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diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
index 0bf775f..d4940dc 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/Makefile.inc
@@ -4,7 +4,7 @@
 # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
 
-CHAPTERFILES = $(CHAPTERFILES)						\
+CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex			\
 	chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex				\
 	chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex				\
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
index f3f1d39..24fc089 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/chapter.tex
@@ -32,6 +32,7 @@ der Strahlensatz muss durch den Satz von Menelaos ersetzt werden.
 Es ergibt sich eine Methode, beliebige Dreiecke auf einer Kugeloberfläche
 ganz analog zum Vorgehen bei ebenen Dreiecken zu berechnen.
 Diese sphärische Trigonometrie ist die Basis der Navigation
+(siehe Kapitel~\ref{chapter:nav})
 und aller astrometrischer Berechnungen.
 
 Die Analysis hat die Möglichkeit geschaffen, die Länge von Kurven
@@ -42,7 +43,7 @@ wie die Berechnung der Länge von Ellipsen- oder Hyperbelbögen auf
 die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren.
 
 \input{chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex}
-\input{chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex}
+%\input{chapters/030-geometrie/sphaerisch.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/laenge.tex}
 \input{chapters/030-geometrie/flaeche.tex}
@@ -54,5 +55,6 @@ die Notwendigkeit führt, neue spezielle Funktionen zu definieren.
 %\uebungsaufgabe{0}
 \uebungsaufgabe{1}
 \uebungsaufgabe{2}
+\uebungsaufgabe{3}
 \end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex
index 72c2cb4..2938316 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/hyperbolisch.tex
@@ -355,6 +355,7 @@ heissen der {\em hyperbolische Tangens} und der {\em hyperbolische Kotangens}.
 \end{definition}
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!hyperbolische Gruppe}%
 \label{buch:geometrie:hyperbolisch:Hparametrisierung}
 Die orientierungserhaltenden $2\times 2$-Matrizen, die das
 Minkowski-Skalarprodukt invariant lassen und die Zeitrichtung
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf
index 0b514eb..d708377 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.pdf
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex
index c38dc19..a194190 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/images/einheitskreis.tex
@@ -41,6 +41,7 @@
 \fill[color=blue] (\a:\r) circle[radius=0.05];
 
 \draw[color=blue,line width=1.4pt] (\r,0) -- (\r,{\r*tan(\a)});
+\fill[color=blue] (\r,{\r*tan(\a)}) circle[radius=1.0pt];
 \node[color=blue] at (\r,{0.5*\r*tan(\a)}) [right] {$\tan\alpha$};
 
 \draw[color=blue,line width=0.4pt] ({\r*cos(\a)},0) -- (\a:\r);
@@ -53,6 +54,7 @@
 \draw[color=blue] (-0.1,{\r*sin(\a)}) -- (0.1,{\r*sin(\a)});
 
 \draw[color=blue,line width=1.4pt] (0,\r) -- ({\r/tan(\a)},\r);
+\fill[color=blue] ({\r/tan(\a)},\r) circle[radius=1.0pt];
 \node[color=blue] at ({0.5*\r/tan(\a)},\r) [above] {$\cot\alpha$};
 
 \draw[color=darkgreen,line width=1pt] (0,0) -- (\b:\r);
@@ -61,9 +63,11 @@
 \fill[color=darkgreen] (\b:\r) circle[radius=0.05];
 
 \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (0,\r) -- ({\r/tan(\b)},\r);
+\fill[color=darkgreen] ({\r/tan(\b)},\r) circle[radius=1.0pt];
 \node[color=darkgreen] at ({0.5*\r/tan(\b)},\r) [above] {$\cot\beta$};
 
 \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] (\r,0) -- (\r,{\r*tan(\b)});
+\fill[color=darkgreen] (\r,{\r*tan(\b)}) circle[radius=1.0pt];
 \node[color=darkgreen] at (\r,{0.5*\r*tan(\b)}) [right] {$\tan\beta$};
 
