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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-12-18 17:17:17 +0100 |
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committer | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2021-12-18 17:17:17 +0100 |
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-rw-r--r-- | buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex | 223 |
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diff --git a/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex new file mode 100644 index 0000000..e77c8d6 --- /dev/null +++ b/buch/chapters/080-funktionentheorie/gammareflektion.tex @@ -0,0 +1,223 @@ +% +% gammareflektion.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\subsection{Reflektionsformel für die Gamma-Funktion +\label{buch:funktionentheorie:subsection:gammareflektion}} +Die Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} +stellt eine Beziehung zwischen dem Produkt $\Gamma(x)\Gamma(1-x)$ +von zwei Werten der Gamma-Funktion in Punkten der komplexen Ebene, +die durch Spiegelung an der Geraden $\operatorname{Re}x=\frac12$ +auseinander hervorgehen, und einem speziellen Beta-Integral her. + +\begin{satz} +Für $0<x<1$ gilt +\begin{equation} +\Gamma(x)\Gamma(1-x) += +\frac{\pi}{\sin\pi x}. +\end{equation} +\end{satz} + +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{chapters/080-funktionentheorie/images/gammapfad.pdf} +\caption{Pfad zur Auswertung des +Integrals~\eqref{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral} +mit Hilfe des Residuensatzes. +\label{buch:funktionentheorie:fig:gammapfad}} +\end{figure} + +\begin{proof}[Beweis] +In der Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:spiegelung-betaintegral} +wurde bereits ein Zusammenhang zwischen $\Gamma(x)\Gamma(1-x)$ +und einem Beta-Integral hergestellt, konkret +\[ +\Gamma(x)\Gamma(1-x) += +B(x,1-x) += +\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{-x}\,dt. +\] +Mit der Substitution $t=s/(s+1)$, die bereits für die Herleitung der +Formel~\eqref{buch:rekursion:gamma:beta:sinf} verwendet wurde, ergibt sich +\[ +\Gamma(x)\Gamma(1-x) += +\int_0^\infty +\frac{s^{x-1}}{s+1} +\,ds. +\] +Um dieses Integral zu berechnen, verwenden wir den Cauchy-Integralsatz, +um das Integral +\begin{equation} +I += +\oint_\gamma \frac{z^{x-1}}{1-z}\,dz +\label{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral} +\end{equation} +zu berechnen. +Darin hat die Funktion im Zähler des Integranden $f(z)=z^{x-1}$ +nur ausserhalb der negativen reellen Achse einen wohldefinierten Wert. +In Polarkoordinaten $z=re^{i\varphi}$ verwenden wir +den Hauptwert $z^{x-1}=r^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}$. +Aus dem Cauchy-Integralsatz lesen wir den Wert +\[ +I = 2\pi i +\] +ab. + +Das Integral \eqref{buch:funktionentheorie:eqn:gammapfadintegral} +kann zerlegt werden in die Integrale +\begin{align*} +I +&= +I_R+I_++I_\varepsilon+I_-, +\end{align*} +wobei $I_R$ das Integral über den äusseren Kreis vom Radius $R$ ist, +$I_\varepsilon$ das Integral im Gegenuhrzeigersinn über den inneren Kreis +vom Radius $\varepsilon$. +Die Terme $I_{\pm}$ sind die Integrale entlang der