaft ergibt sich, dass
+\noindent Die formale Lösung \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
+\begin{align}
+ u(r,t)=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t) \; dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r) \; dk.
+ \label{form_lösung2_step1}
+\end{align}
+\noindent Aus der Laplace-Transformation und unter Verwendung der Skalierungseigenschaft \cite{noauthor_laplace_nodate} ergibt sich, dass
\begin{align*}
- \int_{0}^{\infty}e^{-px} J_0(\kappa x) \; dx = \frac{1}{\sqrt{\kappa^2 + p^2}}.
+ \int_{0}^{\infty}e^{-px} J_0(\kappa x) \; dx = \frac{1}{\sqrt{\kappa^2 + p^2}},
\end{align*}
-Die formale Lösung \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
-\begin{align*}
- u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t) \; dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r) \; dk\\
- &=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}.
-\end{align*}
+\noindent \eqref{form_lösung2_step1} kann somit vereinfacht werden in:
+\begin{equation*}
+ u(r,t)=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}.
+\end{equation*}
-Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung durch Überlagerung,
+\noindent Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung durch Überlagerung,
\begin{align}
u(r, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} J_0 (k_{m}r)[a_{m}\cos(c \kappa_{m} t)+b_{m}\sin(c \kappa_{m} t)]
@@ -84,6 +88,6 @@ kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen.
\label{kreismembran:vergleich}}
Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}.
Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, welche unter der Annahme einer rotationssymmetrischen Lösung nicht vorhanden sein können. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist.
-Die Funktion hängt also nicht mehr von der Besselfunktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der nullter Ordnung.
+Die Funktion hängt also nicht mehr von der Bessel-Funktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der nullter Ordnung.
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index 01a6029..d6aa54f 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -8,13 +8,13 @@
Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden.
Die Membran wird hier in Form der Matrix $ U $ digitalisiert.
-Jedes Element $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
-Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ entspricht somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran.
-Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $ U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht.
-Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+Jedes Element $ U_{ij} $ steht für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
+Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ ist somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran.
+Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $ U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ die Anzahl von Zeitschritten ist.
+Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ ist somit die Auslenkung $ u(i,j,w) $.
Da die DGL von zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus.
Es wird neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit jedes Membran-Elementes benötigt um den Zustand eindeutig zu beschreiben.
-Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elementen repräsentiert.
+Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elemente repräsentiert.
$ V[w]_{ij} $ entspricht also $ \dot{u}(i,j,w) $.
Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was $ U[w] $ und $ V[w] $ beinhaltet.
@@ -25,7 +25,7 @@ Die Folgeposition $ U[w+1] $ ergibt sich als
\begin{equation}
U[w+1] = U[w] + dt \cdot V[w],
\end{equation}
-also die Ausgangslage $ + $ die Strecke welche während des Zeitintervall mit der Geschwindigkeit des Elementes zurückgelegt wurde.
+also die Ausgangslage plus die Strecke welche während des Zeitintervall mit der Geschwindigkeit des Elementes zurückgelegt wurde.
Neben der Position muss auch die Geschwindigkeit aktualisiert werden.
Analog zur Folgeposition wird
\begin{equation*}
@@ -40,7 +40,7 @@ Die Geschwindigkeit des Folgezustandes kann somit mit
V[w+1] = V[w] + dt \cdot \Delta_h U \cdot c^2
\end{equation}
berechnet werden.
-Während $ c^2 $ lediglich eine Material spezifische Konstante ist, muss noch erläutert werden, wie der diskrete Laplace-Operator für $ \Delta_h u $ definiert ist.
+Während $ c^2 $ lediglich eine Material spezifische Konstante ist, muss noch erläutert werden, wie der diskrete Laplace-Operator für $ \Delta_h u $ definiert ist. Dieses Verfahren wird Euler-Methode genannt.
\subsection{Diskreter Laplace-Operator $\Delta_h$}
Die diskrete Ableitung zweiter Ordnung kann mit Hilfe der Taylor-Reihen-Entwicklung als
@@ -93,9 +93,9 @@ Der Folgezustand kann also mit den Gleichungen
\label{kreismembran:eq:folge_V}
V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)\odot M
\end{align}
-berechnet werden.
+berechnet werden. Das Symbol $\odot$ steht hier für eine elementweise Matrixmultiplikation (Hadamard-Produkt)
\subsubsection{Simulation}
-Mit den gegebenen Gleichungen \ref{kreismembran:eq:folge_U} und \ref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden.
+Mit den gegebenen Gleichungen \eqref{kreismembran:eq:folge_U} und \eqref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden.
In der Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_rund} sind Simulationsresultate zu sehen.
Die erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten.
Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet.
@@ -120,7 +120,7 @@ Erreicht die Störung den Rand, wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentru
Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren, könnte der unpraktische Weg gewählt werden, die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen.
Etwas geeigneter ist es, die Matrix so gross wie möglich zu definieren, wie es die Kapazitäten erlauben.
Wenn anschliessend nur das Verhalten im Zentrum, bei der Störung beobachtet wird, verhaltet sich die Membran wie eine unendliche.
-Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das innere zu beobachtende Zentrum beeinflusst.
+Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das Zentrum beeinflusst.
Soll erst gar keine Reflexion entstehen, muss ein Absorber modelliert werden welcher die Störung möglichst ohne Reflexion aufnimmt.
\subsubsection{Absorber}
@@ -132,15 +132,15 @@ Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges.
Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ einen binären Übergang von Membran zu Rand bezweckt.
Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt.
Die Elemente werden auf Basis ihres Abstand $r$ zum Zentrum definiert.
-Der Abstand entspricht
+Der Abstand ist
\begin{equation*}
r(i,j) = \sqrt{|i-\frac{m}{2}|^2+|j-\frac{n}{2}|^2},
\end{equation*}
-wobei $ m $ und $n$ den Dimensionen der Matrix entsprechen.
-Für einen Stufenlosen Übergang werden die Elemente der Maske auf
+wobei $ m $ und $n$ die Dimensionen der Matrix sind.
+Für einen stufenlosen Übergang werden die Elemente der Maske auf
\begin{align}
- M_{ij} = \begin{cases} 1-e^{(r(i,j)-b)a} & \text{wenn $x > b$} \\
+ M_{ij} = \begin{cases} 1-e^{(r(i,j)-b)a} & \text{$x > b$} \\
0 & \text{sonst} \end{cases}
\end{align}
gesetzt.
@@ -184,7 +184,7 @@ Die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} welche simuliert wird geht jedoch von der
\section{Schlusswort}
Auch wenn ein physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen.
Lösungen einer unendlich grosse Membran scheinen fern der Realität zu sein, doch dies darf es im Sinne der Mathematik.
-Und wer weis, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung.
+Und wer weiss, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung.
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
index 739b02b..964b348 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
index b5428f5..42cae0d 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
index 975e248..f09edfb 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
@@ -9,6 +9,9 @@ import pylatex
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
+
+
+
N = np.array([0, 0])
V = np.array([1, 4])
Z = np.array([5, 5])
@@ -34,9 +37,10 @@ ax.quiver(X, Y, U, W, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, headwidth=5, headl
ax.plot([V[0], (VZ+V)[0]], [V[1], (VZ+V)[1]], 'k--')
ax.plot(np.vstack([V, Z])[:, 0], np.vstack([V, Z])[:,1], 'bo', markersize=10)
-ax.set_xlabel("x", size=20)
-ax.set_ylabel("y", size=20)
+ax.tick_params(labelsize=15)
+plt.xticks(ticks=range(0, 7))
+plt.yticks(ticks=range(0, 7))
ax.text(2.5, 4.5, "Visierlinie", size=20, rotation=10)
plt.rcParams.update({
@@ -48,6 +52,7 @@ plt.rcParams.update({
ax.text(1.6, 4.3, r"$\dot{v}$", size=20)
ax.text(0.65, 3.9, r"$V$", size=20, c='b')
ax.text(5.15, 4.85, r"$Z$", size=20, c='b')
-
+ax.set_xlabel(r"$x$", size=20)
+ax.set_ylabel(r"$y$", size=20)
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg
deleted file mode 100644
index 30f9f22..0000000
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg
+++ /dev/null
@@ -1,790 +0,0 @@
-<?xml version="1.0" encoding="utf-8" standalone="no"?>
-<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"
- "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
-<!-- Created with matplotlib (https://matplotlib.org/) -->
-<svg height="345.6pt" version="1.1" viewBox="0 0 460.8 345.6" width="460.8pt" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">
- <metadata>
- <rdf:RDF xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#">
- <cc:Work>
- <dc:type rdf:resource="http://purl.org/dc/dcmitype/StillImage"/>
- <dc:date>2022-07-29T16:52:06.315252</dc:date>
- <dc:format>image/svg+xml</dc:format>
- <dc:creator>
- <cc:Agent>
- <dc:title>Matplotlib v3.3.2, https://matplotlib.org/</dc:title>
- </cc:Agent>
- </dc:creator>
- </cc:Work>
- </rdf:RDF>
- </metadata>
- <defs>
- <style type="text/css">*{stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:round;}</style>
- </defs>
- <g id="figure_1">
- <g id="patch_1">
- <path d="M 0 345.6
-L 460.8 345.6
-L 460.8 0
-L 0 0
-z
-" style="fill:#ffffff;"/>
- </g>
- <g id="axes_1">
- <g id="patch_2">
- <path d="M 57.6 307.584
-L 414.72 307.584
-L 414.72 41.472
-L 57.6 41.472
-z
-" style="fill:#ffffff;"/>
- </g>
- <g id="Quiver_1">
- <path clip-path="url(#p4d634c2ff8)" d="M 56.33035 307.158035
-L 111.164738 143.716183
-L 104.808244 145.821274
-L 117.12 130.176
-L 117.504742 150.080921
-L 113.704037 144.568113
-L 58.86965 308.009965
-L 56.33035 307.158035
-"/>
- <path clip-path="url(#p4d634c2ff8)" d="M 56.799809 306.510151
-L 342.587471 93.552248
-L 336.165162 91.657425
-L 355.2 85.824
-L 344.167068 102.395914
-L 344.187852 95.699946
-L 58.400191 308.657849
-L 56.799809 306.510151
-"/>
- <path clip-path="url(#p4d634c2ff8)" d="M 116.874739 128.85945
-L 197.624689 113.816516
-L 192.693997 109.286097
-L 212.352 112.4352
-L 195.146603 122.451597
-L 198.11521 116.449616
-L 117.365261 131.49255
-L 116.874739 128.85945
-"/>
- </g>
- <g id="matplotlib.axis_1">
- <g id="xtick_1">
- <g id="line2d_1">
- <defs>
- <path d="M 0 0
-L 0 3.5
-" id="mb1945b9271" style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;"/>
- </defs>
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_1">
- <!-- $\mathdefault{0}$ -->
- <g transform="translate(55.109332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
- <defs>
- <path d="M 42 31.84375
-C 42 37.96875 41.90625 48.421875 37.703125 56.453125
-C 34 63.484375 28.09375 66 22.90625 66
-C 18.09375 66 12 63.78125 8.203125 56.5625
-C 4.203125 49.015625 3.796875 39.671875 3.796875 31.84375
-C 3.796875 26.109375 3.90625 17.375 7 9.734375
-C 11.296875 -0.609375 19 -2 22.90625 -2
-C 27.5 -2 34.5 -0.109375 38.59375 9.4375
-C 41.59375 16.375 42 24.5 42 31.84375
-z
-M 22.90625 -0.40625
-C 16.5 -0.40625 12.703125 5.125 11.296875 12.75
-C 10.203125 18.6875 10.203125 27.328125 10.203125 32.953125
-C 10.203125 40.6875 10.203125 47.109375 11.5 53.234375
-C 13.40625 61.78125 19 64.390625 22.90625 64.390625
-C 27 64.390625 32.296875 61.671875 34.203125 53.4375
-C 35.5 47.71875 35.59375 40.984375 35.59375 32.953125
-C 35.59375 26.421875 35.59375 18.375 34.40625 12.453125
-C 32.296875 1.5 26.40625 -0.40625 22.90625 -0.40625
-z
-" id="CMR17-48"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-48"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="xtick_2">
- <g id="line2d_2">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="117.12" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_2">
- <!-- $\mathdefault{1}$ -->
- <g transform="translate(114.629332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
- <defs>
- <path d="M 26.59375 63.796875
-C 26.59375 65.890625 26.5 66 25.09375 66
-C 21.203125 61.359375 15.296875 59.890625 9.703125 59.6875
-C 9.40625 59.6875 8.90625 59.6875 8.796875 59.5
-C 8.703125 59.296875 8.703125 59.09375 8.703125 57
-C 11.796875 57 17 57.59375 21 59.984375
-L 21 7.296875
-C 21 3.796875 20.796875 2.59375 12.203125 2.59375
-L 9.203125 2.59375
-L 9.203125 0
-C 14 0.09375 19 0.1875 23.796875 0.1875
-C 28.59375 0.1875 33.59375 0.09375 38.40625 0
-L 38.40625 2.59375
-L 35.40625 2.59375
-C 26.796875 2.59375 26.59375 3.6875 26.59375 7.296875
-z
-" id="CMR17-49"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-49"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="xtick_3">
- <g id="line2d_3">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="176.64" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_3">
- <!-- $\mathdefault{2}$ -->
