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 %
 \section{Potenzreihen
 \label{buch:potenzen:section:potenzreihen}}
+Nach dem Satz von Weierstrass können
+Polynome beliebige stetige Funktionen approximieren.
+Die Ableitungen werden dabei meistens nicht gut wiedergegeben.
+Die Partialsummen einer Potenzreihe sind ebenfalls Polynome,
+die aber nicht nur die Funktion sondern auch alle ihre Ableitungen
+gut approximieren.
 
+%
+% Definition
+%
 \subsection{Definition
 \label{buch:potenzen:potenzreihen:section:definition}}
+Eine Folge von Polynomen, deren Terme niedrigen Grades sich nicht
+mehr ändern, bei der also immer nur neue Terme höheren Grades
+hinzukommen, heisst eine Potenzreihe.
 
-\subsection{Konvergenzkriterien
-\label{buch:potenzen:potenzreihen:section:konvergenzkriterien}}
+\begin{definition}
+\label{buch:polynome:def:potenzreihe}
+\index{Potenzreihe}%
+Eine {\em Potenzreihe} an der Stelle $z_0$ ist eine unendliche Reihe
+der Form
+\[
+f(z)
+=
+\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k
+\]
+mit Koeffizienten $a_k\in \mathbb{R}$ oder $a_k\in\mathbb{C}$.
+\end{definition}
+
+Die Berechnung einer Potenzreihe ist möglich, wenn die Terme höheren
+Grades an Bedeutung verlieren.
+
+\begin{definition}
+\index{Partialsumme}%
+\index{konvergent, Potenzreihe}%
+Eine Potenzreihe heisst {\em konvergent}, die Folge der {\em Partialsummen}
+\[
+s_n = \sum_{k=0}^n a_k(z-z_0)^k
+\]
+konvergiert.
+Sie heisst absolut konvergent, wenn die Reihe
+\[
+\sum_{k=0}^\infty |a_k (z-z_0)^k|
+\]
+konvergiert.
+\end{definition}
 
+Die Koeffizienten $a_k$ dürfen also nicht schnell anwachsen
+werden, denn normalerweise wird bei Polynomen das Verhalten von den
+Termen höheren Grades dominiert.
+Die Tschebyscheff-Polynome waren ja so konstruiert worden, dass
+es nicht zu unzweckmässig starken Oszillationen im Intervall $(-1,1)$
+kommt.
+
+%
+% Geometrische Reihe
+%
 \subsection{Die geometrische Reihe
 \label{buch:potenzen:potenzreihen:section:geometrische}}
+Die wohl einfachste Potenzreihe ist die Reihe mit Koeffizienten
+$a_k=a$ für alle $k$, also
+\[
+f(z)
+=
+\sum_{k=0}^\infty az^k
+=
+a+az+az^2+az^3+az^4+\dots
+\]
+Sie ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass aufeinanderfolgende
+Reiheglieder den konstanten Quotienten $z$ haben.
+Diese Idee wird
+in Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
+auf Quotienten verallgemeinert, die rationale Funktionen sind.
+Sie heissen hypergeometrische Funktionen.
+\index{hypergeometrische Funktion}%
+
+Sie ist konvergent für $|z|<1$ und divergent für $|z|\ge 1$.
+Sie heisst die {\em geometrische Reihe}.
+Sie wird gerne als ``Vergleichsreihe'' eingesetzt um die
+Konvergenz oder Divergenz anderer Reihen nachzuweisen.
+
+Die geometrische Reihe lässt sich direkt summieren.
+Dazu betrachtet man die Differenz der Partialsumme $s_n$ und $zs_n$:
+\[
+\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
+\begin{array}{rcrcrcrcrcrcrl}
+ s_n    &=& a&+&az&+&az^2&+&\dots&+&az^n& &        &\multirow{2}{*}{\hspace{3pt}$\biggl\}\mathstrut-\mathstrut$}\\
+z\phantom{)}s_n    &=&  & &az&+&az^2&+&\dots&+&az^n&+&az^{n+1\phantom{.}}&\\
+\hline
+(1-z)s_n&=& a& &  & &    & &     & &    &-&az^{n+1}.&
+\end{array}
+\]
+Durch Auflösen nach $s_n$ erhält man die Summenformel
+\[
+s_n = a\frac{1-z^{n+1}}{1-z}.
+\]
+Für $|z|<1$ geht $z^n\to 0$ für $n\to\infty$, die Partialsummen
+konvergieren und wir erhalten das Resultat des folgenden Satzes.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:polynome:satz:geometrischereihe}
+Die geometrische Reihe $a+az+az^2+\dots$ konvergiert für $|z|<1$ und hat
+die Summe
+\[
+\sum_{k=0}^\infty az^k = \frac{a}{1-z}.
