add stuff for elliptic filters

17 files changed, 851 insertions, 8 deletions

diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
index 639cb8f..ef6ea51 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/Makefile.inc
@@ -12,4 +12,7 @@ CHAPTERFILES += 							\
 	chapters/110-elliptisch/mathpendel.tex				\
 	chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex				\
 	chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/1.tex			\
+	chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex			\
+	chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex			\
+	chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/4.tex			\
 	chapters/110-elliptisch/chapter.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile
index e7975e1..8dab511 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/Makefile
@@ -3,6 +3,11 @@
 #
 # (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
 #
+all:	sn
+
+sn:	sn.cpp
+	g++ -O -Wall -g -std=c++11 sn.cpp -o sn `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl`
+
 
 agm:	agm.cpp
 	g++ -O -Wall -g -std=c++11 agm.cpp -o agm `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl`
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp
index fdb0441..8abb4b2 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.cpp
@@ -9,23 +9,54 @@
 #include <iostream>
 #include <gsl/gsl_sf_ellint.h>
 
+inline long double	sqrl(long double x) {
+	return x * x;
+}
 
+long double	Xn(long double a, long double b, long double x) {
+	double long	epsilon = fabsl(a - b);
+	if (epsilon > 0.001) {
+		return (a - sqrtl(sqrl(a) - sqrl(x) * (a + b) * (a - b)))
+			/ (x * (a - b));
+	}
+	long double	d = a + b;
+	long double	x1 = 0;
+	long double	y2 = sqrl(x/a);
+	long double	c = 1;
+	long double	s = 0;
+	int	k = 1;
+	while (c > 0.0000000000001) {
+		c *= (0.5 - (k - 1)) / k;
+		c *= (d - epsilon) * y2;
+		s += c;
+		c *= epsilon;
+		c = -c;
+		k++;
+	}
+	return s * a / x;
+}
 
 int	main(int argc, char *argv[]) {
 	long double	a = 1;
 	long double	b = sqrtl(2.)/2;
+	long double	x = 0.7;
 	if (argc >= 3) {
 		a = std::stod(argv[1]);
 		b = std::stod(argv[2]);
 	}
+	if (argc >= 4) {
+		x = std::stod(argv[3]);
+	}
 
 	{
 		long double	an = a;
 		long double	bn = b;
+		long double	xn = x;
 		for (int i = 0; i < 10; i++) {
-			printf("%d  %24.18Lf  %24.18Lf  %24.18Lf\n",
-				i, an, bn, a * M_PI / (2 * an));
+			printf("%d  %24.18Lf  %24.18Lf  %24.18Lf  %24.18Lf\n",
+				i, an, bn, xn, a * asin(xn) / an);
 			long double A = (an + bn) / 2;
+			xn = Xn(an, bn, xn);
 			bn = sqrtl(an * bn);
 			an = A;
 		}
@@ -36,6 +67,8 @@ int	main(int argc, char *argv[]) {
 		k = sqrt(1 - k*k);
 		double	K = gsl_sf_ellint_Kcomp(k, GSL_PREC_DOUBLE);
 		printf("                             %24.18f  %24.18f\n", k, K);
+		double	F = gsl_sf_ellint_F(asinl(x), k, GSL_PREC_DOUBLE);
+		printf("                             %24.18f  %24.18f\n", k, F);
 	}
 
 	return EXIT_SUCCESS;
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/agm.maxima b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.maxima
index c7facd4..c7facd4 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/agm.maxima
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/agm.maxima
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/agm/sn.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/sn.cpp
new file mode 100644
index 0000000..ff2ed17
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/agm/sn.cpp
@@ -0,0 +1,52 @@
+/*
+ * ns.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdlib>
+#include <cstdio>
+#include <cmath>
+#include <iostream>
+#include <gsl/gsl_sf_ellint.h>
+#include <gsl/gsl_sf_elljac.h>
+
+static const int	N = 10;
+
+inline long double	sqrl(long double x) {
+	return x * x;
+}
+
+int	main(int argc, char *argv[]) {
+	long double	u = 0.6;
+	long double	k = 0.9;
+	long double	kprime = sqrt(1 - sqrl(k));
+	
+	long double	a[N], b[N], x[N+1];
+	a[0] = 1;
+	b[0] = kprime;
+
+	for (int n = 0; n < N-1; n++) {
+		printf("a[%d] = %22.18Lf  b[%d] = %22.18Lf\n", n, a[n], n, b[n]);
+		a[n+1] = (a[n] + b[n]) / 2;
+		b[n+1] = sqrtl(a[n] * b[n]);
+	}
+
+	x[N] = sinl(u * a[N-1]);
+	printf("x[%d] = %22.18Lf\n", N, x[N]);
+
+	for (int n = N - 1; n >= 0; n--) {
+		x[n] = 2 * a[n] * x[n+1] / (a[n] + b[n] + (a[n] - b[n]) * sqrl(x[n+1]));
+		printf("x[%2d] = %22.18Lf\n", n, x[n]);
+	}
+	
+	printf("sn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24Lf\n", u, k, x[0]);
+
+	double	sn, cn, dn;
+	double	m = sqrl(k);
+	gsl_sf_elljac_e((double)u, m, &sn, &cn, &dn);
+	printf("sn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24f\n", u, k, sn);
+	printf("cn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24f\n", u, k, cn);
+	printf("dn(%7.4Lf, %7.4Lf) = %20.24f\n", u, k, dn);
+
+	return EXIT_SUCCESS;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
index e05f3bd..d65570b 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/chapter.tex
@@ -35,11 +35,14 @@ wieder hergestellt.
 
