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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-12-04 19:57:55 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-12-04 19:57:55 +0100 |
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex index a6881ab..d648cbb 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/chapter.tex @@ -13,11 +13,11 @@ \input{chapters/040-rekursion/linear.tex} \input{chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex} -%\section*{Übungsaufgaben} -%\rhead{Übungsaufgaben} -%\aufgabetoplevel{chapters/020-exponential/uebungsaufgaben} -%\begin{uebungsaufgaben} +\section*{Übungsaufgaben} +\rhead{Übungsaufgaben} +\aufgabetoplevel{chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben} +\begin{uebungsaufgaben} %\uebungsaufgabe{0} -%\uebungsaufgabe{1} -%\end{uebungsaufgaben} +\uebungsaufgabe{1} +\end{uebungsaufgaben} diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex index ac07789..8c46202 100644 --- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex +++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex @@ -565,11 +565,14 @@ z^k \mathstrut_1F_2(1;1,\frac{3}{2};z). \] Damit lässt sich die Sinus-Funktion als -\[ +\begin{equation} \sin x = x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}1\\1,\frac32\end{matrix};-x^2\biggr) -\] += +x\,\mathstrut_1F_2\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-x^2\biggr) +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper} +\end{equation} durch eine hypergeometrische Funktion ausdrücken. \subsubsection{Hyperbolische Funktionen} @@ -593,6 +596,11 @@ xf(-x^2) x\,\mathstrut_1F_2\biggl( \begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix} ;x^2 +\biggr) += +x\,\mathstrut_0F_1\biggl( +\begin{matrix}\text{---}\\,\frac{3}{2}\end{matrix} +;x^2 \biggr). \end{align*} Bis auf das Vorzeichen des Arguments der hypergeometrischen Funktion @@ -600,4 +608,220 @@ ist diese Darstellung identisch mit der von $\sin x$. Dies illustriert die Rolle der hypergeometrischen Funktionen als ``grosse Vereinheitlichung'' der bekannten speziellen Funktionen. +% +% Ableitung und Stammfunktion +% +\subsection{Ableitung und Stammfunktion hypergeometrischer Funktionen} +Sowohl Ableitung wie auch Stammfunktion einer hypergeometrischen +Funktion lässt sich immer durch hypergeometrische Reihen ausdrücken. + +\subsubsection{Ableitung} +Wir gehen aus von der Funktion +\begin{equation} +f(x) += +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1,\dots,a_n\\b_1,\dots,b_m\end{matrix}; +x\biggr) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k +} +\frac{x^k}{k!}. +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:f} +\end{equation} +Die Ableitung von $f(x)$ ist +\[ +f'(x) += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k +} +\frac{x^{k-1}}{(k-1)!} += +\sum_{k=1}^\infty +\frac{ +(a_1)_{k+1}\cdot\ldots\cdot(a_n)_{k+1} +}{ +(b_1)_{k+1}\cdot\ldots\cdot(b_m)_{k+1} +} +\frac{x^k}{k!}. +\] +Der Koeffizient besteht zwar aus lauter Pochhammer-Symbolen, aber sie +haben jeweils zu einen Faktor zuviel. +Indem man den jeweils ersten Faktor ausklammert, kann man die +Terme wieder in die Form einer hypergeometrischen Reihe bringen. +\begin{align*} +f'(x) +&= +\sum_{k=1}^\infty +\frac{ +a_1(a_1)_{k}\cdot\ldots\cdot a_n(a_n)_{k} +}{ +b_1(b_1)_{k}\cdot\ldots\cdot b_m(b_m)_{k} +} +\frac{x^k}{k!