- <g transform="translate(174.149332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
- <defs>
- <path d="M 41.703125 15.46875
-L 39.90625 15.46875
-C 38.90625 8.390625 38.09375 7.1875 37.703125 6.59375
-C 37.203125 5.796875 30 5.796875 28.59375 5.796875
-L 9.40625 5.796875
-C 13 9.6875 20 16.765625 28.5 24.9375
-C 34.59375 30.71875 41.703125 37.5 41.703125 47.390625
-C 41.703125 59.1875 32.296875 66 21.796875 66
-C 10.796875 66 4.09375 56.296875 4.09375 47.296875
-C 4.09375 43.390625 7 42.890625 8.203125 42.890625
-C 9.203125 42.890625 12.203125 43.484375 12.203125 46.984375
-C 12.203125 50.09375 9.59375 51 8.203125 51
-C 7.59375 51 7 50.890625 6.59375 50.6875
-C 8.5 59.1875 14.296875 63.390625 20.40625 63.390625
-C 29.09375 63.390625 34.796875 56.5 34.796875 47.390625
-C 34.796875 38.703125 29.703125 31.21875 24 24.734375
-L 4.09375 2.296875
-L 4.09375 0
-L 39.296875 0
-z
-" id="CMR17-50"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-50"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="xtick_4">
- <g id="line2d_4">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="236.16" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_4">
- <!-- $\mathdefault{3}$ -->
- <g transform="translate(233.669332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
- <defs>
- <path d="M 22.09375 34
-C 31 34 34.90625 26.140625 34.90625 17.09375
-C 34.90625 5.03125 28.5 0.390625 22.703125 0.390625
-C 17.40625 0.390625 8.796875 3.015625 6.09375 10.796875
-C 6.59375 10.59375 7.09375 10.59375 7.59375 10.59375
-C 10 10.59375 11.796875 12.1875 11.796875 14.796875
-C 11.796875 17.6875 9.59375 19 7.59375 19
-C 5.90625 19 3.296875 18.1875 3.296875 14.484375
-C 3.296875 5.234375 12.296875 -2 22.90625 -2
-C 34 -2 42.5 6.75 42.5 16.984375
-C 42.5 26.84375 34.5 34 25 35.09375
-C 32.59375 36.671875 39.90625 43.375 39.90625 52.390625
-C 39.90625 60.25 32 66 23 66
-C 13.90625 66 5.90625 60.34375 5.90625 52.296875
-C 5.90625 48.796875 8.5 48.1875 9.796875 48.1875
-C 11.90625 48.1875 13.703125 49.484375 13.703125 52.09375
-C 13.703125 54.6875 11.90625 56 9.796875 56
-C 9.40625 56 8.90625 56 8.5 55.796875
-C 11.40625 62.484375 19.296875 63.6875 22.796875 63.6875
-C 26.296875 63.6875 32.90625 61.96875 32.90625 52.296875
-C 32.90625 49.484375 32.5 44.546875 29.09375 40.21875
-C 26.09375 36.390625 22.703125 36.1875 19.40625 35.890625
-C 18.90625 35.890625 16.59375 35.6875 16.203125 35.6875
-C 15.5 35.59375 15.09375 35.5 15.09375 34.796875
-C 15.09375 34.09375 15.203125 34 17.203125 34
-z
-" id="CMR17-51"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-51"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="xtick_5">
- <g id="line2d_5">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="295.68" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_5">
- <!-- $\mathdefault{4}$ -->
- <g transform="translate(293.189332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
- <defs>
- <path d="M 33.59375 64.796875
-C 33.59375 66.890625 33.5 67 31.703125 67
-L 2 19.59375
-L 2 17
-L 27.796875 17
-L 27.796875 7.1875
-C 27.796875 3.59375 27.59375 2.59375 20.59375 2.59375
-L 18.703125 2.59375
-L 18.703125 0
-C 21.90625 0.1875 27.296875 0.1875 30.703125 0.1875
-C 34.09375 0.1875 39.5 0.1875 42.703125 0
-L 42.703125 2.59375
-L 40.796875 2.59375
-C 33.796875 2.59375 33.59375 3.59375 33.59375 7.1875
-L 33.59375 17
-L 43.796875 17
-L 43.796875 19.59375
-L 33.59375 19.59375
-z
-M 28.09375 58.171875
-L 28.09375 19.59375
-L 4 19.59375
-z
-" id="CMR17-52"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-52"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="xtick_6">
- <g id="line2d_6">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="355.2" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_6">
- <!-- $\mathdefault{5}$ -->
- <g transform="translate(352.709332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
- <defs>
- <path d="M 11.40625 58.59375
-C 12.40625 58.1875 16.5 56.890625 20.703125 56.890625
-C 30 56.890625 35.09375 61.890625 38 64.6875
-C 38 65.484375 38 66 37.40625 66
-C 37.296875 66 37.09375 66 36.296875 65.59375
-C 32.796875 64.09375 28.703125 63 23.703125 63
-C 20.703125 63 16.203125 63.359375 11.296875 65.484375
-C 10.203125 66 10 66 9.90625 66
-C 9.40625 66 9.296875 65.890625 9.296875 63.90625
-L 9.296875 34.859375
-C 9.296875 33.015625 9.296875 32.5 10.296875 32.5
-C 10.796875 32.5 11 32.703125 11.5 33.421875
-C 14.703125 38.046875 19.09375 40 24.09375 40
-C 27.59375 40 35.09375 37.734375 35.09375 20.203125
-C 35.09375 16.984375 35.09375 11.1875 32.09375 6.59375
-C 29.59375 2.484375 25.703125 0.390625 21.40625 0.390625
-C 14.796875 0.390625 8.09375 4.984375 6.296875 12.6875
-C 6.703125 12.59375 7.5 12.390625 7.90625 12.390625
-C 9.203125 12.390625 11.703125 13.09375 11.703125 16.1875
-C 11.703125 18.890625 9.796875 20 7.90625 20
-C 5.59375 20 4.09375 18.59375 4.09375 15.796875
-C 4.09375 7.09375 11 -2 21.59375 -2
-C 31.90625 -2 41.703125 6.890625 41.703125 19.796875
-C 41.703125 32.09375 33.90625 41.59375 24.203125 41.59375
-C 19.09375 41.59375 14.796875 39.6875 11.40625 36
-z
-" id="CMR17-53"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-53"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="xtick_7">
- <g id="line2d_7">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="414.72" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_7">
- <!-- $\mathdefault{6}$ -->
- <g transform="translate(412.229332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
- <defs>
- <path d="M 10.59375 34.34375
-C 10.59375 58 21.796875 63.6875 28.296875 63.6875
-C 30.40625 63.6875 35.5 63.265625 37.5 59.09375
-C 35.90625 59.09375 32.90625 59.09375 32.90625 55.59375
-C 32.90625 52.890625 35.09375 52 36.5 52
-C 37.40625 52 40.09375 52.390625 40.09375 55.796875
-C 40.09375 62.296875 35.09375 66 28.203125 66
-C 16.296875 66 3.796875 53.296875 3.796875 31.421875
-C 3.796875 4.015625 15.09375 -2 23.09375 -2
-C 32.796875 -2 42 6.734375 42 20.234375
-C 42 32.828125 33.90625 42 23.703125 42
-C 17.59375 42 13.09375 37.96875 10.59375 30.921875
-z
-M 23.09375 0.390625
-C 10.796875 0.390625 10.796875 18.9375 10.796875 22.65625
-C 10.796875 29.90625 14.203125 40.390625 23.5 40.390625
-C 25.203125 40.390625 30.09375 40.390625 33.40625 33.4375
-C 35.203125 29.515625 35.203125 25.375 35.203125 20.34375
-C 35.203125 14.90625 35.203125 10.875 33.09375 6.84375
-C 30.90625 2.703125 27.703125 0.390625 23.09375 0.390625
-z
-" id="CMR17-54"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-54"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="matplotlib.axis_2">
- <g id="ytick_1">
- <g id="line2d_8">
- <defs>
- <path d="M 0 0
-L -3.5 0
-" id="m6d23d0aeda" style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;"/>
- </defs>
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="307.584"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_8">
- <!-- $\mathdefault{0}$ -->
- <g transform="translate(45.618665 311.280101)scale(0.1 -0.1)">
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-48"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="ytick_2">
- <g id="line2d_9">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="263.232"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_9">
- <!-- $\mathdefault{1}$ -->
- <g transform="translate(45.618665 266.928101)scale(0.1 -0.1)">
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-49"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="ytick_3">
- <g id="line2d_10">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="218.88"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_10">
- <!-- $\mathdefault{2}$ -->
- <g transform="translate(45.618665 222.576101)scale(0.1 -0.1)">
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-50"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="ytick_4">
- <g id="line2d_11">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="174.528"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_11">
- <!-- $\mathdefault{3}$ -->
- <g transform="translate(45.618665 178.224101)scale(0.1 -0.1)">
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-51"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="ytick_5">
- <g id="line2d_12">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="130.176"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_12">
- <!-- $\mathdefault{4}$ -->
- <g transform="translate(45.618665 133.872101)scale(0.1 -0.1)">
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-52"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="ytick_6">
- <g id="line2d_13">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="85.824"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_13">
- <!-- $\mathdefault{5}$ -->
- <g transform="translate(45.618665 89.520101)scale(0.1 -0.1)">
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-53"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="ytick_7">
- <g id="line2d_14">
- <g>
- <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#m6d23d0aeda" y="41.472"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_14">
- <!-- $\mathdefault{6}$ -->
- <g transform="translate(45.618665 45.168101)scale(0.1 -0.1)">
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-54"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- </g>
- <g id="line2d_15">
- <path clip-path="url(#p4d634c2ff8)" d="M 117.12 130.176
-L 355.2 85.824
-" style="fill:none;stroke:#000000;stroke-dasharray:5.55,2.4;stroke-dashoffset:0;stroke-width:1.5;"/>
- </g>
- <g id="line2d_16">
- <defs>
- <path d="M 0 5
-C 1.326016 5 2.597899 4.473168 3.535534 3.535534
-C 4.473168 2.597899 5 1.326016 5 0
-C 5 -1.326016 4.473168 -2.597899 3.535534 -3.535534
-C 2.597899 -4.473168 1.326016 -5 0 -5
-C -1.326016 -5 -2.597899 -4.473168 -3.535534 -3.535534
-C -4.473168 -2.597899 -5 -1.326016 -5 0
-C -5 1.326016 -4.473168 2.597899 -3.535534 3.535534
-C -2.597899 4.473168 -1.326016 5 0 5
-z
-" id="m138f5b32d3" style="stroke:#0000ff;"/>
- </defs>
- <g clip-path="url(#p4d634c2ff8)">
- <use style="fill:#0000ff;stroke:#0000ff;" x="117.12" xlink:href="#m138f5b32d3" y="130.176"/>
- <use style="fill:#0000ff;stroke:#0000ff;" x="355.2" xlink:href="#m138f5b32d3" y="85.824"/>
- </g>
- </g>
- <g id="patch_3">
- <path d="M 57.6 307.584
-L 57.6 41.472
-" style="fill:none;stroke:#000000;stroke-linecap:square;stroke-linejoin:miter;stroke-width:0.8;"/>
- </g>
- <g id="patch_4">
- <path d="M 414.72 307.584
-L 414.72 41.472
-" style="fill:none;stroke:#000000;stroke-linecap:square;stroke-linejoin:miter;stroke-width:0.8;"/>
- </g>
- <g id="patch_5">
- <path d="M 57.6 307.584
-L 414.72 307.584
-" style="fill:none;stroke:#000000;stroke-linecap:square;stroke-linejoin:miter;stroke-width:0.8;"/>
- </g>
- <g id="patch_6">
- <path d="M 57.6 41.472
-L 414.72 41.472
-" style="fill:none;stroke:#000000;stroke-linecap:square;stroke-linejoin:miter;stroke-width:0.8;"/>
- </g>
- <g id="text_15">
- <!-- Visierlinie -->
- <g transform="translate(208.967287 108.057514)rotate(-10)scale(0.2 -0.2)">
- <defs>
- <path d="M 39.296875 15.0625
-L 21 61.765625
-C 20.5 62.96875 20.203125 64.171875 20.203125 64.78125
-C 20.203125 66.59375 21.90625 67.296875 26.40625 67.296875
-L 30.40625 67.296875
-L 30.40625 72
-L -0.796875 72
-L -0.796875 67.296875
-L 1.203125 67.296875
-C 5.703125 67.296875 7 66.28125 8.90625 61.671875
-L 34.203125 -2
-L 38.203125 -2
-L 61.203125 57.453125
-C 64.203125 65.28125 66.40625 67.296875 72.09375 67.296875
-L 73.09375 67.296875
-L 73.09375 72
-L 46 72
-L 46 67.296875
-L 47.90625 67.296875
-C 53 67.296875 56 65.28125 56 62.0625
-C 56 60.65625 55.5 58.359375 54.796875 56.4375
-z
-" id="Century_Schoolbook_L_Roman-86"/>
- <path d="M 20.59375 47
-L 1.796875 46
-L 1.796875 41.6875
-L 6.90625 41.6875
-C 10.59375 41.6875 11.203125 40.984375 11.203125 36.625
-L 11.203125 12.40625
-L 11.203125 8.359375
-C 11.203125 4.296875 10.09375 3.59375 3.703125 3.59375
-L 3 3.59375
-L 3 0
-L 28.90625 0
-L 28.90625 3.59375
-L 28.203125 3.59375
-C 21.703125 3.59375 20.59375 4.296875 20.59375 8.359375
-L 20.59375 12.40625
-z
-M 15.90625 72
-C 12.703125 72 10.09375 69.390625 10.09375 66.1875
-C 10.09375 63.09375 12.703125 60.390625 15.796875 60.390625
-C 19.09375 60.390625 21.703125 62.984375 21.703125 66.1875
-C 21.703125 69.390625 19.09375 72 15.90625 72
-z
-" id="Century_Schoolbook_L_Roman-105"/>
- <path d="M 39 48
-L 35.5 48
-L 32.59375 44.390625
-C 29 46.796875 25.40625 48 20.40625 48
-C 11.59375 48 5.796875 42.1875 5.796875 33.390625
-C 5.796875 29.453125 7.09375 26.125 9.296875 24.109375
-C 11.59375 21.984375 13.90625 20.96875 19.90625 19.5625
-L 25.203125 18.34375
-C 33.09375 16.4375 35.90625 14.40625 35.90625 10.375
-C 35.90625 5.625 31.796875 2.296875 25.90625 2.296875
-C 17.5 2.296875 11.5 7.75 9.09375 17.84375
-L 5.09375 17.84375
-L 5.09375 -1.203125
-L 8.59375 -1.203125
-L 12.09375 2.890625
-C 16.203125 -0.40625 20.796875 -2 25.796875 -2
-C 35.59375 -2 42.09375 4.109375 42.09375 13.5
-C 42.09375 17.9375 40.703125 21.375 37.90625 23.703125
-C 35.5 25.828125 33.5 26.625 27.40625 27.9375
-L 22.40625 29.046875
-C 16.90625 30.265625 16.90625 30.265625 15.09375 31.28125
-C 12.90625 32.28125 11.59375 34.40625 11.59375 36.625
-C 11.59375 40.671875 15.40625 43.59375 20.90625 43.59375
-C 24.703125 43.59375 27.796875 42.28125 30.59375 39.5625
-C 32.796875 37.796875 33.90625 35.796875 35.5 31.1875
-L 39 31.1875
-z
-" id="Century_Schoolbook_L_Roman-115"/>
- <path d="M 46.5 22
-C 46.59375 37.25 38.09375 48 25.90625 48
-C 13.09375 48 3.5 36.734375 3.5 21.484375
-C 3.5 7.484375 12.59375 -2 26.09375 -2
-C 35.59375 -2 42.40625 2.6875 46.5 12.1875