 \input{chapters/110-elliptisch/lemniskate.tex}
 
-\section*{Übungsaufgabe}
-\rhead{Übungsaufgabe}
+\section*{Übungsaufgaben}
+\rhead{Übungsaufgaben}
 \aufgabetoplevel{chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben}
 \begin{uebungsaufgaben}
 %\uebungsaufgabe{0}
 \uebungsaufgabe{1}
+\uebungsaufgabe{2}
+\uebungsaufgabe{3}
+\uebungsaufgabe{4}
 \end{uebungsaufgaben}
 
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
index 3303aee..3709300 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/dglsol.tex
@@ -340,7 +340,96 @@ Die Jacobischen elliptischen Funktionen sind daher inverse Funktionen
 der unvollständigen elliptischen Integrale.
 
 %
+% Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
 %
+\subsubsection{Numerische Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+\begin{scope}[xshift=-2.4cm,yshift=1.2cm]
+\fill[color=red!20]
+	(-1.0,0) -- (-1.0,-2.1) -- (-1.8,-2.1) -- (0,-3.0)
+	-- (1.8,-2.1) -- (1.0,-2.1) -- (1.0,0) -- cycle;
+\node[color=white] at (0,-1.2) [scale=7] {\sf 1};
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=2.9cm,yshift=-1.8cm]
+\fill[color=blue!20]
+	(0.8,0) -- (0.8,2.1) -- (1.4,2.1) -- (0,3.0) -- (-1.4,2.1)
+	-- (-0.8,2.1) -- (-0.8,0) -- cycle;
+\node[color=white] at (0,1.2) [scale=7] {\sf 2};
+\end{scope}
+
+\node at (0,0) {
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}c<{$}|>{$}c<{$}>{$}l<{$}|}
+\hline
+n & a_n                & b_n                  & x_n              &
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+0 & 1.0000000000000000 & 0.4358898943540673 & 0.5422823228691580 & = \operatorname{sn}(u,k)%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}\\
+1 & 0.7179449471770336 & 0.6602195804079634 & 0.4157689781689663 & \mathstrut\\
+2 & 0.6890822637924985 & 0.6884775317911533 & 0.4017521410983242 & \mathstrut\\
+3 & 0.6887798977918259 & 0.6887798314243237 & 0.4016042867931862 & \mathstrut\\
+4 & 0.6887798646080748 & 0.6887798646080740 & 0.4016042705654757 & \mathstrut\\
+5 & 0.6887798646080744 & 0.6887798646080744 & 0.4016042705654755 & \mathstrut\\
+6 &                    &                    & 0.4016042705654755 & = \sin(a_5u) 
+\mathstrut\text{\vrule height0pt depth6pt width0pt}\\
+\hline
+\end{tabular}
+};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ für $u=0.6$ und $k=0.$2
+mit Hilfe des arithmetisch-geo\-me\-tri\-schen Mittels.
+In der ersten Phase des Algorithmus (rot) wird die Folge der arithmetischen
+und geometrischen Mittel berechnet, in der zweiten Phase werden die
+Approximationen von $x_0=\operatorname{sn}(u,k)$.
+Bei $n=5$ erreicht die Iteration des arithmetisch-geometrischen Mittels
+Maschinengenauigkeit, was sich auch darin äussert, dass sich $x_5$ und
+$x_6=\sin(a_5u)$ nicht unterscheiden.
+\label{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung}}
+\end{table}
+In Abschnitt~\ref{buch:elliptisch:subsection:agm} auf
+Seite~\pageref{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}
+wurde erklärt, wie das unvollständige elliptische Integral $F(x,k)$ mit 
+Hilfe des arithmetisch-geometrischen Mittels berechnet werden kann.
+Da $\operatorname{sn}^{-1}(x,k) = F(x,k)$ die Umkehrfunktion ist, kann
+man den Algorithmus auch zur Berechnung von $\operatorname{sn}(u,k)$ 
+verwenden.
+Dazu geht man wie folgt vor:
+\begin{enumerate}
+\item
+$k'=\sqrt{1-k^2}$.
+\item
+Berechne die Folgen des arithmetisch-geometrischen Mittels
+$a_n$ und $b_n$ mit $a_0=1$ und $b_0=k'$, bis zum Folgenindex $N$,
+bei dem ausreichende Konvergenz eintegreten ist.
+\item
+Setze $x_N = \sin(a_N \cdot u)$.
+\item
+Berechnet für absteigende $n=N-1,N-2,\dots$ die Folge $x_n$ mit Hilfe
+der Rekursionsformel
+\begin{equation}
+x_{n}
+=
+\frac{2a_nx_{n+1}}{a_n+b_n+(a_n-b_n)x_{n+1}^2},
+\label{buch:elliptisch:agm:xnrek}
+\end{equation}
+die aus \eqref{buch:elliptisch:agm:subst}
+durch die Substitution $x_n = \sin t_n$ entsteht.
+\item
+Setze $\operatorname{sn}(u,k) = x_0$.
+\end{enumerate}
+Da die Formel \eqref{buch:elliptisch:agm:xnrek} nicht unter den
+numerischen Stabilitätsproblemen leidet, die früher auf
+Seite~\pageref{buch:elliptisch:agm:ellintegral-stabilitaet}
+diskutiert wurden, ist die Berechnung stabil und sehr schnell.
+Tabelle~\ref{buch:elliptisch:agm:table:snberechnung}
+zeigt die Berechnung am Beispiel $u=0.6$ und $k=0.2$.
+
+%
+% Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen
 %
 \subsubsection{Pole und Nullstellen der Jacobischen elliptischen Funktionen}
 \begin{figure}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
index 4589ffa..cc99218 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/ellintegral.tex
@@ -459,7 +459,8 @@ Parameter $k$ mit der Ableitungsformel für die Funktion $\mathstrut_2F_1$.
 %
 % Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
 %
-\subsection{Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel}
+\subsection{Berechnung mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel
+\label{buch:elliptisch:subsection:agm}}
 Die numerische Berechnung von elliptischer Integrale mit gewöhnlichen
 numerischen Integrationsroutinen ist nicht sehr effizient.
 Das in diesem Abschnitt vorgestellte arithmetisch-geometrische Mittel
@@ -472,7 +473,11 @@ Sie ist ein Speziallfall der sogenannten Landen-Transformation,
 \index{Landen-Transformation}%
 welche ausser für die elliptischen Integrale auch für die 
 Jacobischen elliptischen Funktionen formuliert werden kann und
-für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert.
+für letztere ebenfalls sehr schnelle numerische Algorithmen liefert
+(siehe dazu auch die
+Aufgaben~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2}--\ref{buch:elliptisch:aufgabe:4}).
+Sie kann auch verwendet werden, um die Werte der Jacobischen elliptischen
+Funktionen für komplexe Argument zu berechnen.
 
