diff options
author | LordMcFungus <mceagle117@gmail.com> | 2022-07-22 21:28:45 +0200 |
---|---|---|
committer | GitHub <noreply@github.com> | 2022-07-22 21:28:45 +0200 |
commit | 23f17598c1742c70f442b94044a20aa821022c5a (patch) | |
tree | a945540ee6a4e86b37df2f01e3a91584b4797c4f /buch/chapters/060-integral/logexp.tex | |
parent | Merge pull request #2 from AndreasFMueller/master (diff) | |
parent | Merge pull request #25 from JODBaer/master (diff) | |
download | SeminarSpezielleFunktionen-23f17598c1742c70f442b94044a20aa821022c5a.tar.gz SeminarSpezielleFunktionen-23f17598c1742c70f442b94044a20aa821022c5a.zip |
Merge pull request #3 from AndreasFMueller/master
update
Diffstat (limited to 'buch/chapters/060-integral/logexp.tex')
-rw-r--r-- | buch/chapters/060-integral/logexp.tex | 146 |
1 files changed, 146 insertions, 0 deletions
diff --git a/buch/chapters/060-integral/logexp.tex b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex new file mode 100644 index 0000000..e0efab2 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/060-integral/logexp.tex @@ -0,0 +1,146 @@ +% +% logexp.tex +% +% (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue +% +\subsection{Log-Exp-Notation für trigonometrische und hyperbolische Funktionen +\label{buch:integral:subsection:logexp}} +Die Integration rationaler Funktionen hat bereits gezeigt, dass +eine Stammfunktion nicht immer im Körper der rationalen Funktionen +existiert. +Es kann notwendig sein, dem Körper logarithmische Erweiterungen der Form +$\log(x-\alpha)$ hinzuzufügen. + +Es können jedoch noch ganz andere neue Funktionen auftreten, wie die +folgende Zusammenstellung einiger Stammfunktionen zeigt: +\begin{equation} +\begin{aligned} +\int\frac{dx}{1+x^2} +&= +\arctan x, +\\ +\int \cos x\,dx +&= +\sin x, +\\ +\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} +&= +\arcsin x, +\\ +\int +\operatorname{arcosh} x\,dx +&= +x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1}. +\end{aligned} +\label{buch:integration:risch:allgform} +\end{equation} +In der Stammfunktion treten Funktionen auf, die auf den ersten +Blick nichts mit den Funktionen im Integranden zu tun haben. + +\subsubsection{Trigonometrische und hyperbolische Funktionen} +Die trigonometrischen und hyperbolichen Funktionen +in~\eqref{buch:integration:risch:allgform} +lassen sich alle durch Exponentialfunktionen ausdrücken. +So gilt +\begin{equation} +\begin{aligned} +\sin x &= \frac{1}{2i}\bigl( e^{ix} - e^{-ix}\bigr), +& +&\qquad& +\cos x &= \frac{1}{2}\bigl( e^{ix} + e^{-ix}\bigr), +\\ +\sinh x &= \frac12\bigl( e^x - e^{-x} \bigr), +& +&\qquad& +\cosh x &= \frac12\bigl( e^x + e^{-x} \bigr). +\end{aligned} +\label{buch:integral:risch:trighyp} +\end{equation} +Nach Multiplikation mit $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$ entsteht eine +quadratische Gleichung in $e^{ix}$ bzw.~$e^{x}$. +Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen erlaubt daher, $e^{ix}$ +bzw.~$e^{x}$ zu finden und damit auch die Umkehrfunktionen. +Die Rechnung ergibt +\begin{equation} +\begin{aligned} +\arcsin y +&= +\frac{1}{i}\log\bigl( +iy\pm\sqrt{1-y^2} +\bigr), +& +&\qquad& +\arccos y +&= +\log\bigl( +y\pm \sqrt{y^2-1} +\bigr), +\\ +\operatorname{arsinh}y +&= +\log\bigl( +y \pm \sqrt{1+y^2} +\bigr), +& +&\qquad& +\operatorname{arcosh} y +&= +\log\bigl( +y\pm \sqrt{y^2-1} +\bigr). +\end{aligned} +\label{buch:integral:risch:trighypinv} +\end{equation} +Alle Funktionen, die man aus dem elementaren Analysisunterricht +kennt, können also mit Hilfe von Exponentialfunktionen und Logarithmen +geschrieben werden. +Man nennt dies die $\log$-$\exp$-Notation der trigonometrischen +und hyperbolischen Funktionen. +\index{logexpnotation@$\log$-$\exp$-Notation}% + +\subsubsection{$\log$-$\exp$-Notation} +Wendet man die Substitutionen +\eqref{buch:integral:risch:trighyp} +und +\eqref{buch:integral:risch:trighypinv} +auf die Integrale +\eqref{buch:integration:risch:allgform} +an, entstehen die Beziehungen +\begin{equation} +\begin{aligned} +\int\frac{1}{1+x^2} +&= +\frac12i\bigl( +\log(1-ix) - \log(1+ix) +\bigr), +\\ +\int\bigl( +{\textstyle\frac12} +e^{ix} ++ +{\textstyle\frac12} +e^{-ix} +\bigr) +&= +-{\textstyle\frac12}ie^{ix} ++{\textstyle\frac12}ie^{-ix}, +\\ +\int +\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +&= +-i\log\bigl(ix+\sqrt{1-x^2}), +\\ +\int \log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr) +&= +x\log\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr) - \sqrt{x^2-1}. +\end{aligned} +\label{buch:integration:risch:eqn:integralbeispiel2} +\end{equation} +Die in den Stammfuntionen auftretenden Funktionen treten entweder +schon im Integranden auf oder sind Logarithmen von solchen +Funktionen. +Zum Beispiel hat der Nenner im ersten Integral die Faktorisierung +$1+x^2=(1+ix)(1-ix)$, in der Stammfunktion findet man die Logarithmen +der Faktoren. + + |