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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-06-20 10:58:52 +0200
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-06-20 10:58:52 +0200
commit13572bcfb58f8b486edf521965f99158aab8ce9c (patch)
tree724cf0a2fa2b87d9faeb752a8c86bac2c2a9a378 /buch/chapters
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-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex83
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex2
-rw-r--r--buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex4
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diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
index 1f42ade..3b72ffa 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/hypergeometrisch.tex
@@ -432,9 +432,10 @@ Definition~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:def}
offensichtlichen Regeln:
\begin{satz}[Permutationsregel]
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:permuationsregel}
Sei $\pi$ eine beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,p$ und $\sigma$ eine
beliebige Permutation der Zahlen $1,\dots,q$, dann ist
-\[
+\begin{equation}
\mathstrut_pF_q\biggl(
\begin{matrix}
a_1,\dots,a_p\\b_1,\dots,a_q
@@ -448,13 +449,15 @@ a_{\pi(1)},\dots,a_{\pi(p)}\\b_{\sigma(1)},\dots,b_{\sigma(q)}
\end{matrix}
;x
\biggr).
-\]
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:permuationsregel}
+\end{equation}
\end{satz}
\begin{satz}[Kürzungsformel]
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel}
Stimmt einer der Koeffizienten $a_k$ mit einem der Koeffizienten $b_i$
überein, dann können sie weggelassen werden:
-\[
+\begin{equation}
\mathstrut_{p+1}F_{q+1}\biggl(
\begin{matrix}
c,a_1,\dots,a_p\\
@@ -470,7 +473,8 @@ b_1,\dots,b_q
\end{matrix};
x
\biggr).
-\]
+\label{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel}
+\end{equation}
\end{satz}
%
@@ -613,19 +617,25 @@ Die Wurzelfunktion ist daher die hypergeometrische Funktion
=
\mathstrut_1F_0(-{\textstyle\frac12};\mp x).
\]
-Mit der Newtonschen Binomialreihe
+Mit der Newtonschen Binomialreihe, die in
+Abschnitt~\ref{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe}
+hergleitet wird,
+kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion
\begin{align*}
(1+x)^\alpha
&=
1+\alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\dots
-\\
-&=
+%\\
+%&
+=
\sum_{k=0}^\infty \frac{(-\alpha)_k}{k!}x^k
=
\mathstrut_1F_0\biggl(\begin{matrix}-\alpha\\\text{---}\end{matrix};-x\biggr)
\end{align*}
-kann man ganz analog jede beliebige Wurzelfunktion
durch $\mathstrut_1F_0$ ausdrücken.
+Dieses Resultat ist der Inhalt von
+Satz~\ref{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe}
+
%
% Logarithmusfunktion
@@ -725,7 +735,7 @@ x f(-x^2).
Die Funktion $f(z)$ soll jetzt als hypergeometrische Funktion geschrieben
werden.
Dazu muss zunächst wieder der Nenner $k!$ wiederhergestellt werden:
-\[
+\begin{equation*}
f(z)
=
1
@@ -737,7 +747,7 @@ f(z)
\frac{3!}{7!}\cdot \frac{z^3}{3!}
+
\dots
-\]
+\end{equation*}
Die Koeffizienten $k!/(2k+1)!$ müssen jetzt durch Pochhammer-Symbole
mit jeweils $k$ Faktoren ausgedrückt werden.
Dazu muss die Fakultät $(2k+1)!$ in zwei Produkte
@@ -777,15 +787,27 @@ müssen wird mit $2^{2k}$ kompensieren:
(1)_k\cdot \biggl(\frac{3}{2}\biggr)_k
\end{align*}
Setzt man dies in die Reihe ein, wird
-\[
+\begin{equation}
f(z)
=
\sum_{k=0}^\infty
\frac{(1)_k}{(1)_k\cdot (\frac{3}{2})_k\cdot 4^k}
z^k
=
-\mathstrut_1F_2\biggl(1;1,\frac{3}{2};\frac{z}4\biggr).