 %
 % Das arithmetisch-geometrische Mittel
@@ -574,7 +579,7 @@ Gauss hat gefunden, dass die Substitution
 \begin{equation}
 \sin t
 =
-\frac{2a\sin t_1}{a+b+(a-b)\sin t_1}
+\frac{2a\sin t_1}{a+b+(a-b)\sin^2 t_1}
 \label{buch:elliptisch:agm:subst}
 \end{equation}
 zu
@@ -1103,6 +1108,136 @@ F(x,k) = iK(k') - F\biggl(\frac1{kx},k\biggr)
 für die Werte des elliptischen Integrals erster Art für grosse Argumentwerte
 fest.
 
+%
+% AGM und Berechnung von F(x,k)
+%
+\subsubsection{Berechnung von $F(x,k)$ mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel\label{buch:elliptisch:subsubection:berechnung-fxk-agm}}
+Wie das vollständige elliptische Integral $K(k)$ kann auch das  
+unvollständige elliptische Integral
+\begin{align*}
+F(x,k)
+&=
+\int_0^x \frac{d\xi}{\sqrt{(1-\xi^2)(1-k^{\prime 2}\xi^2)}}
+=
+\int_0^{\varphi}
+\frac{dt}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 t}}
+\\
+&=
+a
+\int_0^{\varphi} \frac{dt}{a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t}
+\qquad\text{mit $k=b/a$}
+\end{align*}
+mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel berechnet werden.
+Dazu muss die Substitution
+\eqref{buch:elliptisch:agm:subst}
+verwendet werden, um auch den Winkel $\varphi_1$ zu berechnen.
+Dazu muss \eqref{buch:elliptisch:agm:subst} nach $x_1=\sin t_1$ 
+aufgelöst werden.
+Durch Multiplikation mit dem Nenner erhält man mit der Abkürzung
+$x=\sin t$ und $x_1=\sin t_1$  die quadratische Gleichung
+\[
+(a-b)x x_1
+-
+2ax_1
+(a+b)x 
+=
+0,
+\]
+mit der Lösung
+\begin{equation}
+x_1 
+=
+\frac{a-\sqrt{a^2-(a^2-b^2)x^2}}{(a-b)x}.
+\label{buch:elliptisch:unvollstagm:xrek}
+\end{equation}
+Der Algorithmus zur Berechnung des arithmetisch-geometrischen Mittels
+muss daher verallgemeinert werden zu
+\begin{equation}
+\left.
+\begin{aligned}
+a_{n+1} &= \frac{a_n+b_n}2,  &\qquad a_0 &= a
+\\
+b_{n+1} &= \sqrt{a_nb_n},    & b_0 &= b
+\\
+x_{n+1} &= \frac{a_n-\sqrt{a_n^2-(a_n^2-b_n^2)x_n^2}}{(a_n-b_n)x_n}, & x_0 &= x
+\end{aligned}
+\quad
+\right\}
+\label{buch:elliptisch:unvollstagm:rek}
+\end{equation}
+Die Folge $x_n$ konvergiert gegen einen Wert $x_{\infty} = \lim_{n\to\infty} x_n$.
+Der Wert des unvollständigen elliptischen Integrals ist dann der Grenzwert
+\[
+F(x,k)
+=
+\lim_{n\to\infty}
+\frac{\arcsin x_n}{M(a_n,b_n)}
+=
+\frac{\arcsin x_{\infty}}{M(1,\sqrt{1-k^2})}.
+\]
+
+In dieser Form ist die Berechnung allerdings nicht praktisch durchführbar.
+Das Problem ist, dass die Differenz $a_n-b_n$, die in 
+\eqref{buch:elliptisch:unvollstagm:rek}
+im Nenner vorkommt, sehr schnell gegen Null geht.
+Ausserdem ist die Quadratwurzel im Zähler fast gleich gross wie
+$a_n$, was zu Auslöschung und damit ungenauen Resultaten führt.
+\label{buch:elliptisch:agm:ellintegral-stabilitaet}
+
+Eine Möglichkeit, das Problem zu entschärfen, ist, die Rekursionsformel
+nach $\varepsilon = a-b$ zu entwickeln.
+Mit $a+b=2a+\varepsilon$ kann man $b$ aus der Formel elimineren und erhält
+mit Hilfe der binomischen Reihe
+\begin{align*}
+x_1
+&=
+\frac{a}{x\varepsilon}
+\left(1-\sqrt{1-\varepsilon(2a-\varepsilon)x^2/a^2}\right)
+\\
+&=
+\frac{a}{x\varepsilon}
+\biggl(
+1-\sum_{k=0}^\infty
+(-1)^k
+\frac{(\frac12)_k}{k!} \varepsilon^k(2a-\varepsilon)^k\frac{x^{2k}}{a^{2k}}
+\biggr)
+\\
+&=
+\sum_{k=1}^\infty
+(-1)^{k-1} 
+\frac{(\frac12)_k}{k!} \varepsilon^{k-1}(2a-\varepsilon)^k\frac{x^{2k-1}}{a^{2k-1}}
+\\
+&=
+\frac{\frac12}{1!}(2a-\varepsilon)\frac{x}{a}
+-
+\frac{\frac12\cdot(\frac12-1)}{2!}\varepsilon(2a-\varepsilon)^2\frac{x^3}{a^3}
++
+\frac{\frac12\cdot(\frac12-1)(\frac12-2)}{3!}\varepsilon^2(2a-\varepsilon)^3\frac{x^5}{a^5}