 \draw[color=darkgreen,line width=0.4pt] (\b:\r) -- (0,{\r*sin(\b)});
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex
index dc1f46a..643c8f2 100644
--- a/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/trigonometrisch.tex
@@ -167,11 +167,11 @@ und umgekehrt:
 \[
 \sin\alpha
 =
-\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut}
+\sqrt{1-{\cos\mathstrut\!}^2\,\alpha\mathstrut}
 \qquad\text{und}\qquad
 \cos\alpha
 =
-\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}
+\sqrt{1-{\sin\mathstrut\!}^2\,\alpha\mathstrut}
 \]
 Da sich alle Funktionen durch $\cos\alpha$ und $\sin\alpha$ ausdrücken
 lassen, können alle auch nur durch eine ausgedrückt werden.
@@ -197,7 +197,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist.
 			&\displaystyle\frac{\sqrt{\csc^2\alpha-1}}{\csc\alpha}
 \\
 \cos\alpha
-	&\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}
+	&\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut}
 	&\cos\alpha
 		&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}
 		&\displaystyle\frac{\cot\alpha}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}
@@ -205,7 +205,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist.
 			&\displaystyle\frac{1}{\csc\alpha}
 \\
 \tan\alpha
-	&\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}}
+	&\displaystyle\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut}}
 	&\displaystyle\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut}}{\cos\alpha}
 		&\tan\alpha
 		&\displaystyle\frac{1}{\cot\alpha}
@@ -213,7 +213,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist.
 			&\displaystyle\sqrt{\csc^2\alpha-1}
 \\
 \cot\alpha
-	&\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}}{\sin\alpha}
+	&\displaystyle\frac{\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut}}{\sin\alpha}
 	&\displaystyle\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha\mathstrut}}
 		&\displaystyle\frac{1}{\tan\alpha}
 		&\cot\alpha
@@ -229,7 +229,7 @@ Tabelle~\ref{buch:geometrie:tab:trigo} zusammengestellt ist.
 			&\displaystyle\frac{\csc\alpha}{\sqrt{\csc^2\alpha-1}}
 \\
 \csc\alpha
-	&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha\mathstrut}}
+	&\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\sin{\!}^2\,\alpha\mathstrut}}
 	&\displaystyle\frac{1}{\cos\alpha}
 		&\displaystyle\sqrt{1+\tan^2\alpha}
 		&\displaystyle\frac{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}{\cot\alpha}
@@ -394,6 +394,7 @@ D_{\alpha}D_{\beta}
 Aus dem Vergleich der beiden Matrizen liest man die Additionstheoreme.
 
