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diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
index d897b8f..3caaf43 100644
--- a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
@@ -1,53 +1,27 @@
 /**

-  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)

-  * @param b0 in 0F1(;b0;z)

-  * @param z in 0F1(;b0;z)

-  * @param n number of itertions (precision)

+  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;c;z)

+  * @param c in 0F1(;c;z)

+  * @param z in 0F1(;c;z)

+  * @param k number of itertions (precision)

   * @return Result

   */

-static double fractionRekursion0f1(const double c, const double z, unsigned int n)

+static double fractionIter0f1(const double c, const double z, unsigned int k)

 {

     //declaration

     double a = 0.0;

     double b = 0.0;

-    double Ak = 0.0;

-    double Bk = 0.0;

-    double Ak_1 = 0.0;

-    double Bk_1 = 0.0;

-    double Ak_2 = 0.0;

-    double Bk_2 = 0.0;

+    double abk = 0.0;

+    double temp = 0.0;

 

-    for (unsigned int k = 0; k <= n; ++k)

+    for (; k > 0; --k)

     {

-        if (k == 0)

-        {

-            a = 1.0; //a0

-            //recursion fomula for A0, B0

-            Ak = a;

-            Bk = 1.0;

-        }

-        else if (k == 1)

-        {

-            a = 1.0; //a1

-            b = z/c; //b1

-            //recursion fomula for A1, B1

-            Ak = a * Ak_1 + b * 1.0;

-            Bk = a * Bk_1;

-        }

-        else

-        {

-            a = 1 + (z / (k * ((k - 1) + c)));//ak

-            b = -(z / (k * ((k - 1) + c)));   //bk

-            //recursion fomula for Ak, Bk

-            Ak = a * Ak_1 + b * Ak_2;

-            Bk = a * Bk_1 + b * Bk_2;

-        }        

-        //save old values

-        Ak_2 = Ak_1;

-        Bk_2 = Bk_1;

-        Ak_1 = Ak;

-        Bk_1 = Bk; 

+        abk = z / (k * ((k - 1) + c));  //abk = ak, bk

+        

+        a = k > 1 ? (1 + abk) : 1;      //a0, a1

+        b = k > 1 ? -abk : abk;         //b1

+

+        temp = b / (a + temp);          //bk / (ak + last result)

     }

-    //approximation fraction

-    return  Ak/Bk;

-}

+

+    return a + temp;                    //a0 + temp

+}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
index 3caaf43..d897b8f 100644
--- a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
@@ -1,27 +1,53 @@
 /**

-  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;c;z)

-  * @param c in 0F1(;c;z)

-  * @param z in 0F1(;c;z)

-  * @param k number of itertions (precision)

+  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)

+  * @param b0 in 0F1(;b0;z)

+  * @param z in 0F1(;b0;z)

+  * @param n number of itertions (precision)

   * @return Result

   */

-static double fractionIter0f1(const double c, const double z, unsigned int k)

+static double fractionRekursion0f1(const double c, const double z, unsigned int n)

 {

     //declaration

     double a = 0.0;

     double b = 0.0;

-    double abk = 0.0;

-    double temp = 0.0;

+    double Ak = 0.0;

+    double Bk = 0.0;

+    double Ak_1 = 0.0;

+    double Bk_1 = 0.0;

+    double Ak_2 = 0.0;

+    double Bk_2 = 0.0;

 

-    for (; k > 0; --k)

+    for (unsigned int k = 0; k <= n; ++k)

     {

-        abk = z / (k * ((k - 1) + c));  //abk = ak, bk

-        

-        a = k > 1 ? (1 + abk) : 1;      //a0, a1

-        b = k > 1 ? -abk : abk;         //b1

-

-        temp = b / (a + temp);          //bk / (ak + last result)

+        if (k == 0)

+        {

+            a = 1.0; //a0

+            //recursion fomula for A0, B0

+            Ak = a;

+            Bk = 1.0;

+        }

+        else if (k == 1)

+        {

+            a = 1.0; //a1

+            b = z/c; //b1

+            //recursion fomula for A1, B1

+            Ak = a * Ak_1 + b * 1.0;

+            Bk = a * Bk_1;

+        }

+        else

+        {

+            a = 1 + (z / (k * ((k - 1) + c)));//ak

+            b = -(z / (k * ((k - 1) + c)));   //bk

+            //recursion fomula for Ak, Bk

+            Ak = a * Ak_1 + b * Ak_2;

+            Bk = a * Bk_1 + b * Bk_2;

+        }        

+        //save old values

+        Ak_2 = Ak_1;

+        Bk_2 = Bk_1;

+        Ak_1 = Ak;

+        Bk_1 = Bk; 

     }

-

-    return a + temp;                    //a0 + temp

-}
\ No newline at end of file
+    //approximation fraction

+    return  Ak/Bk;

+}

diff --git a/buch/papers/0f1/teil0.tex b/buch/papers/0f1/teil0.tex
index adccac7..9aca368 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil0.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil0.tex
@@ -5,11 +5,11 @@
 %

 \section{Ausgangslage\label{0f1:section:ausgangslage}}

 \rhead{Ausgangslage}

-Die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ wird in vielen Funktionen als Basisfunktion benutzt, 

+Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ wird in vielen Funktionen als Basisfunktion benutzt, 

 zum Beispiel um die Airy Funktion zu berechnen. 

 In der GNU Scientific Library \cite{0f1:library-gsl} 

 ist die Funktion $\mathstrut_0F_1$ vorhanden. 

-Allerdings wirft die Funktion, bei negativen Übergabenwerten wie zum Beispiel \verb+gsl_sf_hyperg_0F1(1, -1)+, eine Exception. 

+Allerdings wirft die Funktion bei negativen Übergabenwerten wie zum Beispiel \verb+gsl_sf_hyperg_0F1(1, -1)+ eine Exception. 

 Bei genauerer Untersuchung hat sich gezeigt, dass die Funktion je nach Betriebssystem funktioniert oder eben nicht. 

 So kann die Funktion unter Windows fehlerfrei aufgerufen werden, beim Mac OS und Linux sind negative Übergabeparameter im Moment nicht möglich.

-Ziel dieser Arbeit war es zu evaluieren, ob es mit einfachen mathematischen Operationen möglich ist, die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ zu implementieren.

+Ziel dieser Arbeit war es zu evaluieren, ob es mit einfachen mathematischen Operationen möglich ist, die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ zu implementieren.

diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex
index f697f45..c0f857d 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -6,12 +6,12 @@
 \section{Mathematischer Hintergrund

 \label{0f1:section:mathHintergrund}}

 \rhead{Mathematischer Hintergrund}

-Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Abschnittes \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate

+Basierend auf den Herleitungen des Abschnittes \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate

 beschrieben.

 

 \subsection{Hypergeometrische Funktion

 \label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}

-Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Anwendung der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.

+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist ein Speziallfall der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.

 

 \begin{definition}

 	\label{0f1:math:qFp:def}

@@ -42,7 +42,8 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$
     \mathstrut_0F_1

     \biggl(

     \begin{matrix}

-    \\-

+    \text{---}

+    \\\

     b_1

     \end{matrix}

     ;

@@ -60,7 +61,7 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$
 

 \subsection{Airy Funktion

 \label{0f1:subsection:airy}}

-Die Funktion Ai(x) und die verwandte Funktion Bi(x) werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung \cite{0f1:wiki-airyFunktion}.

+Die Funktion $\operatorname{Ai}(x)$ und die verwandte Funktion $\operatorname{Bi}(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung \cite{0f1:wiki-airyFunktion}.

 

 \begin{definition}

     \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}

@@ -70,11 +71,11 @@ Die Funktion Ai(x) und die verwandte Funktion Bi(x) werden als Airy-Funktion bez
 \end{definition}

 

 Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. 

-Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Abschnitt \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$, sowie $Bi(0)=0$ und $Bi'(0)=0$.

+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Abschnitt \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $\operatorname{Ai}(0)=1$ und $\operatorname{Ai}'(0)=0$, sowie $\operatorname{Bi}(0)=0$ und $\operatorname{Bi}'(0)=1$.

 

 \begin{align}

 \label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

-Ai(x)

+\operatorname{Ai}(x)

 =&

 \sum_{k=0}^\infty

 \frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k

@@ -83,7 +84,7 @@ Ai(x)
 \begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}

 \biggr).

 \\

-Bi(x)

+\operatorname{Bi}(x)

 =&

 \sum_{k=0}^\infty

 \frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k

@@ -95,7 +96,7 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
 \qedhere

 \end{align}

 

-Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in diesem speziellem Fall die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

+Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in dieser Arbeit die Airy Funktion $\operatorname{Ai}(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

 benutzt.

 

 

diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index 15a1c44..ef9f55e 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -6,12 +6,12 @@
 \section{Umsetzung

 \label{0f1:section:teil2}}

 \rhead{Umsetzung}

-Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt \cite{0f1:code}. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.

+Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt, die in vollständiger Form auf Github \cite{0f1:code} zu finden sind. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.

 Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Library in Python die Resultate geplottet.

 

 \subsection{Potenzreihe

 \label{0f1:subsection:potenzreihe}}

-Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:potenzreihe}, dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt und so der Bruch gegen Null strebt. Spätesten ab $k=167$ stösst diese Umsetzung  \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq} an ihre Grenzen, da die Fakultät von $168$ eine Bereichsüberschreitung des \textit{double} Bereiches darstellt \cite{0f1:double}.

+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq}.

 

 \begin{align}

     \label{0f1:umsetzung:0f1:eq}

@@ -30,33 +30,57 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings is
 

 \subsection{Kettenbruch

 \label{0f1:subsection:kettenbruch}}

-Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form

+Eine weitere Variante zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ ist die Umsetzung als Kettenbruch.

+Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe, ist die schnellere Konvergenz.

+

+Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form

 \begin{equation*}

 a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}

 \end{equation*}

 in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen sind.

-Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist 

+

+Nimmt man nun folgenden Gleichung \cite{0f1:wiki-fraction}:

 \begin{equation*}

-	a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots

+	f_{i-1} - f_i = k_i z f_{i+1},

 \end{equation*}

-\cite{0f1:wiki-kettenbruch}.

-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies \cite{0f1:wiki-fraction}:

+wo $f_i$ analytische Funktionen sind und $i > 0$ ist, sowie $k_i$ konstant.

+Ergibt sich folgender Zusammenhang:

 \begin{equation*}

+	\cfrac{f_i}{f_{i-1}} = \cfrac{1}{1+k_iz\cfrac{f_{i+1}}{f_i}}

+\end{equation*}

+

+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:

+\begin{equation}

+	\label{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq}

 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots

+\end{equation}

+Durch Substitution kann bewiesen werden, dass die nachfolgende Formel eine Relation zur obigen Potenzreihe \eqref{0f1:math:potenzreihe:0f1:eq} ist:

+\begin{equation*}

+	\mathstrut_0F_1(;c-1;z) - \mathstrut_0F_1(;c;z) = \frac{z}{c(c-1)} \cdot \mathstrut_0F_1(;c+1;z).

 \end{equation*}

-Umgeformt ergibt sich folgender Kettenbruch

+Wenn man für $f_i$ und $k_i$ folgende Annahme trifft:

+\begin{align*}

+	f_i =& \mathstrut_0F_1(;c+1;z)\\

+	k_i	=& \frac{1}{(c+1)(c+i-1)}

+\end{align*}

+erhält man:

+\begin{equation*}

+	\cfrac{\mathstrut_0F_1(;c+1;z)}{\mathstrut_0F_1(;c;z)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{\cfrac{z}{c(c+1)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+1)(c+2)}}{1+\cfrac{\cfrac{z}{(c+2)(c+3)}}{\cdots}}}}.

+\end{equation*}

+

+Mit weiteren Relationen ergibt sich nach Wolfram Alpha \cite{0f1:wolfram-0f1} folgender Kettenbruch

 \begin{equation}

 	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}

 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},

 \end{equation}

-der als Code (siehe: Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ})  umgesetzt wurde. 

-\cite{0f1:wolfram-0f1}

+der als Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ})  umgesetzt wurde. 

+

 

 \lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ},  firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}

 

 \subsection{Rekursionsformel

 \label{0f1:subsection:rekursionsformel}}

-Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche}

+Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche \cite{0f1:kettenbrueche} zu finden.

 

 \subsubsection{Herleitung}

 Ein Näherungsbruch in der Form

@@ -116,7 +140,7 @@ an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:
 	\begin{pmatrix}

 		b_k\\

 		a_k

-	\end{pmatrix}

+	\end{pmatrix}.

 \end{align*}

 Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix

 \begin{equation}

@@ -135,7 +159,7 @@ Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix
 		a_k

 	\end{pmatrix}.

 \end{equation}

-Und Schlussendlich kann der Näherungsbruch

+Und schlussendlich kann der Näherungsbruch

 \[

 \frac{A_k}{B_k}

 \] 

@@ -143,7 +167,7 @@ berechnet werden.
 

 

 \subsubsection{Lösung}

-Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise aufschreiben: \cite{0f1:wiki-fraction}

+Die Berechnung von $A_k, B_k$ gemäss \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben:

 \begin{itemize}

 \item Startbedingungen:

 \begin{align*}

@@ -162,10 +186,10 @@ B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k
 \end{aligned}

 \]

 \item

-Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$

+Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$.

 \end{itemize}

 

-Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung als Rekursionsformel ist \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion}, dass im Vergleich zum Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.

+Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung als Rekursionsformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.

 

 %Code

 \lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion},  firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 72b1b21..b283b07 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -7,58 +7,55 @@
 \label{0f1:section:teil3}}

 \rhead{Resultate}

 Im Verlauf dieser Arbeit hat sich gezeigt, 

-das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.

+das einen einfachen mathematischen Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.

 So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen $z$ in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$.

-Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten ab \cite{0f1:wolfram-0f1}.

+Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten \cite{0f1:wolfram-0f1} ab.

 

 \subsection{Konvergenz

 \label{0f1:subsection:konvergenz}}

-Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von -2 bis 2 liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $Ai(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.

+Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.

 

-Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen, bezüglich Konvergenz überlegen. 

-Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach einschwingt \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner

-\ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}.

-Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel zurück zu führen\eqref{0f1:math:loesung:eq}. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.

+Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. 

+Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von $k$ bis zum Abbruch kleiner.

+Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.

 

-Ist $z$ negativ wie im Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab.

-Die ansteigende Differenz mit anschliessender, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.

+Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu aufgrund des Vorzeichens zu alternierenden Termen. So steigt bei allen Algorithmen zuerst die Differenz zum erwarteten Endwert. Erst nach genügend Iterationen sind die Terme genügend klein, so dass sie das Endresultat nicht mehr signifikant beeinflussen.

+Auch hier konvergiert der Kettenbruch am schnellsten von allen Algorithmen. Ebenso bricht die Rekursionsformel nahezu gleichzeitig mit der Potenzreihe ab.

 

 \subsection{Stabilität

 \label{0f1:subsection:Stabilitaet}}

-Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.

-

-Wohingegen die Potenzreihe \eqref{0f1:listing:potenzreihe} das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.

-Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.

-

-Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von z, was zum Phänomen der Auslöschung führt \cite{0f1:SeminarNumerik}. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.

+Verändert sich der Wert von $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.

 

+Wohingegen die Potenzreihe (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}) das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät im Nenner. Dies führt zu einer Bereichsüberschreitung des \verb+double+ Bereiches \cite{0f1:double}, der spätesten ab $k=167$ eintritt. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.

+Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Konvergenz zu gewährleisten, muss wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.

 

+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von $z$, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl die Potenzreihe, der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da alle Algorithmen auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Diese programmiertechnischen Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} und \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ} festzustellen.

 

 \begin{figure}

     \centering

     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf}

-    \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$.

+    \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $\operatorname{Ai}(0)=1$ und $\operatorname{Ai}'(0)=0$.

     \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}}

 \end{figure}

 

 \begin{figure}

     \centering

     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}

-    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.

+    \caption{Konvergenz mit positivem z; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.

     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}

 \end{figure}

 

 \begin{figure}

     \centering

     \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}

-    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.

+    \caption{Konvergenz mit negativem z; Logarithmisch, vorzeichenlose dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.

     \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}

 \end{figure}

 

 \begin{figure}

     \centering

     \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf}

-    \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $Ai(x)$.

+    \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $\operatorname{Ai}(x)$.

     \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}}

 \end{figure}

 

diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
index 37fd89f..ae7127f 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
@@ -1,56 +1,73 @@
 \section{Einleitung}
 
-% Lineare filter
-
-% Filter, Signalverarbeitung
-
-
-Der womöglich wichtigste Filtertyp ist das Tiefpassfilter.
-Dieses soll im Durchlassbereich unter der Grenzfrequenz $\Omega_p$ unverstärkt durchlassen und alle anderen Frequenzen vollständig auslöschen.
-
-% Bei der Implementierung von Filtern
-
-In der Elektrotechnik führen Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}).
-Die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich $|H(\Omega)|$ eines solchen Systems ist dabei immer eine rationale Funktion, also eine Division von zwei Polynomen.
-Die Polynome habe dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen.
-
-
-\begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega}
-    | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}
+Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elementen in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik.
+Besonders hilfreich ist die Untergruppe der linearen Filter.
+Elektronische Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen führen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}).
+Durch die Linearität werden beim das Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern. %TODO review sentence
+Diese Eigenschaft macht es Sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben.
+Die Übertragungsfunktion eines linearen Filters im Frequenzbereich $H(\Omega)$ ist dabei immer eine rationale Funktion, also ein Quotient von zwei Polynomen.
+Dabei ist $\Omega = 2 \pi f$ die Frequenzeinheit.
+Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen.
+
+Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt alle Frequenzen eines Signals oberhalb der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen.
+Der Rest soll dabei unverändert passieren.
+Aus dem Tiefpassifilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden.
+Ein solches Filter hat idealerweise die Frequenzantwort
+\begin{equation}
+    H(\Omega) =
+    \begin{cases}
+        1  & \Omega < \Omega_p \\
+        0  & \Omega < \Omega_p
+    \end{cases},
 \end{equation}
-
-$\Omega = 2 \pi f$ ist die analoge Frequenz
-
-
-% Linear filter
-Damit das Filter implementierbar und stabil ist, muss $H(\Omega)^2$ eine rationale Funktion sein, deren Nullstellen und Pole auf der linken Halbebene liegen.
-
-$N \in \mathbb{N} $ gibt dabei die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.
-
-Damit ein Filter die Passband Kondition erfüllt muss $|F_N(w)| \leq 1 \forall |w| \leq 1$ und für $|w| \geq 1$ sollte die Funktion möglichst schnell divergieren.
-Eine einfaches Polynom, dass das erfüllt, erhalten wir wenn $F_N(w) = w^N$.
+wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:lp}
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex}
+    \caption{Frequenzantwort eines Tiefpassfilters.}
+    \label{ellfilter:fig:lp}
+\end{figure}
+Leider ist eine solche Funktion nicht als rationale Funktion darstellbar.
+Aus diesem Grund sind realisierbare Approximationen gesucht.
+Jede Approximation wird einen kontinuierlichen Übergang zwischen Durchlassbereich und Sperrbereich aufweisen.
+Oft wird dabei der Faktor $1/\sqrt{2}$ als Schwelle zwischen den beiden Bereichen gewählt.
+Somit lassen sich lineare Tiefpassfilter mit folgender Funktion zusammenfassen:
+\begin{equation}
+    | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p},
+\end{equation}
+wobei $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, $|F_N(w)| \leq 1 ~\forall~ |w| \leq 1$ erfüllt und für $|w| \geq 1$ möglichst schnell divergiert.
+Des weiteren müssen alle Nullstellen und Pole von $F_N$ auf der linken Halbebene liegen, damit das Filter implementierbar und stabil ist.
+$w$ ist die normalisierte Frequenz, die es erlaubt ein Filter unabhängig von der Grenzfrequenz zu beschrieben.
+Bei $w=1$ hat das Filter eine Dämpfung von $1/(1+\varepsilon^2)$.
+$N \in \mathbb{N} $ gibt die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.
+Je hoher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in denn Sperrbereich.
+Grössere $N$ sind erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung.
+Eine einfache Funktion, die für $F_N$ eingesetzt werden kann, ist das Polynom $w^N$.
 Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pgf}
-    \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.}
+    \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne und gelbe Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.}
     \label{ellfilter:fig:butterworth}
 \end{figure}
-
-wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof?
-
+Eine Reihe von rationalen Funktionen können für $F_N$ eingesetzt werden, um Tiefpassfilter\-approximationen mit unterschiedlichen Eigenschaften zu erhalten:
 \begin{align}
     F_N(w) & =
     \begin{cases}
         w^N                            & \text{Butterworth} \\
         T_N(w)                         & \text{Tschebyscheff, Typ 1}  \\
         [k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2}  \\
-        R_N(w, \xi)                    & \text{Elliptisch (Cauer)}    \\
+        R_N(w, \xi)                    & \text{Elliptisch}    \\
     \end{cases}
 \end{align}
-
-Mit der Ausnahme vom Butterworth filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt.
-Alle diese Filter sind optimal für unterschiedliche Anwendungsgebiete.
+Mit der Ausnahme vom Butterworth-Filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt.
+Alle diese Filter sind optimal hinsichtlich einer Eigenschaft.
 Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich.
-Das Tschebyscheff-1 Filter sind maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
+Das Tschebyscheff-1 Filter ist maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
 Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter.
+
+Dieses Paper betrachtet die Theorie hinter dem elliptischen Filter, dem wohl exotischsten dieser Auswahl.
+Es weist sich aus durch den steilsten Übergangsbereich für eine gegebene Filterdesignspezifikation.
+Des weiteren kann es als Verallgemeinerung des Tschebyscheff-Filters angesehen werden.
+
+% wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof?
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index 88bfbfe..67bcca0 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex
@@ -1,92 +1,100 @@
 \section{Elliptische rationale Funktionen}
 
-Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen
+Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \cite{ellfilter:bib:orfanidis}
 \begin{align}
-    R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \\
-                &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1)\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
+    R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\
+                &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\
                 &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k)
 \end{align}
-
-
-sieht ähnlich aus wie die trigonometrische Darstellung der Tschebyschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
+Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tsche\-byschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf.
 Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz.
 Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for.
-Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Module $k$ und $k_1$ gebraucht.
-
-
-
-Sinus entspricht $\sn$
-
-Damit die Nullstellen an ähnlichen Positionen zu liegen kommen wie bei den Tschebyscheff-Polynomen, muss die $\cd$-Funktion gewählt werden.
+Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht.
+Bei $k = k_1 = 0$ wird der $\cd$ zum Kosinus und wir erhalten in diesem Spezialfall die Tschebyschef-Polynome.
 
+Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{buch:elliptisch:fig:ellall} können für alle inversen Jacobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden.
 Die $\cd^{-1}(w, k)$-Funktion ist um $K$ verschoben zur $\sn^{-1}(w, k)$-Funktion, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd}.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex}
     \caption{
-        $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$.
+        $z$-Ebene der Funktion $z = \cd^{-1}(w, k)$.
         Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
     }
     \label{ellfilter:fig:cd}
 \end{figure}
-Auffallend ist, dass sich alle Nullstellen und Polstellen um $K$ verschoben haben.
-
-Durch das Konzept vom fundamentalen Rechteck, siehe Abbildung \ref{ellfilter:fig:fundamental_rectangle} können für alle inversen Jaccobi elliptischen Funktionen die Positionen der Null- und Polstellen anhand eines Diagramms ermittelt werden.
-Der erste Buchstabe bestimmt die Position der Nullstelle und der zweite Buchstabe die Polstelle.
+Auffallend an der $w = \cd(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen.
+Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, welche Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} gesehen werden kann.
 \begin{figure}
     \centering
-    \input{papers/ellfilter/tikz/fundamental_rectangle.tikz.tex}
+    \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
     \caption{
-        Fundamentales Rechteck der inversen Jaccobi elliptischen Funktionen.
+        $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen.
+        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
+        Als Vereinfachung ist die Funktion nur für $w>0$ dargestellt.
     }
-    \label{ellfilter:fig:fundamental_rectangle}
+    \label{ellfilter:fig:cd2}
 \end{figure}
-
-Auffallend an der $w = \sn(z, k)$-Funktion ist, dass sich $w$ auf der reellen Achse wie der Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$ bewegt, während bei $\mathrm{Im(z) = K^\prime}$ die Werte zwischen $\pm 1/k$ und $\pm \infty$ verlaufen.
-Die Funktion hat also Equirippel-Verhalten um $w=0$ und um $w=\pm \infty$.
-Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Sti der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
-
-
-
-Analog zu Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2} können wir auch bei den elliptisch rationalen Funktionen die komplexe $z$-Ebene betrachten, wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:cd2}, um die besser zu verstehen.
+Das elliptische Filter hat im Gegensatz zum Tschebyscheff-Filter drei Zonen.
+Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchlaufen.
+Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole durchlaufen werden.
+Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden.
+% Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist.
+Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend.
+Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde.
+Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters.
 \begin{figure}
     \centering
-    \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex}
-    \caption{
-        $z_1$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen.
-        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen passiert.
-    }
-    \label{ellfilter:fig:cd2}
+    \input{papers/ellfilter/python/elliptic.pgf}
+    \caption{$F_N$ und die resultierende Frequenzantwort eines elliptischen Filters.}
+    \label{ellfilter:fig:elliptic_freq}
 \end{figure}
-% Da die $\cd^{-1}$-Funktion 
-
 
+\subsection{Gradgleichung}
 
+Damit die Pol- und Nullstellen genau in dieser Konstellation durchfahren werden, müssen die elliptischen Moduli des inneren und äusseren $\cd$ aufeinander abgestimmt werden.
+In der reellen Richtung müssen sich die Periodizitäten $K$ und $K_1$ um den Faktor $N$ unterscheiden, während die imagiäre Periodizitäten $K^\prime$ und $K^\prime_1$ gleich bleiben müssen.
+Zur Erinnerung, $K$ und $K^\prime$ sind durch elliptische Integrale definiert und vom Modul $k$ abhängig wie ersichtlich in Abbildung \ref{ellfilter:fig:kprime}.
 \begin{figure}
     \centering
-    \input{papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf}
-    \caption{$F_N$ für ein elliptischs filter.}
-    \label{ellfilter:fig:elliptic}
+    \input{papers/ellfilter/python/k.pgf}
+    \caption{Die Periodizitäten in realer und imaginärer Richtung in Abhängigkeit vom elliptischen Modul $k$.}
+    \label{ellfilter:fig:kprime}
 \end{figure}
-
-\subsection{Degree Equation}
-
-Der $\cd^{-1}$ Term muss so verzogen werden, dass die umgebene $\cd$-Funktion die Nullstellen und Pole trifft.
-Dies trifft ein wenn die Degree Equation erfüllt ist.
-
+$K$ und $K^\prime$ sind durch die Ortskurve $K + jK^\prime$ aneinander gebunden und benötigen den Zusatzfaktor $K_1/K$ in \eqref{ellfilter:eq:elliptic}, um die genanten Forderungen einzuhalten.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:degree_eq} zeigt das Problem geometrisch auf, wobei zwei Punkte $K+jK^\prime$ und $K_1+jK_1^\prime$ auf der Ortskurve gesucht sind.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz}
+    \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem ($N=3$).}
+    \label{ellfilter:fig:degree_eq}
+\end{figure}
+Algebraisch kann so die Gradgleichung
 \begin{equation}
     N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
 \end{equation}
+aufgestellt werden, dessen Lösung ist gegeben durch
+\begin{equation} %TODO check
+k_1 = k^N \prod_{i=1}^L \sn^4 \Bigg( \frac{2i - 1}{N} K, k \Bigg),
+\quad \text{wobei} \quad
+N = 2L+r.
+\end{equation}
+Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \cite{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
 
+% \begin{figure}
+%     \centering
+%     \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz}
+%     \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem.}
+% \end{figure}
 
-Leider ist das lösen dieser Gleichung nicht trivial.
-Die Rechnung wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im Detail angeschaut.
-
-
-\subsection{Polynome?}
+\subsection{Schlussfolgerung}
 
+Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden.
 Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann.
-Im gegensatz zum $\cos^{-1}$ hat der $\cd^{-1}$ nicht nur Nullstellen sondern auch Pole.
+Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole.
 Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen.
 
-Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar.
+% Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar.
+
+
diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
index 6a208fa..567bbcc 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex
@@ -1,17 +1,17 @@
 \section{Jacobische elliptische Funktionen}
 
-%TODO $z$ or $u$ for parameter?
-
-Für das elliptische Filter wird statt der, für das Tschebyscheff-Filter benutzen Kreis-Trigonometrie die elliptischen Funktionen gebraucht.
+Für das elliptische Filter werden, wie es der Name bereits deutet, elliptische Funktionen gebraucht.
+Wie die trigonometrischen Funktionen Zusammenhänge eines Kreises darlegen, beschreiben die elliptischen Funktionen Ellipsen.
+Es ist daher naheliegend, dass Kosinus des Tschebyscheff-Filters mit einem elliptischen Pendant ausgetauscht werden könnte.
 Der Begriff elliptische Funktion wird für sehr viele Funktionen gebraucht, daher ist es hier wichtig zu erwähnen, dass es ausschliesslich um die Jacobischen elliptischen Funktionen geht.
 
+Die Jacobi elliptischen Funktionen werden ausführlich im Kapitel \ref{buch:elliptisch:section:jacobi} behandelt.
 Im Wesentlichen erweitern die Jacobi elliptischen Funktionen die trigonometrische Funktionen für Ellipsen.
 Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$.
 Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter.
-Zum einen gibt es den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert.
-Zum andern das Winkelargument $z$.
+Den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert und das Winkelargument $z$.
 Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das.
-Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft.
+Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbogenlänge nicht linear zum Winkel verläuft.
 Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden.
 Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art
 \begin{equation}
@@ -27,17 +27,8 @@ Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art
             1-k^2 \sin^2 \theta
         }
     }
-    =
-    \int_{0}^{\phi}
-    \frac{
-        dt
-    }{
-        \sqrt{
-            (1-t^2)(1-k^2 t^2)
-        }
-    } %TODO which is right? are both functions from phi?
 \end{equation}
-mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung liegt.
+mit dem Winkel $\phi$ in Verbindung gebracht werden.
 
 Dabei wird das vollständige und unvollständige Elliptische integral unterschieden.
 Beim vollständigen Integral
@@ -53,9 +44,9 @@ Beim vollständigen Integral
         }
     }
 \end{equation}
-wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung.
+wird über ein viertel Ellipsenbogen integriert, also bis $\phi=\pi/2$ und liefert das Winkelargument für eine Vierteldrehung.
 Die Zahl wird oft auch abgekürzt mit $K = K(k)$ und ist für das elliptische Filter sehr relevant.
-Alle elliptishen Funktionen sind somit $4K$-periodisch.
+Alle elliptischen Funktionen sind somit $4K$-periodisch.
 
 Neben dem $\sn$ gibt es zwei weitere basis-elliptische Funktionen $\cn$ und $\dn$.
 Dazu kommen noch weitere abgeleitete Funktionen, die durch Quotienten und Kehrwerte dieser Funktionen zustande kommen.
@@ -93,37 +84,40 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral
     =
     \sn(z, k)
     =
-    w
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
-    \phi
-    =
-     F^{-1}(z, k)
-     =
-     \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big)
-     =
-    \sin^{-1} ( w )
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
-    F(\phi, k)
-    =
-    z
-    =
-    F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k)
-    =
-    F( \sin^{-1} ( w ), k)
-\end{equation}
-
-\begin{equation}
-    \sn^{-1}(w, k)
-    =
-    F(\phi, k),
-    \quad
-    \phi = \sin^{-1}(w)
+    w.
 \end{equation}
 
+% \begin{equation} %TODO remove unnecessary equations
+%     \phi
+%     =
+%      F^{-1}(z, k)
+%      =
+%      \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big)
+%      =
+%     \sin^{-1} ( w )
+% \end{equation}
+
+% \begin{equation}
+%     F(\phi, k)
+%     =
+%     z
+%     =
+%     F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k)
+%     =
+%     F( \sin^{-1} ( w ), k)
+% \end{equation}
+
+% \begin{equation}
+%     \sn^{-1}(w, k)
+%     =
+%     F(\phi, k),
+%     \quad
+%     \phi = \sin^{-1}(w)
+% \end{equation}
+
+Beim Tschebyscheff-Filter konnten wir mit Betrachten des Arcuscosinus die Funktionalität erklären.
+Für das Elliptische Filter machen wir die gleiche Betrachtung mit der $\sn^{-1}$-Funktion.
+Der $\sn^{-1}$ ist durch das elliptische Integral
 \begin{align}
     \sn^{-1}(w, k)
         & =
@@ -148,11 +142,8 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral
         }
     }
 \end{align}
-
-Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert.
-Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen.
-Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$.
-Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$.
+beschrieben.
+Dazu betrachten wir wieder den Integranden
 \begin{equation}
     \frac{
         1
@@ -160,24 +151,15 @@ Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch posi
         \sqrt{
             (1-t^2)(1-k^2 t^2)
         }
-    }
-    \in \mathbb{R}
-    \quad \forall \quad
-    -1 \leq t \leq 1
+    }.
 \end{equation}
-Die zweite stelle passiert wenn beide Faktoren unter der Wurzel negativ werden, was bei $t = 1/k$ der Fall ist.
-
-
-
-
-Funktion in relle und komplexe Richtung periodisch
-
-In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch.
-
-
-
-%TODO sn^{-1} grafik
-
+Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert.
+Wenn man das Gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen.
+Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$.
+Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$.
+Ab diesem Punkt knickt die Funktion in die imaginäre Richtung ab.
+Bei $t = 1/k$ ist auch der zweite Term negativ und die Funktion verläuft in die negative reelle Richtung.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen Ebene.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex}
@@ -185,5 +167,20 @@ In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtu
         $z$-Ebene der Funktion $z = \sn^{-1}(w, k)$.
         Die Funktion ist in der realen Achse $4K$-periodisch und in der imaginären Achse $2jK^\prime$-periodisch.
     }
-    % \label{ellfilter:fig:cd2}
+    \label{ellfilter:fig:sn}
 \end{figure}
+In der reellen Richtung ist sie $4K(k)$-periodisch und in der imaginären Richtung $4K^\prime(k)$-periodisch, wobei $K^\prime$ das komplementäre vollständige Elliptische Integral ist:
+\begin{equation}
+    K^\prime(k)
+    =
+    \int_{0}^{\pi / 2}
+    \frac{
+        d\theta
+    }{
+        \sqrt{
+            1-{k^\prime}^2 \sin^2 \theta
+        }
+    },
+    \quad
+    k^\prime = \sqrt{1-k^2}.
+\end{equation}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex b/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex
index 7fdb864..96bdfd3 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/presentation/presentation.tex
@@ -76,9 +76,9 @@
 
 %Title Page
 \title{Elliptische Filter}
-\subtitle{Eine Anwendung der Jaccobi elliptischen Funktionen}
+\subtitle{Eine Anwendung der Jacobi elliptischen Funktionen}
 \author{Nicolas Tobler}
-% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+\institute{Mathematisches Seminar 2022 | Spezielle Funktionen}
 % \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}}
 \date{\today}
 
@@ -113,25 +113,38 @@
 	\end{frame}
 
 	\begin{frame}
-		\frametitle{Content}
+		\frametitle{Inhalt}
 		\tableofcontents
 	\end{frame}
 
-	\section{Linear Filter}
+	\section{Lineare Filter}
 
 	\begin{frame}
 		\frametitle{Lineare Filter}
 
+		\begin{center}
+			\scalebox{0.75}{
+				\input{../tikz/filter.tikz.tex}
+			}
+		\end{center}
 
-		\begin{equation}
+
+		\begin{equation*}
 			| H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}
-		\end{equation}
+		\end{equation*}
 
 		\pause
 
-		\begin{equation}
+		\begin{align*}
+			|F_N(w)| &< 1 \quad \forall \quad |w| < 1 \\
+			|F_N(w)| &= 1 \quad \forall \quad |w| = 1 \\
+			|F_N(w)| &> 1 \quad \forall \quad |w| > 1
+		\end{align*}
+
+
+		\begin{equation*}
 			F_N(w) = w^N
-		\end{equation}
+		\end{equation*}
 
 	\end{frame}
 
@@ -218,10 +231,36 @@
 
 		Darstellung mit trigonometrischen Funktionen:
 
-		\begin{align} \label{ellfilter:eq:chebychef_polynomials}
+		\begin{align*}
 			T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\
 				&= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z)
-		\end{align}
+		\end{align*}
+
+		\pause
+
+		\begin{align*}
+			\cos^{-1}(x)
+			&=
+			\int_{x}^{1}
+			\frac{
+				dz
+			}{
+				\sqrt{
+					1-z^2
+				}
+			}\\
+			&=
+			\int_{0}^{x}
+			\frac{
+				-1
+			}{
+				\sqrt{
+					1-z^2
+				}
+			}
+			~dz
+			+ \frac{\pi}{2}
+		\end{align*}
 
 
 	\end{frame}
@@ -229,15 +268,41 @@
 	\begin{frame}
 		\frametitle{Tschebyscheff-Filter}
 
-		\begin{equation*}
-			z = \cos^{-1}(w)
-		\end{equation*}
+		\begin{columns}
+
+			\begin{column}{0.2\textwidth}
+
+				\begin{equation*}
+					z = \cos^{-1}(w)
+				\end{equation*}
+
+				\vspace{0.5cm}
+
+				Integrand:
+				\begin{equation*}
+					\frac{
+						-1
+					}{
+						\sqrt{
+							1-z^2
+						}
+					}
+				\end{equation*}
+
+			\end{column}
+			\begin{column}{0.8\textwidth}
+
+
+				\begin{center}
+					\scalebox{0.7}{
+						\input{../tikz/arccos.tikz.tex}
+					}
+				\end{center}
+
+			\end{column}
+		\end{columns}
+
 
-		\begin{center}
-			\scalebox{0.85}{
-				\input{../tikz/arccos.tikz.tex}
-			}
-		\end{center}
 
 	\end{frame}
 
@@ -245,7 +310,7 @@
 		\frametitle{Tschebyscheff-Filter}
 
 		\begin{equation*}
-			z_1 = N~\cos^{-1}(w)
+			T_N(w) = \cos \left(z_1 \right), \quad z_1 = N~\cos^{-1}(w)
 		\end{equation*}
 
 		\begin{center}
@@ -257,15 +322,14 @@
 	\end{frame}
 
 
-	\section{Jaccobi elliptische Funktionen}
+	\section{Jacobi elliptische Funktionen}
 
 	\begin{frame}
-		\frametitle{Jaccobi elliptische Funktionen}
+		\frametitle{Jacobi elliptische Funktionen}
 
+		Elliptisches Integral erster Art
 
-		\begin{equation}
-			z
-			=
+		\begin{equation*}
 			F(\phi, k)
 			=
 			\int_{0}^{\phi}
@@ -276,18 +340,18 @@
 					1-k^2 \sin^2 \theta
 				}
 			}
-			=
-			\int_{0}^{\phi}
-			\frac{
-				dt
-			}{
-				\sqrt{
-					(1-t^2)(1-k^2 t^2)
-				}
-			}
-		\end{equation}
+			% =
+			% \int_{0}^{\phi}
+			% \frac{
+			% 	dt
+			% }{
+			% 	\sqrt{
+			% 		(1-t^2)(1-k^2 t^2)
+			% 	}
+			% }
+		\end{equation*}
 
-		\begin{equation}
+		\begin{equation*}
 			K(k)
 			=
 			\int_{0}^{\pi / 2}
@@ -298,24 +362,88 @@
 					1-k^2 \sin^2 \theta
 				}
 			}
-		\end{equation}
+		\end{equation*}
 
 
 