+-
+\dots
+\\
+&=
+x\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2a}\biggr)
+\biggl(
+1
+-
+\frac{\frac12-1}{2!}\varepsilon(2a-\varepsilon)\frac{x^2}{a^2}
++
+\frac{(\frac12-1)(\frac12-2)}{3!}\varepsilon^2(2a-\varepsilon)^2\frac{x^4}{a^4}
+-
+\dots
+\biggr)
+\\
+&=
+x\biggl(1-\frac{\varepsilon}{2a}\biggr)
+\cdot
+\mathstrut_2F_1\biggl(
+\begin{matrix}-\frac12,1\\2\end{matrix};-\varepsilon(2a-\varepsilon)\frac{x^2}{a^2}
+\biggr).
+\end{align*}
+Diese Form ist wesentlich besser, aber leider kann es bei der numerischen
+Rechnung passieren, dass $\varepsilon < 0$ wird.
+
 %\subsection{Potenzreihe}
 %XXX Potenzreihen \\
 %XXX Als hypergeometrische Funktionen \url{https://www.youtube.com/watch?v=j0t1yWrvKmE} \\
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
index 583e00a..c67870f 100644
--- a/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/elltrigo.tex
@@ -169,7 +169,7 @@ x^2(k^2-1) + y^2 = 1.
 an einer Ellipse mit Halbachsen $a$ und $1$.
 \label{buch:elliptisch:fig:jacobidef}}
 \end{figure}
-\subsubsection{Definition der elliptischen Funktionen}
+\subsubsection{Definition der Jacobischen elliptischen Funktionen}
 Die elliptischen Funktionen für einen Punkt $P$ auf der Ellipse mit Modulus $k$
 können jetzt als Verhältnisse der Koordinaten des Punktes definieren.
 Es stellt sich aber die Frage, was man als Argument verwenden soll.
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.pdf b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.pdf
new file mode 100644
index 0000000..13a2739
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.pdf
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.tex
new file mode 100644
index 0000000..a3ae425
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KK.tex
@@ -0,0 +1,66 @@
+%
+% KK.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{10}
+\def\dy{3}
+\input{KKpath.tex}
+
+\draw[->] (-0.1,0) -- (10.3,0) coordinate[label={$k$}];
+\draw[->] (0,-0.1) -- (0,{2*\dy+0.3}) coordinate[label={right:$y$}];
+
+\node at (3,{1.2*\dy}) {$\displaystyle y = \frac{K(k)}{K(\!\sqrt{1-k^2})}$};
+
+\begin{scope}
+\clip (0,0) rectangle (10,{2*\dy});
+\draw[color=red,line width=1.4pt] \KKpath;
+\end{scope}
+
+\draw[line width=0.2pt] (10,0) -- (10,{2*\dy});
+
+\foreach \y in {0.0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0}{
+	\draw (-0.05,{\y*\dy}) -- (0.05,{\y*\dy});
+	\node at (0,{\y*\dy}) [left] {$\y\mathstrut$};
+}
+
+\foreach \k in {1,...,9}{
+	\draw ({\k*\dx/10},-0.05) -- ({\k*\dx/10},0.05);
+	\node at ({\k*\dx/10},0) [below] {$0.\k\mathstrut$};
+}
+\node at (0,0) [below] {$0\mathstrut$};
+\node at (10,0) [below] {$1\mathstrut$};
+
+\draw[color=blue] ({\knull*\dx},0) -- ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy});
+\foreach \y in {1,2,3,4}{
+	\draw[color=blue]
+		({\knull*\dx-0.05},{\y*\KKnull*\dy/5})
+		--
+		({\knull*\dx+0.05},{\y*\KKnull*\dy/5});
+}
+\draw[color=black,line width=0.1pt] (0,{\KKnull*\dy}) -- ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy});
+\draw[color=black,line width=0.1pt] (0,{\KKnull*\dy/5}) -- ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5});
+\node at ({0.6*\dx},{\KKnull*\dy}) [above] {$y=1.7732$};
+\node at ({0.6*\dx},{\KKnull*\dy/5}) [above] {$y=0.3546$};
+\draw[color=blue] ({\kone*\dx},0) -- ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5});
+\draw[color=blue] ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5}) -- ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy/5});
+\fill[color=blue] ({\kone*\dx},{\KKnull*\dy/5}) circle[radius=0.05];