-L 43 14.09375
-C 38.90625 6.390625 34.703125 3.390625 28 3.390625
-C 22.90625 3.390625 19.203125 5.59375 16.59375 9.984375
-C 14.796875 12.984375 14 16.484375 14.09375 22
-z
-M 14.203125 26.296875
-C 14.203125 29.46875 14.59375 31.71875 15.59375 34.578125
-C 17.703125 40.71875 20.90625 43.6875 25.703125 43.6875
-C 31.796875 43.6875 35.796875 38.265625 35.796875 30.078125
-C 35.796875 27.109375 34.90625 26.296875 31.703125 26.296875
-z
-" id="Century_Schoolbook_L_Roman-101"/>
- <path d="M 19.796875 47
-L 2.09375 45.296875
-L 2.09375 41
-L 6.203125 41
-C 9.90625 41 10.5 40.296875 10.5 36.015625
-L 10.5 12.25
-L 10.5 8.265625
-C 10.5 4.28125 9.40625 3.59375 2.90625 3.59375
-L 2.5 3.59375
-L 2.5 0
-L 29.203125 0
-L 29.203125 3.59375
-L 27.296875 3.59375
-C 20.90625 3.59375 19.796875 4.28125 19.796875 8.265625
-L 19.796875 12.25
-L 19.796875 13.234375
-C 19.796875 20.703125 21.203125 28.265625 23.703125 33.9375
-C 26.09375 39.5 29.5 42.59375 33.703125 43.09375
-C 32.296875 41.5 31.90625 40.5 31.90625 38.609375
-C 31.90625 35.421875 34.203125 33.140625 37.40625 33.140625
-C 41 33.140625 43.5 35.828125 43.5 39.90625
-C 43.5 44.6875 40.09375 48 34.796875 48
-C 28.5 48 23 42.796875 19.796875 34.03125
-z
-" id="Century_Schoolbook_L_Roman-114"/>
- <path d="M 20.40625 74
-L 1.90625 73
-L 1.90625 68.6875
-L 6.796875 68.6875
-C 10.40625 68.6875 11 67.984375 11 63.65625
-L 11 12.34375
-L 11 8.328125
-C 11 4.296875 9.90625 3.59375 3.5 3.59375
-L 2.796875 3.59375
-L 2.796875 0
-L 28.703125 0
-L 28.703125 3.59375
-L 28 3.59375
-C 21.5 3.59375 20.40625 4.296875 20.40625 8.328125
-L 20.40625 12.34375
-z
-" id="Century_Schoolbook_L_Roman-108"/>
- <path d="M 20 47
-L 2.703125 46
-L 2.703125 41.6875
-L 6.296875 41.6875
-C 10 41.6875 10.59375 40.984375 10.59375 36.625
-L 10.59375 12.40625
-L 10.59375 8.359375
-C 10.59375 4.296875 9.5 3.59375 3.09375 3.59375
-L 2.703125 3.59375
-L 2.703125 0
-L 28 0
-L 28 3.59375
-L 27.59375 3.59375
-C 21.09375 3.59375 20 4.296875 20 8.359375
-L 20 12.40625
-L 20 22.953125
-C 20 27.90625 20.703125 32.46875 21.796875 34.796875
-C 23.90625 38.796875 28.40625 41.890625 32.703125 41.890625
-C 35.296875 41.890625 38.296875 40.390625 39.796875 38.40625
-C 41.296875 36.296875 42 33.21875 42 28.421875
-L 42 12.265625
-L 42 8.28125
-C 42 4.296875 40.90625 3.59375 34.40625 3.59375
-L 34 3.59375
-L 34 0
-L 59.296875 0
-L 59.296875 3.59375
-L 58.90625 3.59375
-C 52.5 3.59375 51.40625 4.296875 51.40625 8.28125
-L 51.40625 12.265625
-L 51.40625 27.921875
-C 51.40625 35.109375 51.09375 36.90625 49.296875 40.296875
-C 46.796875 45.09375 41.703125 48 35.796875 48
-C 29.40625 48 24.40625 44.984375 20 38.40625
-z
-" id="Century_Schoolbook_L_Roman-110"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-86"/>
- <use transform="translate(70.137406 0)scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-105"/>
- <use transform="translate(101.518719 0)scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-115"/>
- <use transform="translate(147.644529 0)scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-105"/>
- <use transform="translate(179.025842 0)scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-101"/>
- <use transform="translate(228.839043 0)scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-114"/>
- <use transform="translate(273.072612 0)scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-108"/>
- <use transform="translate(304.453925 0)scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-105"/>
- <use transform="translate(335.835238 0)scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-110"/>
- <use transform="translate(396.706868 0)scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-105"/>
- <use transform="translate(428.088181 0)scale(0.996264)" xlink:href="#Century_Schoolbook_L_Roman-101"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_16">
- <!-- $\vec{v}$ -->
- <g transform="translate(152.832 116.8704)scale(0.3 -0.3)">
- <defs>
- <path d="M 53.5 60
-C 52.296875 58.890625 48.59375 55.390625 48.59375 53.984375
-C 48.59375 52.984375 49.5 52.09375 50.5 52.09375
-C 51.40625 52.09375 51.796875 52.6875 52.5 53.6875
-C 54.90625 56.6875 57.59375 58.59375 59.90625 59.890625
-C 60.90625 60.5 61.59375 60.796875 61.59375 61.890625
-C 61.59375 62.796875 60.796875 63.296875 60.203125 63.796875
-C 57.40625 65.6875 56.703125 68.390625 56.40625 69.59375
-C 56.09375 70.390625 55.796875 71.59375 54.40625 71.59375
-C 53.796875 71.59375 52.59375 71.1875 52.59375 69.6875
-C 52.59375 68.796875 53.203125 66.390625 55.09375 63.6875
-L 21.5 63.6875
-C 19.796875 63.6875 18.09375 63.6875 18.09375 61.796875
-C 18.09375 60 19.90625 60 21.5 60
-z
-" id="CMMI12-126"/>
- <path d="M 45.703125 37.3125
-C 45.703125 43.59375 42.5 44 41.703125 44
-C 39.296875 44 37.09375 41.59375 37.09375 39.59375
-C 37.09375 38.40625 37.796875 37.703125 38.203125 37.3125
-C 39.203125 36.40625 41.796875 33.71875 41.796875 28.53125
-C 41.796875 24.34375 35.796875 1 23.796875 1
-C 17.703125 1 16.5 6.078125 16.5 9.765625
-C 16.5 14.765625 18.796875 21.75 21.5 28.921875
-C 23.09375 33.015625 23.5 34.015625 23.5 36.015625
-C 23.5 40.203125 20.5 44 15.59375 44
-C 6.40625 44 2.703125 29.53125 2.703125 28.71875
-C 2.703125 28.328125 3.09375 27.828125 3.796875 27.828125
-C 4.703125 27.828125 4.796875 28.234375 5.203125 29.625
-C 7.59375 38.203125 11.5 41.984375 15.296875 41.984375
-C 16.203125 41.984375 17.90625 41.984375 17.90625 38.703125
-C 17.90625 36.109375 16.796875 33.21875 15.296875 29.421875
-C 10.5 16.65625 10.5 13.5625 10.5 11.171875
-C 10.5 8.96875 10.796875 4.890625 13.90625 2.09375
-C 17.5 -1 22.5 -1 23.40625 -1
-C 40 -1 45.703125 31.625 45.703125 37.3125
-z
-" id="CMMI12-118"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMMI12-126"/>
- <use transform="translate(3.972363 0)scale(0.996264)" xlink:href="#CMMI12-118"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_17">
- <!-- $V$ -->
- <g style="fill:#0000ff;" transform="translate(93.312 134.6112)scale(0.3 -0.3)">
- <defs>
- <path d="M 61.90625 56.9375
-C 65.296875 62.296875 68.40625 64.6875 73.5 65.09375
-C 74.5 65.1875 75.296875 65.1875 75.296875 66.984375
-C 75.296875 67.390625 75.09375 68 74.203125 68
-C 72.40625 68 68.09375 67.796875 66.296875 67.796875
-C 63.40625 67.796875 60.40625 68 57.59375 68
-C 56.796875 68 55.796875 68 55.796875 66.09375
-C 55.796875 65.1875 56.703125 65.09375 57.09375 65.09375
-C 60.796875 64.78125 61.203125 63 61.203125 61.8125
-C 61.203125 60.3125 59.796875 58.03125 59.703125 57.9375
-L 28.296875 8.4375
-L 21.296875 62
-C 21.296875 64.890625 26.5 65.09375 27.59375 65.09375
-C 29.09375 65.09375 30 65.09375 30 66.984375
-C 30 68 28.90625 68 28.59375 68
-C 26.90625 68 24.90625 67.796875 23.203125 67.796875
-L 17.59375 67.796875
-C 10.296875 67.796875 7.296875 68 7.203125 68
-C 6.59375 68 5.40625 68 5.40625 66.1875
-C 5.40625 65.09375 6.09375 65.09375 7.703125 65.09375
-C 12.796875 65.09375 13.09375 64.1875 13.40625 61.703125
-L 21.40625 0.390625
-C 21.703125 -1.703125 21.703125 -2 23.09375 -2
-C 24.296875 -2 24.796875 -1.703125 25.796875 -0.109375
-z
-" id="CMMI12-86"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMMI12-86"/>
- </g>
- </g>
- <g id="text_18">
- <!-- $Z$ -->
- <g style="fill:#0000ff;" transform="translate(361.152 96.02496)scale(0.3 -0.3)">
- <defs>
- <path d="M 70 64.890625
-C 70.59375 65.59375 71.09375 66.1875 71.09375 67.1875
-C 71.09375 67.890625 71 68 68.703125 68
-L 27.40625 68
-C 25.09375 68 25 67.890625 24.40625 66.09375
-L 18.90625 48.171875
-C 18.59375 47.171875 18.59375 46.984375 18.59375 46.78125
-C 18.59375 46.375 18.90625 45.78125 19.59375 45.78125
-C 20.40625 45.78125 20.59375 46.1875 21 47.484375
-C 24.703125 58.21875 29.59375 65.09375 45.40625 65.09375
-L 61.796875 65.09375
-L 7 3.390625
-C 6.09375 2.296875 5.703125 1.890625 5.703125 0.796875
-C 5.703125 0 6.203125 0 8.09375 0
-L 50.796875 0
-C 53.09375 0 53.203125 0.09375 53.796875 1.890625
-L 60.796875 23.890625
-C 60.90625 24.1875 61.09375 24.890625 61.09375 25.28125
-C 61.09375 25.78125 60.703125 26.28125 60.09375 26.28125
-C 59.296875 26.28125 59.203125 26.1875 58.40625 23.6875
-C 54.203125 10.859375 49.796875 3.09375 32.40625 3.09375
-L 15.09375 3.09375
-z
-" id="CMMI12-90"/>
- </defs>
- <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMMI12-90"/>
- </g>
- </g>
- </g>
- </g>
- <defs>
- <clipPath id="p4d634c2ff8">
- <rect height="266.112" width="357.12" x="57.6" y="41.472"/>
- </clipPath>
- </defs>
-</svg>
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png b/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
index e6e7c1e..dc4720a 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
index 3a90afa..73b322c 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
@@ -39,9 +39,11 @@ plt.plot(0, ymin, 'bo', markersize=10)
plt.plot([0, xmin], [ymin, ymin], 'k--')
#plt.xlim(-0.1, 1)
#plt.ylim(1, 2)
-plt.ylabel("y")
-plt.xlabel("x")
+
plt.grid(True)
+plt.tick_params(labelsize=15)
+#plt.xticks(ticks=range(0, 7))
+#plt.yticks(ticks=range(0, 7))
plt.quiver(xmin, ymin, -0.2, 0, scale=1)
plt.text(xmin+0.1, ymin-0.1, "Verfolgungskurve", size=20, rotation=20, color='r')
@@ -55,4 +57,6 @@ plt.rcParams.update({
plt.text(xmin-0.11, ymin-0.08, r"$\dot{v}$", size=20)
plt.text(xmin-0.02, ymin+0.05, r"$V$", size=20, c='b')
-plt.text(0.02, ymin+0.05, r"$Z$", size=20, c='b') \ No newline at end of file
+plt.text(0.02, ymin+0.05, r"$Z$", size=20, c='b')
+plt.ylabel(r"$y$", size=20)
+plt.xlabel(r"$x$", size=20) \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.ggb b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.ggb
deleted file mode 100644
index 3fb3a78..0000000
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.ggb
+++ /dev/null
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.svg b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.svg
deleted file mode 100644
index d91e5e1..0000000
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL.svg
+++ /dev/null
@@ -1 +0,0 @@
-<svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="2172" height="1315" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1"><defs><clipPath id="aUbphlusyTbL"><path fill="none" stroke="none" d="M 0 0 L 2172 0 L 2172 1315 L 0 1315 L 0 0 Z" /></clipPath></defs><g clip-path="url(&quot;#aUbphlusyTbL&quot;)" transform="scale(1)"><g><rect fill="rgb(255, 255, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" x="0" y="0" width="2172" height="1315" /><path fill="none" stroke="rgb(192, 192, 192)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 6.5 0.5 L 6.5 1315.5 M 6.5 0.5 L 6.5 1315.5 M 57.5 0.5 L 57.5 1315.5 M 109.5 0.5 L 109.5 1315.5 M 161.5 0.5 L 161.5 1315.5 M 212.5 0.5 L 212.5 1315.5 M 264.5 0.5 L 264.5 1315.5 M 316.5 0.5 L 316.5 1315.5 M 367.5 0.5 L 367.5 1315.5 M 471.5 0.5 L 471.5 1315.5 M 523.5 0.5 L 523.5 1315.5 M 574.5 0.5 L 574.5 1315.5 M 626.5 0.5 L 626.5 1315.5 M 678.5 0.5 L 678.5 1315.5 M 729.5 0.5 L 729.5 1315.5 M 781.5 0.5 L 781.5 1315.5 M 833.5 0.5 L 833.5 1315.5 M 884.5 0.5 L 884.5 1315.5 M 936.5 0.5 L 936.5 1315.5 M 988.5 0.5 L 988.5 1315.5 M 1040.5 0.5 L 1040.5 1315.5 M 1091.5 0.5 L 1091.5 1315.5 M 1143.5 0.5 L 1143.5 1315.5 M 1195.5 0.5 L 1195.5 1315.5 M 1246.5 0.5 L 1246.5 1315.5 M 1298.5 0.5 L 1298.5 1315.5 M 1350.5 0.5 L 1350.5 1315.5 M 1401.5 0.5 L 1401.5 1315.5 M 1453.5 0.5 L 1453.5 1315.5 M 1505.5 0.5 L 1505.5 1315.5 M 1557.5 0.5 L 1557.5 1315.5 M 1608.5 0.5 L 1608.5 1315.5 M 1660.5 0.5 L 1660.5 1315.5 M 1712.5 0.5 L 1712.5 1315.5 M 1763.5 0.5 L 1763.5 1315.5 M 1815.5 0.5 L 1815.5 1315.5 M 1867.5 0.5 L 1867.5 1315.5 M 1918.5 0.5 L 1918.5 1315.5 M 1970.5 0.5 L 1970.5 1315.5 M 2022.5 0.5 L 2022.5 1315.5 M 2074.5 0.5 L 2074.5 1315.5 M 2125.5 0.5 L 2125.5 1315.