 	\end{frame}
 
+
+
+
+
 	\begin{frame}
-		\frametitle{Jaccobi elliptische Funktionen}
+		\frametitle{Jacobi elliptische Funktionen}
+
+			\begin{equation*}
+				\sn^{-1}(w, k)
+				=
+				F(\phi, k),
+				\quad
+				\phi = \sin^{-1}(w)
+			\end{equation*}
+
+			\begin{align*}
+				\sn^{-1}(w, k)
+					& =
+				\int_{0}^{\phi}
+				\frac{
+					d\theta
+				}{
+					\sqrt{
+						1-k^2 \sin^2 \theta
+					}
+				},
+				\quad
+				\phi = \sin^{-1}(w)
+				\\
+					& =
+				\int_{0}^{w}
+				\frac{
+					dt
+				}{
+					\sqrt{
+						(1-t^2)(1-k^2 t^2)
+					}
+				}
+			\end{align*}
 
-		\begin{equation*}
-			z = \sn^{-1}(w, k)
-		\end{equation*}
 
-		\begin{center}
-			\scalebox{0.7}{
-				\input{../tikz/sn.tikz.tex}
-			}
-		\end{center}
+
+		\end{frame}
+
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Jacobi elliptische Funktionen}
+		\begin{columns}
+			\begin{column}{0.2\textwidth}
+
+				\begin{equation*}
+					z = \sn^{-1}(w, k)
+				\end{equation*}
+
+				\vspace{0.5cm}
+
+				Integrand:
+				\begin{equation*}
+					\frac{
+						1
+					}{
+						\sqrt{
+							(1-t^2)(1-k^2 t^2)
+						}
+					}
+				\end{equation*}
+
+			\end{column}
+			\begin{column}{0.8\textwidth}
+				\begin{center}
+					\scalebox{0.75}{
+						\input{../tikz/sn.tikz.tex}
+					}
+				\end{center}
+			\end{column}
+		\end{columns}
+
 
 	\end{frame}
 
@@ -334,7 +462,7 @@
 
 
 	\begin{frame}
-		\frametitle{Jaccobi elliptische Funktionen}
+		\frametitle{Jacobi elliptische Funktionen}
 
 		\begin{equation*}
 			z = \cd^{-1}(w, k)
@@ -349,6 +477,23 @@
 
 	\end{frame}
 
+	\section{Elliptisches Filter}
+
+	\begin{frame}
+		\frametitle{Elliptisches Filter}
+
+		% \begin{equation*}
+		% 	z_1 = N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k)
+		% \end{equation*}
+
+		\begin{center}
+			\scalebox{0.75}{
+				\input{../tikz/cd3.tikz.tex}
+			}
+		\end{center}
+
+	\end{frame}
+
 	\begin{frame}
 		\frametitle{Periodizität in realer und imaginärer Richtung}
 
@@ -360,20 +505,42 @@
 	\end{frame}
 
 	\begin{frame}
+		\frametitle{Gradgleichung}
+
+		\begin{center}
+			\scalebox{0.95}{
+				\input{../tikz/elliptic_transform2.tikz}
+			}
+		\end{center}
+
+		\onslide<5->{
+		\begin{equation*}
+			N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
+		\end{equation*}
+		}
+
+	\end{frame}
+
+	\begin{frame}
 		\frametitle{Elliptisches Filter}
 
 		\begin{equation*}
-			z_1 = N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k)
+			R_N = \cd(z_1, k_1),
+			\quad
+			z_1 = N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k),
+			\quad
+			N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
 		\end{equation*}
 
 		\begin{center}
-			\scalebox{0.8}{
+			\scalebox{0.75}{
 				\input{../tikz/cd2.tikz.tex}
 			}
 		\end{center}
 
 	\end{frame}
 
+
 	\begin{frame}
 		\frametitle{Elliptisches Filter}
 
@@ -401,13 +568,4 @@
 
 	\end{frame}
 
-	\begin{frame}
-		\frametitle{Gradgleichung}
-
-		\begin{equation}
-			N \frac{K^\prime}{K} = \frac{K^\prime_1}{K_1}
-		\end{equation}
-
-	\end{frame}
-
 	\end{document}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf
deleted file mode 100644
index 03084c6..0000000
--- a/buch/papers/ellfilter/python/F_N_elliptic.pgf
+++ /dev/null
@@ -1,847 +0,0 @@
-%% Creator: Matplotlib, PGF backend
-%%
-%% To include the figure in your LaTeX document, write
-%%   \input{<filename>.pgf}
-%%
-%% Make sure the required packages are loaded in your preamble
-%%   \usepackage{pgf}
-%%
-%% Also ensure that all the required font packages are loaded; for instance,
-%% the lmodern package is sometimes necessary when using math font.
-%%   \usepackage{lmodern}
-%%
-%% Figures using additional raster images can only be included by \input if
-%% they are in the same directory as the main LaTeX file. For loading figures
-%% from other directories you can use the `import` package
-%%   \usepackage{import}
-%%
-%% and then include the figures with
-%%   \import{<path to file>}{<filename>.pgf}
-%%
-%% Matplotlib used the following preamble
-%%
-\begingroup%
-\makeatletter%
-\begin{pgfpicture}%
-\pgfpathrectangle{\pgfpointorigin}{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}%
-\pgfusepath{use as bounding box, clip}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetstrokeopacity{0.000000}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.000000in}{2.500000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{2.500000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,1.000000,1.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetstrokeopacity{0.000000}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{fill}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.501961,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetfillopacity{0.200000}%
-\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{-174.068564in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.247564in}{-174.068564in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.247564in}{1.250043in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.250043in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{-174.068564in}}%
-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{fill}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetmiterjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{1.000000,0.647059,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetfillopacity{0.200000}%
-\pgfsetlinewidth{0.000000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetstrokeopacity{0.200000}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.247564in}{1.250043in}}%
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-\pgfpathclose%
-\pgfusepath{fill}%
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-\begin{pgfscope}%
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-}%
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-}%
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-\end{pgfscope}%
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-\pgftext[x=3.761597in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {2.0}\)}%
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-\begin{pgfscope}%
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-\pgftext[x=2.247564in,y=0.272534in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle w\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
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-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{0.548769in}%
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-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
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-\pgftext[x=0.348306in, y=0.500544in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{-4}}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
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-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{0.899406in}%
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-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
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-\pgftext[x=0.348306in, y=0.851181in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{-2}}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
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-\begin{pgfscope}%
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-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{1.250043in}%
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-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
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-\pgftext[x=0.435112in, y=1.201818in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{0}}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
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-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
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-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.600680in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{1.600680in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
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-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
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-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{1.600680in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.435112in, y=1.552455in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{2}}\)}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.028066in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetrectcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
-\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.951318in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{1.951318in}}%
-\pgfusepath{stroke}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
-\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
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-\pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}{%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.000000in}{0.000000in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{-0.048611in}{0.000000in}}%
-\pgfusepath{stroke,fill}%
-}%
-\begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.733531in}{1.951318in}%
-\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
-\end{pgfscope}%
-\end{pgfscope}%
-\begin{pgfscope}%
-\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
-\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
-\pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=0.435112in, y=1.903092in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {10^{4}}\)}%
-\end{pgfscope}%
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-\end{pgfpicture}%
-\makeatother%
-\endgroup%
diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf
index 31b77d4..32485c1 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf
+++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.pgf
@@ -23,7 +23,7 @@
 \begingroup%
 \makeatletter%
 \begin{pgfpicture}%
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+\pgfpathcurveto{\pgfqpoint{-0.021649in}{-0.037276in}}{\pgfqpoint{-0.011050in}{-0.041667in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.041667in}}%
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+}%
+\begin{pgfscope}%
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+\begin{pgfscope}%
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+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
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+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
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+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{-0.041667in}{0.041667in}}%
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+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
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+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
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+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.150435in}}%
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+\pgfusepath{fill}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
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+\pgfpathclose%
+\pgfusepath{fill}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
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+\pgfpathclose%
+\pgfusepath{fill}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
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+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
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+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
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+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
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+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{0.733531in}{0.370218in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{textcolor}%
+\pgfsetfillcolor{textcolor}%
+\pgftext[x=0.733531in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.00}\)}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.232715in}{0.370218in}}%
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 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
@@ -188,7 +951,7 @@
 \pgfusepath{stroke,fill}%
 }%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{1.403865in}{0.548769in}%
+\pgfsys@transformshift{1.232715in}{0.370218in}%
 \pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
 \end{pgfscope}%
 \end{pgfscope}%
@@ -196,10 +959,10 @@
 \definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
 \pgfsetstrokecolor{textcolor}%
 \pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=1.403865in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.5}\)}%
+\pgftext[x=1.232715in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.25}\)}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
 \pgfusepath{clip}%
 \pgfsetrectcap%
 \pgfsetroundjoin%
@@ -207,8 +970,8 @@
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
 \pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
 \pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.189776in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.189776in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{1.731899in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{1.731899in}{1.473611in}}%
 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
@@ -226,7 +989,7 @@
 \pgfusepath{stroke,fill}%
 }%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{2.189776in}{0.548769in}%
+\pgfsys@transformshift{1.731899in}{0.370218in}%
 \pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
 \end{pgfscope}%
 \end{pgfscope}%
@@ -234,10 +997,10 @@
 \definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
 \pgfsetstrokecolor{textcolor}%
 \pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=2.189776in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.0}\)}%
+\pgftext[x=1.731899in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.50}\)}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
 \pgfusepath{clip}%
 \pgfsetrectcap%
 \pgfsetroundjoin%
@@ -245,8 +1008,8 @@
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
 \pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
 \pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.975686in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.975686in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.231083in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.231083in}{1.473611in}}%
 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
@@ -264,7 +1027,7 @@
 \pgfusepath{stroke,fill}%
 }%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{2.975686in}{0.548769in}%
+\pgfsys@transformshift{2.231083in}{0.370218in}%
 \pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
 \end{pgfscope}%
 \end{pgfscope}%
@@ -272,10 +1035,10 @@
 \definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
 \pgfsetstrokecolor{textcolor}%
 \pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=2.975686in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.5}\)}%
+\pgftext[x=2.231083in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.75}\)}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
 \pgfusepath{clip}%
 \pgfsetrectcap%
 \pgfsetroundjoin%
@@ -283,8 +1046,8 @@
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
 \pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
 \pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.730268in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.730268in}{1.473611in}}%
 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
@@ -302,7 +1065,7 @@
 \pgfusepath{stroke,fill}%
 }%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{3.761597in}{0.548769in}%
+\pgfsys@transformshift{2.730268in}{0.370218in}%
 \pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
 \end{pgfscope}%
 \end{pgfscope}%
@@ -310,16 +1073,48 @@
 \definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
 \pgfsetstrokecolor{textcolor}%
 \pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=3.761597in,y=0.451547in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {2.0}\)}%
+\pgftext[x=2.730268in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.00}\)}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
+\pgfusepath{clip}%
+\pgfsetrectcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.229452in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.229452in}{1.473611in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsetbuttcap%
+\pgfsetroundjoin%
+\definecolor{currentfill}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetfillcolor{currentfill}%
+\pgfsetlinewidth{0.803000pt}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfsys@defobject{currentmarker}{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}{%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.000000in}{-0.048611in}}%
+\pgfusepath{stroke,fill}%
+}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfsys@transformshift{3.229452in}{0.370218in}%
+\pgfsys@useobject{currentmarker}{}%
+\end{pgfscope}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
 \definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
 \pgfsetstrokecolor{textcolor}%
 \pgfsetfillcolor{textcolor}%
-\pgftext[x=2.189776in,y=0.272534in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle w\)}%
+\pgftext[x=3.229452in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.25}\)}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
 \pgfusepath{clip}%
 \pgfsetrectcap%
 \pgfsetroundjoin%
@@ -327,8 +1122,8 @@
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
 \pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
 \pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.728636in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.728636in}{1.473611in}}%
 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
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+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.000000in}{0.000000in}}%
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 \begin{pgfscope}%
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+\pgftext[x=4.227820in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.75}\)}%
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 \begin{pgfscope}%
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 \end{pgfscope}%
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 \end{pgfscope}%
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-\pgftext[x=0.343262in, y=1.201818in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.4}\)}%
+\pgftext[x=4.727004in,y=0.272996in,,top]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {2.00}\)}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
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 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
@@ -460,7 +1255,7 @@
 \pgfusepath{stroke,fill}%
 }%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.617954in}{1.600680in}%
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 \end{pgfscope}%
 \end{pgfscope}%
@@ -468,10 +1263,10 @@
 \definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
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-\pgftext[x=0.343262in, y=1.552455in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.6}\)}%
+\pgftext[x=0.458839in, y=0.321992in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.0}\)}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
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@@ -479,8 +1274,8 @@
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
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 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
@@ -498,7 +1293,7 @@
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 }%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.617954in}{1.951318in}%
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 \end{pgfscope}%
 \end{pgfscope}%
@@ -506,10 +1301,10 @@
 \definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
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-\pgftext[x=0.343262in, y=1.903092in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.8}\)}%
+\pgftext[x=0.458839in, y=0.873689in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {0.5}\)}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
 \pgfusepath{clip}%
 \pgfsetrectcap%
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@@ -517,8 +1312,8 @@
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.690196,0.690196,0.690196}%
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+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.473611in}}%
 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
@@ -536,7 +1331,7 @@
 \pgfusepath{stroke,fill}%
 }%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfsys@transformshift{0.617954in}{2.301955in}%
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 \end{pgfscope}%
 \end{pgfscope}%
@@ -544,120 +1339,140 @@
 \definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
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-\pgftext[x=0.343262in, y=2.253730in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.0}\)}%
+\pgftext[x=0.458839in, y=1.425386in, left, base]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle {1.0}\)}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
 \definecolor{textcolor}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
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-\pgftext[x=0.287707in,y=1.425362in,,bottom,rotate=90.000000]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle |H(w)|\)}%
+\pgftext[x=0.403284in,y=0.921914in,,bottom,rotate=90.000000]{\color{textcolor}\rmfamily\fontsize{10.000000}{12.000000}\selectfont \(\displaystyle |H(w)|\)}%
+\end{pgfscope}%
+\begin{pgfscope}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
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+\pgfsetrectcap%
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+\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.501961,0.000000}%
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+\end{pgfscope}%
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+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.750075in}{0.480388in}}%
+\pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{3.143642in}{1.753186in}}%
+\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}{\pgfqpoint{3.993473in}{1.103393in}}%
 \pgfusepath{clip}%
 \pgfsetrectcap%
 \pgfsetroundjoin%
 \pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}%
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-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.717600in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.717600in}}%
+\definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,0.000000,0.000000}%
+\pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
+\pgfsetdash{}{0pt}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{2.750075in}{0.480388in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.756998in}{0.398490in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.759965in}{0.373708in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.760954in}{0.373969in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.768865in}{0.418088in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.776777in}{0.445199in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.784689in}{0.461928in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.792600in}{0.471986in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.800512in}{0.477584in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.809413in}{0.480262in}}%
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+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.834137in}{0.476323in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{2.852927in}{0.467773in}}%
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+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.085332in}{0.388800in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.137747in}{0.405140in}}%
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+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.259389in}{0.432926in}}%
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+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.940782in}{0.479318in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.167253in}{0.480557in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.484709in}{0.478977in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.476474in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.476474in}}%
 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
@@ -667,8 +1482,8 @@
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
 \pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
 \pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.473611in}}%
 \pgfusepath{stroke}%
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 \begin{pgfscope}%
@@ -678,8 +1493,8 @@
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
 \pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
 \pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.473611in}}%
 \pgfusepath{stroke}%
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 \begin{pgfscope}%
@@ -689,8 +1504,8 @@
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
 \pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
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-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{0.548769in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{0.548769in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{0.370218in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{0.370218in}}%
 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
@@ -700,8 +1515,8 @@
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.000000,0.000000,0.000000}%
 \pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
 \pgfsetdash{}{0pt}%
-\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.617954in}{2.301955in}}%
-\pgfpathlineto{\pgfqpoint{3.761597in}{2.301955in}}%
+\pgfpathmoveto{\pgfqpoint{0.733531in}{1.473611in}}%
+\pgfpathlineto{\pgfqpoint{4.727004in}{1.473611in}}%
 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \end{pgfpicture}%
diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py
index b3336a1..6e0fd12 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py
+++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic.py
@@ -324,9 +324,9 @@ K_prime = ell_int(np.sqrt(1-k**2))
 
 
 f, axs = plt.subplots(1,2, figsize=(5,2.5))
-axs[0].plot(k, K, linewidth=0.1)
+axs[0].plot(k, K, linewidth=1)
 axs[0].text(k[30], K[30]+0.1, f"$K$")
-axs[0].plot(k, K_prime, linewidth=0.1)
+axs[0].plot(k, K_prime, linewidth=1)
 axs[0].text(k[30], K_prime[30]+0.1, f"$K^\prime$")
 axs[0].set_xlim([0,1])
 axs[0].set_ylim([0,4])
@@ -342,9 +342,9 @@ k = np.array([0.1,0.2,0.4,0.6,0.9,0.99])
 K = ell_int(k)
 K_prime = ell_int(np.sqrt(1-k**2))
 
-axs[1].plot(K, K_prime, '.', color=last_color(), markersize=2)
-for x, y, n in zip(K, K_prime, k):
-    axs[1].text(x+0.1, y+0.1, f"$k={n:.2f}$", rotation_mode="anchor")
+# axs[1].plot(K, K_prime, '.', color=last_color(), markersize=2)
+# for x, y, n in zip(K, K_prime, k):
+#     axs[1].text(x+0.1, y+0.1, f"$k={n:.2f}$", rotation_mode="anchor")
 axs[1].set_ylabel("$K^\prime$")
 axs[1].set_xlabel("$K$")
 axs[1].set_xlim([0,6])
diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py
index 29c6f47..20a7428 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py
+++ b/buch/papers/ellfilter/python/elliptic2.py
@@ -1,5 +1,6 @@
 # %%
 
+import enum
 import matplotlib.pyplot as plt
 import scipy.signal
 import numpy as np
@@ -8,7 +9,9 @@ from matplotlib.patches import Rectangle
 
 import plot_params
 
-def ellip_filter(N):
+N=5
+
+def ellip_filter(N, mode=-1):
 
     order = N
     passband_ripple_db = 3
@@ -26,7 +29,16 @@ def ellip_filter(N):
         fs=None
     )
 
-    w, mag_db, phase = scipy.signal.bode((a, b), w=np.linspace(0*omega_c,2*omega_c, 4000))
+    if mode == 0:
+        w = np.linspace(0*omega_c,omega_c, 2000)
+    elif mode == 1:
+        w = np.linspace(omega_c,1.00992*omega_c, 2000)
+    elif mode == 2:
+        w = np.linspace(1.00992*omega_c,2*omega_c, 2000)
+    else:
+        w = np.linspace(0*omega_c,2*omega_c, 4000)
+
+    w, mag_db, phase = scipy.signal.bode((a, b), w=w)
 
     mag = 10**(mag_db/20)
 
@@ -38,105 +50,96 @@ def ellip_filter(N):
     return w/omega_c, FN2 / epsilon2, mag, a, b
 
 
-plt.figure(figsize=(4,2.5))
+f, axs = plt.subplots(2, 1, figsize=(5,3), sharex=True)
 
-for N in [5]:
-    w, FN2, mag, a, b = ellip_filter(N)
-    plt.semilogy(w, FN2, label=f"$N={N}, k=0.1$", linewidth=1)
+for mode, c in enumerate(["green", "orange", "red"]):
+    w, FN2, mag, a, b = ellip_filter(N, mode=mode)
+    axs[0].semilogy(w, FN2, label=f"$N={N}, k=0.1$", linewidth=1, color=c)
 
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
+axs[0].add_patch(Rectangle(
     (0, 0),
     1, 1,
     fc ='green',
     alpha=0.2,
     lw = 10,
 ))
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
+axs[0].add_patch(Rectangle(
     (1, 1),
-    0.01, 1e2-1,
+    0.00992, 1e2-1,
     fc ='orange',
     alpha=0.2,
     lw = 10,
 ))
 