+\fill[color=blue] ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy/5}) circle[radius=0.05];
+\fill[color=blue] ({\knull*\dx},{\KKnull*\dy}) circle[radius=0.05];
+\node[color=blue] at ({\knull*\dx},0) [left,rotate=90] {$k=0.97\mathstrut$};
+\node[color=blue] at ({\kone*\dx},0) [left,rotate=90] {$k_1=0.0477$};
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KN.cpp b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KN.cpp
new file mode 100644
index 0000000..1dcca9e
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/KN.cpp
@@ -0,0 +1,177 @@
+/*
+ * KN.cpp
+ *
+ * (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+ */
+#include <cstdlib>
+#include <cstdio>
+#include <cmath>
+#include <iostream>
+#include <fstream>
+#include <sstream>
+#include <getopt.h>
+#include <vector>
+#include <gsl/gsl_sf_elljac.h>
+#include <gsl/gsl_sf_ellint.h>
+
+namespace KN {
+
+bool	debug = false;
+
+static struct option	longopts[] {
+{ "debug",	no_argument,		NULL,	'd' },
+{ "N",		required_argument,	NULL,	'N' },
+{ "outfile",	required_argument,	NULL,	'o' },
+{ "min",	required_argument,	NULL,	'm' },
+{ NULL,		0,			NULL,	 0  }
+};
+
+double	KprimeK(double k) {
+	double	kprime = sqrt(1-k*k);
+	if (debug)
+		printf("%s:%d: k = %f, k' = %f\n", __FILE__, __LINE__, k, kprime);
+	double	v
+		=
+		gsl_sf_ellint_Kcomp(k, GSL_PREC_DOUBLE)
+		/
+		gsl_sf_ellint_Kcomp(kprime, GSL_PREC_DOUBLE)
+		;
+	if (debug)
+		printf("%s:%d: KprimeK(k = %f) = %f\n", __FILE__, __LINE__, k, v);
+	return v;
+}
+
+static const int	L = 100000000;
+static const double	h = 1. / L;
+
+double	Kd(double k) {
+	double	m = 0;
+	if (k < h) {
+		m = 2 * (KprimeK(k) - KprimeK(k / 2)) / k;
+	} else if (k > 1-h) {
+		m = 2 * (KprimeK((1 + k) / 2) - KprimeK(k)) / (1 - k);
+		
+	} else {
+		m = L * (KprimeK(k + h) - KprimeK(k));
+	}
+	if (debug)
+		printf("%s:%d: Kd(%f) = %f\n", __FILE__, __LINE__, k, m);
+	return m;
+}
+
+double	k1(double y) {
+	if (debug)
+		printf("%s:%d: Newton for y = %f\n", __FILE__, __LINE__, y);
+	double	kn = 0.5;
+	double	delta = 1;
+	int	n = 0;
+	while ((fabs(delta) > 0.000001) && (n < 10)) {
+		double	yn = KprimeK(kn);
+		if (debug)
+			printf("%s:%d: k%d = %f, y%d = %f\n", __FILE__, __LINE__, n, kn, n, yn);
+		delta = (yn - y) / Kd(kn);
+		if (debug)
+			printf("%s:%d: delta = %f\n", __FILE__, __LINE__, delta);
+		double	kneu = kn - delta;
+		if (kneu <= 0) {
+			kneu = kn / 4;
+		}
+		if (kneu >= 1) {
+			kneu = (3 + kn) / 4;
+		}
+		kn = kneu;
+		if (debug)
+			printf("%s:%d: kneu = %f, kn = %f\n", __FILE__, __LINE__, kneu, kn);
+		n++;
+	}
+	if (debug)
+		printf("%s:%d: Newton result: k = %f\n", __FILE__, __LINE__, kn);
+	return kn;
+}
+
+double	k1(int N, double k) {
+	return k1(KprimeK(k) / N);
+}
+
+/**
+ * \brief Main function for the slcl program
+ */
+int	main(int argc, char *argv[]) {
+	int	longindex;
+	int	c;
+	int	N = 5;
+	double	kmin = 0.01;
+	std::string	outfilename;
+	while (EOF != (c = getopt_long(argc, argv, "d:N:o:m:",
+		longopts, &longindex)))
+		switch (c) {
+		case 'd':
+			debug = true;
+			break;
+		case 'N':
+			N = std::stoi(optarg);
+			break;
+		case 'o':
+			outfilename = std::string(optarg);
+			break;
+		case 'm':
+			kmin = std::stod(optarg);
+			break;
+		}
+
+	double	d = 0.01;
+	if (outfilename.size() > 0) {
+		FILE	*fn = fopen(outfilename.c_str(), "w");
+		fprintf(fn, "\\def\\KKpath{ ");
+		double	k = d;
+		fprintf(fn, " (0,0)");
+		double	k0 = k/16;
+		while (k0 < k) {
+			fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", k0, KprimeK(k0));
+			k0 *= 2;