+\]
+Für $|z|\ge 1$ divergiert die geometrische Reihe.
+\end{satz}
+
+%
+% Konvergenzkriterien
+%
+\subsection{Konvergenzkriterien
+\label{buch:potenzen:potenzreihen:section:konvergenzkriterien}}
+Die Konvergenz von Reihen ist oft durch Vergleich mit anderen, bereits
+als konvergent erkannten Reihen nachweisbar.
+Dies ist der Inhalt des folgenden, wohlbekannten Majorantenkriteriums.
+
+\begin{satz}[Majorantenkriterium]
+\label{buch:polynome:satz:majorantenkriterium}
+\index{Majorantenkriterium}
+Seien $a_k$ und $b_k$ die Glieder zweier unendlicher Reihen.
+Es sei zudem $b_k\ge 0$ für alle $k$ und die Reihe
+$\sum_{k=0}^\infty b_k$ sei konvergent.
+Wenn $|a_k|\ge b_k$ ist für fast alle $k$, dann ist die Reihe
+\(
+\sum_{k=}^\infty a_k
+\)
+absolut konvergent.
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Quotienten- und Wurzelkriterium}
+Der Satz~\ref{buch:polynome:satz:geometrischereihe} ermöglicht,
+Potenzreihen mit der geometrischen Reihe zu vergleichen und
+liefert damit einfach anzuwende Kriterien für die Konvergenz.
+
+\begin{satz}[Quotientenkriterium]
+\label{buch:polynome:satz:quotientenkriterium}
+\index{Quotientenkriterium}%
+Eine Reihe 
+\(
+\sum_{k=0}^\infty  a_k
+\)
+ist absolut konvergent, wenn es eine Zahl $q<1$ gibt derart, dass
+\begin{equation}
+\biggl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\biggr|\le q.
+\label{buch:polynome:eqn:quotienten-kriterium}
+\end{equation}
+Die Reihe ist divergent, wenn für fast alle $k$
+\[
+\biggl|\frac{a_{k+1}}{a_k}\biggr| \ge 1
+\]
+gilt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wenn \eqref{buch:polynome:eqn:quotienten-kriterium} erfüllt ist, dann
+gilt
+\[
+|a_k| \le |a_0| q^k
+\]
+und damit ist die Reihe majorisiert durch die geometrische Reihe 
+\[
+\sum_{k=0}^\infty
+|a_0|q^k,
+\]
+die unter der gegebenen Voraussetzung konvergiert.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Wurzelkriterium]
+\label{buch:polynome:satz:wurzelkriterium}
+\index{Wurzelkriterium}
+Falls
+\begin{equation}
+\limsup_{n\to\infty} \root{n}\of{|a_n|} = C < 1
+\label{buch:polynome:eqn:wurzel-kriterium}
+\end{equation}
+ist die Reihe
+\(
+\sum_{k=0}^\infty a_k
+\)
+absolut konvergent.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Falls $\root{k}\of{|a_k|}\le q<1$, dann gilt
+$|a_k|<q^k$ für alle $k$.
+Somit wird die Reihe majorisiert durch die geometrische Reihe
+mit Quotient $q$ und ist damit konvergent.
+
+Das Kriterium \eqref{buch:polynome:eqn:wurzel-kriterium} bedeutet,
+dass es zu einem gegebenen $\varepsilon > 0$ ein $N$ gibt derart,
+dass $\root{n}\of{|a_k|} < C+\varepsilon$ für $n>N$.  
+Wählt man $\varepsilon = (1-C)/2$ wird $q=C+\varepsilon=(1+C)/2<1$,
+das Reststück der Reihe ab Index $N$ ist daher wieder majorisiert
+durch eine konvergente geometrische Reihe.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Konvergenzradius}
+Das Quotienten- und das Wurzel-Kriterium ist auf beliebige Reihen
+anwendbar, es berücksichtigt nicht, dass in einer Potenzreihe
+die Faktoren $(z-z_0)^k$ für kleine $|z-z_0|$ das Kleiner werden
+der Reihenglieder und damit die Konvergenz begünstigen.
+Diese Eigenschaft wird vom Konvergenzradius eingefangen, der wie
+folgt definiert ist.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:polynome:definition:konvergenzradius}
+\index{Konvergenzradius}%
+Der {\em Konvergenzradius} einer Potenzreihe $\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k$
+um den Punkt $z_0$ ist 
+\[
+\varrho = \sup \biggl\{ |z-z_0|\;\bigg|\;
+\text{$\displaystyle\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k$ konvergiert}
+\biggr\}.
+\]
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+\label{buch:polynome:satz:konvergenzradius}
+Der Konvergenzradius $\varrho$ einer Potenzreihe
+$\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k$ ist
+\begin{equation}
+\frac{1}{\varrho}
+=
+\limsup_{k\to\infty} \root{n}\of{|a_k|}.
