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--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/060-integral/differentialkoerper2.tex
@@ -0,0 +1,1953 @@
+%
+% differentialalgebren.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Differentialkörper und der Satz von Liouville
+\label{buch:integrale:section:dkoerper}}
+\rhead{Differentialkörper und der Satz von Liouville}
+Das Problem der Darstellbarkeit eines Integrals in geschlossener
+Form verlangt zunächst einmal nach einer Definition dessen, was man
+als ``geschlossene Form'' akzeptieren will.
+Die sogenannten {\em elementaren Funktionen} von
+Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:elementar}
+bilden dafür den theoretischen Rahmen.
+Das Problem ist dann die Frage zu beantworten, ob ein Integral eine
+Stammfunktion hat, die eine elementare Funktion ist.
+Der Satz von Liouville von Abschnitt~\ref{buch:integrale:section:liouville}
+löst das Problem.
+
+\subsection{Eine Analogie
+\label{buch:integrale:section:analogie}}
+% XXX Analogie: Formel für Polynom-Nullstellen 
+% XXX           Stammfunktion als elementare Funktion
+Das Analysis-Problem, eine Stammfunktion zu finden, ist analog zum
+wohlbekannten algebraischen Problem, Nullstellen von Polynomen zu finden.
+Wir entwickeln diese Analogie in etwas mehr Detail, um zu sehen, ob man
+aus dem algebraischen Problem etwas über das Problem der Analysis
+lernen kann.
+
+Für ein Polynom $p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb{C}[X]$
+mit Koeffizienten $a_k\in\mathbb{C}$ ist es sehr einfach, für jede beliebige
+komplexe Zahl $z\in\mathbb{C}$ den Wert $p(z)$ des Polynoms auszurechnen.
+Ein paar wenige Rechenregeln genügen dazu, man kann leicht einem Kind 
+beibringen, mit einem Taschenrechner so einen Wert auszurechnen.
+
+Ähnlich sieht es mit der Ableitungsoperation aus. 
+Einige wenige Ableitungsregeln, die man in der Analysis~I lernt,
+erlauben, auf mehr oder weniger mechanische Art und Weise, jede
+beliebige Funktion abzuleiten.
+Man kann auch leicht einen Computer dazu programmieren, solche Ableitungen
+symbolisch zu berechnen.
+
+Aus dem Fundamentalsatz der Algebra, der von Gauss vollständig bewiesen
+wurde, ist bekannt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten in $\mathbb{C}$
+genau so viele Lösungen in $\mathbb{C}$, wie der Grad des Polynoms angibt.
+Dies ist aber ein Existenzsatz, er sagt nichts darüber aus, wie man diese
+Lösungen finden kann.
+In Spezialfällen, wie zum Beispiel für quadratische Polynome, gibt
+es spezialsierte Lösungsverfahren, mit denen man Lösungen angeben kann.
+Natürlich existieren numerische Methoden wie zum Beispiel das
+Newton-Verfahren, mit dem man Nullstellen von Polynomen beliebig genau
+bestimmen kann.
+
+Der Fundamentalsatz der Integralrechnung besagt, dass jede stetige 
+Funktion eine Stammfunktion hat, die bis auf eine Konstante eindeutig
+bestimmt ist.
+Auch dieser Existenzsatz gibt keinerlei Hinweise darauf, wie man die
+Stammfunktion finden kann.
+In der Analysis-Vorlesung lernt man viele Tricks, die in einer
+beindruckenden Zahl von Spezialfällen ermöglichen, ein passende
+Funktion anzugeben.
+Man lernt auch numerische Verfahren kennen, mit denen sich Werte der
+Stammfunktion, also bestimmte Integrale, mit beliebiger Genauigkeit
+finden kann.
+
+Die numerische Lösung des Nullstellenproblems ist insofern unbefriedigend,
+als sie nur schwer eine Diskussion der Abhängigkeit der Nullstellen von
+den Koeffizienten des Polynoms ermöglichen.
+Eine Formel wie die Lösungsformel für die quadratische Gleichung 
+stellt genau für solche Fälle ein ideales Werkzeug bereit.
+Was man sich also wünscht ist nicht nur einfach eine Lösung, sondern eine
+einfache Formel zur Bestimmung aller Lösungen.
+Im Zusammenhang mit algebraischen Gleichungen erwartet man eine Formel,
+in der nur arithmetische Operationen und Wurzeln vorkommen.
+Für quadratische Gleichungen ist so eine Formel seit dem Altertum bekannt,
+Formeln für die kubische Gleichung und die Gleichung vierten Grades wurden
+im 16.~Jahrhundert von Cardano bzw.~Ferrari gefunden.
+Erst viel später haben Abel und Ruffini gezeigt, dass so eine allgemeine
+Formel für Polynome höheren Grades als 4 nicht existiert.
+Die Galois-Theorie, die auf den Ideen von Évariste Galois beruht, 
+stellt eine vollständige Theorie unter anderem für die Lösbarkeit
+von Gleichungen durch Wurzelausdrücke dar.
+
+Numerische Integralwerte haben ebenfalls den Nachteil, dass damit
+Diskussionen wie die Abhängigkeit von Parametern eines Integranden
+nur schwer möglich sind.
+Was man sich daher wünscht ist eine Formel für die Stammfunktion,
+die Werte als Zusammensetzung gut bekannter Funktionen wie der Exponential-
+und Logarithmus-Funktionen oder der trigonometrischen Funktionen
+sowie Wurzeln, Potenzen und den arithmetischen Operationen.
+Man sagt, man möchte die Stammfunktion in ``geschlossener Form'' 
+dargestellt haben.
+Tatsächlich ist dieses Problem auch zu Beginn des 19.~Jahrhunderts
+von Joseph Liouville genauer untersucht worden.
+Er hat zunächst eine Klasse von ``elementaren Funktionen'' definiert,
+die als Darstellungen einer Stammfunktion in Frage kommen.
+Der Satz von Liouville besagt dann, dass nur Funktionen mit einer
+ganz speziellen Form eine elementare Stammfunktion haben.
+Damit wird es möglich, zu entscheiden, ob ein Integrand wie $e^{-x^2}$ 
+eine elementare Stammfunktion hat.
+Seit dieser Zeit weiss man zum Beispiel, dass die Fehlerfunktion nicht
+mit den bekannten Funktionen dargestellt werden kann.
+
+Mit dem Aufkommen der Computer und vor allem der Computer-Algebra-System (CAS)
+wurde die Frage nach der Bestimmung einer Stammfunktion erneut aktuell.
+Die ebenfalls weiter entwickelte abstrakte Algebra hat ermöglicht, die
+Ideen von Liouville in eine erweiterte, sogenannte differentielle 
+Galois-Theorie zu verpacken, die eine vollständige Lösung des Problems
+darstellt.
+Robert Henry Risch hat in den Sechzigerjahren auf dieser Basis
+einen Algorithmus entwickelt, mit dem es möglich wird, zu entscheiden,
+ob eine Funktion eine elementare Stammfunktion hat und diese
+gegebenenfalls auch zu finden.
+Moderne CAS implementieren diesen Algorithmus
+in Teilen, besonders weit zu gehen scheint das quelloffene System
+Axiom.
+
+Der Risch-Algorithmus hat allerdings eine Achillesferse: er benötigt
+eine Method zu entscheiden, ob zwei Ausdrücke übereinstimmen.
+Dies ist jedoch ein im Allgemeinen nicht entscheidbares Problem.
+Moderne CAS treiben einigen Aufwand, um die
+Gleichheit von Ausdrücken zu entscheiden, sie können das Problem
+aber grundsätzlich nicht vollständig lösen.
+Damit kann der Risch-Algorithmus in praktischen Anwendungen das
+Stammfunktionsproblem ebenfalls nur mit Einschränkungen lösen,
+die durch die Fähigkeiten des Ausdrucksvergleichs in einem CAS
+gesetzt werden.
+
+Im Folgenden sollen elementare Funktionen definiert werden, es sollen
+die Grundideen der differentiellen Galois-Theorie zusammengetragen werden
+und der Satz von Liouvill vorgestellt werden.
+An Hand der Fehler-Funktion soll dann gezeigt werden, wie man jetzt
+einsehen kann, dass die Fehlerfunktion nicht elementar darstellbar ist.
+Im nächsten Abschnitt dann soll der Risch-Algorithmus skizziert werden.
+
+\subsection{Elementare Funktionen
+\label{buch:integrale:section:elementar}}
+Es soll die Frage beantwortet werden, welche Stammfunktionen sich
+in ``geschlossener Form'' oder durch ``wohlbekannte Funktionen''
+ausdrücken lassen.
+Welche Funktionen dabei als ``wohlbekannt'' gelten dürfen ist
+ziemlich willkürlich.
+Sicher möchte man Potenzen und Wurzeln, Logarithmus und Exponentialfunktion,
+aber auch die trigonometrischen Funktionen dazu zählen dürfen.
+Ausserdem will man beliebig mit den arithmetischen Operationen
+rechnen.
+So entsteht die Menge der Funktionen, die man ``elementar'' nennen
+will.
+
+In der Menge der elementaren Funktionen möchte man jetzt
+Stammfunktionen ausgewählter Funktionen suchen.
+Dazu muss man von jeder Funktion ihre Ableitung kennen.
+Die Ableitungsoperation macht aus der Funktionenmenge eine
+differentielle Algebra.
+Der Satz von Liouville (Satz~\ref{buch:integrale:satz:liouville1}) 
+liefert Bedingungen, die erfüllt sein müssen, wenn eine Funktion
+eine elementare Stammfunktion hat.
+Sind diese Bedingungen nicht erfüllbar, ist auch keine 
+elementare Stammfunktion möglich.
+
+In den folgenden Abschnitten soll die differentielle Algebra
+der elementaren Funktionen konstruiert werden.
+
+\subsubsection{Körper}
+Die einfachsten Funktionen sind die die Konstanten, für die wir
+für die nachfolgenden Betrachtungen fast immer die komplexen Zahlen
+$\mathbb{C}$
+zu Grunde legen wollen.
+Dabei ist vor allem wichtig, dass sich darin alle arithmetischen
+Operationen durchführen lassen mit der einzigen Ausnahme, dass
+nicht durch $0$ dividiert werden darf.
+Man nennt $\mathbb{C}$ daher ein {\em Körper}.
+\index{Körper}%
+\label{buch:integrale:def:koerper}
+
+\subsubsection{Polynome und rationale Funktionen}
+Die Polynome einer Variablen beschreiben eine Menge von
+Funktionen, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation
+von Funktionen und Multiplikation mit komplexen Zahlen
+uneingeschränkt möglich ist.
+Wir bezeichen wie früher die Menge der Polynome in $z$ mit
+$\mathbb{C}[z]$.