+		}
+		while (k < 1-0.5*d) {
+			fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})", k, KprimeK(k));
+			k += d;
+		}
+		fprintf(fn, "}\n");
+
+		k0 = 0.97;
+		fprintf(fn, "\\def\\knull{%.4f}\n", k0);
+		double	KK = KprimeK(k0);
+		fprintf(fn, "\\def\\KKnull{%.4f}\n", KK);
+		fprintf(fn, "\\def\\kone{%.4f}\n", k1(N, k0));
+
+		fclose(fn);
+		return EXIT_SUCCESS;
+	}
+
+	for (double k = kmin; k < (1 - d/2); k += d) {
+		if (debug)
+			printf("%s:%d: k = %f\n", __FILE__, __LINE__, k);
+		double	y = KprimeK(k);
+		double	k0 = k1(y);
+		double	kone = k1(N, k0);
+		printf("g(%4.2f) = %10.6f,", k, y);
+		printf("    g'(%.2f) = %10.6f,", k, Kd(k));
+		printf("    g^{-1} = %10.6f,", k0);
+		printf("    k1 = %10.6f,", kone);
+		printf("    g(k1) = %10.6f\n", KprimeK(kone));
+	}
+
+	return EXIT_SUCCESS;
+}
+
+} // namespace KN
+
+int	main(int argc, char *argv[]) {
+	try {
+		return KN::main(argc, argv);
+	} catch (const std::exception& e) {
+		std::cerr << "terminated by exception: " << e.what();
+		std::cerr << std::endl;
+	} catch (...) {
+		std::cerr << "terminated by unknown exception" << std::endl;
+	}
+	return EXIT_FAILURE;
+}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/Makefile b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..fac4fbc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/experiments/Makefile
@@ -0,0 +1,15 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschlue
+#
+all:	KK.pdf
+
+KN:	KN.cpp
+	g++ -O -Wall -std=c++11 KN.cpp -o KN `pkg-config --cflags gsl` `pkg-config --libs gsl`
+
+KKpath.tex:	KN
+	./KN --outfile KKpath.tex
+
+KK.pdf:	KK.tex KKpath.tex
+	pdflatex KK.tex
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
new file mode 100644
index 0000000..9a1cafc
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/2.tex
@@ -0,0 +1,61 @@
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:2}%
+Die Landen-Transformation basiert auf der Iteration
+\begin{equation}
+\begin{aligned}
+k_{n+1}
+&=
+\frac{1-k_n'}{1+k_n'}
+&
+&\text{und}&
+k_{n+1}'
+&=
+\sqrt{1-k_{n+1}^2}
+\end{aligned}
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:2:iteration}
+\end{equation}
+mit den Startwerten $k_0 = k$ und $k_0' = \sqrt{1-k_0^2}$.
+Zeigen Sie, dass $k_n\to 0$ und $k_n'\to 1$ mit quadratischer Konvergenz.
+
+\begin{loesung}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+n &         k         &         k'        \\
+\hline
+0 & 0.200000000000000 & 0.979795897113271 \\
+1 & 0.010205144336438 & 0.999947926158694 \\
+2 & 0.000026037598592 & 0.999999999661022 \\
+3 & 0.000000000169489 & 1.000000000000000 \\
+4 & 0.000000000000000 & 1.000000000000000 \\
+\hline
+\end{tabular}
+\caption{Numerisches Experiment zur Folge $(k_n,k_n')$ 
+gemäss \eqref{buch:elliptisch:aufgabe:2:iteration}
+mit $k_0=0.2$
+\label{buch:ellptisch:aufgabe:2:numerisch}}
+\end{table}
+Es ist klar, dass $k'_n\to 1$ folgt, wenn man zeigen kann, dass 
+$k_n\to 0$ gilt.
+Wir berechnen daher 
+\begin{align*}
+k_{n+1}
+&=
+\frac{1-k_n'}{1+k_n'}
+=
+\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}
+\intertext{und erweitern mit dem Nenner $1+\sqrt{1-k_n^2}$ um}
+&=
+\frac{1-(1-k_n^2)}{(1+\sqrt{1-k_n^2})^2}
+=
+\frac{ k_n^2 }{(1+\sqrt{1-k_n^2})^2}
+\le
+k_n^2
+\end{align*}
+zu erhalten.
+Daraus folgt jetzt sofort die quadratische Konvergenz von $k_n$ gegen $0$.
+
+Ein einfaches numerisches Experiment (siehe
+Tabelle~\ref{buch:ellptisch:aufgabe:2:numerisch})
+bestätigt die quadratische Konvergenz der Folgen.
+\end{loesung}
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex
