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path: root/buch/chapters/110-elliptisch
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-10-16 10:09:16 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2021-10-16 10:09:16 +0200
commitbfd6e3d56f2e91f81b42c811fbff62abc153724d (patch)
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SeminarSpezielleFunktionen-bfd6e3d56f2e91f81b42c811fbff62abc153724d.zip
new files
Diffstat (limited to 'buch/chapters/110-elliptisch')
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex83
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile13
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp54
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.m81
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdfbin0 -> 46390 bytes
-rw-r--r--buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.tex100
6 files changed, 328 insertions, 3 deletions
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 40ad416..7ac09ca 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -238,17 +238,96 @@ also $E(0)=\frac{\pi}2$.
Für $\varepsilon=1$ ist $a=0$, es entsteht eine Strecke mit Länge $E(1)=1$.
\subsubsection{Komplementäre Integrale}
-XXX Komplementäre Integrale \\
\subsubsection{Ableitung}
XXX Ableitung \\
XXX Stammfunktion \\
\subsection{Unvollständige elliptische Integrale}
-XXX Vollständige und Unvollständige Integrale \\
+Die Funktionen $K(k)$ und $E(k)$ sind als bestimmte Integrale über ein
+festes Intervall definiert.
+Die {\em unvollständigen elliptischen Integrale} entstehen, indem die
+\index{unvollständiges elliptisches Integral}%
+obere Grenze des Integrals variabel wird:
+\[
+\begin{aligned}
+\text{1.~Art:}&&
+F(x,k)
+&=
+\int_0^x \frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
+&&=
+\int_0^\varphi \frac{d\vartheta}{\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}}
+\\
+\text{2.~Art:}&&
+E(x,k)
+&=
+\int_0^x \sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}\,dt
+&&=
+\int_0^\varphi \sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}\,d\vartheta
+\\
+\text{3.~Art:}&&
+\Pi(n,x,k)
+&=
+\int_0^x \frac{dt}{(1-nt^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}
+&&=
+\int_0^\varphi
+\frac{d\vartheta}{(1-n\sin^2\vartheta)\sqrt{1-k^2\sin^2\vartheta}},
+\end{aligned}
+\]
+die erste Formel ist jeweils die Jacobi-Form, die zweite die Legrendre-Form
+\index{Jacobi-Form}%
+\index{Legendre-Form}%
+mit dem Parameter $\varphi$, gegeben durch
+$\sin \vartheta=x$.
+Wie bei den vollständigen elliptischen Integralen ist auch hier in manchen
+Referenzen die Parameterkonvention mit dem Parameter $m=k^2$ üblich.
+
+Die vollständigen elliptischen Integrale sind die Werte der
+unvollständigen elliptischen Integrale mit $x=1$, also
+\begin{align*}
+K(k) &= F(1,k),
+&
+E(k) &= E(1,k),
+&
+\Pi(n,k) &=\Pi(n,x,k).
+\end{align*}
+Man beachte auch, dass $F(x,0) = E(x,0)$ gilt.
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf}
+\caption{Unvollständige elliptische Integrale $F(x,k)$ und $E(x,k)$
+für verschiedene Werte des Parameters $k$.
+Für $k=0$ stimmen die Integrale erster und zweiter Art überein,
+$F(x,0)=E(x,0)$.
+\label{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale}}
+\end{figure}
+Wegen $k<1$ sind alle drei Integranden als reelle Funktionen nicht
+mehr definiert, wenn $|x|>1$ ist.
+Die Abbildung~\ref{buch:elliptisch:fig:unvollstaendigeintegrale}
+zeigt Graphen der unvollständigen elliptischen Integrale für verschiedene
+Werte des Parameters.
+
+\subsubsection{Symmetrieeigenschaften}
+Die Integranden aller drei unvollständigen elliptischen Integrale
+sind gerade Funktionen der reellen Variablen $t$.
+Die Funktionen $F(x,k)$, $E(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$ sind daher
+ungeraden Funktionen von $x$.