+\label{buch:polynome:eqn:konvergenzradius}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wir wenden das Wurzelkriterium auf ein $z$ mit $|z-z_0|<\varrho$ an.
+Es gilt
+\[
+\root{k}\of{|a_k(z-z_0)^k|}
+=
+|z-z_0|\root{k}\of{|a_k|}
+\qquad
+\Rightarrow
+\qquad
+\limsup_{k\to\infty}\root{k}\of{|a_k(z-z_0)^k|}
+=
+|z-z_0| \underbrace{\limsup_{k\to\infty}\root{k}\of{|a_k|}}_{\displaystyle=\frac{1}{\varrho}}
+<
+1.
+\]
+Nach dem Wurzelktrierium folgt daher, dass die Reihe
+$\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k$ absolut konvergent ist.
+\end{proof}
+
+\begin{beispiel}
+Der Konvergenzradius der geometrischen Reihe $1+z+z^2+\dots$ ist
+\[
+\frac{1}{\varrho}
+=
+\limsup_{n\to\infty} \root{n}\of{|a_n|}
+=
+\limsup_{n\to\infty} \root{n}\of{1}
+=
+1.
+\]
+Dies deckt sich mit der bereits bekannten Tatsache, dass die 
+geometrische Reihe für $|z|<1$ konvergiert.
+Man beachte auch, dass der Konvergenzradius genau die Entfernung
+vom Entwicklungspunkt $z_0=0$ und dem Pol der Summe $1/(1-z)$ bei
+$z=1$ ist.
+Auf diese allgemeingültige Eigenschaft wird in Abschnitt
+\ref{buch:funktionentheorie:subsection:konvergenzradius}
+eingegangen.
+\end{beispiel}
+
+%
+% Tayler-Reihe
+%
+\subsection{Die Taylor-Reihe
+\label{buch:polynome:subsection:taylor-reihe}}
+Nicht nur der Funktionswert eines Polynoms, sondern auch alle
+seine Ableitungen sind sehr einfach zu berechnen.
+Dies macht Potenzreihen besonders nützlich im Zusammenhang
+mit Lösungen von Differentialgleichungen, wie in Abschnitt
+\ref{buch:differentialgleichungen:section:potenzreihenmethode}
+untersucht werden wird.
+In diesem Abschnitt wird die Taylor-Reihe motiviert, die sich
+aus den Ableitungen einer differenzierbaren Funktion konstruieren
+lässt.
+
+\subsubsection{Ableitung einer Potenzreihe}
+Eine Potenzreihe
+$f(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k$
+kann gliedweise abgeleitet werden.
+Die $k$-te Ableitung ist
+\[
+f^{(k)}(z)
+=
+\sum_{n=0}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1) a_nz^{n-k},
+\]
+aufeinanderfolgende Terme dieser Reihe haben den Quotienten
+\[
+\frac{
+(n+1)n(n-1)\cdots(n-k+2)\phantom{(n-k+1)}
+}{
+\phantom{(n+1)}n(n-1)\cdots(n-k+2)(n-k+1)
+}
+\cdot
+\biggl|
+\frac{a_{n+1}z^{n+1}}{a_nz^n}
+\biggr|
+=
+\frac{n+1}{n-k+1}
+\cdot
+\biggl|
+\frac{a_{n+1}}{a_n}
+\biggr|
+\cdot|z|.
+\]
+Da der Quotient $(n+1)/(n-k+1)\to 1$ für $n\to\infty$, ist das
+Quotientenkriterium für die Ableitung erfüllt, wenn $|z|$ klein genug ist
+und das Kriterium für die Potenzreihe $f(z)$ erfüllt ist.
+
+\subsubsection{Konvergenzradius der abgeleiteten Reihe}
+Der Konvergenzradius $\varrho^{(k)}$ der $k$-fach abgeleiteten Reihe ist
+\begin{align*}
+\root{n}\of{\mathstrut(n+k)(n+k-1)\cdots(n+1) |a_{n+k}|}
+&=
+\root{n}\of{\mathstrut(n+k)(n+k-1)\cdots(n+1)}
+\cdot
+\root{n}\of{|a_{n+k}|}
+\end{align*}
+mit Limes superior
+\begin{align*}
+\frac{1}{\varrho^{(k)}}
+&=
+\limsup_{n\to\infty}
+\root{n}\of{\mathstrut(n+k)(n+k-1)\cdots(n+1) |a_{n+k}|}
+\\
+&=
+\underbrace{
+\lim_{n\to\infty}
+\root{n}\of{\mathstrut(n+k)(n+k-1)\cdots(n+1)}
+}_{\displaystyle\to 1}
+\cdot
+\underbrace{
+\limsup_{n\to\infty}
+\root{n}\of{\mathstrut|a_{n+k}|}
+}_{\displaystyle\to\frac{1}{\varrho}}
+=
+\frac{1}{\varrho},
+\end{align*}
+die abgeleitet Reihe hat also den gleichen Konvergenzradius wie die
+Reihe für $f(z)$.