+
+Die Division ist erst möglich, wenn man beliebige Brüche
+zulässt, deren Zähler und Nenner Polynome sind.
+Die Menge
+\[
+\mathbb{C}(z)
+=
+\biggl\{
+\frac{p(z)}{q(z)}
+\;\bigg|\;
+p,q\in \mathbb{C}[z]
+\biggr\}
+\]
+heisst die Menge der {\em rationalen Funktionen}.
+\label{buch:integrale:def:rationalefunktion}
+\index{Funktion, rationale}%
+\index{rationale Funktion}%
+In ihr sind jetzt alle arithmetischen Operationen ausführbar
+ausser natürlich die Division durch die Nullfunktion.
+Die rationalen Funktionen bilden also wieder eine Körper.
+
+Die Tatsache, dass die rationalen Funktionen einen Körper
+bilden bedeutet auch, dass die Konstruktion erneut durchgeführt
+werden kann.
+Ausgehend von einem beliebigen Körper $K$ können wieder zunächst
+die Polynome $K[X]$ und anschliesen die rationalen Funktionen $K[X]$
+in der neuen Variablen, jetzt aber mit Koeffizienten in $K$
+gebildet werden.
+So entstehen Funktionen von mehreren Variablen und, indem
+wir für die neue Variable $X$ zum Beispiel die im übernächsten
+Abschnitt betrachtete Wurzel $X=\sqrt{z}$
+einsetzen, rationale Funktionen in $z$ und $\sqrt{z}$.
+
+Solche Funktionenkörper werden im folgenden mit geschweiften
+Buchstaben $\mathscr{D}$ bezeichnet.
+\index{Funktionenkörper}%
+
+\subsubsection{Ableitungsoperation}
+In allen Untersuchungen soll immer die Ableitungsoperation
+mit berücksichtigt werden.
+In unserer Betrachtungsweise spielt es keine Rolle, dass die
+Ableitung aus einem Grenzwert entsteht, es sind nur die algebraischen
+Eigenschaften wichtig.
+Diese sind in der folgenden Definition zusammengefasst.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:derivation}
+Ein {\em Ableitungsoperator} oder eine {\em Derivation} einer Algebra
+$\mathscr{D}$ von Funktionen ist eine lineare Abbildung
+\[
+\frac{d}{dz}
+\colon \mathscr{D} \to \mathscr{D}
+:
+f \mapsto \frac{df}{dz} = f',
+\]
+die zusätzlich die Produktregel
+\begin{equation}
+\frac{d}{dz} (fg)
+=
+\frac{df}{dz} \cdot g + f \cdot \frac{dg}{dz}
+\qquad\Leftrightarrow\qquad
+(fg)' = f' g + fg'
+\label{buch:integrale:eqn:produktregel}
+\end{equation}
+\index{Produktregel}%
+erfüllt.
+Die Funktion $f'\in \mathscr{D}$ heisst auch die {\em Ableitung}
+von $f\in\mathscr{D}$.
+\index{Derivation}%
+\index{Ableitungsoperator}%
+\index{Ableitung}%
+\end{definition}
+
+Die Produktregel hat zum Beispiel auch die bekannten Quotientenregel
+zur Folge.
+Dazu betrachten wir das Produkt $f= (f/g)\cdot g$ und leiten es mit
+Hilfe der Produktregel ab:
+\[
+\frac{d}{dz}f
+=
+\frac{d}{dz}
+\biggl(
+\frac{f}{g}\cdot g
+\biggr)
+=
+{\color{darkred}
+\frac{d}{dz}
+\biggl(
+\frac{f}{g}
+\biggr)}
+\cdot g
++
+\frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g.
+\]
+Jetzt lösen wir nach der {\color{darkred}roten} Ableitung des Quotienten
+auf und erhalten
+\begin{equation}
+\biggl(\frac{f}{g}\biggr)'
+=
+\frac{d}{dz}\biggl(\frac{f}{g}\biggr)
+=
+\frac1g\biggl(
+\frac{d}{dz}f - \frac{f}{g}\cdot \frac{d}{dz}g
+\biggr)
+=
+\frac{1}{g}
+\biggl(
+f'-\frac{fg'}{g}
+\biggr)
+=
+\frac{f'g-fg'}{g^2}.
+\label{buch:integrale:eqn:quotientenregel}
+\end{equation}
+Dies ist die Quotientenregel.
+
+Aus der Produktregel folgt natürlich sofort auch die Potenzregel
+für die Ableitung der $n$ten Potenz einer Funktion $f\in\mathscr{D}$, 
+sie lautet:
+\begin{equation}
+\frac{d}{dz} f^n
+= 
+\underbrace{
+f'f^{n-1} + ff'f^{n-2} + f^2f'f^{n-3}+\dots f^{n-1}f'
+}_{\displaystyle \text{$n$ Terme}}
+=
+nf^{n-1}f'.
+\label{buch:integrale:eqn:potenzregel}
+\end{equation}
+In dieser Form versteckt sich natürlich auch die Kettenregel, die
+Potenzfunktion ist die äussere Funktion, $f$ die innere, $f'$ ist also
+die Ableitung er inneren Funktion, wie in der Kettenregel verlangt.
+Falls $f$ ein Element von $\mathscr{D}$ ist mit der Eigenschaft
+$df/dz=1$, dann entsteht die übliche Produktregel.
+
+\begin{definition}
+Eine Algebra $\mathscr{D}$ von Funktionen mit einem Ableitungsoperator 
+$d/dz$ heisst eine {\em differentielle Algebra}.
+\index{differentielle Algebra}%
+\index{Algebra, differentielle}%
+In einer differentiellen Algebra gelten die üblichen
+Ableitungsregeln.
+\end{definition}
+
+Die Potenzregel war in der Form~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel}
+geschrieben worden, nicht als die Ableitung von $z$.
+Der Grund dafür ist, dass wir gar nicht voraussetzen wollen, dass in
+unserer differentiellen Algebra eine Funktion existiert, die die
+Rolle von $z$ hat.
+Dies ist gar nicht nötig, wie das folgende Beispiel zeigt.
+
+\begin{beispiel}
+Als Funktionenmenge $\mathscr{D}$ nehmen wir rationale Funktionen
+in zwei Variablen, die wir $\cos x $ und $\sin x$ nennen.
+Diese Menge bezeichnen wir mit
+$\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$
+Der Ableitungsoperator ist 
+\begin{align*}
+\frac{d}{dx} \cos x &= -\sin x
+\\
+\frac{d}{dx} \sin x &= \phantom{-}\cos x.
+\end{align*}
+Die Funktionen von $\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ sind also Brüche,
+deren Zähler und Nenner Polynome in $\cos x$ und $\sin x$ sind.
+Aus den Produkt- und Quotientenregeln und den Ableitungsregeln für
+$\cos x$ und $\sin x$ folgt, dass die Ableitung einer Funktion in
+$\mathscr{D}$ wieder in $\mathscr{D}$ ist, $\mathscr{D}$ ist eine
+differentielle Algebra.
+\end{beispiel}
+
+Die konstanten Funktionen spielen eine besondere Rolle.
+Da wir bei der Ableitung nicht von der Vorstellung einer
+Funktion mit einem variablen Argument ausgehen wollten und 
+die Ableitung nicht als Grenzwert definieren wollten, müssen
+wir auch bei der Definition der ``Konstanten'' einen neuen
+Weg gehen.
+In der Analysis sind die Konstanten genau die Funktionen,
+deren Ableitung $0$ ist.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:konstante}
+Ein Element $f\in \mathscr{D}$ mit $df/dz=f'=0$ heissen
+{\em Konstante} in $\mathscr{D}$.
+\index{Konstante}%
+\end{definition}
+
+Die in der Potenzregel~\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel}
+vermisste Funktion $z$ kann man ähnlich zu den Konstanten
+zu definieren versuchen.
+$z$ müsste ein Element von $\mathscr{D}$ mit $z' = 1$ sein.
+Allerdings gibt es viele solche Elemente, ist $c$ eine Konstanten
+und $z'=1$, dann ist auch $(z+c)'=1$, $(z+c)$ hat also für
+die Zwecke unserer Untersuchung die gleichen Eigenschaften wie
+$z$.
+Dies deckt sich natürlich auch mit der Erwartung, dass Stammfunktionen
+nur bis auf eine Konstante bestimmt sind.
+Eine differentielle Algebra muss allerdings kein Element $z$ mit der
+Eigenschaft $z'=1$ enthalten.
+
+\begin{beispiel}
+In $\mathscr{D}=\mathbb{Q}(\cos x,\sin x)$ gibt es kein Element $x$.
+Ein solches wäre von der Form
+\[
+x = \frac{p(\cos x,\sin x)}{q(\cos x,\sin x)}.
+\]
+Eine solche goniometrische Beziehung würde für $x=\frac{\pi}4$ bedeuten,
+dass
+\[
+\frac{\pi}4
+=
+\frac{p(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}{q(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)}.
+\]
+Auf der rechten Seite steht ein Quotient von Polynome, in dessen
+Argument nur rationale Zahlen und $\sqrt{2}$ steht.
+So ein Ausdruck kann immer in die Form
+\[
+\pi
+=
+4\frac{a\sqrt{2}+b}{c\sqrt{2}+d}
+=
+\frac{4(a\sqrt{2}+b)(c\sqrt{2}-d)}{2c^2+d^2}
+=
+r\sqrt{2}+s
+\]
+gebracht werden.
+Die Zahl auf der rechten Seite ist zwar irrational, aber sie ist Nullstelle
+des quadratischen Polynoms
+\[
+p(x)
+=
+(x-r\sqrt{2}-s)(x+r\sqrt{2}-s)
+=
+x^2
+-2sx
+-2r^2+s^2
+\]
+mit rationalen Koeffizienten, wie man mit der Lösungsformel für die
+quadratische Gleichung nachprüfen kann.
+Es ist bekannt, dass $\pi$ als transzendente Zahl nicht Nullstelle
+eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.
+Dieser Widerspruch zeigt, dass $x$ nicht in $\mathbb{Q}(\cos x, \sin x)$
+vorkommen kann.
+\end{beispiel}
+
+In einer differentiellen Algebra kann jetzt die Frage nach der
+Existenz einer Stammfunktion gestellt werden.
+
+\begin{aufgabe}
+\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}
+Gegeben eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und ein Element
+$f\in\mathscr{D}$, entscheide, ob es ein Element $F\in\mathscr{D}$ 
+gibt mit der Eigenschaft $F'=f$.
+Ein solches $F\in\mathscr{D}$ heisst {\em Stammfunktion} von $f$.
+\end{aufgabe}
+
+\begin{satz}
+In einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$ mit $z\in\mathscr{D}$
+hat die Potenzfunktion $f=z^n$ für $n\in\mathbb{N}\setminus\{-1\}$
+ein Stammfunktion, nämlich 
+\[
+F = \frac{1}{n+1} z^{n+1}.