new file mode 100644
index 0000000..a5d118f
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/3.tex
@@ -0,0 +1,135 @@
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:3}%
+Aus der in Aufgabe~\ref{buch:elliptisch:aufgabe:2} konstruierten Folge
+$k_n$ kann zu einem vorgegebenen $u$ ausserdem die Folge $u_n$
+mit der Rekursionsformel
+\[
+u_{n+1} = \frac{u_n}{1+k_{n+1}}
+\]
+und Anfangswert $u_0=u$ konstruiert werden.
+Die Landen-Transformation (siehe \cite[80]{buch:ellfun-applications})
+\index{Landen-Transformation}%
+führt auf die folgenden Formeln für die Jacobischen elliptischen Funktionen:
+\begin{equation}
+\left.\qquad
+\begin{aligned}
+\operatorname{sn}(u_n,k_n)
+&=
+\frac{
+(1+k_{n+1})\operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})
+}{
+1 + k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2
+}
+\\
+\operatorname{cn}(u_n,k_n)
+&=
+\frac{
+\operatorname{cn}(u_{n+1},k_{n+1})
+\operatorname{dn}(u_{n+1},k_{n+1})
+}{
+1 + k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2
+}
+\\
+\operatorname{dn}(u_n,k_n)
+&=
+\frac{
+1 - k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2
+}{
+1 + k_{n+1} \operatorname{sn}(u_{n+1},k_{n+1})^2
+}
+\end{aligned}
+\qquad\right\}
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss}
+\end{equation}
+Die Transformationsformeln
+\eqref{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss}
+sind auch als Gauss-Transformation bekannt.
+\index{Gauss-Transformation}%
+Konstruieren Sie daraus einen numerischen Algorithmus, mit dem sich
+gleichzeitig die Werte aller drei Jacobischen elliptischen Funktionen
+für vorgegebene Parameterwerte $u$ und $k$ berechnen lassen.
+
+\begin{loesung}
+In der ersten Phase des Algorithmus werden die Folgen $k_n$ und $k_n'$ 
+sowie $u_n$ bis zum Folgenindex $N$ berechnet, bis $k_N\approx 0$
+angenommen werden darf.
+Dann gilt
+\begin{align*}
+\operatorname{sn}(u_N, k_N) &= \operatorname{sn}(u_N,0) = \sin u_N
+\\
+\operatorname{cn}(u_N, k_N) &= \operatorname{cn}(u_N,0) = \cos u_N
+\\
+\operatorname{dn}(u_N, k_N) &= \operatorname{dn}(u_N,0) = 1.
+\end{align*}
+In der zweiten Phase des Algorithmus können für absteigende
+$n$ jeweils die Formeln~\eqref{buch:elliptisch:aufgabe:3:gauss}
+angewendet werden um nacheinander die Werte der Jacobischen
+elliptischen Funktionen für Argument $u_n$ und Parameter $k_n$
+für $n=N-1,N-2,\dots,0$ zu bekommen.
+\end{loesung}
+\begin{table}
+\centering
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+\def\pfeil#1#2{
+	\fill[color=#1!30] (-0.5,1) -- (-0.5,-1) -- (-0.8,-1)
+		-- (0,-1.5) -- (0.8,-1) -- (0.5,-1) -- (0.5,1) -- cycle;
+	\node[color=white] at (0,-0.2) [scale=5] {\sf #2\strut};
+}
+\begin{scope}[xshift=-4.9cm,yshift=0.2cm]
+\pfeil{red}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=-2.3cm,yshift=0.2cm]
+\pfeil{red}{1}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=0.35cm,yshift=-0.3cm,yscale=-1]
+\pfeil{blue}{2}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=2.92cm,yshift=-0.3cm,yscale=-1]
+\pfeil{blue}{2}
+\end{scope}
+
+\begin{scope}[xshift=5.60cm,yshift=-0.3cm,yscale=-1]
+\pfeil{blue}{2}
+\end{scope}
+
+\node at (0,0) {
+\begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+\hline
+n & k_n & u_n & \operatorname{sn}(u_n,k_n) & \operatorname{cn}(u_n,k_n) & \operatorname{dn}(u_n,k_n)%
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
+\hline
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth0pt width0pt}%
+%\small
+0 & 0.90000000000 & 0.60000000000 & 0.54228232286 & 0.84019633556 & 0.87281338478 \\