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(192, 192, 192)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="0.235294" d="M 16.5 0.5 L 16.5 1315.5 M 26.5 0.5 L 26.5 1315.5 M 37.5 0.5 L 37.5 1315.5 M 47.5 0.5 L 47.5 1315.5 M 68.5 0.5 L 68.5 1315.5 M 78.5 0.5 L 78.5 1315.5 M 88.5 0.5 L 88.5 1315.5 M 99.5 0.5 L 99.5 1315.5 M 119.5 0.5 L 119.5 1315.5 M 130.5 0.5 L 130.5 1315.5 M 140.5 0.5 L 140.5 1315.5 M 150.5 0.5 L 150.5 1315.5 M 171.5 0.5 L 171.5 1315.5 M 181.5 0.5 L 181.5 1315.5 M 192.5 0.5 L 192.5 1315.5 M 202.5 0.5 L 202.5 1315.5 M 223.5 0.5 L 223.5 1315.5 M 233.5 0.5 L 233.5 1315.5 M 243.5 0.5 L 243.5 1315.5 M 254.5 0.5 L 254.5 1315.5 M 274.5 0.5 L 274.5 1315.5 M 285.5 0.5 L 285.5 1315.5 M 295.5 0.5 L 295.5 1315.5 M 305.5 0.5 L 305.5 1315.5 M 326.5 0.5 L 326.5 1315.5 M 336.5 0.5 L 336.5 1315.5 M 347.5 0.5 L 347.5 1315.5 M 357.5 0.5 L 357.5 1315.5 M 378.5 0.5 L 378.5 1315.5 M 388.5 0.5 L 388.5 1315.5 M 398.5 0.5 L 398.5 1315.5 M 409.5 0.5 L 409.5 1315.5 M 429.5 0.5 L 429.5 1315.5 M 440.5 0.5 L 440.5 1315.5 M 450.5 0.5 L 450.5 1315.5 M 461.5 0.5 L 461.5 1315.5 M 481.5 0.5 L 481.5 1315.5 M 492.5 0.5 L 492.5 1315.5 M 502.5 0.5 L 502.5 1315.5 M 512.5 0.5 L 512.5 1315.5 M 533.5 0.5 L 533.5 1315.5 M 543.5 0.5 L 543.5 1315.5 M 554.5 0.5 L 554.5 1315.5 M 564.5 0.5 L 564.5 1315.5 M 585.5 0.5 L 585.5 1315.5 M 595.5 0.5 L 595.5 1315.5 M 605.5 0.5 L 605.5 1315.5 M 616.5 0.5 L 616.5 1315.5 M 636.5 0.5 L 636.5 1315.5 M 647.5 0.5 L 647.5 1315.5 M 657.5 0.5 L 657.5 1315.5 M 667.5 0.5 L 667.5 1315.5 M 688.5 0.5 L 688.5 1315.5 M 698.5 0.5 L 698.5 1315.5 M 709.5 0.5 L 709.5 1315.5 M 719.5 0.5 L 719.5 1315.5 M 740.5 0.5 L 740.5 1315.5 M 750.5 0.5 L 750.5 1315.5 M 760.5 0.5 L 760.5 1315.5 M 771.5 0.5 L 771.5 1315.5 M 791.5 0.5 L 791.5 1315.5 M 802.5 0.5 L 802.5 1315.5 M 812.5 0.5 L 812.5 1315.5 M 822.5 0.5 L 822.5 1315.5 M 843.5 0.5 L 843.5 1315.5 M 853.5 0.5 L 853.5 1315.5 M 864.5 0.5 L 864.5 1315.5 M 874.5 0.5 L 874.5 1315.5 M 895.5 0.5 L 895.5 1315.5 M 905.5 0.5 L 905.5 1315.5 M 915.5 0.5 L 915.5 1315.5 M 926.5 0.5 L 926.5 1315.5 M 946.5 0.5 L 946.5 1315.5 M 957.5 0.5 L 957.5 1315.5 M 967.5 0.5 L 967.5 1315.5 M 978.5 0.5 L 978.5 1315.5 M 998.5 0.5 L 998.5 1315.5 M 1009.5 0.5 L 1009.5 1315.5 M 1019.5 0.5 L 1019.5 1315.5 M 1029.5 0.5 L 1029.5 1315.5 M 1050.5 0.5 L 1050.5 1315.5 M 1060.5 0.5 L 1060.5 1315.5 M 1071.5 0.5 L 1071.5 1315.5 M 1081.5 0.5 L 1081.5 1315.5 M 1102.5 0.5 L 1102.5 1315.5 M 1112.5 0.5 L 1112.5 1315.5 M 1122.5 0.5 L 1122.5 1315.5 M 1133.5 0.5 L 1133.5 1315.5 M 1153.5 0.5 L 1153.5 1315.5 M 1164.5 0.5 L 1164.5 1315.5 M 1174.5 0.5 L 1174.5 1315.5 M 1184.5 0.5 L 1184.5 1315.5 M 1205.5 0.5 L 1205.5 1315.5 M 1215.5 0.5 L 1215.5 1315.5 M 1226.5 0.5 L 1226.5 1315.5 M 1236.5 0.5 L 1236.5 1315.5 M 1257.5 0.5 L 1257.5 1315.5 M 1267.5 0.5 L 1267.5 1315.5 M 1277.5 0.5 L 1277.5 1315.5 M 1288.5 0.5 L 1288.5 1315.5 M 1308.5 0.5 L 1308.5 1315.5 M 1319.5 0.5 L 1319.5 1315.5 M 1329.5 0.5 L 1329.5 1315.5 M 1339.5 0.5 L 1339.5 1315.5 M 1360.5 0.5 L 1360.5 1315.5 M 1370.5 0.5 L 1370.5 1315.5 M 1381.5 0.5 L 1381.5 1315.5 M 1391.5 0.5 L 1391.5 1315.5 M 1412.5 0.5 L 1412.5 1315.5 M 1422.5 0.5 L 1422.5 1315.5 M 1432.5 0.5 L 1432.5 1315.5 M 1443.5 0.5 L 1443.5 1315.5 M 1463.5 0.5 L 1463.5 1315.5 M 1474.5 0.5 L 1474.5 1315.5 M 1484.5 0.5 L 1484.5 1315.5 M 1494.5 0.5 L 1494.5 1315.5 M 1515.5 0.5 L 1515.5 1315.5 M 1526.5 0.5 L 1526.5 1315.5 M 1536.5 0.5 L 1536.5 1315.5 M 1546.5 0.5 L 1546.5 1315.5 M 1567.5 0.5 L 1567.5 1315.5 M 1577.5 0.5 L 1577.5 1315.5 M 1588.5 0.5 L 1588.5 1315.5 M 1598.5 0.5 L 1598.5 1315.5 M 1619.5 0.5 L 1619.5 1315.5 M 1629.5 0.5 L 1629.5 1315.5 M 1639.5 0.5 L 1639.5 1315.5 M 1650.5 0.5 L 1650.5 1315.5 M 1670.5 0.5 L 1670.5 1315.5 M 1681.5 0.5 L 1681.5 1315.5 M 1691.5 0.5 L 1691.5 1315.5 M 1701.5 0.5 L 1701.5 1315.5 M 1722.5 0.5 L 1722.5 1315.5 M 1732.5 0.5 L 1732.5 1315.5 M 1743.5 0.5 L 1743.5 1315.5 M 1753.5 0.5 L 1753.5 1315.5 M 1774.5 0.5 L 1774.5 1315.5 M 1784.5 0.5 L 1784.5 1315.5 M 1794.5 0.5 L 1794.5 1315.5 M 1805.5 0.5 L 1805.5 1315.5 M 1825.5 0.5 L 1825.5 1315.5 M 1836.5 0.5 L 1836.5 1315.5 M 1846.5 0.5 L 1846.5 1315.5 M 1856.5 0.5 L 1856.5 1315.5 M 1877.5 0.5 L 1877.5 1315.5 M 1887.5 0.5 L 1887.5 1315.5 M 1898.5 0.5 L 1898.5 1315.5 M 1908.5 0.5 L 1908.5 1315.5 M 1929.5 0.5 L 1929.5 1315.5 M 1939.5 0.5 L 1939.5 1315.5 M 1949.5 0.5 L 1949.5 1315.5 M 1960.5 0.5 L 1960.5 1315.5 M 1980.5 0.5 L 1980.5 1315.5 M 1991.5 0.5 L 1991.5 1315.5 M 2001.5 0.5 L 2001.5 1315.5 M 2011.5 0.5 L 2011.5 1315.5 M 2032.5 0.5 L 2032.5 1315.5 M 2043.5 0.5 L 2043.5 1315.5 M 2053.5 0.5 L 2053.5 1315.5 M 2063.5 0.5 L 2063.5 1315.5 M 2084.5 0.5 L 2084.5 1315.5 M 2094.5 0.5 L 2094.5 1315.5 M 2105.5 0.5 L 2105.5 1315.5 M 2115.5 0.5 L 2115.5 1315.5 M 2136.5 0.5 L 2136.5 1315.5 M 2146.5 0.5 L 2146.5 1315.5 M 2156.5 0.5 L 2156.5 1315.5 M 2167.5 0.5 L 2167.5 1315.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(192, 192, 192)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 0.5 32.5 L 2172.5 32.5 M 0.5 32.5 L 2172.5 32.5 M 0.5 83.5 L 2172.5 83.5 M 0.5 135.5 L 2172.5 135.5 M 0.5 187.5 L 2172.5 187.5 M 0.5 239.5 L 2172.5 239.5 M 0.5 290.5 L 2172.5 290.5 M 0.5 342.5 L 2172.5 342.5 M 0.5 394.5 L 2172.5 394.5 M 0.5 445.5 L 2172.5 445.5 M 0.5 497.5 L 2172.5 497.5 M 0.5 549.5 L 2172.5 549.5 M 0.5 600.5 L 2172.5 600.5 M 0.5 652.5 L 2172.5 652.5 M 0.5 704.5 L 2172.5 704.5 M 0.5 755.5 L 2172.5 755.5 M 0.5 807.5 L 2172.5 807.5 M 0.5 859.5 L 2172.5 859.5 M 0.5 911.5 L 2172.5 911.5 M 0.5 962.5 L 2172.5 962.5 M 0.5 1014.5 L 2172.5 1014.5 M 0.5 1066.5 L 2172.5 1066.5 M 0.5 1117.5 L 2172.5 1117.5 M 0.5 1169.5 L 2172.5 1169.5 M 0.5 1221.5 L 2172.5 1221.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(192, 192, 192)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="0.235294" d="M 0.5 1.5 L 2172.5 1.5 M 0.5 1.5 L 2172.5 1.5 M 0.5 11.5 L 2172.5 11.5 M 0.5 21.5 L 2172.5 21.5 M 0.5 42.5 L 2172.5 42.5 M 0.5 52.5 L 2172.5 52.5 M 0.5 63.5 L 2172.5 63.5 M 0.5 73.5 L 2172.5 73.5 M 0.5 94.5 L 2172.5 94.5 M 0.5 104.5 L 2172.5 104.5 M 0.5 114.5 L 2172.5 114.5 M 0.5 125.5 L 2172.5 125.5 M 0.5 145.5 L 2172.5 145.5 M 0.5 156.5 L 2172.5 156.5 M 0.5 166.5 L 2172.5 166.5 M 0.5 176.5 L 2172.5 176.5 M 0.5 197.5 L 2172.5 197.5 M 0.5 207.5 L 2172.5 207.5 M 0.5 218.5 L 2172.5 218.5 M 0.5 228.5 L 2172.5 228.5 M 0.5 249.5 L 2172.5 249.5 M 0.5 259.5 L 2172.5 259.5 M 0.5 270.5 L 2172.5 270.5 M 0.5 280.5 L 2172.5 280.5 M 0.5 301.5 L 2172.5 301.5 M 0.5 311.5 L 2172.5 311.5 M 0.5 321.5 L 2172.5 321.5 M 0.5 332.5 L 2172.5 332.5 M 0.5 352.5 L 2172.5 352.5 M 0.5 363.5 L 2172.5 363.5 M 0.5 373.5 L 2172.5 373.5 M 0.5 383.5 L 2172.5 383.5 M 0.5 404.5 L 2172.5 404.5 M 0.5 414.5 L 2172.5 414.5 M 0.5 425.5 L 2172.5 425.5 M 0.5 435.5 L 2172.5 435.5 M 0.5 456.5 L 2172.5 456.5 M 0.5 466.5 L 2172.5 466.5 M 0.5 476.5 L 2172.5 476.5 M 0.5 487.5 L 2172.5 487.5 M 0.5 507.5 L 2172.5 507.5 M 0.5 518.5 L 2172.5 518.5 M 0.5 528.5 L 2172.5 528.5 M 0.5 538.5 L 2172.5 538.5 M 0.5 559.5 L 2172.5 559.5 M 0.5 569.5 L 2172.5 569.5 M 0.5 580.5 L 2172.5 580.5 M 0.5 590.5 L 2172.5 590.5 M 0.5 611.5 L 2172.5 611.5 M 0.5 621.5 L 2172.5 621.5 M 0.5 631.5 L 2172.5 631.5 M 0.5 642.5 L 2172.5 642.5 M 0.5 662.5 L 2172.5 662.5 M 0.5 673.5 L 2172.5 673.5 M 0.5 683.5 L 2172.5 683.5 M 0.5 693.5 L 2172.5 693.5 M 0.5 714.5 L 2172.5 714.5 M 0.5 724.5 L 2172.5 724.5 M 0.5 735.5 L 2172.5 735.5 M 0.5 745.5 L 2172.5 745.5 M 0.5 766.5 L 2172.5 766.5 M 0.5 776.5 L 2172.5 776.5 M 0.5 787.5 L 2172.5 787.5 M 0.5 797.5 L 2172.5 797.5 M 0.5 818.5 L 2172.5 818.5 M 0.5 828.5 L 2172.5 828.5 M 0.5 838.5 L 2172.5 838.5 M 0.5 849.5 L 2172.5 849.5 M 0.5 869.5 L 2172.5 869.5 M 0.5 880.5 L 2172.5 880.5 M 0.5 890.5 L 2172.5 890.5 M 0.5 900.5 L 2172.5 900.5 M 0.5 921.5 L 2172.5 921.5 M 0.5 931.5 L 2172.5 931.5 M 0.5 942.5 L 2172.5 942.5 M 0.5 952.5 L 2172.5 952.5 M 0.5 973.5 L 2172.5 973.5 M 0.5 983.5 L 2172.5 983.5 M 0.5 993.5 L 2172.5 993.5 M 0.5 1004.5 L 2172.5 1004.5 M 0.5 1024.5 L 2172.5 1024.5 M 0.5 1035.5 L 2172.5 1035.5 M 0.5 1045.5 L 2172.5 1045.5 M 0.5 1055.5 L 2172.5 1055.5 M 0.5 1076.5 L 2172.5 1076.5 M 0.5 1086.5 L 2172.5 1086.5 M 0.5 1097.5 L 2172.5 1097.5 M 0.5 1107.5 L 2172.5 1107.5 M 0.5 1128.5 L 2172.5 1128.5 M 0.5 1138.5 L 2172.5 1138.5 M 0.5 1148.5 L 2172.5 1148.5 M 0.5 1159.5 L 2172.5 1159.5 M 0.5 1179.5 L 2172.5 1179.5 M 0.5 1190.5 L 2172.5 1190.5 M 0.5 1200.5 L 2172.5 1200.5 M 0.5 1210.5 L 2172.5 1210.5 M 0.5 1231.5 L 2172.5 1231.5 M 0.5 1241.5 L 2172.5 1241.5 M 0.5 1252.5 L 2172.5 1252.5 M 0.5 1262.5 L 2172.5 1262.5 M 0.5 1283.5 L 2172.5 1283.5 M 0.5 1293.5 L 2172.5 1293.5 M 0.5 1304.5 L 2172.5 1304.5 M 0.5 1314.5 L 2172.5 1314.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 419.5 2.5 L 419.5 1315.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 419.5 1.5 L 415.5 5.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 419.5 1.5 L 423.5 5.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 0.5 1272.5 L 2170.5 1272.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 2171.5 1272.5 L 2167.5 1268.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 2171.5 1272.5 L 2167.5 1276.5" paint-order="fill stroke markers" /><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="46" y="1288">–0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="46" y="1288">–0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="46" y="1288">–0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="98" y="1288">–0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="98" y="1288">–0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="98" y="1288">–0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="150" y="1288">–0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="150" y="1288">–0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="150" y="1288">–0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="201" y="1288">–0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="201" y="1288">–0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="201" y="1288">–0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="253" y="1288">–0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="253" y="1288">–0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="253" y="1288">–0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="305" y="1288">–0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="305" y="1288">–0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="305" y="1288">–0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="356" y="1288">–0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="356" y="1288">–0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="356" y="1288">–0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="463" y="1288">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="463" y="1288">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="463" y="1288">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="515" y="1288">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="515" y="1288">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="515" y="1288">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="566" y="1288">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="566" y="1288">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="566" y="1288">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="618" y="1288">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="618" y="1288">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="618" y="1288">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="670" y="1288">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="670" y="1288">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="670" y="1288">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="721" y="1288">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="721" y="1288">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="721" y="1288">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="773" y="1288">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="773" y="1288">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="773" y="1288">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="825" y="1288">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="825" y="1288">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="825" y="1288">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="876" y="1288">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="876" y="1288">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="876" y="1288">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="934" y="1288">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="934" y="1288">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="934" y="1288">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="980" y="1288">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="980" y="1288">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="980" y="1288">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1032" y="1288">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1032" y="1288">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1032" y="1288">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1083" y="1288">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1083" y="1288">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1083" y="1288">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1135" y="1288">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1135" y="1288">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1135" y="1288">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1187" y="1288">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1187" y="1288">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1187" y="1288">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1238" y="1288">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1238" y="1288">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1238" y="1288">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1290" y="1288">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1290" y="1288">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1290" y="1288">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1342" y="1288">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1342" y="1288">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1342" y="1288">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1393" y="1288">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1393" y="1288">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1393" y="1288">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1451" y="1288">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1451" y="1288">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1451" y="1288">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1497" y="1288">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1497" y="1288">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1497" y="1288">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1549" y="1288">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1549" y="1288">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1549" y="1288">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1600" y="1288">2.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1600" y="1288">2.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1600" y="1288">2.