} +\\ +&= +\sum_{k=1}^\infty +\frac{ +a_1\cdot\ldots\cdot a_n +}{ +b_1\cdot\ldots\cdot b_m +} +\frac{ +(a_1+1)_{k}\cdot\ldots\cdot(a_n+1)_{k} +}{ +(b_1+1)_{k}\cdot\ldots\cdot(b_m+1)_{k} +} +\frac{x^k}{k!} +\\ +&= +\frac{ +a_1\cdot\ldots\cdot a_n +}{ +b_1\cdot\ldots\cdot b_m +} +\, +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix}a_1+1,\dots,a_n+1\\b_1+1,\dots,b_m+1\end{matrix}; +x\biggr). +\end{align*} + +\begin{beispiel} +Die Kosinus-Funktion +\[ +\cos x += +1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} +\] +kann wie folgt als hypergeometrische Funktion geschrieben werden. +Der Nenner hat $2k$ Faktoren, er muss also aus zwei Pochhammer-Symbolen +zusammengesetzt werden. +Dazu muss er erst um den Faktor $2^{2k}$ gekürzt werden, was +\[ +\frac{(2k)!}{2^{2k}} += +\frac12\cdot\frac32\cdot\frac52\cdot\ldots\cdot\frac{2k-1}2 +\cdot +\frac22\cdot\frac42\cdot\frac62\cdot\ldots\cdot\frac{2k}2 += +({\textstyle\frac12})_k\cdot k!. +\] +Damit kann jetzt die Kosinus-Funktion als +\begin{align*} +\cos x +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{2^k}{(2k)!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k += +\sum_{k=0}^\infty +\frac{1}{(\frac12)_k} +\frac{1}{k!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k += +\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) +\end{align*} +geschrieben werden kann. + +Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher +\begin{align*} +\frac{d}{dx} \cos x +&= +\frac{d}{dx} +\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr) += +\frac{1}{\frac12} +\, +\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) +\cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr) += +-x +\, +\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr) +\intertext{Dies stimmt mit der in +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper} +gefundenen Darstellung der Sinusfunktion mit Hilfe der hypergeometrischen +Funktion $\mathstrut_0F_1$ überein, es ist also wie erwartet} +&=-\sin x. +\qedhere +\end{align*} +\end{beispiel} + +\subsubsection{Stammfunktion} +Eine Stammfunktion kann man auf die gleiche Art und Weise wie +die Ableitung finden. +Termweises Integrieren der Funktion +\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:f} +ergibt +\begin{align} +\int f(x)\,dx +&= +\sum_{k=0}^\infty +\frac{ +(a_1)_k\cdot\ldots\cdot(a_n)_k +}{ +(b_1)_k\cdot\ldots\cdot(b_m)_k +} +\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}. +\notag +\intertext{Wieder muss man die Pochhammer-Symbole durch solche mit +einem zusätzlichen Faktor schreiben. +Dies ist möglich, wenn keiner der Parameter $a_i=1$ und $b_j=1$ +ist. +Die Stammfunktion wird daher +} +&= +\sum_{k=1}^\infty +\frac{ +(a_1-1)(a_1)_k +\cdot\ldots\cdot +(a_n-1)(a_n)_k +}{ +(b_1-1)(b_1)_k +\cdot\ldots\cdot +(b_m-1)(b_m)_k +} +\frac{x^k}{k!} +\notag +\\ +&= +\sum_{k=1}^\infty +\frac{ +(a_1-1)_{k+1} +\cdot\ldots\cdot +(a_n-1)_{k+1} +}{ +(b_1-1)_{k+1} +\cdot\ldots\cdot +(b_m-1)_{k+1} +} +\frac{x^k}{k!