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path: root/buch/chapters
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authorAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-02-12 13:45:39 +0100
committerAndreas Müller <andreas.mueller@ost.ch>2022-02-12 13:45:39 +0100
commit42fa6e98e7ca7b904a1e66a4eb7e8cd1f62ba861 (patch)
treefa3696a9b79f3221a724a16399fc20aa5a1c6ec6 /buch/chapters
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typos
Diffstat (limited to 'buch/chapters')
-rw-r--r--buch/chapters/040-rekursion/beta.tex27
1 files changed, 18 insertions, 9 deletions
diff --git a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
index fbaea46..1c0861a 100644
--- a/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
+++ b/buch/chapters/040-rekursion/beta.tex
@@ -480,19 +480,28 @@ bereits bekannten Wert.
\subsubsection{Beta-Funktion und Binomialkoeffizienten}
Die Binomialkoeffizienten können mit Hilfe der Fakultät als
-\begin{equation}
+\begin{align*}
\binom{n}{k}
-=
+&=
\frac{n!}{(n-k)!\,k!}
+\intertext{geschrieben werden.
+Drückt man die Fakultäten durch die Gamma-Funktion aus, erhält man}
+&=
+\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}.
+\intertext{Schreibt man $x=k-1$ und $y=n-k+1$, wird daraus
+wegen $x+y=k+1+n-k+1=n+2=(n+1)+1$}
+&=
+\frac{\Gamma(x+y-1)}{\Gamma(x)\Gamma(y)}.
+\intertext{Die Rekursionsformel für die Gamma-Funktion erlaubt,
+den Zähler umzuwandeln in $\Gamma(x+y-1)=\Gamma(x+y)/(x+y-1)$, so dass
+der Binomialkoeffizient schliesslich}
+&=
+\frac{\Gamma(x+y)}{(x+y-1)\Gamma(x)\Gamma(y)}
=
-\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-=
-\frac{(n-2)\Gamma(n-2)}{\Gamma(n-k-1)\Gamma(k-1)}
-=
-\frac{n-2}{B(n-k-1,k-1)}
+\frac{1}{(n-1)B(n-k+1,k+1)}
\label{buch:rekursion:gamma:binombeta}
-\end{equation}
-geschrieben werden.
+\end{align*}
+geschrieben werden kann.
Die Rekursionsbeziehung
\[
\binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}