+
+\subsubsection{Berührung $k$-ten Grades}
+Man sagt, die Graphen zweier Funktionen $f(z)$ und $g(z)$ berühren
+sich im Punkt $z=z_0$ vom Grade $k$, wenn Funktionswerte und
+Ableitungen bis zum Grad $k$ beider Funktionen in $z_0$ übereinstimmen.
+Die Ableitungen der Potenzfunktion $(z-z_0)^n$ sind nacheinander
+\begin{align*}
+\frac{d}{dz}(z-z_0)^n&= n(z-z_0)^{n-1},
+\\
+\frac{d^2}{dz^2}(z-z_0)^n&=n(n-1)(z-z_0)^{n-2},
+\\
+\frac{d^3}{dz^3}(z-z_O)^n&=n(n-1)(n-2)(z-z_0)^{n-3},
+\\
+&\vdots
+\\
+\frac{d^k}{dz^k}(z-z_0)^n&=n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)(z-z_0)^{n-k},
+\\
+&\vdots
+\\
+\frac{d^n}{dz^n}(z-z_0)^n&=n!,
+\\
+\frac{d^l}{dz^l}(z-z_0)^n&=0\qquad\forall l>n.
+\end{align*}
+An der Stelle $z=0$ ist nur genau die $n$-te Ableitung von $0$ verschieden
+und hat den Wert $n!$.
+Zwei Funktionen $f(z)$ und $g(z)$, die als Potenzreihen im Punkt $z_0$
+geschrieben werden, berühren sich also genau dann vom Grad $k$, wenn
+die Funktionswerte und Ableitungen übereinstimmen, d.~h.
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{aligned}
+f(z)&=\sum_{l=0}^\infty a_l(z-z_0)^l \\
+g(z)&=\sum_{l=0}^\infty b_l(z-z_0)^l 
+\end{aligned}
+\right\}
+\quad\Rightarrow\quad
+f^{(l)}(z_0) = g^{(l)}(z_0)
+\quad\Rightarrow\quad
+l!a_l = l!b_l
+\quad\Rightarrow\quad
+a_l=b_l
+\end{equation}
+für $l\le k$.
+Das Taylor-Polynom ist ein Polynom, welches die gegeben Funktion
+von hohem Grad berührt.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:polynome:definition:taylor-reihe}
+\index{Taylor-Polynom}%
+Sie $f(z)$ eine beliebig oft stetig differenzierbare Funktion.
+Das {\em Taylor-Polynome} vom Grad $n$ von $f(z)$ an der Stelle
+$z_0$ ist die Summe
+\begin{equation}
+\mathscr{T}_{z_0}^nf (z)
+=
+\sum_{k=0}^n
+\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} (z-z_0)^k
+\label{buch:polynome:eqn:taylor-polynom}
+\end{equation}
+\index{Taylor-Reihe}
+Die {\em Taylor-Reihe} der Funktion $f(z)$ ist die Reihe
+\begin{equation}
+\mathscr{T}_{z_0}f (z)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!} (z-z_0)^k.
+\label{buch:polynome:eqn:taylor-reihe}
+\end{equation}
+\end{definition}
+
+
+\subsubsection{Analytische Funktionen}
+Das Taylor-Polynom $\mathscr{T}_{z_0}^nf(z)$ hat an der Stelle $z_0$
+die gleichen Funktionswerte und Ableitungen wie die Funktion $f(z)$,
+dies bedeutet aber nicht, dass die Taylorreihe gegen die Funktion 
+konvergiert.
+Das Beispiel auf
+Seite~\pageref{buch:funktionentheorie:beispiel:nichtanalytisch}
+zeigt, dass dies nicht immer zutrifft.
+Von besonderem Interesse sind die Funktionen, die sich durch eine
+konvergente Taylor-Reihe ausdrücken lassen.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:polynome:def:analytisch}
+\index{analytisch}%
+Eine Funktion heisst analytisch, wenn sie sich durch eine
+konvergente Potenzreihe darstellen lässt.
+\end{definition}
+
+Die Klasse der analytischen Funktionen umfasst also nicht alle 
+differenzierbaren Funktionen.
+Da aber Potenzreihen Gleidweise differenziert und integriert werden
+dürfen, können die meisten Konstruktionen der Analysis bis hin zur
+Lösung partieller Differentialgleichungen innerhalb der analytischen
+Funktionen durchgeführt werden.
+Es ist daher nicht überraschend, dass alle in diesem Buch studierten
+speziellen Funktionen analytisch sind.
+
+