+1 & 0.39286445838 & 0.43076696830 & 0.41576897816 & 0.90947026163 & 0.98656969610 \\
+2 & 0.04188568608 & 0.41344935827 & 0.40175214109 & 0.91574844642 & 0.99985840483 \\
+3 & 0.00043898784 & 0.41326793867 & 0.40160428679 & 0.91581329801 & 0.99999998445 \\
+4 & 0.00000004817 & 0.41326791876 & 0.40160427056 & 0.91581330513 & 1.00000000000 \\
+5 & 0.00000000000 & 0.41326791876 & 0.40160427056 & 0.91581330513 & 1.00000000000 \\
+%N & 0.00000000000 & 0.41326791876 & 0.40160427056 & 0.91581330513 & 1.00000000000%
+N &               & 0.41326791876 & \sin u_N      & \cos u_N      & 1%
+%0 & 0.900000000000000 & 0.600000000000000 & 0.542282322869158 & 0.840196335569032 & 0.872813384788490 \\
+%1 & 0.392864458385019 & 0.430766968306220 & 0.415768978168966 & 0.909470261631645 & 0.986569696107075 \\
+%2 & 0.041885686080039 & 0.413449358275499 & 0.401752141098324 & 0.915748446421239 & 0.999858404836479 \\
+%3 & 0.000438987841605 & 0.413267938675096 & 0.401604286793186 & 0.915813298019491 & 0.999999984459261 \\
+%4 & 0.000000048177586 & 0.413267918764845 & 0.401604270565476 & 0.915813305135699 & 1.000000000000000 \\
+%5 & 0.000000000000001 & 0.413267918764845 & 0.401604270565476 & 0.915813305135699 & 1.000000000000000 \\
+%N & 0.000000000000000 & 0.413267918764845 & 0.401604270565476 & 0.915813305135699 & 1.000000000000000 \\
+\mathstrut\text{\vrule height12pt depth6pt width0pt} \\
+\hline
+\end{tabular}
+};
+\end{tikzpicture}
+\caption{Durchführung des auf der Landen-Transformation basierenden
+Algorithmus zur Berechnung der Jacobischen elliptischen Funktionen
+für $u=0.6$ und $k=0.9$.
+Die erste Phase (rot) berechnet die Folgen $k_n$ und $u_n$, die zweite 
+(blau)
+transformiert die Wert der trigonometrischen Funktionen in die Werte
+der Jacobischen elliptischen Funktionen.
+\label{buch:elliptisch:aufgabe:3:resultate}}
+\end{table}
+
+
diff --git a/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/landen.m b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/landen.m
new file mode 100644
index 0000000..bba5549
--- /dev/null
+++ b/buch/chapters/110-elliptisch/uebungsaufgaben/landen.m
@@ -0,0 +1,60 @@
+#
+# landen.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+N = 10;
+
+function retval = M(a,b)
+	for i = (1:10)
+		A = (a+b)/2;
+		b = sqrt(a*b);
+		a = A;
+	endfor
+	retval = a;
+endfunction;
+
+function retval = EllipticKk(k)
+	retval = pi / (2 * M(1, sqrt(1-k^2)));
+endfunction
+
+k = 0.5;
+kprime = sqrt(1-k^2);
+
+EK = EllipticKk(k);
+EKprime = EllipticKk(kprime);
+
+u = EK + EKprime * i;
+
+K = zeros(N,3);
+K(1,1) = k;
+K(1,2) = kprime;
+K(1,3) = u;
+
+format long
+
+for n = (2:N)
+	K(n,1) = (1-K(n-1,2)) / (1+K(n-1,2));
+	K(n,2) = sqrt(1-K(n,1)^2);
+	K(n,3) = K(n-1,3) / (1 + K(n,1));
+end
+
+K(:,[1,3])
+
+pi / 2
+
+scd = zeros(N,3);
+scd(N,1) = sin(K(N,3));
+scd(N,2) = cos(K(N,3));
+scd(N,3) = 1;
+
+for n = (N:-1:2)
+	nenner = 1 + K(n,1) * scd(n, 1)^2;
+	scd(n-1,1) = (1+K(n,1)) * scd(n, 1) / nenner;
+	scd(n-1,2) = scd(n, 2) * scd(n, 3) / nenner;
+	scd(n-1,3) = (1 - K(n,1) * scd(n,1)^2) / nenner;
+end
+
+scd(:,1)
+
+cosh(2.009459377005286)
diff --git a/buch/chapters/references.bib b/buch/chapters/references.bib
index 571831a..fbbbf30 100644
--- a/buch/chapters/references.bib
+++ b/buch/chapters/references.bib
@@ -137,3 +137,12 @@
 	year = 2004
 }
 
+@book{buch:ellfun-applications,
+	author = { Derek F. Lawden },
+	title = { Elliptic Functions and Applications },
+	series = { Applied Mathematical Sciences },
+	volume = { 80 },
+	publisher = { Springer-Verlag },
+	year = 2010,
+	ISBN = { 978-1-4419-3090-3 }
+}