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
-    (1.01, 100),
+axs[0].add_patch(Rectangle(
+    (1.00992, 100),
     1, 1e6,
     fc ='red',
     alpha=0.2,
     lw = 10,
 ))
 
-zeros = [0,0.87,1]
+zeros = [0,0.87,0.995]
 poles = [1.01,1.155]
 
 import matplotlib.transforms
-plt.plot( # mark errors as vertical bars
+axs[0].plot( # mark errors as vertical bars
     zeros,
     np.zeros_like(zeros),
     "o",
     mfc='none',
     color='black',
     transform=matplotlib.transforms.blended_transform_factory(
-        plt.gca().transData,
-        plt.gca().transAxes,
+        axs[0].transData,
+        axs[0].transAxes,
     ),
 )
-plt.plot( # mark errors as vertical bars
+axs[0].plot( # mark errors as vertical bars
     poles,
     np.ones_like(poles),
     "x",
     mfc='none',
     color='black',
     transform=matplotlib.transforms.blended_transform_factory(
-        plt.gca().transData,
-        plt.gca().transAxes,
+        axs[0].transData,
+        axs[0].transAxes,
     ),
 )
 
-plt.xlim([0,2])
-plt.ylim([1e-4,1e6])
-plt.grid()
-plt.xlabel("$w$")
-plt.ylabel("$F^2_N(w)$")
-plt.legend()
-plt.tight_layout()
-plt.savefig("F_N_elliptic.pgf")
-plt.show()
-
-
-
-plt.figure(figsize=(4,2.5))
-plt.plot(w, mag, linewidth=1)
+for mode, c in enumerate(["green", "orange", "red"]):
+    w, FN2, mag, a, b = ellip_filter(N, mode=mode)
+    axs[1].plot(w, mag, linewidth=1, color=c)
 
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
+axs[1].add_patch(Rectangle(
     (0, np.sqrt(2)/2),
     1, 1,
     fc ='green',
     alpha=0.2,
     lw = 10,
 ))
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
+axs[1].add_patch(Rectangle(
     (1, 0.1),
-    0.01, np.sqrt(2)/2 - 0.1,
+    0.00992, np.sqrt(2)/2 - 0.1,
     fc ='orange',
     alpha=0.2,
     lw = 10,
 ))
 
-plt.gca().add_patch(Rectangle(
-    (1.01, 0),
+axs[1].add_patch(Rectangle(
+    (1.00992, 0),
     1, 0.1,
     fc ='red',
     alpha=0.2,
     lw = 10,
 ))
 
-plt.grid()
-plt.xlim([0,2])
-plt.ylim([0,1])
-plt.xlabel("$w$")
-plt.ylabel("$|H(w)|$")
+axs[0].set_xlim([0,2])
+axs[0].set_ylim([1e-4,1e6])
+axs[0].grid()
+axs[0].set_ylabel("$F^2_N(w)$")
+axs[1].grid()
+axs[1].set_ylim([0,1])
+axs[1].set_ylabel("$|H(w)|$")
 plt.tight_layout()
 plt.savefig("elliptic.pgf")
 plt.show()
diff --git a/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf b/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf
index 95d61d4..bbb823a 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf
+++ b/buch/papers/ellfilter/python/k.pgf
@@ -320,7 +320,7 @@
 \pgfusepath{clip}%
 \pgfsetrectcap%
 \pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.100375pt}%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}%
 \pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
 \pgfsetdash{}{0pt}%
@@ -434,7 +434,7 @@
 \pgfusepath{clip}%
 \pgfsetrectcap%
 \pgfsetroundjoin%
-\pgfsetlinewidth{0.100375pt}%
+\pgfsetlinewidth{1.003750pt}%
 \definecolor{currentstroke}{rgb}{1.000000,0.498039,0.054902}%
 \pgfsetstrokecolor{currentstroke}%
 \pgfsetdash{}{0pt}%
@@ -1011,56 +1011,6 @@
 \pgfusepath{stroke}%
 \end{pgfscope}%
 \begin{pgfscope}%
-\pgfpathrectangle{\pgfqpoint{2.874885in}{0.548769in}}{\pgfqpoint{1.940523in}{1.753186in}}%
-\pgfusepath{clip}%
-\pgfsetbuttcap%
-\pgfsetroundjoin%
-\definecolor{currentfill}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}%
-\pgfsetfillcolor{currentfill}%
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-\definecolor{currentstroke}{rgb}{0.121569,0.466667,0.705882}%
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-}%
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 \makeatother%
 \endgroup%
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index 2772620..b11c25d 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex
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@@ -8,29 +8,6 @@
 
     \begin{scope}[xscale=0.6]
 
-        \clip(-7.5,-2) rectangle (7.5,2);
-
-        \draw[thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,1.5);
-        \draw[thick, ->, orange] (1, 0) -- (0,0);
-        \draw[thick, ->, red] (2, 0) -- (1,0);
-        \draw[thick, ->, blue] (2,1.5) -- (2, 0);
-
-        \foreach \i in {-2,...,1} {
-            \begin{scope}[opacity=0.5, xshift=\i*4cm]
-                \draw[->, orange] (-1, 0) -- (0,0);
-                \draw[->, darkgreen] (0, 0) -- (0,1.5);
-                \draw[->, darkgreen] (0, 0) -- (0,-1.5);
-                \draw[->, orange] (1, 0) -- (0,0);
-                \draw[->, red] (2, 0) -- (1,0);
-                \draw[->, blue] (2,1.5) -- (2, 0);
-                \draw[->, blue] (2,-1.5) -- (2, 0);
-                \draw[->, red] (2, 0) -- (3,0);
-
-                \node[zero] at (1,0) {};
-                \node[zero] at (3,0) {};
-            \end{scope}
-        }
-
         \node[gray, anchor=north] at (-6,0) {$-3\pi$};
         \node[gray, anchor=north] at (-4,0) {$-2\pi$};
         \node[gray, anchor=north] at (-2,0) {$-\pi$};
@@ -43,16 +20,53 @@
         % \node[gray, anchor=south east] at (0, 0) {$0$};
         \node[gray, anchor=east] at (0, 1.5) {$\infty$};
 
+        \clip(-7.5,-2) rectangle (7.5,2);
+
+        % \pause
+        \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0);
+        % \pause
+        \draw[ultra thick, ->, orange] (0, 0) -- (0,1.5);
+        % \pause
+        \draw[ultra thick, ->, cyan] (2, 0) -- (1,0);
+        \draw[ultra thick, ->, blue] (2,1.5) -- (2, 0);
+
+        % \pause
+
+        \foreach \i in {-2,...,1} {
+            \begin{scope}[xshift=\i*4cm]
+                \begin{scope}[]
+                    \draw[->, darkgreen] (-1, 0) -- (0,0);
+                    \draw[->, orange] (0, 0) -- (0,1.5);
+                    \draw[->, orange] (0, 0) -- (0,-1.5);
+                    \draw[->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0);
+                    \draw[->, cyan] (2, 0) -- (1,0);
+                    \draw[->, blue] (2,1.5) -- (2, 0);
+                    \draw[->, blue] (2,-1.5) -- (2, 0);
+                    \draw[->, cyan] (2, 0) -- (3,0);
+                \end{scope}
+                \node[zero] at (1,0) {};
+                \node[zero] at (3,0) {};
+            \end{scope}
+        }
+
     \end{scope}
 
-    \begin{scope}[yshift=-2.5cm]
+    \node[zero] at (4,2) (n) {};
+    \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle};
+
+    \begin{scope}[yshift=-3.25cm]
+
+        \draw[->, thick](0,0) -- node[anchor=center, fill=white]{$z = \cos^{-1}(w)$} (0,1);
+
+    \end{scope}
+    \begin{scope}[yshift=-4cm]
 
         \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$w$};
 
-        \draw[thick, ->, blue]      (-4, 0) -- (-2, 0);
-        \draw[thick, ->, red]       (-2, 0) -- (0, 0);
-        \draw[thick, ->, orange]    (0, 0) -- (2, 0);
-        \draw[thick, ->, darkgreen] (2, 0) -- (4, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, blue]      (-4, 0) -- (-2, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, cyan]       (-2, 0) -- (0, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, darkgreen]    (0, 0) -- (2, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (4, 0);
 
         \node[anchor=south] at (-4,0) {$-\infty$};
         \node[anchor=south] at (-2,0) {$-1$};
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex
index 3fc3cc6..2cec75f 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex
@@ -2,34 +2,45 @@
 
     \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm]
     \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
+    \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm]
 
-    \begin{scope}[xscale=0.5]
 
-        \draw[gray, ->] (0,-2) -- (0,2) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$};
-        \draw[gray, ->] (-10,0) -- (10,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z_1$};
+    \begin{scope}[xscale=0.75]
+
+        \draw[gray, ->] (0,-1) -- (0,2) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$};
+        \draw[gray, ->] (-2,0) -- (9,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z_1$};
 
         \begin{scope}
 
-            \draw[>->, line width=0.05, thick, blue]   (2, 1.5) -- (2,0.05)  -- node[anchor=south, pos=0.5]{$N=1$} (0.1,0.05) -- (0.1,1.5);
-            \draw[>->, line width=0.05, thick, orange] (4, 1.5) -- (4,0)     -- node[anchor=south, pos=0.25]{$N=2$} (0,0) -- (0,1.5);
-            \draw[>->, line width=0.05, thick, red]    (6, 1.5) node[anchor=north west]{$-\infty$} -- (6,-0.05) node[anchor=west]{$-1$} -- node[anchor=north]{$0$} node[anchor=south, pos=0.1666]{$N=3$} (-0.1,-0.05) node[anchor=east]{$1$}  -- (-0.1,1.5) node[anchor=north east]{$\infty$};
+            \draw[->, ultra thick, blue] (8, 1.5) --  node[align=center]{Sperrbereich} (8,0);
+            \draw[->, ultra thick, cyan] (8, 0) -- node[yshift=-0.5cm]{Durchlassbereich}(4,0);
+            \draw[->, ultra thick, darkgreen] (4, 0) -- node[yshift=-0.5cm]{Durchlassbereich} (0,0);
+            \draw[->, ultra thick, orange] (0, 0) --  node[align=center]{Sperrbereich} (0,1.5);
+
+            \node[anchor=north east] at (8, 1.5) {$-\infty$};
+            \draw (8, 0) node[dot]{} node[anchor=south east] {$1$};
+            \draw (6, 0) node[dot]{} node[anchor=south] {$-1$};
+            \draw (4, 0) node[dot]{} node[anchor=south] {$1$};
+            \draw (2, 0) node[dot]{} node[anchor=south] {$-1$};
+            \draw (0, 0) node[dot]{} node[anchor=south west] {$1$};
+            \node[anchor=north west] at (0, 1.5){$\infty$};
 
+            \node at(4,1) {$N = 4$};
 
-            \node[zero] at (-7,0) {};
-            \node[zero] at (-5,0) {};
-            \node[zero] at (-3,0) {};
+            % \node[zero] at (-7,0) {};
+            % \node[zero] at (-5,0) {};
+            % \node[zero] at (-3,0) {};
             \node[zero] at (-1,0) {};
             \node[zero] at (1,0) {};
             \node[zero] at (3,0) {};
             \node[zero] at (5,0) {};
             \node[zero] at (7,0) {};
 
-
         \end{scope}
 
-        \node[gray, anchor=north] at (-8,0) {$-4\pi$};
-        \node[gray, anchor=north] at (-6,0) {$-3\pi$};
-        \node[gray, anchor=north] at (-4,0) {$-2\pi$};
+        % \node[gray, anchor=north] at (-8,0) {$-4\pi$};
+        % \node[gray, anchor=north] at (-6,0) {$-3\pi$};
+        % \node[gray, anchor=north] at (-4,0) {$-2\pi$};
         \node[gray, anchor=north] at (-2,0) {$-\pi$};
         \node[gray, anchor=north] at (2,0) {$\pi$};
         \node[gray, anchor=north] at (4,0) {$2\pi$};
@@ -37,9 +48,29 @@
         \node[gray, anchor=north] at (8,0) {$4\pi$};
 
 
-        \node[gray, anchor=east] at (0,-1.5) {$-\infty$};
+        % \node[gray, anchor=east] at (0,-1.5) {$-\infty$};
         \node[gray, anchor=east] at (0, 1.5) {$\infty$};
 
     \end{scope}
 
+    \node[zero] at (6.5,2) (n) {};
+    \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle};
+
+    \begin{scope}[xshift=2.75cm, yshift=-2cm]
+
+        \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$w$};
+
+        \draw[ultra thick, ->, blue]      (-4, 0) -- (-2, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, cyan]       (-2, 0) -- (0, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, darkgreen]    (0, 0) -- (2, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (4, 0);
+
+        \node[anchor=south] at (-4,0) {$-\infty$};
+        \node[anchor=south] at (-2,0) {$-1$};
+        \node[anchor=south] at (0,0) {$0$};
+        \node[anchor=south] at (2,0) {$1$};
+        \node[anchor=south] at (4,0) {$\infty$};
+
+    \end{scope}
+
 \end{tikzpicture}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex
index 7155a85..0cf2417 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
 
     \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
 
-    \begin{scope}[xscale=1, yscale=2]
+    \begin{scope}[xscale=0.9, yscale=1.8]
 
         \draw[gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$};
         \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$};
@@ -22,32 +22,35 @@
 
                 \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5);
 
+                \foreach \i in {-2,...,1} {
+                    \foreach \j in {-2,...,1} {
+                        \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
+                            \draw[->, orange!50] (0, 0) -- (0,0.5);
+                            \draw[->, darkgreen!50] (1, 0) -- (0,0);
+                            \draw[->, cyan!50] (2, 0) -- (1,0);
+                            \draw[->, blue!50] (2,0.5) -- (2, 0);
+                            \draw[->, purple!50] (1, 0.5) -- (2,0.5);
+                            \draw[->, red!50] (0, 0.5) -- (1,0.5);
+                            \draw[->, orange!50] (0,1) -- (0,0.5);
+                            \draw[->, blue!50] (2,0.5) -- (2, 1);
+                            \draw[->, purple!50] (3, 0.5) -- (2,0.5);
+                            \draw[->, red!50] (4, 0.5) -- (3,0.5);
+                            \draw[->, cyan!50] (2, 0) -- (3,0);
+                            \draw[->, darkgreen!50] (3, 0) -- (4,0);
+                        \end{scope}
+                    }
+                }
 
-                \draw[thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5);
-                \draw[thick, ->, orange] (1, 0) -- (0,0);
-                \draw[thick, ->, red] (2, 0) -- (1,0);
-                \draw[thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0);
-                \draw[thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5);
-                \draw[thick, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5);
-
-
+                \draw[ultra thick, ->, orange] (0, 0) -- (0,0.5);
+                \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (1, 0) -- (0,0);
+                \draw[ultra thick, ->, cyan] (2, 0) -- (1,0);
+                \draw[ultra thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0);
+                \draw[ultra thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5);
+                \draw[ultra thick, ->, red] (0, 0.5) -- (1,0.5);
 
                 \foreach \i in {-2,...,1} {
                     \foreach \j in {-2,...,1} {
                         \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
-                            \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, orange] (1, 0) -- (0,0);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (1,0);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0,1) -- (0,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 1);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, purple] (3, 0.5) -- (2,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (4, 0.5) -- (3,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (3,0);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, orange] (3, 0) -- (4,0);
-
                             \node[zero] at ( 1, 0) {};
                             \node[zero] at ( 3, 0) {};
                             \node[pole] at ( 1,0.5) {};
@@ -63,16 +66,21 @@
 
     \end{scope}
 
-    \begin{scope}[yshift=-3.5cm, xscale=0.75]
+    \node[zero] at (4,3) (n) {};
+    \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle};
+    \node[pole, below=0.25cm of n] (n) {};
+    \node[anchor=west] at (n.east) {Polstelle};
+
+    \begin{scope}[yshift=-4cm, xscale=0.75]
 
         \draw[gray, ->] (-6,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$};
 
-        \draw[thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0);
-        \draw[thick, ->, blue]      (-3, 0) -- (-2, 0);
-        \draw[thick, ->, red]       (-2, 0) -- (0, 0);
-        \draw[thick, ->, orange]    (0, 0) -- (2, 0);
-        \draw[thick, ->, darkgreen] (2, 0) -- (3, 0);
-        \draw[thick, ->, cyan] (3, 0) -- (5, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, blue]      (-3, 0) -- (-2, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, cyan]       (-2, 0) -- (0, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, darkgreen]    (0, 0) -- (2, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (3, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, red] (3, 0) -- (5, 0);
 
         \node[anchor=south] at (-5,0) {$-\infty$};
         \node[anchor=south] at (-3,0) {$-1/k$};
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex
index 0743f7d..d4187c4 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex
@@ -5,9 +5,9 @@
 
     \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
 
-    \begin{scope}[xscale=1.25, yscale=2.5]
+    \begin{scope}[xscale=1.25, yscale=3.5]
 
-        \draw[gray, ->] (0,-0.75) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$};
+        \draw[gray, ->] (0,-0.55) -- (0,1.05) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z_1$};
         \draw[gray, ->] (-1.5,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z_1$};
 
         \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$};
@@ -35,18 +35,30 @@
             % \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=3$};
 
             \fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5);
-            \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5);
+            % \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.1);
             \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=5$};
 
 
             \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, yshift=0.05cm]
-                (5,0.5) node(t_k_unten){} -- node[above, yshift=0.1cm]{$NK$}
+                (5,0.5) node(t_k_unten){} -- node[above, yshift=0.1cm]{$NK_1$}
                 (0,0.5) node(t_k_opt_unten){};
 
             \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, xshift=0.1cm]
                 (5,0) node(t_k_unten){} -- node[right, xshift=0.1cm]{$K^\prime \frac{K_1N}{K} = K^\prime_1$}
                 (5,0.5) node(t_k_opt_unten){};
 
+
+            \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (5, 0) -- node[yshift=-0.5cm]{Durchlassbereich} (0,0);
+            \draw[ultra thick, ->, orange] (-0, 0) --  node[align=center]{Übergangs-\\berech} (0,0.5);
+            \draw[ultra thick, ->, red] (0,0.5) -- node[align=center, yshift=0.7cm]{Sperrbereich} (5, 0.5);
+
+            \draw (4,0  )  node[dot]{} node[anchor=south]      {\small $1$};
+            \draw (2,0  )  node[dot]{} node[anchor=south]      {\small $-1$};
+            \draw (0,0  )  node[dot]{} node[anchor=south west] {\small $1$};
+            \draw (0,0.5)  node[dot]{} node[anchor=north west] {\small $1/k$};
+            \draw (2,0.5)  node[dot]{} node[anchor=north]      {\small $-1/k$};
+            \draw (4,0.5)  node[dot]{} node[anchor=north]      {\small $1/k$};
+
             \foreach \i in {-2,...,1} {
                 \foreach \j in {-2,...,1} {
                     \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
@@ -60,24 +72,22 @@
                 }
             }
 
+        \end{scope}
 
+    \end{scope}
 
+    \begin{scope}[xshift=1cm , yshift=-3cm, xscale=0.75]
 
-            \draw[thick, ->, darkgreen] (5, 0) -- node[yshift=-0.5cm]{Durchlassbereich} (0,0);
-            \draw[thick, ->, orange] (-0, 0) --  node[align=center]{Übergangs-\\berech} (0,0.5);
-            \draw[thick, ->, red] (0,0.5) -- node[align=center, yshift=0.5cm]{Sperrbereich} (5, 0.5);
-
-            \draw (4,0  )  node[dot]{} node[anchor=south]      {\small $1$};
-            \draw (2,0  )  node[dot]{} node[anchor=south]      {\small $-1$};
-            \draw (0,0  )  node[dot]{} node[anchor=south west] {\small $1$};
-            \draw (0,0.5)  node[dot]{} node[anchor=north west] {\small $1/k$};
-            \draw (2,0.5)  node[dot]{} node[anchor=north]      {\small $-1/k$};
-            \draw (4,0.5)  node[dot]{} node[anchor=north]      {\small $1/k$};
-
-
+        \draw[gray, ->] (-1,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$};
 