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1652" y="1288">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1652" y="1288">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1652" y="1288">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1704" y="1288">2.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1704" y="1288">2.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1704" y="1288">2.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1755" y="1288">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1755" y="1288">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1755" y="1288">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1807" y="1288">2.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1807" y="1288">2.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1807" y="1288">2.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1859" y="1288">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1859" y="1288">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1859" y="1288">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1910" y="1288">2.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1910" y="1288">2.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1910" y="1288">2.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1968" y="1288">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1968" y="1288">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1968" y="1288">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2014" y="1288">3.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="2014" y="1288">3.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2014" y="1288">3.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2066" y="1288">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="2066" y="1288">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2066" y="1288">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2117" y="1288">3.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="2117" y="1288">3.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2117" y="1288">3.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1226">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1226">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1226">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1174">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1174">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1174">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1122">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1122">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1122">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1071">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1071">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1071">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1019">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1019">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1019">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="967">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="967">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="967">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="916">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="916">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="916">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="864">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="864">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="864">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="812">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="812">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="812">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="405" y="760">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="405" y="760">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="405" y="760">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="709">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="709">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="709">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="657">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="657">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="657">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="605">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="605">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="605">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="554">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="554">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="554">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="502">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="502">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="502">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="450">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="450">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="450">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="399">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="399">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="399">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="347">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="347">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="347">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="295">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="295">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="295">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="405" y="244">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="405" y="244">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="405" y="244">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="192">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="192">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="192">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="140">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="140">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="140">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="88">2.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="88">2.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="88">2.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="37">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="37">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="37">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="405" y="1288">0</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="405" y="1288">0</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="405" y="1288">0</text><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="0.698039" stroke-width="2.5" d="M 419.656 1272.99 L 556.465 367.652" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="0.698039" fill-rule="evenodd" stroke="none" d="M 559.005 350.843 L 560.668 368.287 L 552.263 367.017 Z" paint-order="stroke fill markers" /><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="501" y="809">AO</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="501" y="809">AO</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="501" y="809">AO</text><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="0.698039" stroke-width="2.5" d="M 419.656 1272.99 L 1725.02 157.043" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="0.698039" fill-rule="evenodd" stroke="none" d="M 1737.94 145.997 L 1727.78 160.274 L 1722.26 153.813 Z" paint-order="stroke fill markers" /><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1100" y="717">PO</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1100" y="717">PO</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1100" y="717">PO</text><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="0.698039" stroke-width="2.5" d="M 1737.94 145.997 L 575.755 347.932" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="0.698039" fill-rule="evenodd" stroke="none" d="M 559.005 350.843 L 575.027 343.745 L 576.482 352.12 Z" paint-order="stroke fill markers" /><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1131" y="240">PA</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1131" y="240">PA</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1131" y="240">PA</text><path fill="rgb(77, 77, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" d="M 1742.94 145.997 C 1742.94 148.758 1740.71 150.997 1737.94 150.997 C 1735.18 150.997 1732.94 148.758 1732.94 145.997 C 1732.94 143.235 1735.18 140.997 1737.94 140.997 C 1740.71 140.997 1742.94 143.235 1742.94 145.997 Z" paint-order="stroke fill markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 1742.94 145.997 C 1742.94 148.758 1740.71 150.997 1737.94 150.997 C 1735.18 150.997 1732.94 148.758 1732.94 145.997 C 1732.94 143.235 1735.18 140.997 1737.94 140.997 C 1740.71 140.997 1742.94 143.235 1742.94 145.997 Z" paint-order="fill stroke markers" /><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(77, 77, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1742" y="136">P</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1742" y="136">P</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(77, 77, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1742" y="136">P</text><path fill="rgb(77, 77, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" d="M 564.005 350.843 C 564.005 353.604 561.767 355.843 559.005 355.843 C 556.244 355.843 554.005 353.604 554.005 350.843 C 554.005 348.081 556.244 345.843 559.005 345.843 C 561.767 345.843 564.005 348.081 564.005 350.843 Z" paint-order="stroke fill markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 564.005 350.843 C 564.005 353.604 561.767 355.843 559.005 355.843 C 556.244 355.843 554.005 353.604 554.005 350.843 C 554.005 348.081 556.244 345.843 559.005 345.843 C 561.767 345.843 564.005 348.081 564.005 350.843 Z" paint-order="fill stroke markers" /><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(77, 77, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="563" y="341">A</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="563" y="341">A</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="16px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(77, 77, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="563" y="341">A</text></g></g></svg> \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggb b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggb
deleted file mode 100644
index 3c4500b..0000000
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.ggb
+++ /dev/null
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf
deleted file mode 100644
index 932d9d9..0000000
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf
+++ /dev/null
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png
deleted file mode 100644
index f41dffe..0000000
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png
+++ /dev/null
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.svg b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.svg
deleted file mode 100644
index 0c4a11d..0000000
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.svg
+++ /dev/null
@@ -1 +0,0 @@
-<svg xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="1342" height="1315" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" version="1.1"><defs><clipPath id="sGLFVUSAQMuz"><path fill="none" stroke="none" d="M 0 0 L 1342 0 L 1342 1315 L 0 1315 L 0 0 Z" /></clipPath></defs><g clip-path="url(&quot;#sGLFVUSAQMuz&quot;)" transform="scale(1)"><g><rect fill="rgb(255, 255, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" x="0" y="0" width="1342" height="1315" /><path fill="none" stroke="rgb(192, 192, 192)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 26.5 0.5 L 26.5 1315.5 M 26.5 0.5 L 26.5 1315.5 M 178.5 0.5 L 178.5 1315.5 M 254.5 0.5 L 254.5 1315.5 M 330.5 0.5 L 330.5 1315.5 M 406.5 0.5 L 406.5 1315.5 M 482.5 0.5 L 482.5 1315.5 M 558.5 0.5 L 558.5 1315.5 M 634.5 0.5 L 634.5 1315.5 M 710.5 0.5 L 710.5 1315.5 M 786.5 0.5 L 786.5 1315.5 M 862.5 0.5 L 862.5 1315.5 M 938.5 0.5 L 938.5 1315.5 M 1014.5 0.5 L 1014.5 1315.5 M 1090.5 0.5 L 1090.5 1315.5 M 1166.5 0.5 L 1166.5 1315.5 M 1242.5 0.5 L 1242.5 1315.5 M 1318.5 0.5 L 1318.5 1315.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(192, 192, 192)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="0.235294" d="M 11.5 0.5 L 11.5 1315.5 M 41.5 0.5 L 41.5 1315.5 M 56.5 0.5 L 56.5 1315.5 M 72.5 0.5 L 72.5 1315.5 M 87.5 0.5 L 87.5 1315.5 M 117.5 0.5 L 117.5 1315.5 M 132.5 0.5 L 132.5 1315.5 M 148.5 0.5 L 148.5 1315.5 M 163.5 0.5 L 163.5 1315.5 M 193.5 0.5 L 193.5 1315.5 M 208.5 0.5 L 208.5 1315.5 M 223.5 0.5 L 223.5 1315.5 M 239.5 0.5 L 239.5 1315.5 M 269.5 0.5 L 269.5 1315.5 M 284.5 0.5 L 284.5 1315.5 M 299.5 0.5 L 299.5 1315.5 M 315.5 0.5 L 315.5 1315.5 M 345.5 0.5 L 345.5 1315.5 M 360.5 0.5 L 360.5 1315.5 M 375.5 0.5 L 375.5 1315.5 M 391.5 0.5 L 391.5 1315.5 M 421.5 0.5 L 421.5 1315.5 M 436.5 0.5 L 436.5 1315.5 M 451.5 0.5 L 451.5 1315.5 M 467.5 0.5 L 467.5 1315.5 M 497.5 0.5 L 497.5 1315.5 M 512.5 0.5 L 512.5 1315.5 M 527.5 0.5 L 527.5 1315.5 M 543.5 0.5 L 543.5 1315.5 M 573.5 0.5 L 573.5 1315.5 M 588.5 0.5 L 588.5 1315.5 M 603.5 0.5 L 603.5 1315.5 M 619.5 0.5 L 619.5 1315.5 M 649.5 0.5 L 649.5 1315.5 M 664.5 0.5 L 664.5 1315.5 M 679.5 0.5 L 679.5 1315.5 M 695.5 0.5 L 695.5 1315.5 M 725.5 0.5 L 725.5 1315.5 M 740.5 0.5 L 740.5 1315.5 M 755.5 0.5 L 755.5 1315.5 M 771.5 0.5 L 771.5 1315.5 M 801.5 0.5 L 801.5 1315.5 M 816.5 0.5 L 816.5 1315.5 M 831.5 0.5 L 831.5 1315.5 M 846.5 0.5 L 846.5 1315.5 M 877.5 0.5 L 877.5 1315.5 M 892.5 0.5 L 892.5 1315.5 M 907.5 0.5 L 907.5 1315.5 M 922.5 0.5 L 922.5 1315.5 M 953.5 0.5 L 953.5 1315.5 M 968.5 0.5 L 968.5 1315.5 M 983.5 0.5 L 983.5 1315.5 M 998.5 0.5 L 998.5 1315.5 M 1029.5 0.5 L 1029.5 1315.5 M 1044.5 0.5 L 1044.5 1315.5 M 1059.5 0.5 L 1059.5 1315.5 M 1074.5 0.5 L 1074.5 1315.5 M 1105.5 0.5 L 1105.5 1315.5 M 1120.5 0.5 L 1120.5 1315.5 M 1135.5 0.5 L 1135.5 1315.5 M 1150.5 0.5 L 1150.5 1315.5 M 1181.5 0.5 L 1181.5 1315.5 M 1196.5 0.5 L 1196.5 1315.5 M 1211.5 0.5 L 1211.5 1315.5 M 1226.5 0.5 L 1226.5 1315.5 M 1257.5 0.5 L 1257.5 1315.5 M 1272.5 0.5 L 1272.5 1315.5 M 1287.5 0.5 L 1287.5 1315.5 M 1302.5 0.5 L 1302.5 1315.5 M 1333.5 0.5 L 1333.5 1315.