+
+\subsubsection{Elliptische Integrale als komplexe Funktionen}
+Die unvollständigen elliptischen Integrale $F(x,k)$, $F(x,k)$ und $\Pi(n,x,k)$
+in Jacobi-Form lassen sich auch für komplexe Argumente interpretieren.
+Dazu muss für die Berechnung des Integrals ein Pfad in der komplexen
+Ebene gewählt werden, der die Singulariätten des Integranden vermeidet.
+
+Die Faktoren, die in den Integranden der unvollständigen elliptischen
+Integrale vorkommen, haben Nullstellen bei $\pm1$, $\pm1/k$ und
+$\pm 1/\sqrt{n}$
+
XXX Additionstheoreme \\
XXX Parameterkonventionen \\
XXX Wertebereich (Rechtecke) \\
+XXX Komplementäre Integrale \\
\subsection{Potenzreihe}
XXX Potenzreihen \\
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
index 327fed1..4912cca 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/Makefile
@@ -3,7 +3,7 @@
#
# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
#
-all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf
+all: lemniskate.pdf ellipsenumfang.pdf unvollstaendig.pdf
lemniskate.pdf: lemniskate.tex
pdflatex lemniskate.tex
@@ -14,3 +14,14 @@ ellipsenumfang.pdf: ellipsenumfang.tex ekplot.tex
ekplot.tex: ellipsenumfang.m
octave ellipsenumfang.m
+rechteck: rechteck.cpp
+ g++ -O -Wall -g rechteck.cpp -o rechteck
+
+test: rechteck
+ ./rechteck
+
+unvollstaendig.pdf: unvollstaendig.tex unvollpath.tex
+ pdflatex unvollstaendig.tex
+
+unvollpath.tex: unvollstaendig.m
+ octave unvollstaendig.m
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp
new file mode 100644
index 0000000..6bd6a06
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/rechteck.cpp
@@ -0,0 +1,54 @@
+/*
+ * rechteck.cpp
+ *
+ * (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cmath>
+#include <cstdlib>
+#include <cstdio>
+#include <complex>
+#include <iostream>
+
+double ast = 1;
+
+std::complex<double> integrand(double k, const std::complex<double>& z) {
+ std::complex<double> s = z * z;
+ std::complex<double> eins(1);
+ std::complex<double> result = eins / sqrt((eins - s) * (eins - k * k * s));
+ return ast * ((result.imag() < 0) ? -result : result);
+}
+
+std::complex<double> segment(double k, const std::complex<double>& z1,
+ const std::complex<double>& z2, int n = 100) {
+ std::complex<double> dz = z2 - z1;
+ std::complex<double> summe(0);
+ double h = 1. / n;
+ summe = integrand(k, z1);
+ summe += integrand(k, z2);
+ for (int i = 1; i < n; i++) {
+ double t = i * h;
+ std::complex<double> z = (1 - t) * z1 + t * z2;
+ summe += 2. * integrand(k, z);
+ }
+ return dz * h * summe / 2.;
+}
+
+int main(int argc, char *argv[]) {
+ double k = 0.5;
+ double y = -0.0001;
+ double xstep = -0.1;
+ ast = 1;
+ std::complex<double> z(0, y);
+ std::complex<double> w = segment(k, std::complex<double>(0), z);
+ std::cout << z << std::endl;
+ int counter = 100;
+ while (counter-- > 0) {
+ std::complex<double> znext = z + std::complex<double>(xstep);
+ std::complex<double> incr = segment(k, z, znext);