+\]
+\label{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Tatsächlich kann man dies sofort nachrechnen, muss allerdings die
+Fälle $n+1 >0$ und $n+1<0$ unterscheiden, da die Potenzregel
+\eqref{buch:integrale:eqn:potenzregel} nur für natürliche Exponenten
+gilt.
+Man erhält
+\begin{align*}
+n+1&>0\colon
+&
+\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}z^{n+1}
+&=
+\frac{1}{n+1}(n+1)z^{n+1-1}
+=
+z^n,
+\\
+n+1&<0\colon
+&
+\frac{d}{dz}\frac{1}{n+1}\frac{1}{z^{-(n+1)}}
+&=
+\frac{1}{n+1}\frac{1'z^{-(n+1)}-1(-(n+1))z^{-n-1-1}}{z^{-2n-2}}
+\\
+&&
+&=
+\frac{1}{n+1}
+\frac{(n+1)z^n{-n-2}}{z^{-2n-2}}
+\\
+&&
+&=
+\frac{1}{z^{-n}}=z^n.
+\end{align*}
+Man beachte, dass in dieser Rechnung nichts anderes als die
+algebraischen Eigenschaften der Produkt- und Quotientenregel
+verwendet wurden.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Wurzeln}
+Die Wurzelfunktionen sollen natürlich als elementare Funktionen
+erlaubt sein.
+Es ist bekannt, dass $\sqrt{z}\not\in \mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$
+ist, ein solches Element müsste also erst noch hinzugefügt werden.
+Dabei muss auch seine Ableitung definiert werden.
+Auch dabei dürfen wir nicht auf eine Grenzwertüberlegung zurückgreifen,
+vielmehr müssen wir die Ableitung auf vollständig algebraische
+Weise bestimmen.
+
+Wir schreiben $f=\sqrt{z}$ und leiten die Gleichung $f^2=z$ nach $z$ ab.
+Dabei ergibt sich nach der Potenzregel
+\[
+\frac{d}{dz}f^2 = 2f'f = \frac{d}{dz}z=1
+\qquad\Rightarrow\qquad f' = \frac{1}{2f}.
+\]
+Diese Rechnung lässt sich auch auf $n$-Wurzeln $g=\root{n}\of{z}$ mit
+der Gleichung $g^n = z$ verallgemeinern.
+Die Ableitung der $n$-ten Wurzel ist
+\begin{equation}
+\frac{d}{dz}g^n
+=
+ng^{n-1} = \frac{d}{dz}z=1
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\frac{d}{dz}g = \frac{1}{ng^{n-1}}.
+\end{equation}
+Es ist also möglich, eine differentielle Algebra $\mathscr{D}$ mit einer
+$n$-ten Wurzel $g$ zu einer grösseren differentiellen Algebra $\mathscr{D}(g)$
+zu erweitern, in der wieder alle Regeln für das Rechnen mit Ableitungen
+erfüllt sind.
+
+\subsubsection{Algebraische Elemente}
+Die Charakterisierung der Wurzelfunktionen passt zwar zum verlangten
+algebraischen Vorgehen, ist aber zu spezielle und nicht gut für die
+nachfolgenden Untersuchengen geeignet.
+Etwas allgemeiner ist der Begriff der algebraischen Elemente.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:algebraisches-element}
+Seien $K\subset L$ zwei Körper.
+Ein Element $\alpha \in L$ heisst {\em algebraisch} über $K$,
+wenn $\alpha$ Nullstelle eines Polynoms $p\in K[X]$ mit Koeffizienten
+in $K$ ist.
+\index{algebraisch}%
+\end{definition}
+
+Jedes Element $\alpha\in K$ ist algebraisch, da $\alpha$ Nullstelle
+von $X-\alpha\in K[X]$ ist.
+Die $n$tem Wurzeln eines Elemente $\alpha\in K$ sind ebenfalls algebraisch,
+da sie Nullstellen des Polynoms $p(X) = X^n - \alpha$ sind.
+Allerdings ist nicht klar, dass diese Wurzeln überhaupt existieren.
+Nach dem Satz von Abel~\ref{buch:potenzen:satz:abel} gibt es aber
+Nullstellen von Polynomen, die sich nicht als Wurzelausdrücke schreiben
+lassen.
+Der Begriff der algebraischen Elemente ist also allgemeiner als der
+Begriff der Wurzel.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:algebraisch-abgeschlossen}
+Ein Körper $K$ heisst {\em algebraisch abgeschlossen}, wenn jedes Polynom mit
+Koeffizienten in $K$ eine Nullstelle in $K$ hat.
+\end{definition}
+
+Der Körper $\mathbb{C}$ ist nach dem
+Fundamentalsatz~\label{buch:potenzen:satz:fundamentalsatz}
+der Algebra algebraisch abgeschlossen.
+Da wir aber mit Funktionen arbeiten, müssen wir auch Wurzeln
+von Funktionen finden können.
+Dies ist nicht selbstverständlich, wie das folgende Beispiel zeigt.
+
+\begin{beispiel}
+Es gibt keine stetige Funktion $f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}$, die
+die Gleichung $f(z)^2 = z$ und $f(1)=1$ erfüllt.
+Für die Argumente $z(t)= e^{it}$ folgt, dass $f(z(t)) = e^{it/2}$ sein
+muss.
+Setzt man aber $t=\pm \pi$ ein, ergeben sich die Werte
+$f(z(\pm\pi))=e^{\pm i\pi/2}=\pm 1$, die beiden Grenzwerte
+für $t\to\pm\pi$ sind also verschieden.
+\end{beispiel}
+
+Die Mathematik hat verschiedene ``Tricks'' entwickelt, wie mit diesem
+Problem umgegangen werden kann: Funktionskeime, Garben, Riemannsche
+Flächen.
+Sie sind alle gleichermassen gut geeignet, das Problem zu lösen.
+Für die vorliegende Aufgabe genügt es aber, dass es tatsächlich
+immer ein wie auch immer geartetes Element gibt, welches Nullstelle
+des Polynoms ist.
+
+Ist $f$ eine Nullstelle des Polynoms $p(X)$ mit Koeffizienten in
+$\mathscr{D}$, dann kann man die Ableitung wie folgt berechnen.
+Zunächst leitet man $p(f)$ ab:
+\begin{align}
+0&=
+\frac{d}{dz}(a_nf^n + a_{n-1}f^{n-1}+\ldots+a_1f+a_0)
+\notag
+\\
+&=
+a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0'
++
+na_nf^{n-1}f'
++
+(n-1)a_nf^{n-2}f'
++
+\ldots
++
+a_2ff'
++
+a_1f'
+\notag
+\\
+&=
+a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\ldots+a_1'f+a_0'
++
+(
+na_nf^{n-1}
++
+(n-1)a_nf^{n-2}
++
+\ldots
++
+a_2f
++
+a_1
+)f'
+\notag
+\\
+\Rightarrow
+\qquad
+f'&=\frac{
+a_n'f^n + a_{n-1}'f^{n-1}+\dots+a_1'f+a_0'
+}{
+na_nf^{n-1}
++
+(n-1)a_nf^{n-2}
++
+\dots
++
+a_1
+}.
+\label{buch:integrale:eqn:algabl}
+\end{align}
+Das einzige, was dabei schief gehen könnte ist, dass der Nenner ebenfalls
+verschwindet.
+Dieses Problem kann man dadurch lösen, dass man als Polynom das
+sogenannte Minimalpolynom verwendet.
+
+\begin{definition}
+Das {\em Minimalpolynome} $m(X)$ eines algebraischen Elementes $\alpha$ ist
+das Polynom kleinsten Grades, welches $m(\alpha)=0$ erfüllt.
+\end{definition}
+
+Da das Minimalpolynom den kleinstmöglichen Grad hat, kann der Nenner
+von~\eqref{buch:integrale:eqn:algabl},
+der noch kleineren Grad hat, unmöglich verschwinden.
+Das Minimalpolynom ist auch im wesentlichen eindeutig.
+Gäbe es nämlich zwei verschiedene Minimalpolynome $m_1$ und $m_2$,
+dann müsste $\alpha$ auch eine Nullstelle des grössten gemeinsamen
+Teilers $m_3=\operatorname{ggT}(m_1,m_2)$ sein.
+Wären die beiden Polynome wesentlich verschieden, dann hätte $m_3$
+kleineren Grad, im Widerspruch zur Definition des Minimalpolynoms.
+Also unterscheiden sich die beiden Polynome $m_1$ und $m_2$ nur um
+einen skalaren Faktor.
+
+\subsubsection{Konjugation, Spur und Norm}
+% Konjugation, Spur und Norm
+Das Minimalpolynom eines algebraischen Elementes ist nicht
+eindeutig bestimmt.
+Zum Beispiel ist $\sqrt{2}$ algebraisch über $\mathbb{Q}$, das
+Minimalpolynom ist $m(X)=X^2-2\in\mathbb{Q}[X]$. 
+Es hat aber noch eine zweite Nullstelle $-\sqrt{2}$.
+Mit rein algebraischen Mitteln sind die beiden Nullstellen $\pm\sqrt{2}$
+nicht zu unterscheiden, erst die Verwendung der Vergleichsrelation
+ermöglicht, sie zu unterscheiden.
+
+Dasselbe gilt für die imaginäre Einheit $i$, die das Minimalpolynom
+$m(X)=X^2+1\in\mathbb{R}[X]$ hat.
+Hier gibt es nicht einmal mehr eine Vergleichsrelation, mit der man
+die beiden Nullstellen unterscheiden könnte.
+In der Tat ändert sich aus algebraischer Sicht nichts, wenn man in
+allen Formeln $i$ durch $-i$ ersetzt.
+
+Etwas komplizierter wird es bei $\root{3}\of{2}$.
+Das Polynom $m=x^3-2\in\mathbb{Q}[X]$ hat $\root{3}\of{2}$ als
+Nullstelle und dies ist auch tatsächlich das Minimalpolynom.
+Das Polynom hat noch zwei weitere Nullstellen
+\[
+\alpha_+ = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}
+\qquad\text{und}\qquad
+\alpha_- = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\root{3}\of{2}.
+\]
+Die beiden Lösungen gehen durch die Vertauschung von $i$ und $-i$ 
+auseinander hervor.
+Betrachtet man dasselbe Polynom aber als Polynom in $\mathbb{R}[X]$,
+dann ist es nicht mehr das Minimalpolynom von $\root{3}\of{2}$, da
+$X-\root{3}\of{2}\in\mathbb{R}[X]$ kleineren Grad und $\root{3}\of{2}$
+als Nullstelle hat.
