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authorAndreas Müller <andreas.mueller@othello.ch>2021-12-28 20:52:22 +0100
committerAndreas Müller <andreas.mueller@othello.ch>2021-12-28 20:52:22 +0100
commitc589259e729ebfc0d04298feeffb7604db24a2b5 (patch)
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parentOrthogonalität der Bessel-Funktionen (diff)
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potenzreihenmethode hinzugefügt
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-rw-r--r--buch/chapters/050-differential/bessel.tex7
-rw-r--r--buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex133
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diff --git a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
index b07002d..16527ad 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
+++ b/buch/chapters/050-differential/bessel.tex
@@ -34,9 +34,10 @@ Die Besselsche Differentialgleichung
\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel}
kann man auch als Eigenwertproblem für den Bessel-Operator
\index{Bessel-Operator}%
-\[
+\begin{equation}
B = x^2\frac{d^2}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + x^2
-\]
+\label{buch:differentialgleichungen:bessel-operator}
+\end{equation}
schreiben.
Eine Lösung $y(x)$ der Gleichung
\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:bessel}
@@ -48,7 +49,7 @@ x^2y''+xy+x^2y
=\alpha^2 y,
\]
ist also eine Eigenfunktion des Bessel-Operators zum Eigenwert
-$\alpha$.
+$\alpha^2$.
\subsubsection{Indexgleichung}
Die Besselsche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung
diff --git a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex
index 247b962..127f4d7 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex
+++ b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex
@@ -11,15 +11,15 @@ entwickeln.
Wir gehen in diesem Abschnitt von einer Differentialgleichung der
Form
\begin{equation}
-a_n(x)y^{(n)}(x)
+b_n(x)y^{(n)}(x)
+
-a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)
+b_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)
+
\dots
+
-a_1(x)y'(x)
+b_1(x)y'(x)
+
-a_0(x)y(x)
+b_0(x)y(x)
=
f(x)
\label{buch:differentialgleichungen:eqn:potenzreihendgl}
@@ -28,12 +28,12 @@ mit der Randbedingung $y(0)=y_0$ aus.
Schon im einfachsten Fall einer homogenen Differentialgleichung erster
Ordnung ergibt sich die Beziehung
\[
-a_1(x) y'(x) = a_0(x)y(x),
+b_1(x) y'(x) = b_0(x)y(x),
\]
wobei wir uns $y(x)$ und damit auch $y'(x)$ als Potenzreihe vorstellen.
Insbesondere ist
\[
-\frac{a_1(x)}{a_0(x)} = \frac{y(x)}{y'(x)}
+\frac{b_1(x)}{b_0(x)} = \frac{y(x)}{y'(x)}
\]
ein Quotient von Potenzreihen, den man natürlich wieder als
Potenzreihe schreiben kann.
@@ -57,19 +57,124 @@ G\biggl(x,t,
mit einer Funktion $G$, die analytisch ist in allen Variablen
und der Randbedingung
\[
-\frac{\partial j}{\partial t^j}u(x,0) = \varphi_j(x)\quad\text{für $k=0,\dots,k-1$}
+\frac{\partial^j}{\partial t^j}u(x,0)
+=
+\varphi_j(x)\quad\text{für $k=0,\dots,k-1$}
\]
mit analytischen Funktion $\varphi_j$ hat eine in einer Umgebung von
$t=0$ eindeutige analytische Lösung.
\end{satz}
Im folgenden werden wir daher weitere einschränkende Annahmen über
-die Koeffizienten $a_k(x)$ machen.
+die Koeffizienten $b_k(x)$ machen.
+%
+% Potenzreihenansatz und Koeffizientenvergleich
+%
\subsection{Potenzreihenansatz und Koeffizientenvergleich}
+In Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:section:beispiele}
+wurde von einer grossen Zahl interessanter Funktionen gezeigt, dass
+sie einerseits eine Lösungen einer Differentialgleichung sind,
+andererseits aber auch eine Potenzreihendarstellung sind.
+Der Satz von Cauchy-Kowalevskaja hat gezeigt, dass dies das zu
+erwartende Resultat ist.
+Da wir bei einer linearen Differentialgleichung mit analytischen
+Koeffizienten eine analytische Lösungsfunktion erwarten dürfen,
+können wir auch versuchen, die Lösung der Differentialgleichung
+von Anfang an als Potenzreihe
+\[
+y(x)
+=
+\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k
+\]
+anzusetzen.
+Die Ableitungen von $y(x)$ sind gleichermassen als Potenzreihen
+\begin{align*}
+y'(x)
+&=
+\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}
+\\
+y''(x)
+&=
+\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_kx^{k-2}
+\\
+&\vdots\\
+y^{(n)}(x)
+&=
+\sum_{k=n}^\infty
+k(k-1)\cdots(k-n+1) a_kx^{k-n}
+=
+\sum_{k=n}^\infty
+(k-n+1)_n a_k x^{k-n}
+=
+\sum_{l=0}^\infty
+(l+1)_na_{l+n}x^l
+\end{align*}
+darstellbar.