} +\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe} +\\ +&= +\mathstrut_nF_m\biggl( +\begin{matrix} +a_1-1,\dots,a_n-1\\ +b_1-1,\dots,b_m-1 +\end{matrix} +;x +\biggr) +- +\frac{(a_1-1)\dots(a_n-1)}{(b_1-1)\dots(b_m-1)}. +\notag +\end{align} +Der Term auf der rechten Seite kompensiert den konstanten +Term, der in der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_nF_m$ +vorkommt, aber nicht in der +Summe~\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:stammfunktion:summe}. + diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex new file mode 100644 index 0000000..a28786b --- /dev/null +++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/1.tex @@ -0,0 +1,158 @@ +Schreiben Sie die Funktion +\[ +\arcsin x += +x ++ +\frac{1}{2} \frac{x^3}{5} ++ +\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\frac{x^5}{5} ++ +\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\frac{x^7}{7} ++ +\dots ++ +\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot (2k-1)}{2\cdot4\cdot 6\cdot (2k)} +\frac{x^{2k+1}}{2k+1} ++ +\dots +\] +mit Hilfe der hypergeometrischen Funktion $\mathstrut_2F_1$. + +\begin{loesung} +Zunächst betrachten wir die Produkte +\[ +p_k += +\frac{1\cdot 3\cdot \ldots \cdot (2k-1)}{2\cdot 4\cdot\ldots\cdot (2k)}. +\] +Durch Kürzen mit $2^k$ erhalten wir Produkte im Zähler und im Nenner, deren +Faktoren in Einerschritten ansteigen: +\[ +p_k += +\frac{ +\frac12\cdot +\bigl( +\frac12+1\bigr)\cdot\ldots\cdot\bigl(\frac12+k-1\bigr) +}{ +1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k +} += +\frac{(\frac12)_k}{(1)_k} += +\frac{(\frac12)_k}{k!} +\] +Damit haben wir den ersten Faktor mit Pochhammer-Symbolen geschrieben. +Den Nenner können wir für den obligatorischen Nenner $k!$ verwenden, +der in einer hypergeometrischen Reihe vorkommt. + +Den verbleibenden Teil muss jetzt in der Form $qz^k$ geschrieben werden, +wobei $q$ ein Quotient von Pochhammer-Symbolen sein muss. +Da die Potenzen von $x$ in Zweierschritten ansteigen, müssen wir als +Argument $z=x^2$ verwenden und einen gemeinsamen Faktor $x$ aus der +Funktion ausklammern. + +Im Faktor $1/(2k+1)$ nimmt der Nenner in Zweierschritten zu, wir schreiben +ihn daher zunächst als +\[ +\frac{1}{2k+1} += +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\frac12+k} += +\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac32+k-1}. +\] +Den zweiten Bruch können wir jetzt als Quotiente von Pochhammer-Symbolen +schreiben, nämlich +\begin{align*} +\frac{1}{\frac32+k-1} +&= +\frac{ +\frac32 +\cdot +\bigl(\frac32+1) +\cdot +\bigl(\frac32+2) +\cdots +\bigl(\frac32+k-2) +\phantom{ +\mathstrut +\cdot +\bigl(\frac32+k-1) +} +}{ +\frac32 +\cdot +\bigl(\frac32+1) +\cdot +\bigl(\frac32+2) +\cdots +\bigl(\frac32+k-2) +\cdot +\bigl(\frac32+k-1) +} +\\ +&= +2 +\frac{ +\frac12 +\cdot +\frac32 +\cdot +\bigl(\frac32+1) +\cdot +\bigl(\frac32+2) +\cdots +\bigl(\frac32+k-2) +\phantom{ +\mathstrut +\cdot +\bigl(\frac32+k-1) +} +}{ +\phantom{ +\frac12 +\cdot +\mathstrut +} +\frac32 +\cdot +\bigl(\frac32+1) +\cdot +\bigl(\frac32+2) +\cdots +\bigl(\frac32+k-2) +\cdot +\bigl(\frac32+k-1) +} +\\ +&= +2\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k}. +\end{align*} +Damit wird die Reihe +\[ +\arcsin x += +x +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(\frac12)_k}{(1)_k} +\cdot +\frac{(\frac12)_k}{(\frac32)_k} +\cdot +(x^2)^k += +x +\sum_{k=0}^\infty +\frac{(\frac12)_k(\frac12)_k}{(\frac32)_k} +\cdot +\frac{(x^2)^k}{k!} += +\mathstrut_2F_1\biggl( +\begin{matrix} +\frac12,\frac12\\ \frac32 +\end{matrix} +;x^2 +\biggr). +\qedhere +\] +\end{loesung} |