+Indem man
+\[
+m(X)/(X-\root{3}\of{2})=X^2+\root{3}\of{2}X+\root{3}\of{2}^2=m_2(X)
+\]
+rechnet, bekommt man das Minimalpolynom der beiden Nullstellen $\alpha_+$
+und $\alpha_-$.
+Wir lernen aus diesen Beispielen, dass das Minimalpolynom vom Grundkörper
+abhängig ist (Die Faktorisierung $(X-\root{3}\of{2})\cdot m_2(X)$ von
+$m(X)$ ist in $\mathbb{Q}[X]$ nicht möglich) und dass wir keine 
+algebraische Möglichkeit haben, die verschiedenen Nullstellen des
+Minimalpolynoms zu unterscheiden.
+
+Die beiden Nullstellen $\alpha_+$ und $\alpha_-$ des Polynoms $m_2(X)$
+erlauben, $m_2(X)=(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)$ zu faktorisieren.
+Durch Ausmultiplizieren
+\[
+(X-\alpha_+)(X-\alpha_-)
+=
+X^2 -(\alpha_++\alpha_-)X+\alpha_+\alpha_-
+\]
+und Koeffizientenvergleich mit $m_2(X)$ findet man die symmetrischen 
+Formeln
+\[
+\alpha_+ + \alpha_- = \root{3}\of{2}
+\qquad\text{und}\qquad
+\alpha_+ \alpha_ = \root{3}\of{2}.
+\]
+Diese Ausdrücke sind nicht mehr abhängig von einer speziellen Wahl
+der Nullstellen.
+
+Das Problem verschärft sich nocheinmal, wenn wir Funktionen betrachten.
+Das Polynom $m(X)=X^3-z$ ist das Minimalpolynom der Funktion $\root{3}\of{z}$.
+Die komplexe Zahl $z=re^{i\varphi}$ hat aber drei die algebraisch nicht
+unterscheidbaren Nullstellen 
+\[
+\alpha_0(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3},
+\quad
+\alpha_1(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+2\pi/3}
+\qquad\text{und}\qquad
+\alpha_2(z)=\root{3}\of{r}e^{i\varphi/3+4\pi/3}.
+\]
+Aus der Faktorisierung $ (X-\alpha_0(z)) (X-\alpha_1(z)) (X-\alpha_2(z))$
+und dem Koeffizientenvergleich mit dem Minimalpolynom kann man wieder
+schliessen, dass die Relationen
+\[
+\alpha_0(z) + \alpha_1(z) + \alpha_2(z)=0
+\qquad\text{und}\qquad
+\alpha_0(z)  \alpha_1(z) \alpha_2(z) = z
+\]
+gelten.
+
+Wir können also oft keine Aussagen über individuelle Nullstellen
+eines Minimalpolynoms machen, sondern nur über deren Summe oder
+Produkt.
+
+\begin{definition}
+\index{buch:integrale:def:spur-und-norm}
+Sie $m(X)\in K[X]$ das Minimalpolynom eines über $K$ algebraischen
+Elements und
+\[
+m(X) = a_nX^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1X + a_0.
+\]
+Dann heissen
+\[
+\operatorname{Tr}(\alpha) = -a_{n-1}
+\qquad\text{und}\qquad
+\operatorname{Norm}(\alpha) = (-1)^n a_0
+\]
+die {\em Spur} und die {\em Norm} des Elementes $\alpha$.
+\index{Spur eines algebraischen Elementes}%
+\index{Norm eines algebraischen Elementes}%
+\end{definition}
+
+Die Spur und die Norm können als Spur und Determinante einer Matrix
+verstanden werden, diese allgemeineren Definitionen, die man in der
+Fachliteratur, z.~B.~in~\cite{buch:lang} nachlesen kann, führen aber
+für unsere Zwecke zu weit.
+
+\begin{hilfssatz}
+Die Ableitungen von Spur und Norm sind
+\[
+\operatorname{Tr}(\alpha)'
+=
+\operatorname{Tr}(\alpha')
+\qquad\text{und}\qquad
+\operatorname{Norm}(\alpha)'
+=
+\operatorname{Tr}(\alpha)'
+\]
+XXX Wirklich?
+\end{hilfssatz}
+
+\subsubsection{Logarithmen und Exponentialfunktionen}
+Die Funktion $z^{-1}$ musste im
+Satz~\ref{buch:integrale:satz:potenzstammfunktion}
+ausgeschlossen werden, sie hat keine Stammfunktion in $\mathbb{C}(z)$.
+Aus der Analysis ist bekannt, dass die Logarithmusfunktion $\log z$ 
+eine Stammfunktion ist.
+Der Logarithmus von $z$ aber auch der Logarithmus $\log f(z)$
+einer beliebigen Funktion $f(z)$ oder die Exponentialfunktion $e^{f(z)}$
+sollen ebenfalls elementare Funktionen sein.
+Da wir aber auch hier nicht auf die analytischen Eigenschaften zurückgreifen
+wollen, brauchen wir ein rein algebraische Definition.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:logexp}
+Sei $\mathscr{D}$ ein differentielle Algebra und $f\in\mathscr{D}$.
+Ein Element $\vartheta\in\mathscr{D}$ heisst ein {\em Logarithmus}
+von $f$, geschrieben $\vartheta = \log f$, wenn $f\vartheta' = f'$ gilt.
+$\vartheta$ heisst eine Exponentialfunktion von $f$ wenn
+$\vartheta'=\vartheta f'$ gilt.
+\end{definition}
+
+Die Formel für die Exponentialfunktion ist etwas vertrauter, sie ist
+die bekannte Kettenregel
+\begin{equation}
+\vartheta'
+=
+\frac{d}{dz} e^f
+=
+e^f \cdot \frac{d}{dz} f
+=
+\vartheta \cdot f'.
+\label{buch:integrale:eqn:exponentialableitung}
+\end{equation}
+Da wir uns vorstellen, dass Logarithmen Umkehrfunktionen von 
+Exponentialfunktionen sein sollen, 
+muss die definierende Gleichung genau wie
+\eqref{buch:integrale:eqn:exponentialableitung}
+aussehen, allerdings mit vertauschten Plätzen von $f$ und $\vartheta$,
+also 
+\begin{equation}
+\vartheta' = \vartheta\cdot f'
+\qquad
+\rightarrow
+\qquad
+f' = f\cdot \vartheta'
+\;\Leftrightarrow\;
+\vartheta' = (\log f)' = \frac{f'}{f}.
+\label{buch:integrale:eqn:logarithmischeableitung}
+\end{equation}
+Dies ist die aus der Analysis bekannte Formel für die logarithmische
+Ableitung.
+
+Der Logarithmus von $f$ und die Exponentialfunktion von $f$ sollen
+also ebenfalls als elementare Funktionen betrachtet werden.
+
+\subsubsection{Die trigonometrischen Funktionen}
+Die bekannten trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
+sollten natürlich auch elementare Funktionen sein.
+Dabei kommt uns zur Hilfe, dass sie sich mit Hilfe der Exponentialfunktion
+als
+\[
+\cos f = \frac{e^{if}+e^{-if}}2
+\qquad\text{und}\qquad
+\sin f = \frac{e^{if}-e^{-if}}{2i}
+\]
+schreiben lassen.
+Eine differentielle Algebra, die die Exponentialfunktionen von $if$ und
+$-if$ enthält, enthält also automatisch auch die trigonometrischen
+Funktionen.
+Im Folgenden ist es daher nicht mehr nötig, die trigonometrischen
+Funktionen speziell zu untersuchen.
+
+\subsubsection{Elementare Funktionen}
+Damit sind wir nun in der Lage, den Begriff der elementaren Funktion
+genau zu fassen.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:einfache-elementare-funktion}
+Sie $\mathscr{D}$ eine differentielle Algebra über $\mathbb{C}$ und
+$\mathscr{D}(\vartheta)$ eine Erweiterung von $\mathscr{D}$ um eine
+neue Funktion $\vartheta$, dann heissen $\vartheta$ und die Elemente
+von $\mathscr{D}(\vartheta)$ einfach elementar, wenn eine der folgenden
+Bedingungen erfüllt ist:
+\begin{enumerate}
+\item $\vartheta$ ist algebraisch über $\mathscr{D}$, d.~h.~$\vartheta$
+ist eine ``Wurzel''.
+\item $\vartheta$ ist ein Logarithmus einer Funktion in $\mathscr{D}$,
+d.~h.~es gibt $f\in \mathscr{D}$ mit $f'=f\vartheta'$
+(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}).
+\item $\vartheta$ ist eine Exponentialfunktion einer Funktion in $\mathscr{D}$,
+d.~h.~es bit $f\in\mathscr{D}$ mit $\vartheta'=\vartheta f'$
+(Definition~\ref{buch:integrale:def:logexp}).
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Einfache elementare Funktionen entstehen also ausgehend von einer 
+differentiellen Algebra, indem man genau einmal eine Wurzel, einen
+Logarithmus oder eine Exponentialfunktion hinzufügt.
+So etwas wie die zusammengesetzte Funktion $e^{\sqrt{z}}$ ist
+damit noch nicht möglich.
+Daher erlauben wir, dass man die gesuchten Funktionen in mehreren
+Schritten aufbauen kann.
+
+\begin{definition}
+Sei $\mathscr{F}$ eine differentielle Algebra, die die differentielle
+Algebra $\mathscr{D}$ enthält, also $\mathscr{D}\subset\mathscr{F}$.
+$\mathscr{F}$ und die Elemente von $\mathscr{F}$ heissen einfach,
+wenn es endlich viele Elemente $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ gibt
+derart, dass
+\[
+\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
+\begin{array}{ccccccccccccc}
+\mathscr{D}
+&\subset&
+\mathscr{D}(\vartheta_1)
+&\subset&
+\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2)
+&\subset&
+\;
+\cdots
+\;
+&\subset&
+\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1})
+&\subset&
+\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2,\dots,\vartheta_{n-1},\vartheta_n)
+&=&
+\mathscr{F}
+\\
+\|
+&&
+\|
+&&
+\|
+&&
+&&
+\|
+&&
+\|
+&&
+\\
+\mathscr{F}_0
+&\subset&
+\mathscr{F}_1
+&\subset&
+\mathscr{F}_2
+&\subset&
+\cdots
+&\subset&
+\mathscr{F}_{n-1}
+&\subset&
+\mathscr{F}_{n\mathstrut}
+&&
+\end{array}
+\]
+gilt so, dass jedes $\vartheta_{i+1}$ einfach ist über 
+$\mathscr{F}_i=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_i)$.
+\end{definition}
+
+In Worten bedeutet dies, dass man den Funktionen von $\mathscr{D}$ 
+nacheinander Wurzeln, Logarithmen oder Exponentialfunktionen einzelner
+Funktionen hinzufügt.
+Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion} kann
+jetzt so formuliert werden.