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(192, 192, 192)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 0.5 35.5 L 1342.5 35.5 M 0.5 35.5 L 1342.5 35.5 M 0.5 111.5 L 1342.5 111.5 M 0.5 187.5 L 1342.5 187.5 M 0.5 263.5 L 1342.5 263.5 M 0.5 338.5 L 1342.5 338.5 M 0.5 414.5 L 1342.5 414.5 M 0.5 490.5 L 1342.5 490.5 M 0.5 566.5 L 1342.5 566.5 M 0.5 642.5 L 1342.5 642.5 M 0.5 718.5 L 1342.5 718.5 M 0.5 794.5 L 1342.5 794.5 M 0.5 870.5 L 1342.5 870.5 M 0.5 946.5 L 1342.5 946.5 M 0.5 1022.5 L 1342.5 1022.5 M 0.5 1098.5 L 1342.5 1098.5 M 0.5 1250.5 L 1342.5 1250.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(192, 192, 192)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="0.235294" d="M 0.5 4.5 L 1342.5 4.5 M 0.5 4.5 L 1342.5 4.5 M 0.5 19.5 L 1342.5 19.5 M 0.5 50.5 L 1342.5 50.5 M 0.5 65.5 L 1342.5 65.5 M 0.5 80.5 L 1342.5 80.5 M 0.5 95.5 L 1342.5 95.5 M 0.5 126.5 L 1342.5 126.5 M 0.5 141.5 L 1342.5 141.5 M 0.5 156.5 L 1342.5 156.5 M 0.5 171.5 L 1342.5 171.5 M 0.5 202.5 L 1342.5 202.5 M 0.5 217.5 L 1342.5 217.5 M 0.5 232.5 L 1342.5 232.5 M 0.5 247.5 L 1342.5 247.5 M 0.5 278.5 L 1342.5 278.5 M 0.5 293.5 L 1342.5 293.5 M 0.5 308.5 L 1342.5 308.5 M 0.5 323.5 L 1342.5 323.5 M 0.5 354.5 L 1342.5 354.5 M 0.5 369.5 L 1342.5 369.5 M 0.5 384.5 L 1342.5 384.5 M 0.5 399.5 L 1342.5 399.5 M 0.5 430.5 L 1342.5 430.5 M 0.5 445.5 L 1342.5 445.5 M 0.5 460.5 L 1342.5 460.5 M 0.5 475.5 L 1342.5 475.5 M 0.5 506.5 L 1342.5 506.5 M 0.5 521.5 L 1342.5 521.5 M 0.5 536.5 L 1342.5 536.5 M 0.5 551.5 L 1342.5 551.5 M 0.5 582.5 L 1342.5 582.5 M 0.5 597.5 L 1342.5 597.5 M 0.5 612.5 L 1342.5 612.5 M 0.5 627.5 L 1342.5 627.5 M 0.5 658.5 L 1342.5 658.5 M 0.5 673.5 L 1342.5 673.5 M 0.5 688.5 L 1342.5 688.5 M 0.5 703.5 L 1342.5 703.5 M 0.5 734.5 L 1342.5 734.5 M 0.5 749.5 L 1342.5 749.5 M 0.5 764.5 L 1342.5 764.5 M 0.5 779.5 L 1342.5 779.5 M 0.5 810.5 L 1342.5 810.5 M 0.5 825.5 L 1342.5 825.5 M 0.5 840.5 L 1342.5 840.5 M 0.5 855.5 L 1342.5 855.5 M 0.5 886.5 L 1342.5 886.5 M 0.5 901.5 L 1342.5 901.5 M 0.5 916.5 L 1342.5 916.5 M 0.5 931.5 L 1342.5 931.5 M 0.5 962.5 L 1342.5 962.5 M 0.5 977.5 L 1342.5 977.5 M 0.5 992.5 L 1342.5 992.5 M 0.5 1007.5 L 1342.5 1007.5 M 0.5 1037.5 L 1342.5 1037.5 M 0.5 1053.5 L 1342.5 1053.5 M 0.5 1068.5 L 1342.5 1068.5 M 0.5 1083.5 L 1342.5 1083.5 M 0.5 1113.5 L 1342.5 1113.5 M 0.5 1129.5 L 1342.5 1129.5 M 0.5 1144.5 L 1342.5 1144.5 M 0.5 1159.5 L 1342.5 1159.5 M 0.5 1189.5 L 1342.5 1189.5 M 0.5 1205.5 L 1342.5 1205.5 M 0.5 1220.5 L 1342.5 1220.5 M 0.5 1235.5 L 1342.5 1235.5 M 0.5 1265.5 L 1342.5 1265.5 M 0.5 1281.5 L 1342.5 1281.5 M 0.5 1296.5 L 1342.5 1296.5 M 0.5 1311.5 L 1342.5 1311.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 102.5 2.5 L 102.5 1315.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 102.5 1.5 L 98.5 5.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 102.5 1.5 L 106.5 5.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 0.5 1174.5 L 1340.5 1174.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 1341.5 1174.5 L 1337.5 1170.5" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 1341.5 1174.5 L 1337.5 1178.5" paint-order="fill stroke markers" /><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="15" y="1190">–0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="15" y="1190">–0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="170" y="1190">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="170" y="1190">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="246" y="1190">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="246" y="1190">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="322" y="1190">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="322" y="1190">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="398" y="1190">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="398" y="1190">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="480" y="1190">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="480" y="1190">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="550" y="1190">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="550" y="1190">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="626" y="1190">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="626" y="1190">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="702" y="1190">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="702" y="1190">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="778" y="1190">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="778" y="1190">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="860" y="1190">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="860" y="1190">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="930" y="1190">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="930" y="1190">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1006" y="1190">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1006" y="1190">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1082" y="1190">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1082" y="1190">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1158" y="1190">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1158" y="1190">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1240" y="1190">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1240" y="1190">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1310" y="1190">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1310" y="1190">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="72" y="1255">–0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="72" y="1255">–0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="1103">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="1103">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="1027">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="1027">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="951">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="951">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="875">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="875">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="88" y="799">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="88" y="799">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="723">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="723">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="647">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="647">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="571">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="571">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="495">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="495">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="88" y="419">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="88" y="419">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="343">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="343">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="268">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="268">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="192">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="192">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="116">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="78" y="116">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="88" y="40">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="88" y="40">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="88" y="1190">0</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="88" y="1190">0</text><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-dasharray="11,8" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" d="M 431.452 495.335 L 1190.04 302.198" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="5" d="M 102.42 1174.74 L 418.375 522.335" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" fill-rule="evenodd" stroke="none" d="M 431.452 495.335 L 425.126 525.604 L 411.625 519.066 Z" paint-order="stroke fill markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="5" d="M 102.42 1174.74 L 1166.64 320.971" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" fill-rule="evenodd" stroke="none" d="M 1190.04 302.198 L 1171.33 326.821 L 1161.94 315.121 Z" paint-order="stroke fill markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="6.5" d="M 431.452 495.335 L 640.562 442.095" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" fill-rule="evenodd" stroke="none" d="M 678.357 432.473 L 642.968 451.544 L 638.157 432.647 Z" paint-order="stroke fill markers" /><path fill="rgb(77, 77, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" d="M 1197.04 302.198 C 1197.04 306.064 1193.9 309.198 1190.04 309.198 C 1186.17 309.198 1183.04 306.064 1183.04 302.198 C 1183.04 298.332 1186.17 295.198 1190.04 295.198 C 1193.9 295.198 1197.04 298.332 1197.04 302.198 Z" paint-order="stroke fill markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 1197.04 302.198 C 1197.04 306.064 1193.9 309.198 1190.04 309.198 C 1186.17 309.198 1183.04 306.064 1183.04 302.198 C 1183.04 298.332 1186.17 295.198 1190.04 295.198 C 1193.9 295.198 1197.04 298.332 1197.04 302.198 Z" paint-order="fill stroke markers" /><path fill="rgb(77, 77, 255)" fill-opacity="1" stroke="none" d="M 438.452 495.335 C 438.452 499.201 435.318 502.335 431.452 502.335 C 427.586 502.335 424.452 499.201 424.452 495.335 C 424.452 491.469 427.586 488.335 431.452 488.335 C 435.318 488.335 438.452 491.469 438.452 495.335 Z" paint-order="stroke fill markers" /><path fill="none" stroke="rgb(0, 0, 0)" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" d="M 438.452 495.335 C 438.452 499.201 435.318 502.335 431.452 502.335 C 427.586 502.335 424.452 499.201 424.452 495.335 C 424.452 491.469 427.586 488.335 431.452 488.335 C 435.318 488.335 438.452 491.469 438.452 495.335 Z" paint-order="fill stroke markers" /><g fill="rgb(0, 0, 0)" transform="scale(67) translate(3.43284 11.2624)"><path fill="" stroke="none" d="M 0.089 -0.23 Q 0.059 -0.235 0.056 -0.25 Q 0.056 -0.27 0.089 -0.27 L 0.858 -0.27 Q 0.79 -0.32 0.756 -0.399 L 0.755 -0.4 Q 0.75 -0.413 0.75 -0.416 Q 0.75 -0.428 0.765 -0.428 Q 0.776 -0.428 0.782 -0.414 Q 0.826 -0.315 0.918 -0.268 L 0.919 -0.268 L 0.92 -0.267 L 0.921 -0.267 Q 0.928 -0.263 0.935 -0.26 Q 0.939 -0.26 0.942 -0.25 Q 0.942 -0.243 0.933 -0.238 Q 0.931 -0.238 0.928 -0.236 Q 0.829 -0.189 0.783 -0.086 L 0.783 -0.086 Q 0.782 -0.085 0.781 -0.082 Q 0.776 -0.072 0.765 -0.072 Q 0.75 -0.072 0.75 -0.084 Q 0.75 -0.099 0.779 -0.144 Q 0.812 -0.196 0.858 -0.23 L 0.858 -0.23 Z" paint-order="stroke fill markers" /><g transform="translate(-3.43284 -11.2624)"><g transform="translate(3.53006 11.8792)"><path fill="" stroke="none" d="M 0.628 -0.569 L 0.268 0.004 Q 0.252 0.021 0.24 0.022 Q 0.226 0.022 0.222 0.01 Q 0.221 0.006 0.22 -0.001 L 0.141 -0.618 Q 0.138 -0.641 0.127 -0.646 Q 0.116 -0.652 0.081 -0.652 Q 0.058 -0.652 0.056 -0.664 Q 0.056 -0.683 0.075 -0.683 L 0.128 -0.681 L 0.129 -0.681 L 0.182 -0.68 L 0.184 -0.68 L 0.307 -0.683 L 0.308 -0.683 Q 0.322 -0.683 0.322 -0.672 Q 0.314 -0.653 0.297 -0.652 Q 0.233 -0.652 0.228 -0.622 L 0.296 -0.093 L 0.603 -0.581 L 0.616 -0.609 Q 0.618 -0.615 0.618 -0.619 Q 0.618 -0.649 0.572 -0.652 Q 0.556 -0.652 0.556 -0.664 Q 0.556 -0.683 0.575 -0.683 L 0.673 -0.68 L 0.674 -0.68 L 0.754 -0.683 L 0.756 -0.683 Q 0.769 -0.683 0.769 -0.671 Q 0.769 -0.653 0.756 -0.652 Q 0.704 -0.649 0.674 -0.624 Q 0.663 -0.615 0.652 -0.602 Q 0.64 -0.588 0.628 -0.569 Z" paint-order="stroke fill markers" /></g></g></g><g fill="rgb(0, 0, 0)" transform="scale(67) translate(11.0896 10.5758)"><path fill="" stroke="none" d="M 0.089 -0.23 Q 0.059 -0.235 0.056 -0.25 Q 0.056 -0.27 0.089 -0.27 L 0.858 -0.27 Q 0.79 -0.32 0.756 -0.399 L 0.755 -0.4 Q 0.75 -0.413 0.75 -0.416 Q 0.75 -0.428 0.765 -0.428 Q 0.776 -0.428 0.782 -0.414 Q 0.826 -0.315 0.918 -0.268 L 0.919 -0.268 L 0.92 -0.267 L 0.921 -0.267 Q 0.928 -0.263 0.935 -0.26 Q 0.939 -0.26 0.942 -0.25 Q 0.942 -0.243 0.933 -0.238 Q 0.931 -0.238 0.928 -0.236 Q 0.829 -0.189 0.783 -0.086 L 0.783 -0.086 Q 0.782 -0.085 0.781 -0.082 Q 0.776 -0.072 0.765 -0.072 Q 0.75 -0.072 0.75 -0.084 Q 0.75 -0.099 0.779 -0.144 Q 0.812 -0.196 0.858 -0.23 L 0.858 -0.23 Z" paint-order="stroke fill markers" /><g transform="translate(-11.0896 -10.5758)"><g transform="translate(11.2125 11.1926)"><path fill="" stroke="none" d="M 0.72 -0.659 L 0.161 -0.034 L 0.332 -0.034 Q 0.467 -0.034 0.527 -0.104 Q 0.563 -0.147 0.594 -0.242 Q 0.602 -0.265 0.611 -0.267 Q 0.624 -0.267 0.624 -0.256 L 0.62 -0.241 L 0.549 -0.02 Q 0.544 -0.003 0.536 -0.001 L 0.536 -0.001 L 0.535 -0.001 Q 0.531 0 0.518 0 L 0.083 0 Q 0.06 0 0.058 -0.009 L 0.062 -0.027 L 0.062 -0.027 L 0.621 -0.652 L 0.458 -0.652 Q 0.322 -0.652 0.264 -0.576 L 0.263 -0.575 L 0.263 -0.575 L 0.263 -0.575 L 0.262 -0.574 Q 0.234 -0.537 0.212 -0.468 Q 0.206 -0.459 0.199 -0.458 Q 0.187 -0.458 0.187 -0.469 