+ w += incr;
+ std::cout << znext << " -> " << w << ", ";
+ std::cout << integrand(k, znext) << std::endl;
+ z = znext;
+ }
+ return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.m b/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.m
new file mode 100644
index 0000000..25196d0
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.m
@@ -0,0 +1,81 @@
+#
+# unvollstaendig.m
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 200;
+global n;
+n = 5;
+
+function retval = integrand_f(t, k)
+ retval = 1 / sqrt((1 - t^2) * (1 - k^2 * t^2));
+endfunction
+
+function retval = integrand_e(t, k)
+ retval = sqrt((1-k^2*t^2)/(1-t^2));
+endfunction
+
+function retval = integrand_pi(n, t, k)
+ retval = 1 / ((1-n*t^2) * sqrt((1-k^2*t^2)*(1-t^2)));
+endfunction
+
+function retval = elliptisch1(f, name, k)
+ global N;
+ global n;
+ s = 0;
+ fprintf(f, "\\def\\ell%s{ (0,0)", name);
+ delta = 1 / N;
+ for x = (0:delta:(1-delta))
+ h = delta / n;
+ for t = (x+h/2:h:x+delta)
+ s = s + integrand_f(t, k) * h;
+ endfor
+ fprintf(f, "\n -- ({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})", x + delta, s);
+ endfor
+ fprintf(f, "}\n");
+endfunction
+
+function retval = elliptisch2(f, name, k)
+ global N;
+ global n;
+ s = 0;
+ fprintf(f, "\\def\\ell%s{ (0,0)", name);
+ delta = 1 / N;
+ for x = (0:delta:(1-delta))
+ h = delta / n;
+ for t = (x+h/2:h:x+delta)
+ s = s + integrand_e(t, k) * h;
+ endfor
+ fprintf(f, "\n -- ({\\dx*%.4f},{\\dy*%.4f})", x + delta, s);
+ endfor
+ fprintf(f, "\n}\n");
+endfunction
+
+fn = fopen("unvollpath.tex", "w");
+
+elliptisch1(fn, "Fzero", 0.0);
+elliptisch1(fn, "Fone", 0.1);
+elliptisch1(fn, "Ftwo", 0.2);
+elliptisch1(fn, "Fthree", 0.3);
+elliptisch1(fn, "Ffour", 0.4);
+elliptisch1(fn, "Ffive", 0.5);
+elliptisch1(fn, "Fsix", 0.6);
+elliptisch1(fn, "Fseven", 0.7);
+elliptisch1(fn, "Feight", 0.8);
+elliptisch1(fn, "Fnine", 0.9);
+elliptisch1(fn, "Ften", 1.0);
+
+elliptisch2(fn, "Ezero", 0.0);
+elliptisch2(fn, "Eone", 0.1);
+elliptisch2(fn, "Etwo", 0.2);
+elliptisch2(fn, "Ethree", 0.3);
+elliptisch2(fn, "Efour", 0.4);
+elliptisch2(fn, "Efive", 0.5);
+elliptisch2(fn, "Esix", 0.6);
+elliptisch2(fn, "Eseven", 0.7);
+elliptisch2(fn, "Eeight", 0.8);
+elliptisch2(fn, "Enine", 0.9);
+elliptisch2(fn, "Eten", 1.0);
+
+fclose(fn);
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf
new file mode 100644
index 0000000..4da2c0c
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.tex
new file mode 100644
index 0000000..1a1af13
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/images/unvollstaendig.tex
@@ -0,0 +1,100 @@
+%
+% unvollstaendig.tex -- Plots der unvollständigen elliptischen integrale
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\input{unvollpath.tex}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\pgfkeys{/pgf/number format/.cd, fixed, fixed zerofill, precision=1}
+
+\def\dx{12.8}