-\]
+\mathstrut_1F_2\biggl(
+\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4
+\biggr)
+=
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix};\frac{z}4
+\biggr).
+\label{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf}
+\end{equation}
+Im letzten Schritt wurde die Kürzungsregel
+\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:kuerzungsregel}
+von
+Satz~\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:satz:kuerzungsregel}
+angewendet.
Damit lässt sich die Sinus-Funktion als
\begin{equation}
\sin x
@@ -812,21 +834,24 @@ auf die Funktion
\sinh x
&=
\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}
-\\
-&=
+%\\
+%&
+=
x
\,
\biggl(
1+\frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}+\frac{x^6}{7!}+\dots
\biggr)
-\\
+\intertext{Die Reihe in der Klammer lässt sich mit der Funktion
+$f$ von \eqref{buch:rekursion:hyperbolisch:eqn:hilfsfunktionf}
+schreiben als}
&=
-xf(-x^2)
-=
-x\,\mathstrut_1F_2\biggl(
-\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
-;\frac{x^2}{4}
-\biggr)
+x\,f(-x^2)
+%=
+%x\cdot\mathstrut_1F_2\biggl(
+%\begin{matrix}1\\1,\frac{3}{2}\end{matrix}
+%;\frac{x^2}{4}
+%\biggr)
=
x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
\begin{matrix}\text{---}\\\frac{3}{2}\end{matrix}
@@ -1030,7 +1055,7 @@ Damit kann jetzt die Kosinus-Funktion als
\frac{1}{(\frac12)_k}
\frac{1}{k!}\biggl(\frac{-x^2}{4}\biggr)^k
=
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4\biggr)
\end{align*}
geschrieben werden kann.
@@ -1039,16 +1064,22 @@ Die Ableitung der Kosinus-Funktion ist daher
\frac{d}{dx} \cos x
&=
\frac{d}{dx}
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac12;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac12\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
=
\frac{1}{\frac12}
\,
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
\cdot\biggl(-\frac{x}2\biggr)
=
-x
\cdot
-\mathstrut_0F_1\biggl(;\frac32;-\frac{x^2}4\biggr)
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac32\end{matrix};-\frac{x^2}4
+\biggr)
\intertext{Dies stimmt mit der in
\eqref{buch:rekursion:hypergeometrisch:eqn:sinhyper}
gefundenen Darstellung der Sinusfunktion mit Hilfe der hypergeometrischen
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
index f9d014e..5d76598 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/uebungsaufgaben/404.tex
@@ -1,5 +1,5 @@
Finden Sie einen einfachen Ausdruck für $(\frac12)_n$, der nur
-Fakultäten und andere elmentare Funktionen verwendet.
+Fakultäten und andere elementare Funktionen verwendet.
\begin{loesung}
Das Pochhammer-Symbol $(\frac12)_n$ kann wie folgt durch bekanntere
diff --git a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex
index 2d95fb2..e6613dd 100644
--- a/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex
+++ b/buch/chapters/050-differential/potenzreihenmethode.tex
@@ -176,7 +176,8 @@ b_2\,2!\,a_{2+k} + b_1\, a_{1+k} + b_0\, a_k
%
% Die Newtonsche Reihe
%
-\subsection{Die Newtonsche Reihe}
+\subsection{Die Newtonsche Reihe
+\label{buch:differentialgleichungen:subsection:newtonschereihe}}
Wir lösen die
Differentialgleichung~\eqref{buch:differentialgleichungen:eqn:wurzeldgl1}
mit der Anfangsbedingung $y(t)=1$ mit der Potenzreihenmethode.
@@ -333,6 +334,7 @@ wir die Darstellung
Damit haben wir den folgenden Satz gezeigt.
\begin{satz}
+\label{buch:differentialgleichungen:satz:newtonschereihe}
Die Newtonsche Reihe für $(1-t)^\alpha$ ist der Wert
\[
(1-t)^\alpha