-        \end{scope}
+        \draw[ultra thick, ->, darkgreen]    (0, 0) -- (2, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (3, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, red] (3, 0) -- (5, 0);
 
+        \node[anchor=south] at (0,0) {$0$};
+        \node[anchor=south] at (2,0) {$1$};
+        \node[anchor=south] at (3,0) {$1/k$};
+        \node[anchor=south] at (5,0) {$\infty$};
 
     \end{scope}
 
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..ae18519
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd3.tikz.tex
@@ -0,0 +1,86 @@
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2]
+
+    \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm]
+    \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm]
+
+    \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
+
+    \begin{scope}[xscale=1.25, yscale=2.5]
+
+        \draw[gray, ->] (0,-0.55) -- (0,1.05) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}$};
+        \draw[gray, ->] (-1.5,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}$};
+
+        % \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$};
+        % \draw[gray] ( 5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $5K_1$};
+        % \draw[gray]  (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime_1$};
+
+        \begin{scope}
+
+            \clip(-1.5,-0.75) rectangle (6.8,1.25);
+
+            % \draw[>->, line width=0.05, thick, blue]   (1, 0.45) -- (2, 0.45) -- (2, 0.05) -- ( 0.1, 0.05) -- ( 0.1,0.45) -- (1, 0.45);
+            % \draw[>->, line width=0.05, thick, orange] (2, 0.5 ) -- (4, 0.5 ) -- (4, 0   ) -- ( 0  , 0   ) -- ( 0  ,0.5 ) -- (2, 0.5 );
+            % \draw[>->, line width=0.05, thick, red]    (3, 0.55) -- (6, 0.55) -- (6,-0.05) -- (-0.1,-0.05) -- (-0.1,0.55) -- (3, 0.55);
+            % \node[blue] at (1, 0.25) {$N=1$};
+            % \node[orange] at (3, 0.25) {$N=2$};
+            % \node[red] at (5, 0.25) {$N=3$};
+
+
+
+            % \draw[line width=0.1cm, fill, red!50] (0,0) rectangle (3, 0.5);
+            % \draw[line width=0.05cm, fill, orange!50] (0,0) rectangle (2, 0.5);
+            % \fill[yellow!50] (0,0) rectangle (1, 0.5);
+            % \node[] at (0.5, 0.25) {\small $N=1$};
+            % \node[] at (1.5, 0.25) {\small $N=2$};
+            % \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=3$};
+
+            % \fill[orange!30] (0,0) rectangle (5, 0.5);
+            \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (1, 0.5);
+
+
+            % \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, yshift=0.05cm]
+            %     (5,0.5) node(t_k_unten){} -- node[above, yshift=0.1cm]{$NK_1$}
+            %     (0,0.5) node(t_k_opt_unten){};
+
+            % \draw[decorate,decoration={brace,amplitude=3pt,mirror}, xshift=0.1cm]
+            %     (5,0) node(t_k_unten){} -- node[right, xshift=0.1cm]{$K^\prime \frac{K_1N}{K} = K^\prime_1$}
+            %     (5,0.5) node(t_k_opt_unten){};
+
+            \foreach \i in {-2,...,1} {
+                \foreach \j in {-2,...,1} {
+                    \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
+
+                        \node[zero] at ( 1, 0) {};
+                        \node[zero] at ( 3, 0) {};
+                        \node[pole] at ( 1,0.5) {};
+                        \node[pole] at ( 3,0.5) {};
+
+                    \end{scope}
+                }
+            }
+
+
+
+            \onslide<2->{
+            \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (5, 0) -- node[yshift=-0.4cm]{Durchlassbereich} (0,0);
+            \draw[ultra thick, ->, orange] (-0, 0) --  node[align=center]{Übergangs-\\berech} (0,0.5);
+            \draw[ultra thick, ->, red] (0,0.5) -- node[align=center, yshift=0.4cm]{Sperrbereich} (5, 0.5);
+            \node[] at (2.5, 0.25) {\small $N=5$};
+            }
+            \onslide<1->{
+            \draw (4,0  )  node[dot]{} node[anchor=south]      {\small $1$};
+            \draw (2,0  )  node[dot]{} node[anchor=south]      {\small $-1$};
+            \draw (0,0  )  node[dot]{} node[anchor=south west] {\small $1$};
+            \draw (0,0.5)  node[dot]{} node[anchor=north west] {\small $1/k$};
+            \draw (2,0.5)  node[dot]{} node[anchor=north]      {\small $-1/k$};
+            \draw (4,0.5)  node[dot]{} node[anchor=north]      {\small $1/k$};
+
+            }
+
+
+        \end{scope}
+
+
+    \end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..2a36ee0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform1.tikz.tex
@@ -0,0 +1,76 @@
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2]
+
+    \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm]
+
+    \tikzset{pole/.style={cross out, draw, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
+
+    \begin{scope}[xscale=1, yscale=1.5]
+
+    \begin{scope}[]
+
+        \fill[orange!25] (0,0) rectangle (1.5, 0.75);
+        \fill[yellow!50] (0,0) rectangle (0.5, 0.25);
+
+        \draw[gray, ->] (0,-0.75) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$};
+        \draw[gray, ->] (-1.75,0) -- (1.75,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$};
+
+        \draw[gray] ( 0.5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$};
+        \draw[gray]  (0, 0.25) +(0.05, 0) -- +(-0.05, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$};
+
+        % \draw[gray] ( 1.5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$};
+        % \draw[gray]  (0, 0.75) +(0.05, 0) -- +(-0.05, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK_1^\prime$};
+
+        \clip(-1.6,-0.6) rectangle (1.6,1.6);
+        \begin{scope}[xscale=0.5, yscale=0.25, blue]
+            \foreach \i in {-1,...,1} {
+                \foreach \j in {-1,...,2} {
+                    \begin{scope}[xshift=\i*2cm, yshift=\j*2cm]
+                        \node[zero] at ( 1, 0) {};
+                        \node[zero] at ( -1, 0) {};
+                        \node[pole] at ( 1,1) {};
+                        \node[pole] at ( -1,1) {};
+                    \end{scope}
+                }
+            }
+        \end{scope}
+
+        \node at (0,2) {$\cd \left(N~K_1~z , k_1 \right)$};
+        \node at (0,2) {$w= \cd(z K, k)$};
+
+        \draw[scale=0.2, domain=0.02:5,  variable=\x, red] plot ({\x1+3}, {1/\x+2});
+
+    \end{scope}
+
+    \begin{scope}[xshift=5cm]
+
+        \fill[orange!50] (0,0) rectangle (1.5, 0.75);
+        \fill[yellow!25] (0,0) rectangle (0.5, 0.25);
+
+        \draw[gray, ->] (0,-0.75) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$};
+        \draw[gray, ->] (-1.75,0) -- (1.75,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$};
+
+        % \draw[gray] ( 0.5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$};
+        % \draw[gray]  (0, 0.25) +(0.05, 0) -- +(-0.05, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$};
+
+        \draw[gray] ( 0.5,0) +(0,0.05) -- +(0, -0.05) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K_1$};
+        \draw[gray]  (0, 0.75) +(0.05, 0) -- +(-0.05, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK_1^\prime$};
+
+        \clip(-1.6,-0.6) rectangle (1.6,1.6);
+        \begin{scope}[xscale=0.5, yscale=0.75, red]
+            \foreach \i in {-1,...,1} {
+                \foreach \j in {-1,...,0} {
+                    \begin{scope}[xshift=\i*2cm, yshift=\j*2cm]
+                        \node[zero] at ( 1, 0) {};
+                        \node[zero] at ( -1, 0) {};
+                        \node[pole] at ( 1,1) {};
+                        \node[pole] at ( -1,1) {};
+                    \end{scope}
+                }
+            }
+        \end{scope}
+
+    \end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..20c2d82
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz.tex
@@ -0,0 +1,75 @@
+
+\def\d{0.2}
+\def\n{3}
+\def\nn{2}
+\def\a{2.5}
+
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2]
+
+    \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm]
+    \tikzstyle{dot} = [fill, circle, inner sep =0, minimum height=0.1cm]
+
+    \tikzset{pole/.style={cross out, draw, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
+
+    \begin{scope}[xscale=3, yscale=3]
+
+    \begin{scope}[]
+        % \onslide<4->{
+        \fill[orange!30, scale=1.735] (0,0) rectangle (\d*\a+0.5, \d/\a+0.5);
+        % }
+        % \onslide<2->{
+        \fill[yellow!30] (0,0) rectangle (\d*\a+0.5, \d/\a+0.5);
+        % }
+
+        \begin{scope}[]
+            \clip(0,0) rectangle (2,1.25);
+            \draw[thick, scale=1, domain=0.1:10,  variable=\x, smooth, samples=200] plot ({\d*\x1+0.5}, {\d/\x+0.5});
+            \node at(1.25,0.7) {$K + jK^\prime$ Ortskurve};
+        \end{scope}
+
+        % \onslide<2->{
+        \begin{scope}[blue]
+            \draw[] (0,0) rectangle (\d*\a+0.5, \d/\a+0.5);
+
+
+            \node[pole] at ( \d*\a+0.5, \d/\a+0.5) {};
+            \node[zero] at ( \d*\a+0.5, 0) {};
+
+            \draw[] ( \d*\a+0.5,0)  node[anchor=north] {\small $K$};
+            \draw[]  (0, \d/\a+0.5)  node[anchor=east]{\small $jK^\prime$};
+
+            % \onslide<3->{
+
+            \foreach \i in {1,...,\nn} {
+                \draw[gray, dotted] (\i*\d*\a/\n+\i*0.5/\n, 0) -- (\i*\d*\a/\n+\i*0.5/\n, \d/\a+0.5);
+            }
+
+            \node[dot, gray] at (\d*\a/\n+0.5/\n, \d/\a+0.5) {};
+            \node[above] at (0.5*\d*\a/\n+0.5*0.5/\n, \d/\a+0.5) {\small $K/N$};
+            % }
+        \end{scope}
+        % }
+
+        % \onslide<4->{
+        \begin{scope}[scale=1.735, red]
+            \draw (0,0) rectangle (\d*\a/\n+0.5/\n, \d/\a+0.5);
+            \draw[gray] (0,0) -- (\d*\a/\n+0.5/\n, \d/\a+0.5);
+
+            \node[pole] at ( \d*\a/\n+0.5/\n, \d/\a+0.5) {};
+            \node[zero] at ( \d*\a/\n+0.5/\n, 0) {};
+
+
+            \draw[] ( \d*\a/\n+0.5/\n,0)  node[anchor=north] {\small $K_1$};
+            \draw[]  (0, \d/\a+0.5)  node[anchor=east]{\small $jK_1^\prime$};
+
+        \end{scope}
+        % }
+
+        \draw[gray, ->] (0,-0.25) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}$};
+        \draw[gray, ->] (-0.25,0) -- (2,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}$};
+
+    \end{scope}
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex
new file mode 100644
index 0000000..769602a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex
@@ -0,0 +1,32 @@
+\begin{tikzpicture}[>=stealth', auto, node distance=2cm, scale=1.2]
+
+    \tikzstyle{zero} = [draw, circle, inner sep =0, minimum height=0.15cm]
+
+    \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
+
+    \begin{scope}[xscale=3, yscale=2.5]
+
+        \fill[darkgreen!15] (0,0) rectangle  (1,1);
+        \node[darkgreen] at (0.5,0.5) {Durchlassbereich};
+        \fill[orange!15] (1,0) rectangle  (2.5,1);
+        \node[orange] at (1.75,0.5) {Sperrbereich};
+
+        \draw[gray, ->] (0,0) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$|H(\Omega)|$};
+        \draw[gray, ->] (0,0) -- (2.75,0) node[anchor=west]{$\Omega$};
+
+        \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$};
+        \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$};
+
+        \node[left] at(0,1) {$1$};
+
+        \draw[red, thick] (0,1) -- (1,1) -- (1,0) -- (2.5,0);
+
+        \node[anchor=north, red] at (0.5,1) {Ideal};
+
+        \draw[thick, domain=0:2.5,  variable=\x, smooth, samples=200] plot
+        ({\x}, {sqrt(abs(1/ (1 + \x^10)))});
+        \node[anchor=south] at (0.5,1) {Butterworth ($N=5$)};
+
+    \end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex
index 87c63c0..0546fda 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex
@@ -4,7 +4,7 @@
 
     \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}}
 
-    \begin{scope}[xscale=1, yscale=2]
+    \begin{scope}[xscale=0.9, yscale=1.8]
 
         \draw[gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[anchor=south]{$\mathrm{Im}~z$};
         \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$\mathrm{Re}~z$};
@@ -17,35 +17,45 @@
 
             \begin{scope}[xshift=-1cm]
 
-                \draw[thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5);
-                \draw[thick, ->, orange] (1, 0) -- (0,0);
-                \draw[thick, ->, red] (2, 0) -- (1,0);
-                \draw[thick, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0);
-                \draw[thick, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5);
-                \draw[thick, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5);
+                \foreach \i in {-2,...,2} {
+                    \foreach \j in {-2,...,1} {
+                        \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
+                            \draw[<-, blue!50] (0, 0) -- (0,0.5);
+                            \draw[<-, cyan!50] (1, 0) -- (0,0);
+                            \draw[<-, darkgreen!50] (2, 0) -- (1,0);
+                            \draw[<-, orange!50] (2,0.5) -- (2, 0);
+                            \draw[<-, red!50] (1, 0.5) -- (2,0.5);
+                            \draw[<-, purple!50] (0, 0.5) -- (1,0.5);
+                            \draw[<-, blue!50] (0,1) -- (0,0.5);
+                            \draw[<-, orange!50] (2,0.5) -- (2, 1);
+                            \draw[<-, red!50] (3, 0.5) -- (2,0.5);
+                            \draw[<-, purple!50] (4, 0.5) -- (3,0.5);
+                            \draw[<-, darkgreen!50] (2, 0) -- (3,0);
+                            \draw[<-, cyan!50] (3, 0) -- (4,0);
+                        \end{scope}
+                    }
+                }
+
+                % \pause
+                \draw[ultra thick, <-, darkgreen] (2, 0) -- (1,0);
+                % \pause
+                \draw[ultra thick, <-, orange] (2,0.5) -- (2, 0);
+                % \pause
+                \draw[ultra thick, <-, red] (1, 0.5) -- (2,0.5);
+                % \pause
+                \draw[ultra thick, <-, blue] (0, 0) -- (0,0.5);
+                \draw[ultra thick, <-, purple] (0, 0.5) -- (1,0.5);
+                \draw[ultra thick, <-, cyan] (1, 0) -- (0,0);
+                % \pause
 
 
                 \foreach \i in {-2,...,2} {
                     \foreach \j in {-2,...,1} {
                         \begin{scope}[xshift=\i*4cm, yshift=\j*1cm]
-                            \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0, 0) -- (0,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, orange] (1, 0) -- (0,0);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (1,0);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 0);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, purple] (1, 0.5) -- (2,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (0, 0.5) -- (1,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, darkgreen] (0,1) -- (0,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, blue] (2,0.5) -- (2, 1);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, purple] (3, 0.5) -- (2,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, cyan] (4, 0.5) -- (3,0.5);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, red] (2, 0) -- (3,0);
-                            \draw[opacity=0.5, ->, orange] (3, 0) -- (4,0);
-
                             \node[zero] at ( 1, 0) {};
                             \node[zero] at ( 3, 0) {};
                             \node[pole] at ( 1,0.5) {};
                             \node[pole] at ( 3,0.5) {};
-
                         \end{scope}
                     }
                 }
@@ -57,20 +67,23 @@
         \draw[gray] ( 1,0) +(0,0.1) -- +(0, -0.1) node[inner sep=0, anchor=north] {\small $K$};
         \draw[gray]  (0, 0.5) +(0.1, 0) -- +(-0.1, 0) node[inner sep=0, anchor=east]{\small $jK^\prime$};
 
-
-
     \end{scope}
 
-    \begin{scope}[yshift=-3.5cm, xscale=0.75]
+    \node[zero] at (4,3) (n) {};
+    \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle};
+    \node[pole, below=0.25cm of n] (n) {};
+    \node[anchor=west] at (n.east) {Polstelle};
+
+    \begin{scope}[yshift=-4cm, xscale=0.75]
 
         \draw[gray, ->] (-6,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$};
 
-        \draw[thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0);
-        \draw[thick, ->, blue]      (-3, 0) -- (-2, 0);
-        \draw[thick, ->, red]       (-2, 0) -- (0, 0);
-        \draw[thick, ->, orange]    (0, 0) -- (2, 0);
-        \draw[thick, ->, darkgreen] (2, 0) -- (3, 0);
-        \draw[thick, ->, cyan] (3, 0) -- (5, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, purple] (-5, 0) -- (-3, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, blue]      (-3, 0) -- (-2, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, cyan]       (-2, 0) -- (0, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, darkgreen]    (0, 0) -- (2, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (3, 0);
+        \draw[ultra thick, ->, red] (3, 0) -- (5, 0);
 
         \node[anchor=south] at (-5,0) {$-\infty$};
         \node[anchor=south] at (-3,0) {$-1/k$};
diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
index 7d426b6..639c87c 100644
--- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
+++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex
@@ -1,9 +1,8 @@
 \section{Tschebyscheff-Filter}
 
-Als Einstieg betrachent Wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter.
-Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon.
-
-Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind:
+Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter.
+Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter.
+Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \label{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind:
 \begin{align}
     T_{0}(x)&=1\\
     T_{1}(x)&=x\\
@@ -16,7 +15,7 @@ Bemerkenswert ist, dass die Polynome im Intervall $[-1, 1]$ mit der trigonometri
     T_N(w) &= \cos \left( N \cos^{-1}(w) \right) \\
            &= \cos \left(N~z \right), \quad w= \cos(z)
 \end{align}
-übereinstimmt.
+übereinstimmen.
 Der Zusammenhang lässt sich mit den Doppel- und Mehrfachwinkelfunktionen der trigonometrischen Funktionen erklären.
 Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-Polynome.
 \begin{figure}
@@ -28,7 +27,7 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-P
 Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt.
 Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$.
 Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter.
-Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert.
+Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forderungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf}
@@ -36,12 +35,11 @@ Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraus
     \label{ellfiter:fig:chebychef}
 \end{figure}
 
-
 Die analytische Fortsetzung von \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} über das Intervall $[-1,1]$ hinaus stimmt mit den Polynomen überein, wie es zu erwarten ist.
-Die genauere Betrachtung wird uns dann helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.
+Die genauere Betrachtung wird uns helfen die elliptischen Filter besser zu verstehen.
 
