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path: root/buch/chapters/040-rekursion
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@othello.ch>2021-12-27 20:34:52 +0100
committerAndreas Müller <andreas.mueller@othello.ch>2021-12-27 20:34:52 +0100
commitb061e8140748608327055591a6c9e8a9722274a2 (patch)
tree6e47719c8a1481934480d1ca94526d826d3bf876 /buch/chapters/040-rekursion
parentlineare differenzengleichungen, beta, integral-gamma (diff)
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SeminarSpezielleFunktionen-b061e8140748608327055591a6c9e8a9722274a2.zip
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Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex172
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/linear.tex4
2 files changed, 88 insertions, 88 deletions
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
index 4d4fb0d..5d84720 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -825,92 +825,92 @@ Term, der in der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_nF_m$
vorkommt, aber nicht in der
Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}.
-\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion
-$\mathstrut_2F_1$}
-Das Integral
-\[
-f(x)
-=
-\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt
-\]
-kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden.
-Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden
-Faktor als
-\[
-(1-xt)^{-a}
-=
-\sum_{k=0}^\infty
-\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k
-\]
-zu schreiben.
-Setzt man dies ins Integral ein, erhält man
-\[
-f(x)
-=
-\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
-\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt
-=
-\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
-\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt.
-\]
-Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe
-der Gamma-Funktion geschrieben werden.
-Es gilt
-\[
-B(k+b,c-b)
-=
-\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}.
-\]
-Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man
-\begin{align*}
-\Gamma(u+k)
-&=
-\Gamma(u+k-1) (u+k-1)
-=
-\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1)
-\\
-&=
-\ldots
-\\
-&=
-\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1)
-\end{align*}
-schreiben, womit das Integral zu
-\begin{align*}
-f(x)
-&=
-\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
-\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}
-=
-\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
-\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k}
-\\
-&=
-\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}
-\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k
-=
-\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x)
-\end{align*}
-vereinfacht werden kann.
-Damit ist das Integral bestimmt.
-Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man
-die folgende Integraldarstellung.
-
-\begin{satz}
-Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die
-Integraldarstellung
-\[
-\mathstrut_2F_1\biggl(
-\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x
-\biggr)
-=
-\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}
-\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt.
-\]
-\end{satz}
-
-TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für
-hypergeometrische Funktionen.
+%\subsection{Integraldarstellung der hypergeometrischen Funktion
+%$\mathstrut_2F_1$}
+%Das Integral
+%\[
+%f(x)
+%=
+%\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} (1-xt)^{-a}\,dt
+%\]
+%kann im allgemeinen nicht in geschlossener Form evaluiert werden.
+%Die Newtonsche binomische Reihe ermöglicht, den $x$ enthaltenden
+%Faktor als
+%\[
+%(1-xt)^{-a}
+%=
+%\sum_{k=0}^\infty
+%\frac{(a)_k}{k!} x^k t^k
+%\]
+%zu schreiben.
+%Setzt man dies ins Integral ein, erhält man
+%\[
+%f(x)
+%=
+%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
+%\int_0^1 t^{b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt
+%=
+%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
+%\int_0^1 t^{k+b-1} (1-t)^{c-b-1} t^k\,dt.
+%\]
+%Das Integral ist die Beta-Funktion $B(k+b,c-b)$ und kann daher mit Hilfe
+%der Gamma-Funktion geschrieben werden.
+%Es gilt
+%\[
+%B(k+b,c-b)
+%=
+%\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}.
+%\]
+%Mit Hilfe der Funktionalgleichung der Gamma-Funktion kann man
+%\begin{align*}
+%\Gamma(u+k)
+%&=
+%\Gamma(u+k-1) (u+k-1)
+%=
+%\Gamma(u+k-2) (u+k-2)(u+k-1)
+%\\
+%&=
+%\ldots
+%\\
+%&=
+%\Gamma(u) u(u+1)\cdots(u+k-2)(u+k-1)
+%\end{align*}
+%schreiben, womit das Integral zu
+%\begin{align*}
+%f(x)
+%&=
+%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
+%\frac{\Gamma(k+b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+k)}
+%=
+%\sum_{k=0}^\infty \frac{(a)_k}{k!} x^k
+%\frac{\Gamma(b)(b)_k\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)(c)_k}
+%\\
+%&=
+%\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}
+%\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k(b)_k}{(c)_k} x^k
+%=
+%\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\,\mathstrut_2F_1(a,b;c;x)
+%\end{align*}
+%vereinfacht werden kann.
+%Damit ist das Integral bestimmt.
+%Durch Auflösung nach der hypergeometrischen Funktion bekommt man
+%die folgende Integraldarstellung.
+%
+%\begin{satz}
+%Die hypergeometrische Funktion $\mathstrut_2F_1$ hat die
+%Integraldarstellung
+%\[
+%\mathstrut_2F_1\biggl(
+%\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};x
+%\biggr)
+%=
+%\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}
+%\int_0^1 t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a}\,dt.
+%\]
+%\end{satz}
+%
+%TODO: Dies ist ein Spezialfall der Eulerschen Integraltransformation für
+%hypergeometrische Funktionen.
\subsection{TODO}
\begin{itemize}
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex
index 2c05d60..a3ff0c2 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/linear.tex
@@ -53,7 +53,7 @@ ebenfalls Lösungen.
Ausserdem ist $e^{2k\pi i}F(z)$ eine Lösung der Differenzengleichung,
es gibt also unendlich viele linear unabhängige Lösungen.
-\subsection{Lösung mit Potenzfunktionen}
+\subsection{Lösung mit Exponentialfunktionen}
Gesucht ist eine ganze Funktion, also eine Funktion
$F\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die Lösung einer
Differenzengleichung
@@ -111,7 +111,7 @@ Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms
\lambda_\pm = \begin{cases}
\displaystyle
\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi
-\\[3pt]
+\\[8pt]
\displaystyle
\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{1}{\varphi},
\end{cases}