negativen +reellen Achse, wobei das Pluszeichen für den oberen $-R$ nach +$-\varepsilon$ gelten soll. + +Für die beiden Integrale $I_R$ und $I_\varepsilon$ wird die Parametrisierung +$\varphi\mapsto z(\varphi) = re^{i\varphi}$ mit $dz=ire^{i\varphi}\,d\varphi$ +verwendet. +Das Integral über den Kreis vom Radius $r$ im Gegenuhrzeigersinn ist +\begin{align*} +I_r +&= +\int_{-\pi}^\pi +\frac{r^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}}{1-re^{i\varphi}} ire^{i\varphi}\,d\varphi += +i\int_{-\pi}^\pi +\frac{r^xe^{ix\varphi}}{1-re^{i\varphi}} +\,d\varphi +\end{align*} +Die beiden Teile $I_R$ und $I_\varepsilon$ können wie folgt noch +weiter vereinfacht werden: +\begin{align*} +\\ +I_R +&= +iR^{x-1} +\int_{-\pi}^\pi +\frac{e^{ix\varphi}}{1/R-e^{i\varphi}} +\,d\varphi +\\ +I_{\varepsilon} +&= +- +i +\varepsilon^x +\int_{\pi}^{-\pi} +\frac{e^{ix\varphi}}{1-\varepsilon e^{i\varphi}} +\,d\varphi, +\end{align*} +wobei das negative Zeichen bei $I_\varepsilon$ daher rührt, dass der +kleine Kreis im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. +Für grosse Werte von $R$ ist das erste Integral beschränkt, aber wegen +$x-1<0$ konvergiert der Vorfaktor $R^{x-1}$ gegen 0 für $R\to\infty$. +Ähnlich ist das zweite Integral für kleine $\varepsilon$ beschränkt, aber +$\varepsilon^x$ konvergiert gegen $0$ für $\varepsilon\to 0$. +Wir können daher +\begin{align*} +\lim_{R\to\infty} +I_R +&= +\lim_{R\to\infty} +R^{x-1} +\int_{-\pi}^\pi +\frac{e^{i(x-1)\varphi}}{1/R-e^{i\varphi}} +ie^{i\varphi} +\,d\varphi +=0 +\\ +\text{und} +\qquad +\lim_{\varepsilon\to 0} +I_\varepsilon +&= +- +\lim_{\varepsilon\to 0} +\int_{\pi}^{-\pi} +\frac{\varepsilon^{x-1}e^{i(x-1)\varphi}}{1-\varepsilon e^{i\varphi}} +i\varepsilon e^{i\varphi} +\,d\varphi += +0 +\end{align*} +folgern. + +Die anderen zwei Integrale verwenden die Parametrisierung +$z(s) = -s = se^{\pm i\pi}$ mit $dz = e^{\pm i\pi}\,ds$. +Damit werden sie +\begin{align*} +I_+ +&= +\int_{R}^{\varepsilon} +\frac{s^{x-1}e^{i(x-1)\pi}}{1-se^{i\pi}} +e^{i\pi} +\,ds += +\int_{\varepsilon}^R +\frac{s^{x-1}e^{ix\pi}}{1+s} +\,ds +\\ +I_- +&= +\int_{\varepsilon}^{R} +\frac{s^{x-1}e^{i(x-1)(-\pi)}}{1-se^{-i\pi}} +e^{-i\pi} +\,ds += +- +\int_{\varepsilon}^{R} +\frac{s^{x-1}e^{-ix\pi}}{1+s} +\,ds. +\intertext{Die beiden Integrale stimmen bis auf den von $t$ unabhängigen +Faktor $e^{\pm ix\pi}$ überein, sie können daher zusammegefasst werden zu} +I_++I_- +&= +(e^{ix\pi}-e^{-ix\pi}) +\int_{\varepsilon}^{R} +\frac{s^{x-1}}{1+s} +\,ds += +\frac{e^{ix\pi}-e^{-ix\pi}}{2i} +\cdot +2i \int_{\varepsilon}^{R} +\frac{s^{x-1}}{1+s} +\,ds +\\ +&= +2i +\sin(\pi x) +\int_{\varepsilon}^R +\frac{s^{x-1}}{1+s} +\,ds. +\end{align*} +Durch Grenzübergang $R\to\infty$ und $\varepsilon \to 0$ wird dies zu +\[ +I += +2i\sin(\pi x) \int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}{1+s}\,ds +\] +Zusammen mit dem früher bestimmten Wert $I=2\pi i$ folgt +\[ +2\pi i += +2i\sin(\pi x) +\int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}{1+s}\,ds +\qquad\Rightarrow\qquad +\frac{\pi}{\sin \pi x} += +\int_{0}^\infty \frac{s^{x-1}}1+s\,ds += +\Gamma(x)\Gamma(1-x). +\] +Damit ist der Satz bewiesen. +\end{proof} + |