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path: root/buch/chapters/070-orthogonalitaet
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authorAndrea Mozzini Vellen <amozzinivellen@gmail.com>2022-05-18 13:56:49 +0200
committerAndrea Mozzini Vellen <amozzinivellen@gmail.com>2022-05-18 13:56:49 +0200
commit6d37c92f2e91f4982d7f8ed8c979e5c4039a263e (patch)
tree6bab1863975214f6ca5bf68a8f2227a1fbb8517d /buch/chapters/070-orthogonalitaet
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SeminarSpezielleFunktionen-6d37c92f2e91f4982d7f8ed8c979e5c4039a263e.zip
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Diffstat (limited to 'buch/chapters/070-orthogonalitaet')
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex8
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex4
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex10
-rw-r--r--buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex2
4 files changed, 13 insertions, 11 deletions
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
index acfdb1a..2e43cec 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/gaussquadratur.tex
@@ -263,7 +263,7 @@ werden können, muss auch
=
\int_{-1}^1 q(x)p(x)\,dx
=
-\sum_{i=0}^n q(x_i)p(x_i)
+\sum_{i=0}^n A_iq(x_i)p(x_i)
\]
für jedes beliebige Polynom $q\in R_{n-1}$ gelten.
Da man für $q$ die Interpolationspolynome $l_j(x)$ verwenden
@@ -272,9 +272,11 @@ kann, den Grad $n-1$ haben, folgt
0
=
\sum_{i=0}^n
-l_j(x_i)p(x_i)
+A_il_j(x_i)p(x_i)
=
-\sum_{i=0}^n \delta_{ij}p(x_i),
+\sum_{i=0}^n A_i\delta_{ij}p(x_i)
+=
+A_jp(x_j),
\]
die Stützstellen $x_i$ müssen also die Nullstellen des Polynoms
$p(x)$ sein.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
index a84248a..677e865 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/orthogonal.tex
@@ -842,14 +842,14 @@ bei geeigneter Normierung die {\em Hermite-Polynome}.
%
% Laguerre-Gewichtsfunktion
%
-\subsection{Laguerre-Gewichtsfunktion}
+\subsubsection{Laguerre-Gewichtsfunktion}
Ähnlich wie die Hermite-Gewichtsfunktion ist die
{\em Laguerre-Gewichtsfunktion}
\index{Laguerre-Gewichtsfunktion}%
\[
w_{\text{Laguerre}}(x)
=
-w^{-x}
+e^{-x}
\]
auf ganz $\mathbb{R}$ definiert, und sie geht für $x\to\infty$ wieder
sehr rasch gegen $0$.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
index 5ec7fed..dc5531b 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/rekursion.tex
@@ -30,7 +30,7 @@ Skalarproduktes $\langle\,\;,\;\rangle_w$, wenn
für alle $n$, $m$.
\end{definition}
-\subsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome}
+\subsubsection{Allgemeine Drei-Term-Rekursion für orthogonale Polynome}
Der folgende Satz besagt, dass $p_n$ eine Rekursionsbeziehung erfüllt.
\begin{satz}
@@ -55,7 +55,7 @@ C_{n+1} = \frac{A_{n+1}}{A_n}\frac{h_{n+1}}{h_n}.
\end{equation}
\end{satz}
-\subsection{Multiplikationsoperator mit $x$}
+\subsubsection{Multiplikationsoperator mit $x$}
Man kann die Relation auch nach dem Produkt $xp_n(x)$ auflösen, dann
wird sie
\begin{equation}
@@ -72,7 +72,7 @@ Die Multiplikation mit $x$ ist eine lineare Abbildung im Raum der Funktionen.
Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} besagt, dass diese
Abbildung in der Basis der Polynome $p_k$ tridiagonale Form hat.
-\subsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
+\subsubsection{Drei-Term-Rekursion für die Tschebyscheff-Polynome}
Eine Relation der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation}
wurde bereits in
Abschnitt~\ref{buch:potenzen:tschebyscheff:rekursionsbeziehungen}
@@ -80,12 +80,12 @@ hergeleitet.
In der Form~\eqref{buch:orthogonal:eqn:rekursion} geschrieben lautet
sie
\[
-T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x).
+T_{n+1}(x) = 2x\,T_n(x)-T_{n-1}(x),
\]
also
$A_n=2$, $B_n=0$ und $C_n=1$.
-\subsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}}
+\subsubsection{Beweis von Satz~\ref{buch:orthogonal:satz:drei-term-rekursion}}
Die Relation~\eqref{buch:orthogonal:eqn:multixrelation} zeigt auch,
dass der Beweis die Koeffizienten $\langle xp_k,p_j\rangle_w$
berechnen muss.
diff --git a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
index c9c9cc6..35054ab 100644
--- a/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
+++ b/buch/chapters/070-orthogonalitaet/sturm.tex
@@ -375,7 +375,7 @@ automatisch für diese Funktionenfamilien.
\subsubsection{Trigonometrische Funktionen}
Die trigonometrischen Funktionen sind Eigenfunktionen des Operators
$d^2/dx^2$, also eines Sturm-Liouville-Operators mit $p(x)=1$, $q(x)=0$
-und $w(x)=0$.
+und $w(x)=1$.
Auf dem Intervall $(-\pi,\pi)$ können wir die Randbedingungen
\bgroup
\renewcommand{\arraycolsep}{2pt}