+\def\dy{6}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\definecolor{blau}{rgb}{0.3,0.3,1}
+
+\begin{scope}
+\begin{scope}
+\clip (-0.1,-0.1) rectangle ({\dx+0.0},{10.1});
+
+\fill[color=darkgreen!10] \ellEzero -- (\dx,{1.571*\dy}) -- (\dx,0) -- cycle;
+\fill[color=red!10] \ellEzero -- (\dx,{1.571*\dy}) -- (\dx,10.1) -- (0,10.2) -- cycle;
+
+\node[color=red] at ({0.6*\dx},{1.3*\dy}) [scale=2] {$F(x,k)$};
+\node[color=darkgreen] at ({0.6*\dx},{0.3*\dy}) [scale=2] {$E(x,k)$};
+
+
+\draw[color=red!0!blau,line width=1.0pt] \ellFzero;
+\draw[color=red!10!blau,line width=1.0pt] \ellFone;
+\draw[color=red!20!blau,line width=1.0pt] \ellFtwo;
+\draw[color=red!30!blau,line width=1.0pt] \ellFthree;
+\draw[color=red!40!blau,line width=1.0pt] \ellFfour;
+\draw[color=red!50!blau,line width=1.0pt] \ellFfive;
+\draw[color=red!60!blau,line width=1.0pt] \ellFsix;
+\draw[color=red!70!blau,line width=1.0pt] \ellFseven;
+\draw[color=red!80!blau,line width=1.0pt] \ellFeight;
+\draw[color=red!90!blau,line width=1.0pt] \ellFnine;
+\draw[color=red!100!blau,line width=1.0pt] \ellFten;
+
+\draw[color=darkgreen!100!blau,line width=1.0pt] \ellEten;
+\draw[color=darkgreen!90!blau,line width=1.0pt] \ellEnine;
+\draw[color=darkgreen!80!blau,line width=1.0pt] \ellEeight;
+\draw[color=darkgreen!70!blau,line width=1.0pt] \ellEseven;
+\draw[color=darkgreen!60!blau,line width=1.0pt] \ellEsix;
+\draw[color=darkgreen!50!blau,line width=1.0pt] \ellEfive;
+\draw[color=darkgreen!40!blau,line width=1.0pt] \ellEfour;
+\draw[color=darkgreen!30!blau,line width=1.0pt] \ellEthree;
+\draw[color=darkgreen!20!blau,line width=1.0pt] \ellEtwo;
+\draw[color=darkgreen!10!blau,line width=1.0pt] \ellEone;
+\draw[color=darkgreen!0!blau,line width=1.0pt] \ellEzero;
+
+\end{scope}
+
+\draw[line width=0.2pt] (\dx,0) -- (\dx,10.1);
+
+\begin{scope}
+ \clip ({0.7*\dx},0) rectangle (\dx,10.1);
+ \draw[color=white,line width=0.5pt] \ellEzero -- (\dx,{1.571*\dy});
+\end{scope}
+
+\draw[->] ({-0.1},0) -- ({\dx+0.3},0) coordinate[label={$x$}];
+\foreach \x in {0,0.2,...,1.0}{
+ \draw ({\x*\dx},-0.1) -- ({\x*\dx},0.1);
+ \node at ({\x*\dx},0) [below] {$\pgfmathprintnumber{\x}$};
+}
+\draw[->] (0,{-0.1}) -- (0,{10.3}) coordinate[label={right:$y$}];
+\foreach \y in {0.5,1,1.5}{
+ %\draw[line width=0.2pt] (0,{\y*\dy}) -- (\dx,{\y*\dy});
+ \draw (-0.1,{\y*\dy}) -- (0.1,{\y*\dy});
+ \node at (0,{\y*\dy}) [left] {$\pgfmathprintnumber{\y}$};
+}
+\foreach \c in {0,10,...,100}{
+ \pgfmathparse{\c/100}
+ \xdef\k{\pgfmathresult}
+ \node[color=red!\c!blau] at ({0.02*\dx},{0.95*\dy+0.04*\c})
+ [right] {$k=\pgfmathprintnumber{\k}$};
+}
+\foreach \c in {0,10,...,100}{
+ \pgfmathparse{\c/100}
+ \xdef\k{\pgfmathresult}
+ \node[color=darkgreen!\c!blau] at ({0.98*\dx},{0.75*\dy-0.04*\c})
+ [left] {$k=\pgfmathprintnumber{\k}$};
+}
+
+\draw ({\dx-0.1},{1.571*\dy}) -- ({\dx+0.1},{1.571*\dy});
+\node at (\dx,{1.571*\dy}) [right] {$\frac{\pi}2$};
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+