+
+\begin{aufgabe}
+\label{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
+Gegeben ist eine Differentielle Algebra $\mathscr{D}$ und eine
+Funktion $f\in \mathscr{D}$.
+Gibt es eine Folge $\vartheta_1,\dots,\vartheta_n$ und eine Funktion
+$F\in\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ derart, dass
+$F'=f$.
+\end{aufgabe}
+
+Das folgende Beispiel zeigt, wie man möglicherweise mehrere 
+Erweiterungsschritte vornehmen muss, um zu einer Stammfunktion
+zu kommen.
+Es illustriert auch die zentrale Rolle, die der Partialbruchzerlegung
+in der weiteren Entwicklung zukommen wird.
+
+\begin{beispiel}
+\label{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion}
+Es soll eine Stammfunktion der Funktion
+\[
+f(z)
+=
+\frac{z}{(az+b)(cz+d)}
+\in
+\mathbb{C}(z)
+\]
+gefunden werden.
+In der Analysis lernt man, dass solche Integrale mit der
+Partialbruchzerlegung 
+\[
+\frac{z}{(az+b)(cz+d)}
+=
+\frac{A_1}{az+b}+\frac{A_2}{cz+d}
+=
+\frac{A_1cz+A_1d+A_2az+A_2b}{(az+b)(cz+d)}
+\quad\Rightarrow\quad
+\left\{
+\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}
+\begin{array}{rcrcr}
+cA_1&+&aA_2&=&1\\
+dA_1&+&bA_2&=&0
+\end{array}
+\right.
+\]
+bestimmt werden.
+Die Lösung des Gleichungssystems ergibt
+$A_1=b/(bc-ad)$ und $A_2=d/(ad-bc)$.
+Die Stammfunktion kann dann aus
+\begin{align*}
+\int f(z)\,dz
+&=
+\int\frac{A_1}{az+b}\,dz
++
+\int\frac{A_2}{cz+d}\,dz
+=
+\frac{A_1}{a}\int\frac{a}{az+b}\,dz
++
+\frac{A_2}{c}\int\frac{c}{cz+d}\,dz
+\end{align*}
+bestimmt werden.
+In den Integralen auf der rechten Seite ist der Zähler jeweils die
+Ableitung des Nenners, der Integrand hat also die Form $g'/g$.
+Genau diese Form tritt in der Definition eines Logarithmus auf.
+Die Stammfunktion ist jetzt
+\[
+F(z)
+=
+\int f(z)\,dz
+=
+\frac{A_1}{a}\log(az+b)
++
+\frac{A_2}{c}\log(cz+d)
+=
+\frac{b\log(az+b)}{a(bc-ad)}
++
+\frac{d\log(cz+d)}{c(ad-bc)}.
+\]
+Die beiden Logarithmen kann man nicht durch rein rationale Operationen
+ineinander überführen.
+Sie müssen daher beide der Algebra $\mathscr{D}$ hinzugefügt werden.
+\[
+\left.
+\begin{aligned}
+\vartheta_1&=\log(az+b)\\
+\vartheta_2&=\log(cz+d)
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+F(z) \in \mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2).
+\]
+Die Stammfunktion $F(z)$ ist also keine einfache elementare Funktion,
+aber $F$ ist immer noch eine elementare Funktion.
+\end{beispiel}
+
+\subsection{Partialbruchzerlegung
+\label{buch:integrale:section:partialbruchzerlegung}}
+Die Konstruktionen des letzten Abschnitts haben gezeigt,
+wie man die Funktionen, die man als Stammfunktionen einer Funktion
+zulassen möchte, schrittweise konstruieren kann.
+Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
+ist eine rein algebraische Formulierung der ursprünglichen
+Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion}.
+Schliesslich hat das Beispiel auf
+Seite~\pageref{buch:integrale:beispiel:nichteinfacheelementarefunktion}
+gezeigt, dass es im allgemeinen mehrere Schritte braucht, um zu einer
+elementaren Stammfunktion zu gelangen.
+Die Lösung setzt sich aus den Termen der Partialbruchzerlegung.
+In diesem Abschnitt soll diese genauer studiert werden.
+
+In diesem Abschnitt gehen wir immer von einer differentiellen
+Algebra über den komplexen Zahlen aus und verlangen, dass die
+Konstanten in allen betrachteten differentiellen Algebren
+$\mathbb{C}$ sind.
+
+\subsubsection{Monome}
+Die beiden Funktionen $\vartheta-1=\log(az+b)$ und $\vartheta_2=(cz+d)$,
+die im Beispiel hinzugefügt werden mussten, verhalten sich ich algebraischer
+Hinsicht wie ein Monom: man kann es nicht faktorisieren oder bereits
+bekannte Summanden aufspalten.
+Solchen Funktionen kommt eine besondere Bedeutung zu.
+
+\begin{definition}
+\label{buch:integrale:def:monom}
+Die Funktion $\vartheta$ heisst ein Monom, wenn $\vartheta$ nicht
+algebraisch ist über $\mathscr{D}$ und $\mathscr{D}(\vartheta)$ die
+gleichen Konstanten enthält wie $\mathscr{D}$.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel}
+Als Beispiel beginnen wir mit den komplexen Zahlen $\mathbb{C}$
+und fügen die Funktion $\vartheta_1=z$ hinzu und erhalten
+$\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$.
+Die Funktionen $z^k$ sind für alle $k$ linear unabhängig, d.~h.~es
+gibt keinen Ausdruck
+\[
+a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0=0.
+\]
+Dies ist gleichbedeutend damit, dass $z$ nicht algebraisch ist.
+Das Monom $z$ ist also auch ein Monom im Sinne der
+Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Wir beginnen wieder mit $\mathbb{C}$ und fügen die Funktion
+$e^z$ hinzu.
+Gäbe es eine Beziehung
+\[
+b_m(e^z)^m + b_{m-1}(e^z)^{m-1}+\dots+b_1e^z + b_0=0
+\]
+mit komplexen Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}$,
+dann würde daraus durch Einsetzen von $z=1$ die Relation
+\[
+b_me^m + b_{m-1}e^{m-1} + \dots + b_1e + b_0=0,
+\]
+die zeigen würde, dass $e$ eine algebraische Zahl ist.
+Es ist aber bekannt, dass $e$ transzendent ist.
+Dieser Widersprich zeigt, dass $e^z$ ein Monom ist.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Jetzt fügen wir die Exponentialfunktion $\vartheta_2=e^z$
+der differentiellen Algebra $\mathscr{D}=\mathbb{C}(z)$ hinzu
+und erhalten $\mathscr{F}_1=\mathscr{D}(e^z) = \mathbb{C}(z,e^z)$.
+Gäbe es das Minimalpolynom 
+\begin{equation}
+b_m(z)(e^z)^m + b_{m-1}(z)(e^z)^{m-1}+\dots+b_1(z)e^z + b_0(z)=0
+\label{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
+\end{equation}
+mit Koeffizienten $b_i\in\mathbb{C}(z)$, dann könnte man mit dem
+gemeinsamen Nenner der Koeffizienten durchmultiplizieren und erhielte
+eine Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} mit
+Koeffizienten in $\mathbb{C}[z]$.
+Dividiert man durch $e^{mz}$ erhält man
+\[
+b_m(z) + b_{m-1}(z)\frac{1}{e^z} + \dots + b_1(z)\frac{1}{(e^z)^{m-1}} + b_0(z)\frac{1}{(e^z)^m}=0.
+\]
+Aus der Analysis weiss man, dass die Exponentialfunktion schneller
+anwächst als jedes Polynom, alle Terme auf der rechten Seite
+konvergieren daher gegen 0 für $z\to\infty$.
+Das bedeutet, dass $b_m(z)\to0$ für $z\to \infty$.
+Das Polynom~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch} wäre also gar
+nicht das Minimalpolynom.
+Dieser Widerspruch zeigt, dass $e^z$ nicht algebraisch ist über
+$\mathbb{C}(z)$ und damit ein Monom ist\footnote{Etwas unbefriedigend
+an diesem Argument ist, dass man hier wieder rein analytische statt
+algebraische Eigenschaften von $e^z$ verwendet.
+Gäbe es aber eine minimale Relation wie
+\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
+mit Polynomkoeffizienten, dann wäre sie von der Form
+\[
+P(z,e^z)=p(z)(e^z)^m + q(z,e^z)=0,
+\]
+wobei Grad von $e^z$ in $q$ höchstens $m-1$ ist.
+Die Ableitung wäre dann
+\[
+Q(z,e^z)
+=
+mp(z)(e^z)^m + p'(z)(e^z)^m + r(z,e^z)
+=
+(mp(z) + p'(z))(e^z)^m + r(z,e^z)
+=0,
+\]
+wobei der Grad von $e^z$ in $r$ wieder höchstens $m-1$ ist.
+Bildet man $mP(z,e^z) - Q(z,e^z) = 0$ ensteht eine Relation,
+in der der Grad des Koeffizienten von $(e^z)^m$ um eins abgenommen hat.
+Wiederholt man dies $m$ mal, verschwindet der Term $(e^z)^m$, die
+Relation~\eqref{buch:integrale:beweis:exp-analytisch}
+war also gar nicht minimal.
+Dieser Widerspruch zeigt wieder, dass $e^z$ nicht algebraisch ist,
+verwendet aber nur die algebraischen Eigenschaften der differentiellen
+Algebra.
+}.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+Wir hätten auch in $\mathbb{Q}$ arbeiten können und $\mathbb{Q}$
+erst die Exponentialfunktion $e^z$ und dann den Logarithmus $z$ von $e^z$
+hinzufügen können.
+Es gibt aber noch weitere Logarithmen von $e^z$ zum Beispiel $z+2\pi i$.
+Offenbar ist $\psi=z+2\pi i\not\in \mathbb{Q}(z,e^z)$, wir könnten also
+auch noch $\psi$ hinzufügen.
+Zwar ist $\psi$ auch nicht algebraisch, aber wenn wir $\psi$ hinzufügen,
+dann wird aber die Menge der Konstanten grösser, sie umfasst jetzt
+$\mathbb{Q}(2\pi i)$.
+Die Bedingung in der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom},
+dass die Menge der Konstanten nicht grösser werden darf, ist also
+verletzt.
+
+Hätte man mit $\mathbb{Q}(e^z, z+2\pi i)$ begonnen, wäre $z$ aus
+dem gleichen Grund kein Monom, aber $z+2\pi i$ wäre eines im Sinne
+der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom}.
+In allen Rechnungen könnte man $\psi=z+2\pi i$ nicht weiter aufteilen,
+da $\pi$ oder seine Potenzen keine Elemente von $\mathbb{Q}(e^z)$ sind.