+Der Ansatz für $y(x)$ und seine Ableitungen kann jetzt in die
+Differentialgleichung eingsetzt werden.
+Durch Ausmultiplizieren wird die Differentialgleichung zu
+einer Identität von Potenzreihen.
+Zwei Potenzreihen können nur dann übereinstimmen, wenn alle
+Koeffizienten übereinstimmen.
+So entsteht eine Menge von linearen Gleichungen für die
+Koeffizienten $a_k$.
+Die Koeffizienten $a_0$ bis $a_{n-1}$ werden gegeben durch die
+Anfangswerte der Funktion und der ersten $n-1$ Ableitungen, die
+ebenfalls nötig sind, um die Lösungsfunktion eindeutig festzulegen.
+Durch Lösen des linearen Gleichungssystems können jetzt die Koeffizienten
+und damit die Lösung bestimmt werden.
+Setzt man zum Beispiel voraus, dass $b_n(0)\ne 0$ ist, dann ist der
+konstante Term
+\begin{equation}
+b_n(0) n! a_n + b_{n-1}(0) (n-1)! a_{n-1}
++ \dots +
+b_2(0) 2! a_2 + b_1(0) a_1 + b_0(0) a_0 = 0.
+\label{buch:differntialgleichungen:eqn:konstterm}
+\end{equation}
+Diese Gleichung ermöglicht, nach $a_n$ aufzulösen:
+\[
+a_n
+=
+-
+\frac{1}{b_n(0)\,n!}\bigl(
+b_{n-1}(0)\,(n-1)!\,a_{n-1} + \dots +
+b_2(0)\,2!\,a_2 + b_1(0)\, a_1 + b_0(0)\, a_0
+\bigr).
+\]
+Falls jedoch der Koeffizient $b_n(x)$ eine Nullstelle bei $x=0$
+hat, ist es mit Gleichung~\eqref{buch:differntialgleichungen:eqn:konstterm}
+allein nicht möglich, $a_n$ zu bestimmen.
+
+Ein besonders einfacher Fall ist jener, in dem alle Koeffizienten der
+Differentialgleichung konstant sind.
+In diesem Fall führen die Koeffizienten von $x^k$ auf die Gleichung
+\begin{equation}
+b_n n! a_{n+k} + b_{n-1} (n-1)! a_{n-1+k}
++ \dots +
+b_2 2! a_{2+k} + b_1 a_{1+k} + b_0 a_{k} = 0.
+\label{buch:differntialgleichungen:eqn:kterm}
+\end{equation}
+für alle $k$.
+Die Gleichungen sind also immer lösbar und ergeben
+\[
+a_{n+k}
+=
+-
+\frac{1}{b_n\,n!}\bigl(
+b_{n-1}\,(n-1)!\,a_{n-1+k} + \dots +
+b_2\,2!\,a_{2+k} + b_1\, a_{1+k} + b_0\, a_k
+\bigr).
+\]
+
+
+
+%
+% Die Newtonsche Reihe
+%
\subsection{Die Newtonsche Reihe}
Wir lösen die
Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1}
@@ -258,6 +363,9 @@ q(x)&=\sum_{k=0}^\infty q_kx^k = q_0+q_1x+q_2x^2+q_3x^3+\dots
\end{align*}
entwickeln lassen.
+%
+% Potenzreihenmethode funktioniert nicht
+%
\subsubsection{Die Potenzreihenmethode funktioniert nicht}
Für die Differentialgleichung
\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg}
@@ -302,6 +410,9 @@ kann, für die also auch die Koeffizienten $a_k\ne 0$ sein können.
Sind die Lösungen nicht ganzzahlig, dann müssen alle Koeffizienten
$a_k=0$ sein, die einzige Potenzreihe ist die triviale Funktion $y(x)=0$.
+%
+% Verallgemeinerte Potenzreihe
+%
\subsubsection{Verallgemeinerte Potenzreihe}
Für Differentialgleichungen der Art
\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:dglverallg}
@@ -499,6 +610,9 @@ q_{n-l}
\end{equation}
die für jedes $n$ erfüllt sein müssen.
+%
+% Indexgleichung
+%
\subsubsection{Indexgleichung}
Die Gleichungen~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:verallgkoefgl}
müssen erfüllt sein, wenn eine Lösung in Form einer verallgemeinerten
@@ -525,6 +639,9 @@ Wir bezeichnen die beiden Nullstellen mit $\varrho_1$ und $\varrho_2$.
Wenn $p_0$ und $q_0$ reell sind, sind die Nullstellen entweder reell
oder konjugiert komplex.
+%
+% Rekursive Bestimmung der $a_n$
+%
\subsubsection{Rekursive Bestimmung der $a_n$}
Der Koeffizient $a_{n}$ kann nur dann aus den vorangegangene
Koeffizienten $a_{n-1},a_{n-2},\dots$ bestimmt werden, wenn