 \begin{satz}
+\index{Satz!Drehmatrizen}%
 Für $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ gilt
 \begin{align*}
 \sin(\alpha\pm\beta)
diff --git a/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex
new file mode 100644
index 0000000..6a501fb
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/030-geometrie/uebungsaufgaben/3.tex
@@ -0,0 +1,169 @@
+\def\cas{\operatorname{cas}}
+Die Funktion $\cas$ definiert durch
+$\cas x = \cos x + \sin x$ hat einige interessante Eigenschaften.
+Wie die gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen $\sin x$ und $\cos x$
+ist $\cas x$ $2\pi$-periodisch.
+Die Ableitung und das Additionstheorem benötigen bei den gewöhnlichen
+trigonometrischen Funktionen aber beide Funktionen, im Gegensatz zu den
+im folgenden hergeleiteten Formeln, die nur die Funktion $\cas x$ brauchen.
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Drücken Sie die Ableitung von $\cas x$  allein durch Werte der
+$\cas$-Funktion aus.
+\item
+Zeigen Sie, dass 
+\[
+\cas x
+=
+\sqrt{2} \sin\biggl(x+\frac{\pi}4\biggr)
+=
+\sqrt{2} \cos\biggl(x-\frac{\pi}4\biggr).
+\]
+\item
+Beweisen Sie das Additionstheorem für die $\cas$-Funktion
+\begin{equation}
+\cas(x+y)
+=
+\frac12\bigl(
+\cas(x)\cas(y) + \cas x\cas (-y) + \cas(-x)\cas(y) -\cas(-x)\cas(-y)
+\bigr)
+\label{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition}
+\end{equation}
+\end{teilaufgaben}
+Youtuber Dr Barker hat die Funktion $\cas$ im Video
+{\small\url{https://www.youtube.com/watch?v=bn38o3u0lDc}} vorgestellt.
+
+\begin{loesung}
+\begin{teilaufgaben}
+\item
+Die Ableitung ist
+\[
+\frac{d}{dx}\cas x
+=
+\frac{d}{dx}(\cos x + \sin x)
+=
+-\sin x + \cos x
+=
+\sin(-x) + \cos(-x)
+=
+\cas(x).
+\]
+\item
+Die Additionstheoreme angewendet auf die trigonometrischen Funktionen
+auf der rechten Seite ergibt
+\begin{align*}
+\sin\biggl(x+\frac{\pi}4\biggr)
+&=
+\sin x \cos\frac{\pi}4  + \cos x \sin\frac{\pi}4
+&&&
+\cos\biggl(x-\frac{\pi}4\biggr)
+&=
+\cos(x)\cos\frac{\pi}4 -\sin x \sin\biggl(-\frac{\pi}4\biggr)
+\\
+&=
+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x
++
+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x
+&&&
+&=
+\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x
++
+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x
+\\
+&=\frac{1}{\sqrt{2}} \cas x
+&&&
+&=
+\frac{1}{\sqrt{2}} \cas x.
+\end{align*}
+Multiplikation mit $\sqrt{2}$ ergibt die behaupteten Relationen.
+\item
+Substituiert man die Definition von $\cas(x)$ auf der rechten Seite von
+\eqref{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition} und multipliziert aus,
+erhält man
+\begin{align*}
+\eqref{buch:geometrie:uebung3:eqn:addition}
+&=
+{\textstyle\frac12}\bigl(
+(\cos x + \sin x)
+(\cos y + \sin y)
++
+(\cos x + \sin x)
+(\cos y - \sin y)
+\\
+&\qquad
++
+(\cos x - \sin x)
+(\cos y + \sin y)
+-
+(\cos x - \sin x)
+(\cos y - \sin y)
+\bigr)
+\\
+&=
+\phantom{-\mathstrut}
+{\textstyle\frac12}\bigl(
+\cos x\cos y
++
+\cos x\sin y
++
+\sin x\cos y
++
+\sin x\sin y
+\\
+&
+\phantom{=-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl(}\llap{$\mathstrut +\mathstrut$}
+\cos x\cos y
+-
+\cos x\sin y
++
+\sin x\cos y
+-
+\sin x\sin y
+\\
+&
+\phantom{=-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl(}\llap{$\mathstrut +\mathstrut$}
+\cos x\cos y
++
+\cos x\sin y
+-
+\sin x\cos y
+-
+\sin x\sin y
+\bigr)
+\\
+&
+\phantom{=}
+-\mathstrut{\textstyle\frac12}\bigl(
+\cos x\cos y
+-
+\cos x\sin y
+-
+\sin x\cos y
++
+\sin x\sin y
+\bigr)
+\\
+&= \cos x \cos y
++
+\cos x \sin y
++
+\sin x \cos y
+-
+\sin x \sin y.
+\intertext{Die äussersten zwei Terme passen zum Additionstheorem für den
+Kosinus, die beiden inneren Terme dagegen zum Sinus.
+Fasst man sie zusammen, erhält man}
+&=
+(\sin x\cos y + \cos x \sin y)
++
+(\cos x\cos y - \sin x \sin y)
+\\
+&=
+\sin (x+y) + \cos(x+y)
+=
+\cas(x+y).
+\end{align*}
+Damit ist das Additionstheorem für die Funktion $\cas$ bewiesen.
+\qedhere
+\end{teilaufgaben}
+\end{loesung}