+\end{beispiel}
+
+Da wir im Folgenden davon ausgehen, dass die Konstanten unserer
+differentiellen Körper immer $\mathbb{C}$ sind, wird es jeweils
+genügen zu untersuchen, ob eine neu hinzuzufügende Funktion algebraisch
+ist oder nicht.
+
+\subsubsection{Ableitungen von Polynomen und rationalen Funktionen von Monomen}
+Fügt man einer differentiellen Algebra ein Monom hinzu, dann lässt
+sich etwas mehr über Ableitungen von Polynomen oder Brüchen in diesen
+Monomen sagen.
+Diese Eigenschaften werden später bei der Auflösung der Partialbruchzerlegung
+nützlich sein.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}
+Sei
+\[
+P
+=
+A_nX^n + A_{n-1}X^{n-1} + \dots A_1X+A_0
+\in\mathscr{D}[X]
+\]
+ein Polynom mit Koeffizienten in einer differentiellen Algebra $\mathscr{D}$
+und $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$.
+Dann gilt
+\begin{enumerate}
+\item
+\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
+Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $P(\vartheta)'$ ein
+Polynom vom Grad $n$ in $\vartheta$, wenn der Leitkoeffizient $A_n$
+nicht konstant ist, andernfalls ein Polynom vom Grad $n-1$.
+\item
+\label{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-exp}
+Falls $\vartheta = \exp f$ ist, dann ist $P(\vartheta)'$ ein Polynom
+in $\vartheta$ vom Grad $n$.
+\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+Der Satz macht also genaue Aussagen darüber, wie sich der Grad eines
+Polynoms in $\vartheta$ beim Ableiten ändert.
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Für Exponentialfunktion ist $\vartheta'=\vartheta f'$, die Ableitung
+fügt also einfach einen Faktor $f'$ hinzu.
+Terme der Form $A_k\vartheta^k$ haben die Ableitung
+\[
+(A_k\vartheta^k)
+=
+A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta'
+=
+A'_k\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta f'
+=
+(A'_k + kA_k f)\vartheta^k.
+\]
+Damit wird die Ableitung des Polynoms
+\begin{equation}
+P(\vartheta)'
+=
+\underbrace{(A'_n+nA_nf')\vartheta^n}_{\displaystyle=(A_n\vartheta^n)'}
++
+(A'_{n-1}+(n-1)A_{n-1}f')\vartheta^{n-1}
++ \dots + 
+(A'_1+A_1f')\vartheta + A_0'.
+\label{buch:integrale:ableitung:polynom}
+\end{equation}
+Der Grad der Ableitung kann sich also nur ändern, wenn $A_n'+nA_nf'=0$ ist.
+Dies bedeutet aber wegen
+\(
+(A_n\vartheta^n)'
+=
+0
+\), dass  $A_n\vartheta^n=c$ eine Konstante ist.
+Da alle Konstanten bereits in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass
+\[
+\vartheta^n=\frac{c}{A_n}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\vartheta^n - \frac{c}{A_n}=0,
+\]
+also wäre $\vartheta$ algebraisch über $\mathscr{D}$, also auch kein Monom.
+Dieser Widerspruch zeigt, dass der Leitkoeffizient nicht verschwinden kann.
+
+Für die erste Aussage ist die Ableitung der einzelnen Terme des Polynoms
+\[
+(A_k\vartheta^k)'
+=
+A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\vartheta'
+=
+A_k'\vartheta^k + A_kk\vartheta^{k-1}\frac{f'}{f}
+=
+\biggl(A_k'\vartheta + kA_k\frac{f'}{f}\biggr)\vartheta^{k-1}.
+\]
+Die Ableitung des Polynoms ist daher
+\[
+P(\vartheta)'
+=
+A_n'\vartheta^n + \biggl(nA_n\frac{f'}{f}+ A'_{n-1}\biggr)\vartheta^{n-1}+\dots
+\]
+Wenn $A_n$ keine Konstante ist, ist $A_n'\ne 0$ und der Grad von
+$P(\vartheta)'$ ist $n$.
+Wenn $A_n$ eine Konstante ist, müssen wir noch zeigen, dass der nächste
+Koeffizient nicht verschwinden kann.
+Wäre der zweite Koeffizient $=0$, dann wäre die Ableitung
+\[
+(nA_n\vartheta+A_{n-1})'
+=
+nA_n\vartheta'+A'_{n-1}
+=
+nA_n\frac{f'}{f}+A'_{n-1}
+=
+0,
+\]
+d.h. $nA_n\vartheta+A_{n-1}=c$ wäre eine Konstante.
+Da alle Konstanten schon in $\mathscr{D}$ sind, müsste auch
+\[
+\vartheta = \frac{c-A_{n-1}}{nA_n} \in \mathscr{D}
+\]
+sein, wieder wäre $\vartheta$ kein Monom.
+\end{proof}
+
+Der nächste Satz gibt Auskunft über den führenden Term in
+$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
+Sei $P$ ein Polynom vom Grad $n$ wie in
+\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung}
+welches zusätzlich normiert ist, also $A_n=1$.
+\begin{enumerate}
+\item
+\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log}
+Ist $\vartheta=\log f$, dann ist
+$(\log P(\vartheta))' = P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ und $P(\vartheta)'$
+hat Grad $n-1$.
+\item
+\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
+Ist $\vartheta=\exp f$, dann gibt es ein Polynom $N(\vartheta)$ so, dass
+$(\log P(\vartheta))'
+=
+P(\vartheta)'/P(\vartheta)
+=
+N(\vartheta)/P(\vartheta)+nf'$
+ist.
+Falls $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $N=0$, andernfalls ist $N(\vartheta)$
+ein Polynom vom Grad $<n$.
+\end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Die Gleichung $(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)$ ist die
+Definition eines Logarithmus, es geht also vor allem um die Frage
+des Grades von $P(\vartheta)'$.
+Da der Leitkoeffizient als $1$ und damit konstant vorausgesetzt wurde,
+folgt die Behauptung \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-log}
+aus 
+Aussage \ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
+von Satz~\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}.
+
+Für Aussage \ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
+beachten wir wieder die
+Ableitungsformel~\eqref{buch:integrale:ableitung:polynom}
+und berücksichtigen, dass $A_n=1$ eine Konstante ist.
+Da $A_n'=0$ ist, wird
+\begin{align*}
+P(\vartheta)'
+&=
+nA_n\vartheta^n f' + \text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}.
+\intertext{Das Polynom $nf'P(\vartheta)$ hat den gleichen Term vom
+Grad $n$, man kann also $P(\vartheta)'$ auch schreiben als}
+&=
+nf'
+P(\vartheta)
++
+\underbrace{
+\text{Terme niedrigeren Grades in $\vartheta$}}_{\displaystyle=N(\vartheta)}.
+\end{align*}
+Division durch $P(\vartheta)$ ergibt die versprochene Formel.
+
+Im Fall $P(\vartheta)=\vartheta$ ist $n=1$ und
+$(\log P(\vartheta))'=P(\vartheta)'/P(\vartheta)
+=
+\vartheta f'/\vartheta
+=
+nf'$ und somit $N(\vartheta)=0$.
+\end{proof}
+
+\subsubsection{Partialbruchzerlegungen}
+Der vorangegangene Abschnitt hat gezeigt, dass sich Monome im Sinne
+der Definition~\ref{buch:integrale:def:monom} algebraisch wie eine
+unabhängige Variable verhalten.
+Für die Berechnung von Integralen rationaler Funktionen in einer
+Variablen $x$ verwendet
+man die Partialbruchzerlegung, um Brüche mit einfachen Nennern zu
+erhalten.
+Es liegt daher nahe, dieselbe Idee auch auf die 
+Monome $\vartheta_i$ zu verwenden.
+Dazu muss man die Brüche besser verstehen, die in einer Partialbruchzerlegung
+vorkommen können.
+
+Eine Partialbruchzerlegung in der Variablen $X$ setzt sich zusammen
+aus Brüchen der Form
+\begin{equation}
+g(X)
+=
+\frac{P(X)}{Q(X)^r},
+\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
+\end{equation}
+wobei das Nennerpolynom $Q(X)$ ist ein normiertes irreduzibles Polynom
+vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$.
+
+Ist der Grad von $P(X)$
+im Quotienten 
+\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
+grösser als $q$, dann kann man $P(X)$ um Vielfache von Potenzen von
+$Q(X)$ reduzieren und eine Summe von Termen der Art
+\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-quotient}
+erhalten, deren Nenner alle Grad $< q$ haben.
+Die Anzahl neu enstehender Terme ist dabei ums grösser, je grösser
+der Grad des Zählers ist.
+Dies ist der Inhalt des folgenden Satzes.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion}
+Sei $Q(X)$ ein irreduzibles Polynom vom Grad $q$ und $P(X)$ ein beliebiges
+Polynom vom Grad $p < (k+1)q$.
+Dann gibt es Polynome $P_i(X)$, $i=0,\dots,k$, vom Grad $<q$ derart,
+dass
+\begin{equation}
+\frac{P(X)}{Q(X)^r}
+=
+\sum_{i=0}^k \frac{P_i(X)}{Q(X)^{r-i}}.
+\label{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}
+\end{equation}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Für $k=0$ ist $p<q$ und es muss nichts weiter gezeigt werden.
+
+Sei jetzt also $k>0$ das kleinste $k$ so, dass $p<(k+1)q$.
+Insbesondere ist dann $kq\le p$.
+Nach dem euklidischen Satz für die Division von $P(X)$ durch $Q(X)^k$
+gibt es ein Polynom $P_k(X)$ vom Grad $\le p-qk$ derart, dass
+\[
+P(X) = P_k(X)Q(X)^k + R_k(X)
+\]
+mit einem Rest $R_k(X)$ vom Grad $<kq$.
+Es folgt
+\[
+\frac{ P(X)}{Q(X)^r}
+=
+\frac{P_k(X)}{Q(X)^{r-k}}
++
+\frac{R_k(X)}{Q(X)^r}.
+\]
+Der zweite Term ist wieder von der im Satz beschriebenen Art, allerdings
+mit einem Wert von $k$, der um $1$ kleiner ist.
+Durch rekursive Anwendung der gleichen Prozedur in $k$ weiteren Schritten
+erhält man die Form
+Das gleiche Argument kann jetzt auf das Polynom $R_k(X)$ anstelle
+von $P(X)$ angewendet werden,  erhalt man den Ausdruck
+\eqref{buch:integrale:satz:partialbruch-aufgeloest}.
+\end{proof}
+
+In der differentiellen Algebra $\mathscr{D}(\vartheta)$ muss man jetzt
+auch Bescheid wissen über die Partialbruchzerlegung von Ableitungen solcher
+Terme.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
+Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und
+seien $P(\vartheta),Q(\vartheta)\in\mathscr{D}[\vartheta]$ Polynome,
+wobei $Q(\vartheta)$ ein irreduzibles normiertes Polynom vom Grad $q$
+ist und $P(\vartheta)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $p<q$.
