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author | Andreas Müller <andreas.mueller@othello.ch> | 2021-12-28 13:30:05 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@othello.ch> | 2021-12-28 13:30:05 +0100 |
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new problem for asin(2)
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-rw-r--r-- | buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex | 60 |
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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex new file mode 100644 index 0000000..7fedb46 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/2.tex @@ -0,0 +1,60 @@ +Finden Sie $x$ so, dass $\sin x = 2$. + +\begin{loesung} +Es ist klar, dass die Lösung nicht reell sein kann, da reelle +Argumente immer nur Sinus-Werte zwischen $-1$ und $1$ ergeben kann. +Die Darstellung der Sinus-Funktion als Linearkombination von +Exponentialfunktionen ergibt +\[ +\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = 2. +\] +Wir schreiben $y=e^{ix}$ und multiplizieren die Gleichung mit $y$, +so entsteht die quadratische Gleichung +\[ +y^2-4iy-1=0 +\] +mit den Lösungen +\[ +y_{\pm} += +2i\pm \sqrt{-4+1} += +2i\pm \sqrt{-3} += +(2\pm \sqrt{3})i += +(2\pm\sqrt{3})e^{\frac{i\pi}2}. +\] +Davon muss jetzt der Logarithmus bestimmt werden. +Der Realteil des Logarithmus ist der Betrag von $y_\pm$: +\begin{align*} +|y_\pm| &= 2\pm \sqrt{3} +\\ +\operatorname{arg} y_\pm &= \frac{\pi}2. +\end{align*} +Daraus bekommt man +\[ +x_\pm += +\frac{1}{i} +\log y_\pm += +\frac{1}{i} +( +\log |y_\pm| ++ +i\arg y_\pm +) += +\frac{\pi}2 +-i +\log(2\pm\sqrt{3}) +\approx +\begin{cases} +1.5707963 - 1.3169579i\\ +1.5707963 + 1.3169579i +\end{cases} +\] +Weitere Lösungen erhält man natürlich durch Addition von ganzzahligen +Vielfachen von $2\pi$. +\end{loesung} |