Q 0.187 -0.476 0.19 -0.483 L 0.245 -0.663 Q 0.25 -0.68 0.258 -0.682 Q 0.262 -0.683 0.276 -0.683 L 0.698 -0.683 Q 0.721 -0.683 0.723 -0.674 Q 0.723 -0.671 0.72 -0.659 Z" paint-order="stroke fill markers" /></g></g></g><g fill="rgb(0, 0, 0)" transform="scale(67) translate(7.73134 5.91911)"><path fill="" stroke="none" d="M 0.089 -0.23 Q 0.059 -0.235 0.056 -0.25 Q 0.056 -0.27 0.089 -0.27 L 0.858 -0.27 Q 0.79 -0.32 0.756 -0.399 L 0.755 -0.4 Q 0.75 -0.413 0.75 -0.416 Q 0.75 -0.428 0.765 -0.428 Q 0.776 -0.428 0.782 -0.414 Q 0.826 -0.315 0.918 -0.268 L 0.919 -0.268 L 0.92 -0.267 L 0.921 -0.267 Q 0.928 -0.263 0.935 -0.26 Q 0.939 -0.26 0.942 -0.25 Q 0.942 -0.243 0.933 -0.238 Q 0.931 -0.238 0.928 -0.236 Q 0.829 -0.189 0.783 -0.086 L 0.783 -0.086 Q 0.782 -0.085 0.781 -0.082 Q 0.776 -0.072 0.765 -0.072 Q 0.75 -0.072 0.75 -0.084 Q 0.75 -0.099 0.779 -0.144 Q 0.812 -0.196 0.858 -0.23 L 0.858 -0.23 Z" paint-order="stroke fill markers" /><g transform="translate(-7.73134 -5.91911)"><g transform="translate(8.09245 6.52041)"><path fill="" stroke="none" d="M 0.192 -0.616 Q 0.192 -0.585 0.164 -0.57 Q 0.152 -0.563 0.138 -0.563 Q 0.105 -0.563 0.09 -0.594 Q 0.085 -0.605 0.085 -0.616 Q 0.085 -0.647 0.113 -0.662 Q 0.125 -0.669 0.139 -0.669 Q 0.172 -0.669 0.187 -0.638 Q 0.192 -0.627 0.192 -0.616 Z" paint-order="stroke fill markers" /></g><g transform="translate(7.82856 6.77319)"><path fill="rgb(0, 0, 0)" stroke="none" d="M 0.628 -0.569 L 0.268 0.004 Q 0.252 0.021 0.24 0.022 Q 0.226 0.022 0.222 0.01 Q 0.221 0.006 0.22 -0.001 L 0.141 -0.618 Q 0.138 -0.641 0.127 -0.646 Q 0.116 -0.652 0.081 -0.652 Q 0.058 -0.652 0.056 -0.664 Q 0.056 -0.683 0.075 -0.683 L 0.128 -0.681 L 0.129 -0.681 L 0.182 -0.68 L 0.184 -0.68 L 0.307 -0.683 L 0.308 -0.683 Q 0.322 -0.683 0.322 -0.672 Q 0.314 -0.653 0.297 -0.652 Q 0.233 -0.652 0.228 -0.622 L 0.296 -0.093 L 0.603 -0.581 L 0.616 -0.609 Q 0.618 -0.615 0.618 -0.619 Q 0.618 -0.649 0.572 -0.652 Q 0.556 -0.652 0.556 -0.664 Q 0.556 -0.683 0.575 -0.683 L 0.673 -0.68 L 0.674 -0.68 L 0.754 -0.683 L 0.756 -0.683 Q 0.769 -0.683 0.769 -0.671 Q 0.769 -0.653 0.756 -0.652 Q 0.704 -0.649 0.674 -0.624 Q 0.663 -0.615 0.652 -0.602 Q 0.64 -0.588 0.628 -0.569 Z" paint-order="stroke fill markers" /></g></g></g><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="22px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="783" y="429">Visierlinie</text><g transform="scale(35)"><g transform="translate(11.3429 14.3119)"><path fill="rgb(77, 77, 255)" stroke="none" d="M 0.628 -0.569 L 0.268 0.004 Q 0.252 0.021 0.24 0.022 Q 0.226 0.022 0.222 0.01 Q 0.221 0.006 0.22 -0.001 L 0.141 -0.618 Q 0.138 -0.641 0.127 -0.646 Q 0.116 -0.652 0.081 -0.652 Q 0.058 -0.652 0.056 -0.664 Q 0.056 -0.683 0.075 -0.683 L 0.128 -0.681 L 0.129 -0.681 L 0.182 -0.68 L 0.184 -0.68 L 0.307 -0.683 L 0.308 -0.683 Q 0.322 -0.683 0.322 -0.672 Q 0.314 -0.653 0.297 -0.652 Q 0.233 -0.652 0.228 -0.622 L 0.296 -0.093 L 0.603 -0.581 L 0.616 -0.609 Q 0.618 -0.615 0.618 -0.619 Q 0.618 -0.649 0.572 -0.652 Q 0.556 -0.652 0.556 -0.664 Q 0.556 -0.683 0.575 -0.683 L 0.673 -0.68 L 0.674 -0.68 L 0.754 -0.683 L 0.756 -0.683 Q 0.769 -0.683 0.769 -0.671 Q 0.769 -0.653 0.756 -0.652 Q 0.704 -0.649 0.674 -0.624 Q 0.663 -0.615 0.652 -0.602 Q 0.64 -0.588 0.628 -0.569 Z" paint-order="stroke fill markers" /></g></g><g transform="scale(35)"><g transform="translate(34.2571 8.96905)"><path fill="rgb(77, 77, 255)" stroke="none" d="M 0.72 -0.659 L 0.161 -0.034 L 0.332 -0.034 Q 0.467 -0.034 0.527 -0.104 Q 0.563 -0.147 0.594 -0.242 Q 0.602 -0.265 0.611 -0.267 Q 0.624 -0.267 0.624 -0.256 L 0.62 -0.241 L 0.549 -0.02 Q 0.544 -0.003 0.536 -0.001 L 0.536 -0.001 L 0.535 -0.001 Q 0.531 0 0.518 0 L 0.083 0 Q 0.06 0 0.058 -0.009 L 0.062 -0.027 L 0.062 -0.027 L 0.621 -0.652 L 0.458 -0.652 Q 0.322 -0.652 0.264 -0.576 L 0.263 -0.575 L 0.263 -0.575 L 0.263 -0.575 L 0.262 -0.574 Q 0.234 -0.537 0.212 -0.468 Q 0.206 -0.459 0.199 -0.458 Q 0.187 -0.458 0.187 -0.469 Q 0.187 -0.476 0.19 -0.483 L 0.245 -0.663 Q 0.25 -0.68 0.258 -0.682 Q 0.262 -0.683 0.276 -0.683 L 0.698 -0.683 Q 0.721 -0.683 0.723 -0.674 Q 0.723 -0.671 0.72 -0.659 Z" paint-order="stroke fill markers" /></g></g></g></g></svg> \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil0.tex b/buch/papers/lambertw/teil0.tex
index 6632eca..baee9ea 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil0.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil0.tex
@@ -78,17 +78,12 @@ Um den Richtungsvektor zu konstruieren kann der Einheitsvektor parallel zu $z-v$
\begin{equation}
\dot{v}
=
- |\dot{v}|\cdot e_{z-v}
-\end{equation}
-führt. Dies kann noch ausgeschrieben werden zu
-\begin{equation}
- \dot{v}
+ |\dot{v}|\cdot (z-v)^\circ
=
|\dot{v}|\cdot\frac{z-v}{|z-v|}
- \text{.}
\label{lambertw:richtungsvektor}
\end{equation}
-%
+führt.
Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $V$ und $Z$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist.
Wenn die Punkte $V$ und $Z$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial.
@@ -97,6 +92,7 @@ Nun wird die Gleichung mit $\dot{v}$ skalar multipliziert, um das Gleichungssyst
\frac{z-v}{|z-v|}\cdot|\dot{v}|\cdot\dot{v}
&=
|\dot{v}|^2
+ \text{,}
\end{align}
was algebraisch zu
\begin{align}
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index e8eca2c..c4b2d05 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -11,7 +11,7 @@ Sehr oft kommt es vor, dass bei Verfolgungsproblemen die Frage auftaucht, ob das
Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit des Verfolgers kleiner ist als diejenige des Ziels, gibt es Anfangsbedingungen bei denen das Ziel nie erreicht wird.
Im Anschluss dieser Frage stellt sich meist die nächste Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird.
Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und am Beispiel aus \ref{lambertw:section:teil4} betrachtet.
-Das Beispiel wird bei dieser Betrachtung noch etwas erweitert indem alle Punkte auf der gesamtem $xy$-Ebene als Startwerte zugelassen werden.
+Das Beispiel wird bei dieser Betrachtung noch etwas erweitert, indem alle Punkte auf der gesamtem $xy$-Ebene als Startwerte zugelassen werden.
Nun gilt es zu definieren, wann das Ziel erreicht wird.
Da sowohl Ziel und Verfolger als Punkte modelliert wurden, gilt das Ziel als erreicht, wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$ übereinstimmen.
@@ -38,28 +38,28 @@ Wenn der Verfolger im ersten Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleich
\begin{align}
x\left(t\right)
&=
- x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \\
+ x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \text{,}\\
y(t)
&=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\
+ \frac{1}{4}\biggl(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\biggl(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\biggr)-r_0+3y_0\biggr) \text{,}\\
\chi
&=
- \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}, \quad
+ \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}\text{,} \quad
\eta
=
- \left(\frac{x}{x_0}\right)^2,\quad
+ \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 \quad\text{und}\quad
r_0
=
\sqrt{x_0^2+y_0^2}
- \text{.}
\end{align}
%
+sind,
+beschrieben werden.
Der Verfolger ist durch
\begin{equation}
v(t)
=
\left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right)
- \text{.}
\end{equation}
%
parametrisiert, wobei $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$.
@@ -76,7 +76,8 @@ Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Beding
&=
y(t)
=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\text{,}
+ \frac{1}{4}\biggl(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\biggl(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\biggr)-r_0+3y_0\biggr)
+ \text{,}
\end{align}
%
welche beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde.
@@ -110,7 +111,7 @@ kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen.
Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null.
Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste, damit ein Einholen möglich wäre.
-Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
+Somit kann unter den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
%
%
%
@@ -155,7 +156,7 @@ Dies kann veranschaulicht werden anhand
1\text{.}
\end{equation}
%
-Da der $y$-Anteil der Geschwindigkeit des Ziels grösser-gleich der des Verfolgers ist, können die $y$-Koordinaten nie übereinstimmen.
+Da der $y$-Anteil der Geschwindigkeit des Ziels mindestens so gross wie die des Verfolgers ist, können die $y$-Koordinaten nie übereinstimmen.
%
\subsection{Anfangsbedingung auf positiven $y$-Achse}
Wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet, befindet er sich direkt auf der Fluchtgeraden des Ziels.
@@ -194,8 +195,8 @@ Somit wird das Ziel immer erreicht bei $t_1$, wenn der Verfolger auf der positiv
\subsection{Fazit}
Durch die Symmetrie der Fluchtkurve an der $y$-Achse führen die Anfangsbedingungen im ersten und zweiten Quadranten zu den gleichen Ergebnissen. Nun ist klar, dass lediglich Anfangspunkte auf der positiven $y$-Achse oder direkt auf dem Ziel dazu führen, dass der Verfolger das Ziel bei $t_1$ einholt.
Bei allen anderen Anfangspunkten wird der Verfolger das Ziel nie erreichen.
-Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden.
-Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
+
+Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden, während in der Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
Somit wird in einer nächsten Betrachtung untersucht, ob der Verfolger dem Ziel näher kommt als ein definierter Trefferradius.
Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert.
Mathematisch kann dies mit
@@ -205,7 +206,7 @@ Mathematisch kann dies mit
\end{equation}
%
beschrieben werden, wobei $a_{\text{min}}$ dem Trefferradius entspricht.
-Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
+Durch Quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
%
\begin{equation}
|v-z|^2<a_{\text{min}}^2 \text{,}\quad a_{\text{min}}\in \mathbb{R}^+
@@ -215,35 +216,36 @@ Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
die neue Bedingung ist.
Da sowohl der Betrag als auch $a_{\text{min}}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
%
-\subsection{trügerische Intuition}%verleitende/trügerische/verführerisch
-In der Grafik \ref{lambertw:grafic:intuition} ist eine Mögliche Verfolgungskurve dargestellt, wobei für die Startbedingung der erste-Quadrant verwendet wurde.
+\subsection{Trügerische Intuition}%verleitende/trügerische/verführerisch
+In der Grafik \ref{lambertw:grafic:intuition} ist eine mögliche Verfolgungskurve dargestellt, wobei für die Startbedingung der erste-Quadrant verwendet wurde.
Als erste Intuition für den Punkt bei dem $|v-z|$ minimal ist bietet sich der tiefste Punkt der Verfolgungskurve an, bei dem der y-Anteil des Richtungsvektors null entspricht.
Es kann argumentiert werden, dass weil die Geschwindigkeiten gleich gross sind und $\dot{v}$ sich aus einem $y$- als auch einem $x$-Anteil zusammensetzt und $\dot{z}$ nur ein $y$-Anteil besitzt, der Abstand nur grösser werden kann, wenn $e_y\cdot z>e_y\cdot v$.
Aus diesem Argument würde folgen, dass beim tiefsten Punkt der Verfolgungskurve im Beispiel den minimalen Abstand befindet.
%
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[scale=0.4]{./papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf}
+ \includegraphics[scale=0.7]{./papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf}
\caption{Intuition}
\label{lambertw:grafic:intuition}
\end{figure}
%
-
Dieses Argument kann leicht überprüft werden, indem lokal alle relevanten benachbarten Punkte betrachtet und das Vorzeichen der Änderung des Abstandes überprüft wird.
Dafür wird ein Ausdruck benötigt, der den Abstand und die benachbarten Punkte beschreibt.
-Der Richtungsvektor wird allgemein mit dem Winkel $\alpha \in[ 0, 2\pi)$
+
+$\dot{v}$ wird allgemein mit dem Winkel $\alpha \in[ 0, 2\pi)$ beschrieben, um alle unmittelbar benachbarten Punkte prüfen zu können.
Die Ortsvektoren der Punkte können wiederum mit
\begin{align}
v
&=
- t\cdot\left(\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ \sin (\alpha) \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}\right)
+ t\cdot\left(\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ \sin (\alpha) \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} x_0 \\ 0 \end{array}\right)
\\
z
&=
\left(\begin{array}{c} 0 \\ t \end{array}\right)
\end{align}
-beschrieben werden. Der Verfolger wurde allgemein für jede Richtung $\alpha$ definiert, um alle unmittelbar benachbarten Punkte beschreiben zu können.
-Da der Abstand
+beschrieben werden.
+$x_0$ ist der Abstand bei $t=0$, damit alle möglichen Fälle untersucht werden können.
+Da der Abstand allgemein
\begin{equation}
a
=
@@ -251,7 +253,7 @@ Da der Abstand
\geq
0
\end{equation}
-ist, kann durch quadrieren ohne Informationsverlust die Rechnung vereinfacht werden zu
+ist, kann durch Quadrieren ohne Informationsverlust die Rechnung vereinfacht werden zu
\begin{equation}
a^2
=
@@ -264,7 +266,7 @@ Der Abstand im Quadrat abgeleitet nach der Zeit ist
\begin{equation}
\frac{d a^2}{d t}
=
- 2(t\cdot\cos (\alpha)+x_0)\cdot\cos(\alpha)(\alpha)+2t(\sin(\alpha)-1)^2
+ 2(t\cdot\cos (\alpha)+x_0)\cdot\cos(\alpha)+2t(\sin(\alpha)-1)^2
\text{.}
\end{equation}
Da nur die unmittelbar benachbarten Punkten von Interesse sind, wird die Ableitung für $t=0$ untersucht. Dabei kann die Ableitung in
@@ -331,18 +333,12 @@ Durch algebraische Umwandlung kann die Gleichung in die Form
\dot{z}\dot{v}=|\dot{v}|^2
\end{equation}
gebracht werden.