+Dann ist die Ableitung
+\begin{equation}
+g(\vartheta)'
+=
+\biggl(
+\frac{P(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r}
+\biggr)'
+=
+-r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}}
++
+\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^r}.
+\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}
+\end{equation}
+Falls $\vartheta=\exp f$ eine Exponentialfunktion ist und
+$Q(\vartheta)=\vartheta$, dann hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$
+die Form
+\begin{equation}
+g(\vartheta)'
+=
+\frac{
+{P(\vartheta)'-rP(\vartheta)f}
+}{
+\vartheta^{r}
+}.
+\label{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0}
+\end{equation}
+Für $Q(\vartheta)\ne \vartheta$ oder $\vartheta$ keine Exponentialfunktion
+hat die Partialbruchzerlegung von $g(X)'$ die Form
+\[
+g(\vartheta)'
+=
+\frac{R(\vartheta)}{Q(\vartheta)^{r+1}}+\frac{S(\vartheta)}{Q(\vartheta)^r}
+\qquad\text{mit $R(\vartheta)\ne 0$}.
+\]
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Schreibt man den Quotienten $g(\vartheta)$ als
+$g(\vartheta)=P(\vartheta)Q(\vartheta)^{-r}$, dann folgt aus
+Produkt- und Potenzregel
+\[
+g(\vartheta)'
+=
+P(\vartheta)'Q(\vartheta)^{-r}
++
+P(\vartheta)\bigl(Q(\vartheta)^{-r}\bigr)'
+=
+\frac{P(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r}}
+-r\frac{P(\vartheta)Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)^{r+1}},
+\]
+dies ist
+\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung}.
+Auf die Ableitungen von $P(\vartheta)$ und $Q(\vartheta)$ können 
+jetzt die Sätze
+\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad},
+\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
+und
+\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
+angewendet werden.
+Es sind jweils zwei Dinge zu prüfen: es dürfen in der Partialbruchzerlegung
+im Nenner keine Potenzen $<r$ vorkommen und wegen $R\ne 0$ muss der Nenner
+$Q(\vartheta)^{r+1}$ vorkommen.
+
+Falls $\vartheta=\log f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom
+Grad $q-1$ nach Satz~\eqref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad}
+\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad-log}
+und $P(\vartheta)'$ ist ein Polynom vom Grad höchstens $p$.
+Der Zähler $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ im zweiten Term ist nicht
+durch $Q(\vartheta)$ teilbar, denn weil $Q(\vartheta)$ irreduzibel
+ist, müsste $Q(\vartheta)$ entweder $P(\vartheta)$ oder $Q(\vartheta)'$
+teilen, aber beide haben zu geringen Grad.
+
+Falls $\vartheta=\exp f$ ist, ist $Q(\vartheta)'$ ein Polynom vom
+Grad $q$ und $P(\vartheta)'$ ist eine Polynom vom Grad $p$.
+Der Grad von $P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ ist $<2q$, daher 
+werden nach
+Satz~\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-reduktion}
+keine Nenner mit kleinerem Exponenten als $r$ auftreten.
+Es ist noch zu prüfen, ob $Q(\vartheta)$ den Nenner des zweiten Termes
+von~\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung} teilt.
+Nehmen wir $Q(\vartheta)\mid P(\vartheta)Q(\vartheta)'$ an, dann muss
+$Q(\vartheta)\mid Q(\vartheta)'$ sein.
+Für
+\[
+Q(\vartheta) = \vartheta^q + q_{q-1}\vartheta^{q-1} + \dots
+\]
+ist die Ableitung
+\[
+Q(\vartheta)'
+=
+q\vartheta^q f'
++
+\dots
+\]
+und damit
+\[
+\frac{Q(\vartheta)'}{Q(\vartheta)}
+=
+qf'.
+\]
+Andererseits ist in der 
+Aussage~\label{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-exp}
+von
+Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
+angewendet auf das Polynom $Q(\vartheta)$ das Polynom $N(\vartheta)=0$,
+und daher muss $Q(\vartheta)=\vartheta$ und $q=1$ sein.
+Dies ist der einzige Ausnahmefall, in die Partialbruchzerlegung die Form
+\eqref{buch:integrale:eqn:partialbruch-ableitung-fall0}
+annimmt.
+\end{proof}
+
+Der Satz besagt also, dass in fast allen Fällen die einzelnen Terme
+der Partialbruchzerlegung der Ableitungen wieder von der gleichen
+Form sind.
+
+\subsection{Der Satz von Liouville
+\label{buch:integrale:section:liouville}}
+Die Funktion
+\[
+f(z) = \frac{(z+1)^2}{(z-1)^3} \in \mathbb{C}(z) = \mathscr{D}
+\]
+kann mit Hilfe der Partialbruchzerlegung
+\[
+f(z)
+=
+\frac{1}{z-1}
++
+\frac{4}{(z-1)^2}
++
+\frac{4}{(z-1)^3}
+\]
+integriert werden.
+Die Integranden $(z-1)^{-k}$ mit $k>1$ können mit der Potenzregel
+integriert werden, aber für eine Stammfunktion $1/(z-1)$ muss
+der Logarithmus $\log(z-1)$ hinzugefügt werden.
+Die Stammfunktion 
+\[
+\int f(z)\,dz
+=
+\int
+\frac{1}{z-1}
+\,dz
++
+\int
+\frac{4}{(z-1)^2}
+\,dz
++
+\int
+\frac{4}{(z-1)^3}
+\,dz
+=
+\log(z-1)
+-
+\underbrace{\frac{4z-2}{(z-1)^2}}_{\displaystyle\in\mathscr{D}}
+\in \mathscr{D}(\log(z-1)) = \mathscr{F}
+\]
+hat eine sehr spezielle Form.
+Sie besteht aus einem Term in $\mathscr{D}$ und einem Logarithmus
+einer Funktion von $\mathscr{D}$, also einem Monom über $\mathscr{D}$.
+
+\subsubsection{Einfach elementare Stammfunktionen}
+Der in diesem Abschnitt zu beweisende Satz von Liouville zeigt,
+dass die im einführenden Beispiel konstruierte Form der Stammfunktion
+eine allgemeine Eigenschaft elementar integrierbarer
+Funktionen ist.
+Zunächst aber soll dieses Bespiel etwas verallgemeinert werden.
+
+\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für Monome]
+\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1}
+Sei $\vartheta$ ein Monom über $\mathscr{D}$ und $g\in\mathscr{D}(\vartheta)$
+mit $g'\in\mathscr{D}$.
+Dann hat $g$ die Form $v_0 + c_1\vartheta$ mit $v_0\in\mathscr{D}$ und
+$c_1\in\mathbb{C}$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+In Anlehnung an das einführende Beispiel nehmen wir an, dass die
+Stammfunktion $g\in\mathscr{D}[\vartheta]$ für ein Monom $\vartheta$
+über $\mathscr{D}$ ist.
+Dann hat $g$ die Partialbruchzerlegung
+\[
+g
+=
+H(\vartheta)
++
+\sum_{j\le r(i)} \frac{P_{ij}(\vartheta)}{Q_i(\vartheta)^j}
+\]
+mit irreduziblen normierten Polynomen $Q_i(\vartheta)$ und
+Polynomen $P_{ij}(\vartheta)$ vom Grad kleiner als $\deg Q_i(\vartheta)$.
+Ausserdem ist $H(\vartheta)$ ein Polynom.
+Die Ableitung von $g$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein.
+Zu ihrer Berechnung können die Sätze
+\ref{buch:integrale:satz:polynom-ableitung-grad},
+\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
+und
+\ref{buch:integrale:satz:partialbruch-monom}
+verwendet werden.
+Diese besagen, dass in der Partialbruchzerlegung die Exponenten der
+Nenner die Quotienten in der Summe nicht kleiner werden.
+Die Ableitung $g'\in\mathscr{D}$ darf aber gar keine Nenner mit
+$\vartheta$ enthalten, also dürfen die Quotienten gar nicht erst
+vorkommen.
+$g=H(\vartheta)$ muss also ein Polynom in $\vartheta$ sein.
+Die Ableitung des Polynoms darf wegen $g'\in\mathscr{d}$ das Monom
+$\vartheta$ ebenfalls nicht mehr enthalten, daher kann es höchstens vom
+Grad $1$ sein.
+Nach Satz~\ref{buch:integrale:satz:log-polynom-ableitung-grad}
+muss ausserdem der Leitkoeffizient von $g$ eine Konstante sein,
+das Polynom hat also genau die behauptete Form.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Liouville-Vorstufe für algebraische Elemente]
+\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2}
+Sei $\vartheta$ algebraische über $\mathscr{D}$ und
+$g\in\mathscr{D}(\vartheta)$ mit $g'\in\mathscr{D}$.
+\end{satz}
+
+\subsubsection{Elementare Stammfunktionen}
+Nach den Vorbereitungen über einfach elementare Stammfunktionen 
+in den Sätzen~\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1}
+und
+\label{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-2} sind wir jetzt
+in der Lage, den allgemeinen Satz von Liouville zu formulieren
+und zu beweisen.
+
+\begin{satz}[Liouville]
+Sei $\mathscr{D}$ ein Differentialkörper, $\mathscr{F}$ einfach über
+$\mathscr{D}$ mit gleichem Konstantenkörper $\mathbb{C}$.
+Wenn $g\in \mathscr{F}$ eine Stammfunktion von $f\in\mathscr{D}$ ist,
+also $g'=f$, dann gibt es Zahlen $c_i\in\mathbb{C}$ und
+$v_0,v_i\in\mathscr{D}$ derart, dass
+\begin{equation}
+g = v_0 + \sum_{i=1}^k c_i \log v_i
+\qquad\Rightarrow\qquad
+g' = v_0' + \sum_{i=1}^k c_i \frac{v_i'}{v_i} = f
+\label{buch:integrale:satz:liouville-fform}
+\end{equation}
+gilt.
+\end{satz}
+
+Der Satz hat zur Folge, dass eine elementare Stammfunktion für $f$ 
+nur dann existieren kann, wenn sich $f$ in der speziellen Form
+\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}
+schreiben lässt.
+Die Aufgabe~\ref{buch:integrale:aufgabe:existenz-stammfunktion-dalg}
+lässt sich damit jetzt lösen.
+
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Wenn die Stammfunktion $g\in\mathscr{D}$ ist, dann hat $g$ die Form
+\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform} mit $v_0=g$, die Summe
+wird nicht benötigt.
+
+Wir verwenden Induktion nach der Anzahl der Elemente, die zu $\mathscr{D}$
+hinzugefügt werden müssen, um einen Differentialkörper 
+$\mathscr{F}=\mathscr{D}(\vartheta_1,\dots,\vartheta_n)$ zu konstruieren,
+der $g$ enthält.