-Starten wir mit der Funktion, die als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
-Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt werden:
+Starten wir mit der Funktion, die in \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} als erstes auf $w$ angewendet wird, dem Arcuscosinus.
+Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt werden:
 \begin{align}
     \cos^{-1}(x)
     &=
@@ -63,9 +61,9 @@ Die invertierte Funktion des Kosinus kann als definites Integral dargestellt wer
         }
     }
     ~dz
-    + \frac{\pi}{2}
+    + \frac{\pi}{2}.
 \end{align}
-Der Integrand oder auch die Ableitung
+Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$
 \begin{equation}
     \frac{
         -1
@@ -75,59 +73,37 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung
         }
     }
 \end{equation}
-bestimmt dabei die Richtung, in der die Funktion verläuft.
+bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft.
 Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert.
 Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte.
 Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ.
 Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen.
 Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab.
-Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene.
+Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den Arcuscosinus in der komplexen Ebene.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex}
     \caption{Die Funktion $z = \cos^{-1}(w)$ dargestellt in der komplexen ebene.}
     \label{ellfilter:fig:arccos}
 \end{figure}
-Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch und es entstehen periodische Nullstellen.
-% \begin{equation}
-%     \frac{
-%         1
-%     }{
-%         \sqrt{
-%             1-z^2
-%         }
-%     }
-%     \in \mathbb{R}
-%     \quad
-%     \forall
-%     \quad
-%     -1  \leq z \leq 1
-% \end{equation}
-% \begin{equation}
-%     \frac{
-%         1
-%     }{
-%         \sqrt{
-%             1-z^2
-%         }
-%     }
-%     = i \xi \quad | \quad \xi \in \mathbb{R}
-%     \quad
-%     \forall
-%     \quad
-%     z \leq -1 \cup z \geq 1
-% \end{equation}
+Wegen der Periodizität des Kosinus ist auch der Arcuscosinus $2\pi$-periodisch.
+Das Einzeichnen von Pol- und Nullstellen ist hilfreich für die Betrachtung der Funktion.
+
 
-Die Tschebyscheff-Polynome skalieren diese Nullstellen mit dem Ordnungsfaktor $N$, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}.
+In \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} wird $z$ mit dem Ordnungsfaktor $N$ multipliziert und durch die Kosinusfunktion zurück transformiert.
+Die Skalierung hat zur folge, dass bei der Rücktransformation durch den Kosinus mehrere Nullstellen durchlaufen werden.
+Somit passiert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos2}.
 \begin{figure}
     \centering
     \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex}
     \caption{
         $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion.
-        Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für verschiedene Ordnungen $N$.
-        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert.
+        Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w\in(-\infty, \infty)$ für $N = 4$.
+        Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equirippel-Verhalten führen.
+        Die vertikalen Segmente der Funktion sorgen für das Ansteigen der Funktion gegen $\infty$ nach der Grenzfrequenz.
+        Die eingezeichneten Nullstellen sind vom zurücktransformierenden Kosinus.
     }
     \label{ellfilter:fig:arccos2}
 \end{figure}
-Somit passert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen.
-Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet.
+Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet.
+Equirippel bedeutet, dass alle lokalen Maxima der Betragsfunktion gleich gross sind.
diff --git a/buch/papers/kreismembran/references.bib b/buch/papers/kreismembran/references.bib
index 3d9d0c1..65173f8 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/references.bib
+++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib
@@ -89,4 +89,10 @@
 	type = {Dissertation},
 	author = {{Eric John Ruggiero Doctor of Philosophy In Mechanical Engineering}},
 	date = {2005},
+}
+
+@online{noauthor_laplace_nodate,
+	title = {Laplace Transform of Bessel Function of the First Kind of Order Zero - {ProofWiki}},
+	url = {https://proofwiki.org/wiki/Laplace_Transform_of_Bessel_Function_of_the_First_Kind_of_Order_Zero},
+	urldate = {2022-08-15},
 }
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
index c6dac06..27c6f0f 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
@@ -7,9 +7,9 @@
 \rhead{Membran}
 Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein ``dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen \dots''. 
 Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften wie ein gespanntes Stück Papier. 
-Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. 
-Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. 
-Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. 
+Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membran unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. 
+Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation, sobald sie gekrümmt wird. 
+Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt, wie zum Beispiel Papier. 
 Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt, welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden. 
 
 Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. 
@@ -28,11 +28,11 @@ Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften:
 	Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $.
 	\item Die Membran ist perfekt flexibel. 
 	Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. 
-	Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $.
+	Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie mit einer Kraft $ T $ gespannt werden.
 	\item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken.
 	Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich.
 	\item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. 
-	Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation.
+	Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Reibungsverluste durch Deformation.
 	
 \end{enumerate}
 
@@ -64,7 +64,7 @@ befolgen. Die senkrecht wirkenden Kräfte werden mit $ T_1 $ und $ T_2 $ ausgedr
 \begin{equation*}
 	T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} .
 \end{equation*}
-Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \ref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann
+Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \eqref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann
 \begin{equation*}
 	\frac{T_2 \sin \beta}{T_2 \cos \beta} - \frac{T_1 \sin \alpha}{T_1 \cos \alpha} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
 \end{equation*}
@@ -91,4 +91,4 @@ Damit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form
 	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u.
 \end{equation}
 In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. 
-Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen gerechnet werden.
\ No newline at end of file
+Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen verwendet werden.
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
index f6ba7d1..a9b2fad 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode 
 	\label{kreismembran:section:teil1}}
 \rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode}
-An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Abschnitt wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
+An diesem Punkt bleibt also ``nur'' noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Abschnitt wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
 
 \subsection{Aufgabestellung\label{sub:aufgabestellung}}
 Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt:
@@ -30,7 +30,7 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d
 ergibt.
 
 Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die das Gebiet $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist.
-Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran nach den Annahmen von \ref{kreimembran:annahmen}.
+Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran nach den Annahmen von Abschnitt \ref{kreimembran:annahmen}.
 
 Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$:
 \begin{align*}
@@ -50,9 +50,9 @@ Nun wird das in Abschnitt \ref{sub:aufgabestellung} vorgestellte Problem mit Hil
 \subsubsection{Ansatz der Separation der Variablen\label{subsub:ansatz_separation}}
 Hierfür wird folgenden Ansatz gemacht:
 \begin{equation*}
-	u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t)
+	u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t).
 \end{equation*}
-Dank der Randbedingungen kann gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich:
+Dank der Randbedingungen kann gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$-periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich nach Division durch $u$:
 \begin{equation*}
 	\frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\kappa^2=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}.
 \end{equation*}
@@ -71,9 +71,9 @@ In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rec
 \end{align*}
 
 \subsubsection{Lösung für $G(\varphi)$\label{subsub:lösung_G}}
-Da für die zweite Gleichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt man die gemeinsame Konstante als $\nu=-\omega^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also:
+Da für die zweite Gleichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-n^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt man die gemeinsame Konstante als $\nu=-n^2$, was die Formeln später vereinfacht. $n$ muss auch eine ganze Zahl sein, weil  $G(\varphi)$ sonst nicht $2\pi$-periodisch ist. Also:
 \begin{equation*}
- G(\varphi) = C_n \cos(\nu\varphi) + D_n \sin(\nu\varphi)
+ G(\varphi) = C_n \cos(n\varphi) + D_n \sin(n\varphi)
  \label{eq:cos_sin_überlagerung}
 \end{equation*}
 
@@ -85,17 +85,20 @@ Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt (Verweis auf \label{buch:differentialglei
 \end{align}
 Wie bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Bessel-Funktionen
 \begin{equation*}
-	J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)}
+	J_{n}(x) = r^n \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+n}m! \Gamma (n + m+1)}
 \end{equation*}
 Lösungen der Besselschen Differenzialgleichung
 \begin{equation*}
-	x^2 y'' + xy' + (\kappa^2 - \nu^2)y = 0
+	x^2 y'' + xy' + (\kappa^2 - n^2)y = 0
 \end{equation*}
 Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}.
 
 \subsubsection{Lösung für $T(t)$\label{subsub:lösung_T}}
-Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. 
-
+Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. Um eine Einschränkung der möglichen Frequenzen zu erhalten und die Lösung als Reihe schreiben zu können, muss die folgende homogene Randbedingung definiert werden: 
+\begin{equation*}
+	u\big|_{\Gamma} = 0 \quad \text{für} \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\quad t \geq 0,
+\end{equation*}
+welche die $\kappa$ auf mögliche werte $\kappa_{mn}$ einschränkt.
 \subsubsection{Zusammenfassung der Lösungen\label{subsub:zusammenfassung_lösungen}}
 Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung
 \begin{align}
@@ -120,5 +123,7 @@ für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membr
 		\label{buch:pde:kreis:fig:pauke}}
 \end{figure}
 
-
+\begin{center}
+	* \quad *\quad *
+\end{center}
 An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass eine weitere Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist.
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
index ec27bd3..4ceeb84 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
@@ -7,12 +7,12 @@
 
 Hermann Hankel (1839--1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analysis und insbesondere für die nach ihm benannte Transformation bekannt ist.
 Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von Funktionen auf, die nur von der Entfernung des Ursprungs abhängen.
-Er untersuchte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art.
+Er untersuchte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel-Funktionen genannt, der dritten Art.
 Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind.
 In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert.
 
 \subsubsection{Definition der Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}}
-Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
+Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Trans\-formation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
 \begin{align}
 	\mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx \; dy,\label{equation:fourier_transform}\\
 	\mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}F(k,l) \; dx \; dy \label{equation:inv_fourier_transform}
@@ -49,13 +49,13 @@ wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel-Transformation} von $f(r)$ und i
 \subsubsection{Inverse Hankel-Transformation \label{subsub:inverse_hankel_tansformation}}
 Wie bei der Entwicklung der Hankel-Transformation können auch für die Umkehrformel Analogien zur Fourier-Transformation hergestellt werden. Vergleicht man die beiden Transformationen, so stellt man fest, dass sie sehr ähnlich sind, wenn man den Term $J_n(\kappa r)$ der Hankel-Transformation durch $e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}$ der Fourier-Transformation ersetzt. Diese beide Funktionen sind orthogonal, und bei orthogonalen Matrizen genügt bekanntlich die Transponierung, um sie zu invertieren. Da das Skalarprodukt der Bessel-Funktionen jedoch nicht dasselbe ist wie das der Exponentialfunktionen, muss man durch $\kappa\; d\kappa$ statt nur durch $d\kappa$ integrieren, um die Umkehrfunktion zu erhalten.
 
-Von \eqref{equation:hankel} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert:
+Die inverse \textit{Hankel-Transformation} ist also als 
 \begin{align}
 	\mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa.
 	\label{equation:inv_hankel}
 \end{align}
+definiert.
 
-Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig einfach $\tilde{f}(\kappa)$ für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird.
 Die Integrale \eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} existieren für bestimmte grosse Klassen von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen vorkommen.
 
 Alternativ dazu kann die berühmte Hankel-Integralformel 
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
index a9dcd95..d143ec7 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
@@ -60,19 +60,23 @@ so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und
 	\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}.
 \end{equation*}
 
-Aus der Laplace-Transformation und unter Verwendung der Skalierungseigenschaft ergibt sich, dass
+\noindent Die formale Lösung  \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
+\begin{align}
+	u(r,t)=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t) \; dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r) \; dk.
+	\label{form_lösung2_step1}
+\end{align}
 
+\noindent Aus der Laplace-Transformation und unter Verwendung der Skalierungseigenschaft \cite{noauthor_laplace_nodate} ergibt sich, dass
 \begin{align*}
-	\int_{0}^{\infty}e^{-px} J_0(\kappa x) \; dx = \frac{1}{\sqrt{\kappa^2 + p^2}}.
+	\int_{0}^{\infty}e^{-px} J_0(\kappa x) \; dx = \frac{1}{\sqrt{\kappa^2 + p^2}},
 \end{align*}	
 
-Die formale Lösung  \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
-\begin{align*}
-	u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t) \; dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r) \; dk\\
-	&=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}.
-\end{align*}
+\noindent \eqref{form_lösung2_step1} kann somit vereinfacht werden in:
+\begin{equation*}
+	u(r,t)=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}.
+\end{equation*}
 
-Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung durch Überlagerung, 
+\noindent Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung durch Überlagerung, 
 
 \begin{align}
 	u(r, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} J_0 (k_{m}r)[a_{m}\cos(c \kappa_{m} t)+b_{m}\sin(c \kappa_{m} t)]
@@ -84,6 +88,6 @@ kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen.
 \label{kreismembran:vergleich}}
 Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. 
 Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, welche unter der Annahme einer rotationssymmetrischen Lösung nicht vorhanden sein können. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist.
-Die Funktion hängt also nicht mehr von der Besselfunktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der nullter Ordnung. 
+Die Funktion hängt also nicht mehr von der Bessel-Funktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der nullter Ordnung. 
 
 
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index 01a6029..d6aa54f 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -8,13 +8,13 @@
 
 Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden.
 Die Membran wird hier in Form der Matrix $  U $ digitalisiert.
-Jedes Element  $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
-Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ entspricht somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran.
-Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht.
-Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+Jedes Element  $ U_{ij} $ steht für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
+Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ ist somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran.
+Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ die Anzahl von Zeitschritten ist.
+Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ ist somit die Auslenkung $ u(i,j,w) $.
 Da die DGL von zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. 
 Es wird neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit jedes Membran-Elementes benötigt um den Zustand eindeutig zu beschreiben. 
-Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elementen repräsentiert. 
+Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elemente repräsentiert. 
 $ V[w]_{ij} $ entspricht also $ \dot{u}(i,j,w) $. 
 Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was $ U[w] $ und $ V[w] $ beinhaltet.
 
@@ -25,7 +25,7 @@ Die Folgeposition $ U[w+1] $ ergibt sich als
 \begin{equation}
 	U[w+1] =  U[w] + dt \cdot V[w],
 \end{equation} 
-also die Ausgangslage $ + $ die Strecke welche während des Zeitintervall mit der Geschwindigkeit des Elementes zurückgelegt wurde. 
+also die Ausgangslage plus die Strecke welche während des Zeitintervall mit der Geschwindigkeit des Elementes zurückgelegt wurde. 
 Neben der Position muss auch die Geschwindigkeit aktualisiert werden.
 Analog zur Folgeposition wird
 \begin{equation*}
@@ -40,7 +40,7 @@ Die Geschwindigkeit des Folgezustandes kann somit mit
 	V[w+1] = V[w] + dt \cdot \Delta_h U \cdot c^2
 \end{equation}
 berechnet werden.
-Während $ c^2 $ lediglich eine Material spezifische Konstante ist, muss noch erläutert werden, wie der diskrete Laplace-Operator für $ \Delta_h u $ definiert ist.
+Während $ c^2 $ lediglich eine Material spezifische Konstante ist, muss noch erläutert werden, wie der diskrete Laplace-Operator für $ \Delta_h u $ definiert ist. Dieses Verfahren wird Euler-Methode genannt.
 
 \subsection{Diskreter Laplace-Operator $\Delta_h$}
 Die diskrete Ableitung zweiter Ordnung kann mit Hilfe der Taylor-Reihen-Entwicklung als
@@ -93,9 +93,9 @@ Der Folgezustand kann also mit den Gleichungen
 	\label{kreismembran:eq:folge_V}
 	V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)\odot M
 \end{align}
-berechnet werden.
+berechnet werden. Das Symbol $\odot$ steht hier für eine elementweise Matrixmultiplikation (Hadamard-Produkt)
 \subsubsection{Simulation}
-Mit den gegebenen Gleichungen \ref{kreismembran:eq:folge_U} und \ref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden. 
+Mit den gegebenen Gleichungen \eqref{kreismembran:eq:folge_U} und \eqref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden. 
 In der Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_rund} sind Simulationsresultate zu sehen.
 Die erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten.
 Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet.
@@ -120,7 +120,7 @@ Erreicht die Störung den Rand, wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentru
 Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren, könnte der unpraktische Weg gewählt werden, die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen.
 Etwas geeigneter ist es, die Matrix so gross wie möglich zu definieren, wie es die Kapazitäten erlauben.
 Wenn anschliessend nur das Verhalten im Zentrum, bei der Störung beobachtet wird, verhaltet sich die Membran wie eine unendliche. 
-Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das innere zu beobachtende Zentrum beeinflusst.
+Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das Zentrum beeinflusst.
 Soll erst gar keine Reflexion entstehen, muss ein Absorber modelliert werden welcher die Störung möglichst ohne Reflexion aufnimmt.
 
 \subsubsection{Absorber}
@@ -132,15 +132,15 @@ Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges.
 Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ einen binären Übergang von Membran zu Rand bezweckt.
 Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt.
 Die Elemente werden auf Basis ihres Abstand $r$ zum Zentrum definiert. 
-Der Abstand entspricht 
+Der Abstand ist 
 \begin{equation*}
 	r(i,j) = \sqrt{|i-\frac{m}{2}|^2+|j-\frac{n}{2}|^2},
 \end{equation*} 
-wobei $ m $ und $n$ den Dimensionen der Matrix entsprechen.
-Für einen Stufenlosen Übergang werden die Elemente der Maske auf 
+wobei $ m $ und $n$ die Dimensionen der Matrix sind.
+Für einen stufenlosen Übergang werden die Elemente der Maske auf 
 
 \begin{align}
-	M_{ij} = \begin{cases} 1-e^{(r(i,j)-b)a} & \text{wenn $x > b$} \\
+	M_{ij} = \begin{cases} 1-e^{(r(i,j)-b)a} & \text{$x > b$} \\
 		0 & \text{sonst} \end{cases}
 \end{align}
 gesetzt.
@@ -184,7 +184,7 @@ Die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} welche simuliert wird geht jedoch von der
 \section{Schlusswort}
 Auch wenn ein physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen.
 Lösungen einer unendlich grosse Membran scheinen fern der Realität zu sein, doch dies darf es im Sinne der Mathematik.
-Und wer weis, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung. 
+Und wer weiss, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung. 
 
 
 
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
index 739b02b..964b348 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
index b5428f5..42cae0d 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
index 975e248..f09edfb 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
@@ -9,6 +9,9 @@ import pylatex
 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 
+
+
+
 N = np.array([0, 0])
 V = np.array([1, 4])
 Z = np.array([5, 5])
@@ -34,9 +37,10 @@ ax.quiver(X, Y, U, W, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, headwidth=5, headl
 
 ax.plot([V[0], (VZ+V)[0]], [V[1], (VZ+V)[1]], 'k--')
 ax.plot(np.vstack([V, Z])[:, 0], np.vstack([V, Z])[:,1], 'bo', markersize=10)
-ax.set_xlabel("x", size=20)
-ax.set_ylabel("y", size=20)
 
+ax.tick_params(labelsize=15)
+plt.xticks(ticks=range(0, 7))
+plt.yticks(ticks=range(0, 7))
 ax.text(2.5, 4.5, "Visierlinie", size=20, rotation=10)
 
 plt.rcParams.update({
@@ -48,6 +52,7 @@ plt.rcParams.update({
 ax.text(1.6, 4.3, r"$\dot{v}$", size=20)
 ax.text(0.65, 3.9, r"$V$", size=20, c='b')
 ax.text(5.15, 4.85, r"$Z$", size=20, c='b')
-
+ax.set_xlabel(r"$x$", size=20)
+ax.set_ylabel(r"$y$", size=20)
 