-Da $|\dot{v}|=|\dot{z}|$ folgt
+Wenn für den Winkel zwischen den Richtungsvektoren $\alpha$ und die Eigenschaft $|\dot{z}|=|\dot{v}|$ verwendet wird entsteht
\begin{equation}
\cos(\alpha)=1
- \text{,}
-\end{equation}
-wobei $\alpha$ der Winkel zwischen den Richtungsvektoren ist.
-Mit $|\dot{z}|=|\dot{v}|=1$ entsteht
-\begin{equation}
- \cos(\alpha)=1
- \text{,}
+ \text{.}
\end{equation}
-woraus folgt, dass nur bei $\alpha=0$, wenn $\alpha \in [0,2\pi)$, ein lokales als auch globales Minimum vorhanden sein kann.
+Jetzt ist klar, dass nur bei $\alpha=0$, wenn $\alpha \in [0,2\pi)$, ein lokales als auch globales Minimum vorhanden sein kann.
$\alpha=0$ bedeutet, dass $\dot{v}=\dot{z}$ sein muss.
Da die Richtungsvektoren bei $t\rightarrow\infty$ immer in die gleiche Richtung zeigen ist dort die Bedingung immer erfüllt.
Dies entspricht gerade dem einen Rand von $t$, der andere Rand bei $t=0$ muss auch auf lokales bzw. globales Minimum untersucht werden.
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 1053dd1..36fb7e6 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -6,11 +6,11 @@
\section{Beispiel einer Verfolgungskurve
\label{lambertw:section:teil4}}
\rhead{Beispiel einer Verfolgungskurve}
-In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie ``Jagd'' beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden.
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie ``Jagd'' beschrieben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden.
\subsection{Anfangsbedingungen definieren und einsetzen
\label{lambertw:subsection:Anfangsbedingungen}}
-Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{z}| = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{v}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{z}| = 1\), beginnend beim Ursprung des kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{v}| = 1\) in Richtung Ziel. Aus diesen Bedingungen ergibt sich den ersten Quadranten als Bewegungsraum für \(V\). Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
\begin{equation}
Z
=
@@ -40,7 +40,7 @@ Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} defin
\subsection{Differentialgleichung vereinfachen
\label{lambertw:subsection:DGLvereinfach}}
-Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage, ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
+Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage, ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich, eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraischer Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Da die nächsten Schritte sehr algebralastig sind und sie das Lesen dieses Papers träge machen würden, werden wir uns hier nur auf die wesentlichsten Schritte konzentrieren, welche notwendig sind, um den Lösungsweg nachvollziehen zu können.
@@ -90,7 +90,7 @@ Versteckt im Ausdruck \eqref{lambertw:eqGeschwSubstituiert} befindet sich die er
\label{lambertw:eqAlgVerinfacht}
\end{equation}
die faktorisierte Darstellung davon ist.
-Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein. Es ergibt sich eine weitere Vereinfachung, welche zu der im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL
+Da der linke Term gleich Null ist, muss auch die Basis des Quadrates in \eqref{lambertw:eqAlgVerinfacht} gleich Null sein. Es ergibt sich eine weitere Vereinfachung, welche zu der im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL
\begin{equation}
x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
= 0
@@ -122,7 +122,7 @@ Der Grund dafür ist, dass
\label{lambertw:eqQuotZeitAbleit}
\end{equation}
und somit kann der Quotient dieser zeitlichen Ableitungen in eine Ableitung nach \(x\) umgewandelt werden.
-Nach dem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wird und vereinfacht wurde, entsteht die neue Gleichung
+Nachdem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wurde, entsteht beim Vereinfachen die neue Gleichung
\begin{equation}
x y^{\prime} + t - y
= 0.
@@ -130,7 +130,7 @@ Nach dem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eq
\end{equation}
\subsubsection{Variable \(t\) eliminieren
- \label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}}
+ \label{lambertw:subsubsection:VarTelimin}}
Hier wäre es natürlich passend, wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte, aber wie?
Wir wissen, dass sich der Verfolger mit Geschwindigkeit 1 bewegt, also legt er in der Zeit \(t\) die Strecke \(1\cdot t = t\) zurück. Längen und Strecken können auch mit der Bogenlänge repräsentiert werden, somit kann Zeit und zurückgelegte Strecke in der Gleichung
\begin{equation}
@@ -147,7 +147,7 @@ Wir wissen, dass sich der Verfolger mit Geschwindigkeit 1 bewegt, also legt er i
\end{equation}
verbunden werden.
-Nicht gerade auffällig ist die Richtung, in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert.
+Nicht gerade auffällig ist die Richtung, in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgrenzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert.
Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich der neue Ausdruck
\begin{equation}
@@ -199,7 +199,7 @@ Wenn man in \eqref{lambertw:loesDGLmitU} die Substitution rückgängig macht, er
\label{lambertw:loesDGLmitY}
\end{equation}
erster Ordnung, die bereits separiert ist.
-Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) durch seine exponentiellen Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art die Lösung
+Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) durch seine exponentielle Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art die Lösung
\begin{equation}
y
=
@@ -212,10 +212,12 @@ Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die
\subsection{Lösung analysieren
\label{lambertw:subsection:LoesAnalys}}
+\definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0}
+
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
- \caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{\operatorname{ln}(x)}-Teil entspricht.
+ \caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{applegreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{\operatorname{ln}(x)}-Teil entspricht.
\label{lambertw:BildFunkLoes}
}
\end{figure}
@@ -224,7 +226,7 @@ Das Resultat, wie ersichtlich, ist die Funktion
\begin{equation}
{\color{red}{y(x)}}
=
- C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2},
+ C_1 + C_2 {\color{applegreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2},
\label{lambertw:funkLoes}
\end{equation}
für welche die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
@@ -302,7 +304,8 @@ Wenn man die Koeffizienten \eqref{lambertw:eqKoeff1} und \eqref{lambertw:eqKoeff
\begin{equation}
y(x)
=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right).
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)
+ \operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right).
\label{lambertw:eqAllgLoes}
\end{equation}
Damit die Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem übersichtlich bleibt, wurden Anfangssteigung \(\eta\) und Anfangsentfernung \(r_0\) wie folgt definiert:
@@ -321,7 +324,7 @@ Nun sind wir soweit, dass wir eine \(y(x)\)-Beziehung für beliebige Anfangswert
\subsection{Funktion nach der Zeit
\label{lambertw:subsection:FunkNachT}}
-In diesem Abschnitt werden algebraischen Umformungen ein wenig detaillierter als zuvor beschrieben. Dies hat auch einen bestimmten Grund: Den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragst du dich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage kurz zu beantworten, es ist ``YouTube's favorite special function'' laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) welche im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde.
+In diesem Abschnitt werden algebraische Umformungen ein wenig detaillierter als zuvor beschrieben. Dies hat auch einen bestimmten Grund: Den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragt man sich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage kurz zu beantworten, es ist ``YouTube's favorite special function'' laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) welche im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde.
\subsubsection{Zeitabhängigkeit wiederherstellen
\label{lambertw:subsubsection:ZeitabhWiederherst}}
@@ -342,7 +345,7 @@ Wie in \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} zu sehen ist, werden \(y\) und deren A
\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\
y^\prime
&=
- \frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(y_0-r_0\right)\frac{1}{x}\right).
+ \frac{1}{2}\biggl(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(y_0-r_0\right)\frac{1}{x}\biggr).
\end{align}
\end{subequations}
@@ -372,16 +375,19 @@ und anschliessend
\label{lambertw:eqMitExp}
\end{equation}
erhält.
-Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist.
+Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur, die benötigt wird, um \(\eta\) mittels der Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist.
-Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren:
+Die erste Sache, die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:1 / (r_0-y_0)\:\) potenzieren:
\begin{equation}
\operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\right)
=
\eta\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta\right).
\label{lambertw:eqOhnePotenz}
\end{equation}
-Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit der Substitution
+
+\subsubsection{Eine essenzielle Substitution
+ \label{lambertw:subsubsection:SubstChi}}
+Das nächste Problem, auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen, ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit der Substitution
\begin{equation}
\chi
=
@@ -398,6 +404,9 @@ die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} lief
\chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}.
\label{lambertw:eqNachSubst}
\end{equation}
+
+\subsubsection{Funktion nach der Zeit dank Lambert-\(W\)
+ \label{lambertw:subsubsection:LambertWundFvonT}}
Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir den Ausdruck
\begin{equation}
W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
@@ -417,14 +426,14 @@ Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir di
=
y(t)
&=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right).
+ \frac{1}{4}\biggl(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\biggl(\biggl(\frac{x(t)}{x_0}\biggr)^2\biggr)-r_0+3y_0\biggr).
\end{align}
\end{subequations}
Nun haben wir unser letztes Ziel erreicht und sind in der Lage eine Verfolgung rechnerisch sowie graphisch zu repräsentieren.
\subsubsection{Hinweise zur Lambert-\(W\)-Funktion
\label{lambertw:subsubsection:HinwLambertW}}
-Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso, man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird.
+Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird.
Nun, der Grund dafür ist die Struktur
\begin{equation}
y
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index babc06d..d497622 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -1,30 +1,40 @@
%
% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-% Author: Réda Haddouche
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
\section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
\rhead{Einleitung}
-Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischer Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischer Mathematiker Joseph Liouville.
-Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt, welche für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen gilt, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
-Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie zum Beispiel mit dem Separationsansatz.
+Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville.
+Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
+Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
\begin{definition}
\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
-Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung
-\[
+Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
+\begin{equation}
\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
-\]
-und schreibt die Gleichung um in:
+\end{equation}
+als
\begin{equation}
\label{eq:sturm-liouville-equation}
\frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0
\end{equation}
-, diese Gleichung wird dann Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
+geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
\end{definition}
+Alle homogene 2. Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden.
+
+\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
+Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also
+\begin{equation}
+ y(a) = y(b) = 0,
+\end{equation}
+so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung\footnote{Die Dirichlet-Randbedingung oder auch Randbedingung des ersten Typs genannt ist nach dem deutschen Mathematiker Peter Gstav Lejeune Dirichlet benannt. Sie findet Anwendung auf gewöhnliche oder patielle Differentialgleichungen und gibt mit der Bedingung die Werte an, die für die abgeleitete Lösung innerhalb der Domänengrenze gelten.}, und von einer Neumann-Randbedingung\footnote{Die Neumann-Randbedingung oder auch Randbedingung des zweiten Typs genannt, ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Neumann benannt. Sie legt die Werte fest, die eine Lösung entlang der Domänengrenze annehmen muss, wenn eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung gestellt wird.} spricht man, wenn
+\begin{equation}
+ y'(a) = y'(b) = 0
+\end{equation}
+ergibt.
-Alle homogenen, linearen, gewöhnlichen, Differentialgleichungen 2.Ordnung können in die Form der Gleichung~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} gebracht werden.
Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs}
\begin{equation}
\begin{aligned}
@@ -33,33 +43,28 @@ Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung
k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
-kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem.
-Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also
-\[
- y(a) = y(b) = 0
-\]
-, so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn
-\[
- y'(a) = y'(b) = 0
-\]
-ist. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden.
-Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{eq:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen.
+kombiniert, dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem.
+
+\subsection{Eigenwertproblem}
+Die Gleichungen \ref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines Eigenwertproblems
Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren.
Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren.
Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar
-\[
+\begin{equation}
\lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y.
-\]
+\end{equation}
Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y -
dies gilt für das Intervall (a,b).
Somit ergibt die Gleichung
-\[
+\begin{equation}
+ \label{eq:skalar-sturm-liouville}
\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0.
-\]
+\end{equation}
+\subsection{Koeffizientenfunktionen}
Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet.
Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem.
@@ -77,12 +82,12 @@ Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
\begin{itemize}
\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein.
- \item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein.
- \item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$.
+ \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein.
+ \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
\item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
\end{itemize}
\end{definition}
-Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können.
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu kennen.
%
@@ -91,29 +96,29 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis
\subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}}
-Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulären Problems nicht erfüllt sind.
+Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind.
\begin{definition}
\label{def:singulär_sturm-liouville-problem}
\index{singuläres Sturm-Liouville-Problem}
-Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem,
+Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn:
\begin{itemize}
\item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder
\item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben.
\end{itemize}
\end{definition}
-Allerdings kann auch nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
\begin{beispiel}
Das Randwertproblem
- \[
+ \begin{equation}
\begin{aligned}
x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
y(a) &= 0
\end{aligned}
- \]
+ \end{equation}
ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
- Weil wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form bringt, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
- Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
+ Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
+ Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel \ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
\begin{itemize}
\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
@@ -121,7 +126,11 @@ Allerdings kann auch nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es si
\end{itemize}
\end{beispiel}
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung fundierte Ergebnisse hat.
-Es ist schwierig, bestehende Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z.B. in der Lösungsfunktion liegen.
-Das Spektrum besteht im singulärem Problem nicht mehr nur aus Eigenwerten, sondern kann auch einen stetigen Anteil enthalten.
-Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin eine verallgemeinerte Eigenfunktionen.
+Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung eindeutige Ergebnisse hat.
+Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der Lösungsfunktion liegen.
+Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen.
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index e86e742..3817dc0 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -1,60 +1,82 @@
%
% tschebyscheff_beispiel.tex
-% Author: Réda Haddouche
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
-Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgelistet, und zwar mit
+\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
\begin{align*}
w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
- q(x) &= 0.
-\end{align*}
+ q(x) &= 0
+\end{align*}.
Da die Sturm-Liouville-Gleichung
\begin{equation}
\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
- \frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0
+ \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0
\end{equation}
nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
-Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch.
+
+\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
-\[
- T_n(x) = \cos n (\arccos x).
-\]
+\begin{equation}
+ T_n(x) = \cos n (\arccos x)
+\end{equation}.
Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
-\[
+\begin{equation}
T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
- (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.,
-\]
+ (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
+\end{equation},
jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen.
Die Funktion
\begin{equation*}
p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{equation*}
-ist die gleiche wie $w(x)$.
+ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+\subsubsection*{Randwertproblem}
Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
-\[
+\begin{equation}
\begin{aligned}
- k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 \\
+ k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0
k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
\end{aligned}
-\]
-Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
+\end{equation}
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$.
Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}).
Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
Somit erhält man
-\[
+\begin{equation}
\begin{aligned}
k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
\end{aligned}
-\]
-Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
+\end{equation}
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
+Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
+
+\begin{beispiel}
+ Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+ \[
+ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
+ \]
+\end{beispiel}
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+