+Da $f\in\mathscr{D}\subset\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, können wir die
+Induktionsannahme auf die Erweiterung
+\[
+\mathscr{D}(\vartheta_1)\subset\mathscr{D}(\vartheta_1,\vartheta_2)
+\subset\cdots\subset \mathscr{D}(\vartheta_1,\cdots,\vartheta_n)=\mathscr{F}
+\]
+anwenden, die durch Hinzufügen von nur $n-1$ Elemente
+$\vartheta_2,\dots,\vartheta_n$ aus $\mathscr{D}(\vartheta_1)$ den
+Differentialkörper $\mathscr{F}$ erreicht, der $g$ enthält.
+Sie besagt, dass sich $g$ schreiben lässt als
+\[
+g = w_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log w_i
+\qquad\text{mit $c_i\in\mathbb{C}$ und $w_0,w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$.}
+\]
+Wir müssen jetzt zeigen, dass sich dieser Ausdruck umformen lässt 
+in den Ausdruck der Form~\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}.
+
+Der Term $w_0\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ hat eine Partialbruchzerlegung
+\[
+H(\vartheta_1)
++
+\sum_{j\le r(l)} \frac{P_{lj}(\vartheta_1)}{Q_l(\vartheta_1)^j}
+\]
+in der Variablen $\vartheta_1$.
+
+Da $w_i\in\mathscr{D}(\vartheta_1)$ ist, kann man Zähler und Nenner
+von $w_i$ als Produkt irreduzibler normierter Polynome schreiben:
+\[
+w_i
+=
+\frac{h_i Z_{i1}(\vartheta_1)^{s_{i1}}\cdots Z_{im(i)}^{s_{im(i)}}
+}{
+N_{i1}(\vartheta_1)^{t_{i1}}\cdots N_{in(i)}(\vartheta_1)^{t_{in(i)}}
+}
+\]
+Der Logarithmus hat die Form
+\begin{align*}
+\log w_i
+&= \log h_i + 
+s_{i1}
+\log Z_{i1}(\vartheta_1)
++
+\cdots
++
+s_{im(i)}
+\log Z_{im(i)}
+-
+t_{i1}
+\log
+N_{i1}(\vartheta_1)
+-
+\cdots
+-
+t_{in(i)}
+\log
+N_{in(i)}(\vartheta_1).
+\end{align*}
+$g$ kann also geschrieben werden als eine Summe von Polynomen, Brüchen,
+wie sie in der Partialbruchzerlegung vorkommen, Logarithmen von irreduziblen
+normierten Polynomen und Logarithmen von Elementen von $\mathscr{D}$.
+
+Die Ableitung $g'$ muss jetzt aber wieder in $\mathscr{D}$ sein, beim
+Ableiten müssen also alle Terme verschwinden, die $\vartheta_1$ enthalten.
+Dabei spielt es eine Rolle, ob $\vartheta_1$ ein Monom oder algebraisch ist.
+\begin{enumerate}
+\item
+Wenn $\vartheta_1$ ein Monom ist, dann kann man wie im Beweis des
+Satzes~\ref{buch:integrale:satz:liouville-vorstufe-1} argumentieren,
+dass die Brüchterme gar nicht vorkommen und
+$H(\vartheta_1)=v_0+c_1\vartheta_1$ sein muss.
+Die Ableitung Termen der Form $\log Z(\vartheta_1)$ ist ein Bruchterm
+mit dem irreduziblen Nenner $Z(\vartheta_1)$, die ebenfalls verschwinden
+müssen.
+Ist $\vartheta_1$ eine Exponentialfunktion, dann ist
+$\vartheta_1' \in \mathscr{D}(\vartheta_1)\setminus\mathscr{D}$, also muss
+$c_1=0$ sein.
+Ist  $\vartheta_1$ ein Logarithmus, also $\vartheta_1=\log v_1$, dann
+kommen nur noch Terme der in 
+\eqref{buch:integrale:satz:liouville-fform}
+erlaubten Form vor.
+
+\item
+Wenn $\vartheta_1$ algebraisch vom Grad $m$ ist, dann ist
+\[
+g' = w_0' + \sum_{i=1}^{k_1} d_i\frac{w_i'}{w_i} = f.
+\]
+Weder $w_0$ noch $\log w_i$ sind in $\mathscr{D}(\vartheta_1)$.
+Aber wenn man $\vartheta_1$ durch die $m$ konjugierten Elemente
+ersetzt und alle summiert, dann ist
+\[
+mf
+=
+\operatorname{Tr}(w_0) + \sum_{i=1}^{k_1} d_i \log\operatorname{Norm}(w_i).
+\]
+Da die Spur und die Norm in $\mathscr{D}$ sind, folgt, dass
+\[
+f
+=
+\underbrace{\frac{1}{m}
+\operatorname{Tr}(w_0)}_{\displaystyle= v_0}
++
+\sum_{i=1}^{k_1} \underbrace{\frac{d_i}{m}}_{\displaystyle=c_i}
+\log
+\underbrace{ \operatorname{Norm}(w_i)}_{\displaystyle=v_i}
+=
+v_0 + \sum_{i=1}^{k_1} c_i\log v_i
+\]
+die verlangte Form hat.
+\qedhere
+\end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\subsection{Die Fehlerfunktion ist keine elementare Funktion
+\label{buch:integrale:section:fehlernichtelementar}}
+% \url{https://youtu.be/bIdPQTVF5n4}
+Mit Hilfe des Satzes von Liouville kann man jetzt beweisen, dass 
+die Fehlerfunktion keine elementare Funktion ist.
+Dazu braucht man die folgende spezielle Form des Satzes.
+
+\begin{satz}
+\label{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion}
+Wenn $f(x)$ und $g(x)$ rationale Funktionen von $x$ sind, dann
+ist die Stammfunktion von $f(x)e^{g(x)}$ genau dann eine 
+elementare Funktion, wenn es eine rationale Funktion gibt, die
+Lösung der Differentialgleichung
+\[
+r'(x) + g'(x)r(x)=f(x)
+\]
+ist.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}
+Die Funktion $x\mapsto e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion.
+\label{buch:iintegrale:satz:expx2}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Unter Anwendung des Satzes~\ref{buch:integrale:satz:elementarestammfunktion}
+auf $f(x)=1$ und $g(x)=-x^2$ folgt, $e^{-x^2}$ genau dann eine rationale 
+Stammfunktion hat, wenn es eine rationale Funktion $r(x)$ gibt, die
+Lösung der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+r'(x) -2xr(x)=1
+\label{buch:integrale:expx2dgl}
+\end{equation}
+ist.
+
+Zunächst halten wir fest, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann.
+Wäre nämlich 
+\[
+r(x)
+=
+a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n
+=
+\sum_{k=0}^n a_kx^k
+\quad\Rightarrow\quad
+r'(x)
+=
+a_1 + 2a_2x + \dots + na_nx^{n-1}
+=
+\sum_{k=1}^n
+ka_kx^{k-1}
+\]
+ein Polynom, dann ergäbe sich beim Einsetzen in die Differentialgleichung
+\begin{align*}
+1
+&=
+r'(x)-2xr(x)
+\\
+&=
+a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2 + \dots + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + na_nx^{n-1}
+\\
+&\qquad
+-
+2a_0x -2a_1x^2 -2a_2x^3 - \dots - 2a_{n-1}x^n - 2a_nx^{n+1}
+\\
+&
+\hspace{0.7pt}
+\renewcommand{\arraycolsep}{1.8pt}
+\begin{array}{crcrcrcrcrcrcrcr}
+=&a_1&+&2a_2x&+&3a_3x^2&+&\dots&+&(n-1)a_{n-1}x^{n-2}&+&na_{n  }x^{n-1}& &           & & \\
+ &   &-&2a_0x&-&2a_1x^2&-&\dots&-&    2a_{n-3}x^{n-2}&-&2a_{n-2}x^{n-1}&-&2a_{n-1}x^n&-&2a_nx^{n+1}
+\end{array}
+\\
+&=
+a_1
++
+(2a_2-2a_0)x
++
+(3a_3-2a_1)x^2
+%+
+%(4a_4-2a_2)x^3
++
+\dots
++
+(na_n-2a_{n-2})x^{n-1}
+-
+2a_{n-1}x^n
+-
+2a_nx^{n+1}.
+\end{align*}
+Koeffizientenvergleich zeigt, dass $a_1=1$ sein muss.
+Aus den letzten zwei Termen liest man ebenfalls mittels Koeffizientenvergleich
+ab, dass $a_n=0$ und $a_{n-1}=0$ sein müssen.
+Aus den Koeffizienten $(ka_k-2a_{k-2})=0$ folgt, dass
+$a_{k-2}=\frac{k}{2}a_k$ für alle $k>1$ sein muss, diese Koeffizienten
+verschwinden also auch, inklusive $a_1=0$.
+Dies ist allerdings im Widerspruch zu $a_1=1$.
+Es folgt, dass $r(x)$ kein Polynom sein kann.
+
+Der Nenner der rationalen Funktion $r(x)$ hat also mindestens eine Nullstelle
+$\alpha$, man kann daher $r(x)$ auch schreiben als
+\[
+r(x) = \frac{s(x)}{(x-\alpha)^n},
+\]
+wobei die rationale Funktion $s(x)$ keine Nullstellen und keine Pole hat.
+Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:
+\[
+1
+=
+r'(x) -2xr(x)
+=
+\frac{s'(x)}{(x-\alpha)^n}
+-n
+\frac{s(x)}{(x-\alpha)^{n+1}}
+-
+\frac{2xs(x)}{(x-\alpha)^n}.
+\]
+Multiplizieren mit $(x-\alpha)^{n+1}$ gibt
+\[
+(x-\alpha)^{n+1}
+=
+s'(x)(x-\alpha)
+-
+ns(x)
+-
+2xs(x)(x-\alpha)
+\]
+Setzt man $x=\alpha$ ein, verschwinden alle Terme ausser dem mittleren
+auf der rechten Seite, es bleibt
+\[
+ns(\alpha) = 0.
+\]
+Dies widerspricht aber der Wahl der rationalen Funktion $s(x)$, für die
+$\alpha$ keine Nullstelle ist.
+
+Somit kann es keine rationale Funktion $r(x)$ geben, die eine Lösung der
+Differentialgleichung~\eqref{buch:integrale:expx2dgl} ist und
+die Funktion $e^{-x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion.
+\end{proof}
+
+Der Satz~\ref{buch:iintegrale:satz:expx2} rechtfertigt die Einführung 
+der Fehlerfunktion $\operatorname{erf}(x)$ als neue spezielle Funktion,
+mit deren Hilfe die Funktion $e^{-x^2}$ integriert werden kann.
+
+
+