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author | LordMcFungus <mceagle117@gmail.com> | 2022-07-22 21:28:45 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2022-07-22 21:28:45 +0200 |
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-rw-r--r-- | buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex | 14 |
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diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex index a84248a..df04514 100644 --- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex +++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex @@ -11,9 +11,13 @@ Funktionenreihen mit Summanden zu bilden, die im Sinne eines Skalarproduktes orthogonal sind, welches mit Hilfe eines Integrals definiert sind. Solche Funktionenfamilien treten jedoch auch als Lösungen von -Differentialgleichungen. +Differentialgleichungen auf. Besonders interessant wird die Situation, wenn die Funktionen Polynome sind. +In diesem Abschnitt soll zunächst das Skalarprodukt definiert +und an Hand von Beispielen gezeigt werden, wie verschiedenartige +interessante Familien von orthogonalen Polynomen gewonnen werden +können. % % Skalarprodukt @@ -520,7 +524,7 @@ Tabelle~\ref{buch:integral:table:legendre-polynome}. Die Graphen sind in Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendregraphen} dargestellt. Abbildung~\ref{buch:integral:orthogonal:legendreortho} illustriert, -dass die die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. +dass die beiden Polynome $P_4(x)$ und $P_7(x)$ orthogonal sind. Das Produkt $P_4(x)\cdot P_7(x)$ hat Integral $=0$. % @@ -634,7 +638,7 @@ Der Vektorraum $H_w$ von auf $(a,b)$ definierten Funktionen sei H_w = \biggl\{ -f:\colon(a,b) \to \mathbb{R} +f\colon(a,b) \to \mathbb{R} \;\bigg|\; \int_a^b |f(x)|^2 w(x)\,dx \biggr\}. @@ -842,14 +846,14 @@ bei geeigneter Normierung die {\em Hermite-Polynome}. % % Laguerre-Gewichtsfunktion % -\subsection{Laguerre-Gewichtsfunktion} +\subsubsection{Laguerre-Gewichtsfunktion} Ähnlich wie die Hermite-Gewichtsfunktion ist die {\em Laguerre-Gewichtsfunktion} \index{Laguerre-Gewichtsfunktion}% \[ w_{\text{Laguerre}}(x) = -w^{-x} +e^{-x} \] auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, und sie geht für $x\to\infty$ wieder sehr rasch gegen $0$. |