 
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg
deleted file mode 100644
index 30f9f22..0000000
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg
+++ /dev/null
@@ -1,790 +0,0 @@
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-   <g id="patch_2">
-    <path d="M 57.6 307.584 
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-   <g id="Quiver_1">
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-      <defs>
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-L 0 3.5 
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-      <g>
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-      <!-- $\mathdefault{0}$ -->
-      <g transform="translate(55.109332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
-       <defs>
-        <path d="M 42 31.84375 
-C 42 37.96875 41.90625 48.421875 37.703125 56.453125 
-C 34 63.484375 28.09375 66 22.90625 66 
-C 18.09375 66 12 63.78125 8.203125 56.5625 
-C 4.203125 49.015625 3.796875 39.671875 3.796875 31.84375 
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-C 11.296875 -0.609375 19 -2 22.90625 -2 
-C 27.5 -2 34.5 -0.109375 38.59375 9.4375 
-C 41.59375 16.375 42 24.5 42 31.84375 
-z
-M 22.90625 -0.40625 
-C 16.5 -0.40625 12.703125 5.125 11.296875 12.75 
-C 10.203125 18.6875 10.203125 27.328125 10.203125 32.953125 
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-C 13.40625 61.78125 19 64.390625 22.90625 64.390625 
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-C 32.296875 1.5 26.40625 -0.40625 22.90625 -0.40625 
-z
-" id="CMR17-48"/>
-       </defs>
-       <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-48"/>
-      </g>
-     </g>
-    </g>
-    <g id="xtick_2">
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-      <g>
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-     </g>
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-       <defs>
-        <path d="M 26.59375 63.796875 
-C 26.59375 65.890625 26.5 66 25.09375 66 
-C 21.203125 61.359375 15.296875 59.890625 9.703125 59.6875 
-C 9.40625 59.6875 8.90625 59.6875 8.796875 59.5 
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-C 11.796875 57 17 57.59375 21 59.984375 
-L 21 7.296875 
-C 21 3.796875 20.796875 2.59375 12.203125 2.59375 
-L 9.203125 2.59375 
-L 9.203125 0 
-C 14 0.09375 19 0.1875 23.796875 0.1875 
-C 28.59375 0.1875 33.59375 0.09375 38.40625 0 
-L 38.40625 2.59375 
-L 35.40625 2.59375 
-C 26.796875 2.59375 26.59375 3.6875 26.59375 7.296875 
-z
-" id="CMR17-49"/>
-       </defs>
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-L 39.90625 15.46875 
-C 38.90625 8.390625 38.09375 7.1875 37.703125 6.59375 
-C 37.203125 5.796875 30 5.796875 28.59375 5.796875 
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-C 41.703125 59.1875 32.296875 66 21.796875 66 
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-C 12.203125 50.09375 9.59375 51 8.203125 51 
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-C 29.09375 63.390625 34.796875 56.5 34.796875 47.390625 
-C 34.796875 38.703125 29.703125 31.21875 24 24.734375 
-L 4.09375 2.296875 
-L 4.09375 0 
-L 39.296875 0 
-z
-" id="CMR17-50"/>
-       </defs>
-       <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-50"/>
-      </g>
-     </g>
-    </g>
-    <g id="xtick_4">
-     <g id="line2d_4">
-      <g>
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-      </g>
-     </g>
-     <g id="text_4">
-      <!-- $\mathdefault{3}$ -->
-      <g transform="translate(233.669332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
-       <defs>
-        <path d="M 22.09375 34 
-C 31 34 34.90625 26.140625 34.90625 17.09375 
-C 34.90625 5.03125 28.5 0.390625 22.703125 0.390625 
-C 17.40625 0.390625 8.796875 3.015625 6.09375 10.796875 
-C 6.59375 10.59375 7.09375 10.59375 7.59375 10.59375 
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-C 32.59375 36.671875 39.90625 43.375 39.90625 52.390625 
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-C 26.296875 63.6875 32.90625 61.96875 32.90625 52.296875 
-C 32.90625 49.484375 32.5 44.546875 29.09375 40.21875 
-C 26.09375 36.390625 22.703125 36.1875 19.40625 35.890625 
-C 18.90625 35.890625 16.59375 35.6875 16.203125 35.6875 
-C 15.5 35.59375 15.09375 35.5 15.09375 34.796875 
-C 15.09375 34.09375 15.203125 34 17.203125 34 
-z
-" id="CMR17-51"/>
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--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
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index 3a90afa..73b322c 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
@@ -39,9 +39,11 @@ plt.plot(0, ymin, 'bo', markersize=10)
 plt.plot([0, xmin], [ymin, ymin], 'k--')
 #plt.xlim(-0.1, 1)
 #plt.ylim(1, 2)
-plt.ylabel("y")
-plt.xlabel("x")
+
 plt.grid(True)
+plt.tick_params(labelsize=15)
+#plt.xticks(ticks=range(0, 7))
+#plt.yticks(ticks=range(0, 7))
 plt.quiver(xmin, ymin, -0.2, 0, scale=1)
 
 plt.text(xmin+0.1, ymin-0.1, "Verfolgungskurve", size=20, rotation=20, color='r')
@@ -55,4 +57,6 @@ plt.rcParams.update({
 
 plt.text(xmin-0.11, ymin-0.08, r"$\dot{v}$", size=20)
 plt.text(xmin-0.02, ymin+0.05, r"$V$", size=20, c='b')
-plt.text(0.02, ymin+0.05, r"$Z$", size=20, c='b')
\ No newline at end of file
+plt.text(0.02, ymin+0.05, r"$Z$", size=20, c='b')
+plt.ylabel(r"$y$", size=20)
+plt.xlabel(r"$x$", size=20)
\ No newline at end of file
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deleted file mode 100644
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+++ /dev/null
@@ -1 +0,0 @@
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y="1288">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="515" y="1288">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="566" y="1288">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="566" y="1288">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="566" y="1288">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="618" y="1288">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="618" y="1288">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="618" 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text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="721" y="1288">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="721" y="1288">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="721" y="1288">0.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="773" y="1288">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="773" y="1288">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="773" y="1288">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="825" y="1288">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="825" y="1288">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="825" y="1288">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="876" y="1288">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="876" y="1288">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="876" y="1288">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="934" y="1288">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="934" y="1288">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="934" y="1288">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="980" y="1288">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="980" y="1288">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="980" y="1288">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1032" y="1288">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1032" y="1288">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1032" y="1288">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1083" y="1288">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1083" y="1288">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1083" y="1288">1.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1135" y="1288">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1135" y="1288">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1135" y="1288">1.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1187" y="1288">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1187" y="1288">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1187" y="1288">1.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1238" y="1288">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1238" y="1288">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1238" y="1288">1.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1290" y="1288">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1290" y="1288">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1290" y="1288">1.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1342" y="1288">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1342" y="1288">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1342" y="1288">1.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1393" y="1288">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1393" y="1288">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1393" y="1288">1.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1451" y="1288">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1451" y="1288">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1451" y="1288">2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1497" y="1288">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1497" y="1288">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1497" y="1288">2.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1549" y="1288">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1549" y="1288">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1549" y="1288">2.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" 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font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1652" y="1288">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1652" y="1288">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1704" y="1288">2.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1704" y="1288">2.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1704" y="1288">2.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1755" y="1288">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1755" y="1288">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1755" y="1288">2.6</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1807" y="1288">2.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1807" y="1288">2.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1807" y="1288">2.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1859" y="1288">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1859" y="1288">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1859" y="1288">2.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1910" y="1288">2.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1910" y="1288">2.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1910" y="1288">2.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1968" y="1288">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="1968" y="1288">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="1968" y="1288">3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2014" y="1288">3.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="2014" y="1288">3.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2014" y="1288">3.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2066" y="1288">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="2066" y="1288">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2066" y="1288">3.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2117" y="1288">3.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="2117" y="1288">3.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="2117" y="1288">3.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1226">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1226">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1226">0.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1174">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1174">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1174">0.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1122">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1122">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1122">0.3</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1071">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1071">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1071">0.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1019">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="1019">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="1019">0.5</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" 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text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="916">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="916">0.7</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="864">0.8</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" 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font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="812">0.9</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="405" y="760">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="405" y="760">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="405" y="760">1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="709">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="709">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="709">1.1</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="657">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="395" y="657">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="657">1.2</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" 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font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="395" y="37">2.4</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="405" y="1288">0</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="none" stroke="rgb(255, 255, 255)" stroke-linejoin="bevel" stroke-miterlimit="10" stroke-opacity="1" stroke-width="3" text-anchor="start" x="405" y="1288">0</text><text font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="12px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" 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translate(7.73134 5.91911)"><path fill="" stroke="none" d="M 0.089 -0.23 Q 0.059 -0.235 0.056 -0.25 Q 0.056 -0.27 0.089 -0.27 L 0.858 -0.27 Q 0.79 -0.32 0.756 -0.399 L 0.755 -0.4 Q 0.75 -0.413 0.75 -0.416 Q 0.75 -0.428 0.765 -0.428 Q 0.776 -0.428 0.782 -0.414 Q 0.826 -0.315 0.918 -0.268 L 0.919 -0.268 L 0.92 -0.267 L 0.921 -0.267 Q 0.928 -0.263 0.935 -0.26 Q 0.939 -0.26 0.942 -0.25 Q 0.942 -0.243 0.933 -0.238 Q 0.931 -0.238 0.928 -0.236 Q 0.829 -0.189 0.783 -0.086 L 0.783 -0.086 Q 0.782 -0.085 0.781 -0.082 Q 0.776 -0.072 0.765 -0.072 Q 0.75 -0.072 0.75 -0.084 Q 0.75 -0.099 0.779 -0.144 Q 0.812 -0.196 0.858 -0.23 L 0.858 -0.23 Z" paint-order="stroke fill markers" /><g transform="translate(-7.73134 -5.91911)"><g transform="translate(8.09245 6.52041)"><path fill="" stroke="none" d="M 0.192 -0.616 Q 0.192 -0.585 0.164 -0.57 Q 0.152 -0.563 0.138 -0.563 Q 0.105 -0.563 0.09 -0.594 Q 0.085 -0.605 0.085 -0.616 Q 0.085 -0.647 0.113 -0.662 Q 0.125 -0.669 0.139 -0.669 Q 0.172 -0.669 0.187 -0.638 Q 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font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="22px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" dominant-baseline="alphabetic" fill="rgb(0, 0, 0)" fill-opacity="1" stroke="none" text-anchor="start" x="783" y="429">Visierlinie</text><g transform="scale(35)"><g transform="translate(11.3429 14.3119)"><path fill="rgb(77, 77, 255)" stroke="none" d="M 0.628 -0.569 L 0.268 0.004 Q 0.252 0.021 0.24 0.022 Q 0.226 0.022 0.222 0.01 Q 0.221 0.006 0.22 -0.001 L 0.141 -0.618 Q 0.138 -0.641 0.127 -0.646 Q 0.116 -0.652 0.081 -0.652 Q 0.058 -0.652 0.056 -0.664 Q 0.056 -0.683 0.075 -0.683 L 0.128 -0.681 L 0.129 -0.681 L 0.182 -0.68 L 0.184 -0.68 L 0.307 -0.683 L 0.308 -0.683 Q 0.322 -0.683 0.322 -0.672 Q 0.314 -0.653 0.297 -0.652 Q 0.233 -0.652 0.228 -0.622 L 0.296 -0.093 L 0.603 -0.581 L 0.616 -0.609 Q 0.618 -0.615 0.618 -0.619 Q 0.618 -0.649 0.572 -0.652 Q 0.556 -0.652 0.556 -0.664 Q 0.556 -0.683 0.575 -0.683 L 0.673 -0.68 L 0.674 -0.68 L 0.754 -0.683 L 0.756 -0.683 Q 0.769 -0.683 0.769 -0.671 Q 0.769 -0.653 0.756 -0.652 Q 0.704 -0.649 0.674 -0.624 Q 0.663 -0.615 0.652 -0.602 Q 0.64 -0.588 0.628 -0.569 Z" paint-order="stroke fill markers" /></g></g><g transform="scale(35)"><g transform="translate(34.2571 8.96905)"><path fill="rgb(77, 77, 255)" stroke="none" d="M 0.72 -0.659 L 0.161 -0.034 L 0.332 -0.034 Q 0.467 -0.034 0.527 -0.104 Q 0.563 -0.147 0.594 -0.242 Q 0.602 -0.265 0.611 -0.267 Q 0.624 -0.267 0.624 -0.256 L 0.62 -0.241 L 0.549 -0.02 Q 0.544 -0.003 0.536 -0.001 L 0.536 -0.001 L 0.535 -0.001 Q 0.531 0 0.518 0 L 0.083 0 Q 0.06 0 0.058 -0.009 L 0.062 -0.027 L 0.062 -0.027 L 0.621 -0.652 L 0.458 -0.652 Q 0.322 -0.652 0.264 -0.576 L 0.263 -0.575 L 0.263 -0.575 L 0.263 -0.575 L 0.262 -0.574 Q 0.234 -0.537 0.212 -0.468 Q 0.206 -0.459 0.199 -0.458 Q 0.187 -0.458 0.187 -0.469 Q 0.187 -0.476 0.19 -0.483 L 0.245 -0.663 Q 0.25 -0.68 0.258 -0.682 Q 0.262 -0.683 0.276 -0.683 L 0.698 -0.683 Q 0.721 -0.683 0.723 -0.674 Q 0.723 -0.671 0.72 -0.659 Z" paint-order="stroke fill markers" /></g></g></g></g></svg>
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil0.tex b/buch/papers/lambertw/teil0.tex
index 6632eca..baee9ea 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil0.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil0.tex
@@ -78,17 +78,12 @@ Um den Richtungsvektor zu konstruieren kann der Einheitsvektor parallel zu $z-v$
 \begin{equation}
     \dot{v}
     =
-    |\dot{v}|\cdot e_{z-v}
-\end{equation}
-führt. Dies kann noch ausgeschrieben werden zu
-\begin{equation}
-    \dot{v}
+    |\dot{v}|\cdot (z-v)^\circ
     =
     |\dot{v}|\cdot\frac{z-v}{|z-v|}
-    \text{.}
     \label{lambertw:richtungsvektor}
 \end{equation}
-%
+führt.
 Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $V$ und $Z$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist.
 Wenn die Punkte $V$ und $Z$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial.
 
@@ -97,6 +92,7 @@ Nun wird die Gleichung mit $\dot{v}$ skalar multipliziert, um das Gleichungssyst
     \frac{z-v}{|z-v|}\cdot|\dot{v}|\cdot\dot{v}
     &=
     |\dot{v}|^2
+    \text{,}
 \end{align}
 was algebraisch zu
 \begin{align}
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index e8eca2c..c4b2d05 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -11,7 +11,7 @@ Sehr oft kommt es vor, dass bei Verfolgungsproblemen die Frage auftaucht, ob das
 Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit des Verfolgers kleiner ist als diejenige des Ziels, gibt es Anfangsbedingungen bei denen das Ziel nie erreicht wird.
 Im Anschluss dieser Frage stellt sich meist die nächste Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird.
 Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und am Beispiel aus \ref{lambertw:section:teil4} betrachtet.
-Das Beispiel wird bei dieser Betrachtung noch etwas erweitert indem alle Punkte auf der gesamtem $xy$-Ebene als Startwerte zugelassen werden.
+Das Beispiel wird bei dieser Betrachtung noch etwas erweitert, indem alle Punkte auf der gesamtem $xy$-Ebene als Startwerte zugelassen werden.
 
 Nun gilt es zu definieren, wann das Ziel erreicht wird.
 Da sowohl Ziel und Verfolger als Punkte modelliert wurden, gilt das Ziel als erreicht, wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$ übereinstimmen.
@@ -38,28 +38,28 @@ Wenn der Verfolger im ersten Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleich
 \begin{align}
     x\left(t\right)
     &=
-    x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \\
+    x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \text{,}\\
     y(t)
     &=
-    \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\
+    \frac{1}{4}\biggl(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\biggl(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\biggr)-r_0+3y_0\biggr) \text{,}\\
     \chi
     &=
-    \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}, \quad
+    \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}\text{,} \quad
     \eta
     =
-    \left(\frac{x}{x_0}\right)^2,\quad
+    \left(\frac{x}{x_0}\right)^2 \quad\text{und}\quad
     r_0
     =
     \sqrt{x_0^2+y_0^2}
-    \text{.}
 \end{align}
 %
+sind,
+beschrieben werden.
 Der Verfolger ist durch
 \begin{equation}
     v(t)
     =
     \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right)
-    \text{.}
 \end{equation}
 %
 parametrisiert, wobei $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$.
@@ -76,7 +76,8 @@ Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Beding
     &=
     y(t)
     =
-    \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\text{,}
+    \frac{1}{4}\biggl(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\biggl(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\biggr)-r_0+3y_0\biggr)
+    \text{,}
 \end{align}
 %
 welche beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde.
@@ -110,7 +111,7 @@ kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
 Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen.
 Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null.
 Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste, damit ein Einholen möglich wäre.
-Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
+Somit kann unter den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
 %
 %
 %
@@ -155,7 +156,7 @@ Dies kann veranschaulicht werden anhand
     1\text{.}
 \end{equation}
 %
-Da der $y$-Anteil der Geschwindigkeit des Ziels grösser-gleich der des Verfolgers ist, können die $y$-Koordinaten nie übereinstimmen.
+Da der $y$-Anteil der Geschwindigkeit des Ziels mindestens so gross wie die des Verfolgers ist, können die $y$-Koordinaten nie übereinstimmen.
 %
 \subsection{Anfangsbedingung auf positiven $y$-Achse}
 Wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet, befindet er sich direkt auf der Fluchtgeraden des Ziels.
@@ -194,8 +195,8 @@ Somit wird das Ziel immer erreicht bei $t_1$, wenn der Verfolger auf der positiv
 \subsection{Fazit}
 Durch die Symmetrie der Fluchtkurve an der $y$-Achse führen die Anfangsbedingungen im ersten und zweiten Quadranten zu den gleichen Ergebnissen. Nun ist klar, dass lediglich Anfangspunkte auf der positiven $y$-Achse oder direkt auf dem Ziel dazu führen, dass der Verfolger das Ziel bei $t_1$ einholt.
 Bei allen anderen Anfangspunkten wird der Verfolger das Ziel nie erreichen.
-Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden.
-Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
+
+Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden, während in der Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
 Somit wird in einer nächsten Betrachtung untersucht, ob der Verfolger dem Ziel näher kommt als ein definierter Trefferradius.
 Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert.
 Mathematisch kann dies mit
@@ -205,7 +206,7 @@ Mathematisch kann dies mit
 \end{equation}
 %
 beschrieben werden, wobei $a_{\text{min}}$ dem Trefferradius entspricht.
-Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
+Durch Quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
 %
 \begin{equation}
     |v-z|^2<a_{\text{min}}^2 \text{,}\quad a_{\text{min}}\in \mathbb{R}^+
@@ -215,35 +216,36 @@ Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
 die neue Bedingung ist.
 Da sowohl der Betrag als auch $a_{\text{min}}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
 %
-\subsection{trügerische Intuition}%verleitende/trügerische/verführerisch
-In der Grafik \ref{lambertw:grafic:intuition} ist eine Mögliche Verfolgungskurve dargestellt, wobei für die Startbedingung der erste-Quadrant verwendet wurde.
+\subsection{Trügerische Intuition}%verleitende/trügerische/verführerisch
+In der Grafik \ref{lambertw:grafic:intuition} ist eine mögliche Verfolgungskurve dargestellt, wobei für die Startbedingung der erste-Quadrant verwendet wurde.
 Als erste Intuition für den Punkt bei dem $|v-z|$ minimal ist bietet sich der tiefste Punkt der Verfolgungskurve an, bei dem der y-Anteil des Richtungsvektors null entspricht.
 Es kann argumentiert werden, dass weil die Geschwindigkeiten gleich gross sind und $\dot{v}$ sich aus einem $y$- als auch einem $x$-Anteil zusammensetzt und $\dot{z}$ nur ein $y$-Anteil besitzt, der Abstand nur grösser werden kann, wenn $e_y\cdot z>e_y\cdot v$.
 Aus diesem Argument würde folgen, dass beim tiefsten Punkt der Verfolgungskurve im Beispiel den minimalen Abstand befindet.
 %
 \begin{figure}
 	\centering
-	\includegraphics[scale=0.4]{./papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf}
+	\includegraphics[scale=0.7]{./papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf}
 	\caption{Intuition}
 	\label{lambertw:grafic:intuition}
 \end{figure}
 %
-
 Dieses Argument kann leicht überprüft werden, indem lokal alle relevanten benachbarten Punkte betrachtet und das Vorzeichen der Änderung des Abstandes überprüft wird.
 Dafür wird ein Ausdruck benötigt, der den Abstand und die benachbarten Punkte beschreibt.
-Der Richtungsvektor wird allgemein mit dem Winkel $\alpha \in[ 0, 2\pi)$
+
+$\dot{v}$ wird allgemein mit dem Winkel $\alpha \in[ 0, 2\pi)$ beschrieben, um alle unmittelbar benachbarten Punkte prüfen zu können.
 Die Ortsvektoren der Punkte können wiederum mit
 \begin{align}
 	v
 	&=
-	t\cdot\left(\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ \sin (\alpha) \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}\right)
+	t\cdot\left(\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ \sin (\alpha) \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} x_0 \\ 0 \end{array}\right)
 	\\
 	z
 	&=
 	\left(\begin{array}{c} 0 \\ t \end{array}\right)
 \end{align}
-beschrieben werden. Der Verfolger wurde allgemein für jede Richtung $\alpha$ definiert, um alle unmittelbar benachbarten Punkte beschreiben zu können.
-Da der Abstand
+beschrieben werden.
+$x_0$ ist der Abstand bei $t=0$, damit alle möglichen Fälle untersucht werden können.
+Da der Abstand allgemein
 \begin{equation}
 	a
 	=
@@ -251,7 +253,7 @@ Da der Abstand
 	\geq
 	0
 \end{equation}
-ist, kann durch quadrieren ohne Informationsverlust die Rechnung vereinfacht werden zu
+ist, kann durch Quadrieren ohne Informationsverlust die Rechnung vereinfacht werden zu
 \begin{equation}
 	a^2
 	=
@@ -264,7 +266,7 @@ Der Abstand im Quadrat abgeleitet nach der Zeit ist
 \begin{equation}
 	\frac{d a^2}{d t}
 	=
-	2(t\cdot\cos (\alpha)+x_0)\cdot\cos(\alpha)(\alpha)+2t(\sin(\alpha)-1)^2
+	2(t\cdot\cos (\alpha)+x_0)\cdot\cos(\alpha)+2t(\sin(\alpha)-1)^2
 	\text{.}
 \end{equation}
 Da nur die unmittelbar benachbarten Punkten von Interesse sind, wird die Ableitung für $t=0$ untersucht. Dabei kann die Ableitung in 
@@ -331,18 +333,12 @@ Durch algebraische Umwandlung kann die Gleichung in die Form
     \dot{z}\dot{v}=|\dot{v}|^2
 \end{equation}
 gebracht werden.
-Da $|\dot{v}|=|\dot{z}|$ folgt
+Wenn für den Winkel zwischen den Richtungsvektoren $\alpha$ und die Eigenschaft $|\dot{z}|=|\dot{v}|$ verwendet wird entsteht
 \begin{equation}
     \cos(\alpha)=1
-    \text{,}
-\end{equation}
-wobei $\alpha$ der Winkel zwischen den Richtungsvektoren ist.
-Mit $|\dot{z}|=|\dot{v}|=1$ entsteht
-\begin{equation}
-    \cos(\alpha)=1
-    \text{,}
+    \text{.}
 \end{equation}
-woraus folgt, dass nur bei $\alpha=0$, wenn $\alpha \in [0,2\pi)$, ein lokales als auch globales Minimum vorhanden sein kann.
+Jetzt ist klar, dass nur bei $\alpha=0$, wenn $\alpha \in [0,2\pi)$, ein lokales als auch globales Minimum vorhanden sein kann.
 $\alpha=0$ bedeutet, dass $\dot{v}=\dot{z}$ sein muss.
 Da die Richtungsvektoren bei $t\rightarrow\infty$ immer in die gleiche Richtung zeigen ist dort die Bedingung immer erfüllt.
 Dies entspricht gerade dem einen Rand von $t$, der andere Rand bei $t=0$ muss auch auf lokales bzw. globales Minimum untersucht werden.
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 1053dd1..36fb7e6 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -6,11 +6,11 @@
 \section{Beispiel einer Verfolgungskurve
 \label{lambertw:section:teil4}}
 \rhead{Beispiel einer Verfolgungskurve}
-In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie ``Jagd'' beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden.
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie ``Jagd'' beschrieben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden.
 
 \subsection{Anfangsbedingungen definieren und einsetzen
 	\label{lambertw:subsection:Anfangsbedingungen}}
-Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{z}| = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{v}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{z}| = 1\), beginnend beim Ursprung des kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{v}| = 1\) in Richtung Ziel. Aus diesen Bedingungen ergibt sich den ersten Quadranten als Bewegungsraum für \(V\). Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
 \begin{equation}
 	Z
 	=
@@ -40,7 +40,7 @@ Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} defin
 
 \subsection{Differentialgleichung vereinfachen
 	\label{lambertw:subsection:DGLvereinfach}}
-Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage, ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
+Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage, ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich, eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
 
 Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraischer Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Da die nächsten Schritte sehr algebralastig sind und sie das Lesen dieses Papers träge machen würden, werden wir uns hier nur auf die wesentlichsten Schritte konzentrieren, welche notwendig sind, um den Lösungsweg nachvollziehen zu können.
 
@@ -90,7 +90,7 @@ Versteckt im Ausdruck \eqref{lambertw:eqGeschwSubstituiert} befindet sich die er
 	\label{lambertw:eqAlgVerinfacht}
 \end{equation}
 die faktorisierte Darstellung davon ist.
-Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein. Es ergibt sich eine weitere Vereinfachung, welche zu der im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL 
+Da der linke Term gleich Null ist, muss auch die Basis des Quadrates in \eqref{lambertw:eqAlgVerinfacht} gleich Null sein. Es ergibt sich eine weitere Vereinfachung, welche zu der im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL 
 \begin{equation}
 	x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
 	= 0
@@ -122,7 +122,7 @@ Der Grund dafür ist, dass
 	\label{lambertw:eqQuotZeitAbleit}
 \end{equation}
 und somit kann der Quotient dieser zeitlichen Ableitungen in eine Ableitung nach \(x\) umgewandelt werden.
-Nach dem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wird und vereinfacht wurde, entsteht die neue Gleichung
+Nachdem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wurde, entsteht beim Vereinfachen die neue Gleichung
 \begin{equation}
 	x y^{\prime} + t - y
 	= 0.
@@ -130,7 +130,7 @@ Nach dem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eq
 \end{equation}
 
 \subsubsection{Variable \(t\) eliminieren
-	\label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}}
+	\label{lambertw:subsubsection:VarTelimin}}
 Hier wäre es natürlich passend, wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte, aber wie?
 Wir wissen, dass sich der Verfolger mit Geschwindigkeit 1 bewegt, also legt er in der Zeit \(t\) die Strecke \(1\cdot t = t\) zurück. Längen und Strecken können auch mit der Bogenlänge repräsentiert werden, somit kann Zeit und zurückgelegte Strecke in der Gleichung  
 \begin{equation}
@@ -147,7 +147,7 @@ Wir wissen, dass sich der Verfolger mit Geschwindigkeit 1 bewegt, also legt er i
 \end{equation}
 verbunden werden.
   
-Nicht gerade auffällig ist die Richtung, in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. 
+Nicht gerade auffällig ist die Richtung, in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgrenzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. 
 
 Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich der neue Ausdruck
 \begin{equation}
@@ -199,7 +199,7 @@ Wenn man in \eqref{lambertw:loesDGLmitU} die Substitution rückgängig macht, er
 	\label{lambertw:loesDGLmitY}
 \end{equation}
 erster Ordnung, die bereits separiert ist.
-Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) durch seine exponentiellen Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art die Lösung 
+Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) durch seine exponentielle Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art die Lösung 
 \begin{equation}
 	y
 	=
@@ -212,10 +212,12 @@ Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die
 \subsection{Lösung analysieren
 	\label{lambertw:subsection:LoesAnalys}}
 
+\definecolor{applegreen}{rgb}{0.55, 0.71, 0.0}
+
 \begin{figure}
 	\centering
 	\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
-	\caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{\operatorname{ln}(x)}-Teil entspricht.
+	\caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{applegreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{\operatorname{ln}(x)}-Teil entspricht.
 	\label{lambertw:BildFunkLoes}
 	}
 \end{figure}
@@ -224,7 +226,7 @@ Das Resultat, wie ersichtlich, ist die Funktion
 \begin{equation}
 	{\color{red}{y(x)}}
 	=
-	C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2},
+	C_1 + C_2 {\color{applegreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2},
 	\label{lambertw:funkLoes}
 \end{equation}
 für welche die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
@@ -302,7 +304,8 @@ Wenn man die Koeffizienten \eqref{lambertw:eqKoeff1} und \eqref{lambertw:eqKoeff
 \begin{equation}
 	y(x)
 	=
-	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right).
+	\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)
+	\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right).
 	\label{lambertw:eqAllgLoes}
 \end{equation}
 Damit die Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem übersichtlich bleibt, wurden Anfangssteigung \(\eta\) und Anfangsentfernung \(r_0\) wie folgt definiert:
@@ -321,7 +324,7 @@ Nun sind wir soweit, dass wir eine \(y(x)\)-Beziehung für beliebige Anfangswert
 
 \subsection{Funktion nach der Zeit 
 	\label{lambertw:subsection:FunkNachT}}
-In diesem Abschnitt werden algebraischen Umformungen ein wenig detaillierter als zuvor beschrieben. Dies hat auch einen bestimmten Grund: Den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragst du dich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage kurz zu beantworten, es ist ``YouTube's favorite special function'' laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) welche im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde.
+In diesem Abschnitt werden algebraische Umformungen ein wenig detaillierter als zuvor beschrieben. Dies hat auch einen bestimmten Grund: Den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragt man sich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage kurz zu beantworten, es ist ``YouTube's favorite special function'' laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) welche im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde.
 
 \subsubsection{Zeitabhängigkeit wiederherstellen
 	\label{lambertw:subsubsection:ZeitabhWiederherst}}
@@ -342,7 +345,7 @@ Wie in \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} zu sehen ist, werden \(y\) und deren A
 		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\
 		y^\prime
 		&=
-		\frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(y_0-r_0\right)\frac{1}{x}\right).
+		\frac{1}{2}\biggl(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(y_0-r_0\right)\frac{1}{x}\biggr).
 	\end{align}
 \end{subequations}
 
@@ -372,16 +375,19 @@ und anschliessend
 	\label{lambertw:eqMitExp}
 \end{equation}
 erhält.
-Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist. 
+Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur, die benötigt wird, um \(\eta\) mittels der Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist. 
 
-Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren:
+Die erste Sache, die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:1 / (r_0-y_0)\:\) potenzieren:
 \begin{equation}
 	\operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\right)
 	=
 	\eta\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta\right).
 	\label{lambertw:eqOhnePotenz}
 \end{equation}
-Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit der Substitution 
+
+\subsubsection{Eine essenzielle Substitution
+	\label{lambertw:subsubsection:SubstChi}}
+Das nächste Problem, auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen, ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit der Substitution 
 \begin{equation}
 	\chi
 	=
@@ -398,6 +404,9 @@ die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} lief
 	\chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}.
 	\label{lambertw:eqNachSubst}
 \end{equation}
+
+\subsubsection{Funktion nach der Zeit dank Lambert-\(W\)
+	\label{lambertw:subsubsection:LambertWundFvonT}}
 Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir den Ausdruck
 \begin{equation}
 	W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
@@ -417,14 +426,14 @@ Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir di
 		=
 		y(t)
 		&=
-		\frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right).
+		\frac{1}{4}\biggl(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\biggl(\biggl(\frac{x(t)}{x_0}\biggr)^2\biggr)-r_0+3y_0\biggr).
 	\end{align}
 \end{subequations}
 Nun haben wir unser letztes Ziel erreicht und sind in der Lage eine Verfolgung rechnerisch sowie graphisch zu repräsentieren.
 
 \subsubsection{Hinweise zur Lambert-\(W\)-Funktion
 	\label{lambertw:subsubsection:HinwLambertW}}
-Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso, man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird.
+Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird.
 Nun, der Grund dafür ist die Struktur
 \begin{equation}
 	y
diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
index babc06d..d497622 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex
@@ -1,30 +1,40 @@
 %
 % einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
-% Author: Réda Haddouche
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
 \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}}
 \rhead{Einleitung}
-Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischer Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischer Mathematiker Joseph Liouville.
-Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt, welche für die Lösung von gewohnlichen Differentialgleichungen gilt, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
-Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie mit Hilfe einiger Methoden in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln, wie zum Beispiel mit dem Separationsansatz.
+Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville.
+Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen.
+Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen.
 
 \begin{definition}
 	\index{Sturm-Liouville-Gleichung}%
-Angenommen man hat die lineare homogene Differentialgleichung
-\[
+Wenn die lineare homogene Differentialgleichung
+\begin{equation}
 	\frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0
-\]
-und schreibt die Gleichung um in:
+\end{equation}
+als
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation}
 	\frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 
 \end{equation}
-, diese Gleichung wird dann Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
+geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet.
 \end{definition}
+Alle homogene 2. Ordnung lineare gewöhnliche Differentialgleichungen können in die Form der Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} umgeformt werden.
+
+\subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}}
+Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also
+\begin{equation}
+	y(a) = y(b) = 0,
+\end{equation}
+so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung\footnote{Die Dirichlet-Randbedingung oder auch Randbedingung des ersten Typs genannt ist nach dem deutschen Mathematiker Peter Gstav Lejeune Dirichlet benannt. Sie findet Anwendung auf gewöhnliche oder patielle Differentialgleichungen und gibt mit der Bedingung die Werte an, die für die abgeleitete Lösung innerhalb der Domänengrenze gelten.}, und von einer Neumann-Randbedingung\footnote{Die Neumann-Randbedingung oder auch Randbedingung des zweiten Typs genannt, ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Neumann benannt. Sie legt die Werte fest, die eine Lösung entlang der Domänengrenze annehmen muss, wenn eine gewöhnliche oder partielle Differentialgleichung gestellt wird.} spricht man, wenn
+\begin{equation}
+	y'(a) = y'(b) = 0
+\end{equation}
+ergibt.
 
-Alle homogenen, linearen, gewöhnlichen, Differentialgleichungen 2.Ordnung können in die Form der Gleichung~\eqref{eq:sturm-liouville-equation} gebracht werden.
 Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung mit den homogenen Randbedingungen des dritten Typs\footnote{Die Randbedingung des dritten Typs, oder Robin-Randbedingungen (benannt nach dem französischen mathematischen Analytiker und angewandten Mathematiker Victor Gustave Robin), wird genannt, wenn sie einer gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichung auferlegt wird, so sind die Spezifikationen einer Linearkombination der Werte einer Funktion sowie die Werte ihrer Ableitung am Rande des Bereichs}
 \begin{equation}
 \begin{aligned}
@@ -33,33 +43,28 @@ Die Sturm-Liouville-Theorie besagt, dass, wenn man die Sturm-Liouville-Gleichung
 	k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0
 \end{aligned}
 \end{equation}
-kombiniert, wie schon im Kapitel \ref{sub:differentailgleichung} erwähnt, auf dem Intervall (a,b), dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem.
-Wenn von der Funktion $y(x)$ die Werte $x$ des jeweiligen Randes des Definitionsbereiches anzunehmen sind, also
-\[
-	y(a) = y(b) = 0
-\]
-, so spricht man von einer Dirichlet-Randbedingung, und von einer Neumann-Randbedingung spricht man, wenn
-\[
-	y'(a) = y'(b) = 0
-\]
-ist. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung kann mit den zwei Randbedingungen sichergestellt werden.
-Lösungen die nicht Null sind, werden nicht betrachtet und diese zwei Gleichungen (\ref{eq:sturm-liouville-equation} und \ref{eq:randbedingungen}) kombiniert, nennt man Eigenfunktionen.
+kombiniert, dann bekommt man das klassische Sturm-Liouville-Problem.
+
+\subsection{Eigenwertproblem}
+Die Gleichungen \ref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines Eigenwertproblems
 Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \ref{eq:sturm-liouville-equation} alles  konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst;
 der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet.
 Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren.
 Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren.
 Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar
-\[
+\begin{equation}
 	\lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y.
-\]
+\end{equation}
 
 Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y -
 dies gilt für das Intervall (a,b).
 Somit ergibt die Gleichung
-\[
+\begin{equation}
+	\label{eq:skalar-sturm-liouville}
 	\int_{a}^{b} w(x)y_m y_n = 0.
-\]
+\end{equation}
 
+\subsection{Koeffizientenfunktionen}
 Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet.
 Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet.
 Es gibt zwei verschiedene Sturm-Liouville-Probleme: das reguläre Sturm-Liouville-Problem und das singuläre Sturm-Liouville-Problem. 
@@ -77,12 +82,12 @@ Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige
 	Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind:
 	\begin{itemize}
 		\item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein.
-		\item sowie müssen in einem Endlichen Intervall $[ \ a,b] \ $ integrierbar sein.
-		\item $p(x)^{-1}$ und $w(x)$ sind $>0$.
+		\item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein.
+		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$.
 		\item Es gelten die Randbedingungen \ref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis der Eigenfunktionen diese dennoch beschreiben zu können.
+Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu kennen.
 
 
 %
@@ -91,29 +96,29 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, ohne genaue Kenntnis
 
 
 \subsection{Das singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:singuläre_sturm_liouville_problem}}
-Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulären Problems nicht erfüllt sind.
+Von einem singulären Sturm-Liouville-Problem spricht man, wenn die Bedingungen des regulärem Problem nicht erfüllt sind.
 \begin{definition}
 	\label{def:singulär_sturm-liouville-problem}
 	\index{singuläres Sturm-Liouville-Problem}
-Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem,
+Es handelt sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem, wenn:
 	\begin{itemize}
 		\item wenn sein Definitionsbereich auf dem Intervall $[ \ a,b] \ $ unbeschränkt ist oder
 		\item wenn die Koeffizienten an den Randpunkten Singularitäten haben.
 	\end{itemize}
 \end{definition}
-Allerdings kann auch nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+Allerdings kann nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es sich bereits um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
 
 \begin{beispiel}
 	Das Randwertproblem
-	\[
+	\begin{equation}
 		\begin{aligned}
 		x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\
 		y(a) &= 0
 		\end{aligned}
-	\]
+	\end{equation}
 	ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
-	Weil wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form bringt, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
-	Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
+	Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$.
+	Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel \ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme:
 	\begin{itemize}
 		\item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist.
 		\item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist.
@@ -121,7 +126,11 @@ Allerdings kann auch nur eine der Bedingungen nicht erfüllt sein, so dass es si
 	\end{itemize}
 \end{beispiel}
 
-Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung fundierte Ergebnisse hat.
-Es ist schwierig, bestehende Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z.B. in der Lösungsfunktion liegen.
-Das Spektrum besteht im singulärem Problem nicht mehr nur aus Eigenwerten, sondern kann auch einen stetigen Anteil enthalten.
-Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin eine verallgemeinerte Eigenfunktionen.
+Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung eindeutige Ergebnisse hat.
+Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der Lösungsfunktion liegen.
+Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen.
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
index e86e742..3817dc0 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -1,60 +1,82 @@
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 % tschebyscheff_beispiel.tex
-% Author: Réda Haddouche
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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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-\subsection{Tschebyscheff-Polynome\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
-Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen die man braucht schon aufgelistet, und zwar mit
+\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}}
+\subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit
 \begin{align*}
 	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
 	p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\
-	q(x) &= 0.
-\end{align*}
+	q(x) &= 0
+\end{align*}.
 Da die Sturm-Liouville-Gleichung
 \begin{equation}
 	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
-	\frac{d}{dx}\lbrack \sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack 0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \rbrack y = 0 
+	\frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 
 \end{equation}
 nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
-Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein - und sie sind es auch.
+
+\subsubsection*{regulär oder singulär?}
+Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch.
 Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen
-\[
-	T_n(x) = \cos n (\arccos x).
-\]
+\begin{equation}
+	T_n(x) = \cos n (\arccos x)
+\end{equation}.
 Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus:
-\[
+\begin{equation}
 	T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\
-		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.,
-\]
+		(-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right.
+\end{equation},
 jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt.
-Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)^{-1}$ und $w(x)>0$ sein müssen.
+Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen.
 Die Funktion
 \begin{equation*}
 	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
 \end{equation*}
-ist die gleiche wie $w(x)$.
+ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
 
+\subsubsection*{Randwertproblem}
 Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
 Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt.
 Beim einsetzen in die Randbedingung \ref{eq:randbedingungen}, erhält man
-\[
+\begin{equation}
 \begin{aligned}
-	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0 \\
+	k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0
 	k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0.
 \end{aligned} 
-\]
-Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
+\end{equation}
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \label{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
 Es gibt zwei Arten von Tschebyscheff Polynome: die erste Art $T_n(x)$ und die zweite Art $U_n(x)$.
 Jedoch beachtet man in diesem Kapitel nur die Tschebyscheff Polynome erster Art (\ref{eq:tschebyscheff-polynome}).
 Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$.
 Somit erhält man
-\[
+\begin{equation}
 	\begin{aligned}
 	k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\
 	k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0.
 \end{aligned}
-\]
-Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
-Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auch die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
+\end{equation}
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
+Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind.
+
+\begin{beispiel}
+	Die Gleichung \ref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt
+	\[
+	\int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0.
+	\]
+\end{beispiel}
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