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--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
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-% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund
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-% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Mathematischer Hintergrund
-\label{0f1:section:mathHintergrund}}
-\rhead{Mathematischer Hintergrund}
-Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
-und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
-beschrieben.
-
-\subsection{Hypergeometrische Funktion
-\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
-Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
-
-\begin{definition}
-	\label{0f1:math:qFp:def}
-	Die hypergeometrische Funktion
-	$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe
-	\[
-	\mathstrut_pF_q
-	\biggl(
-	\begin{matrix}
-		a_1,\dots,a_p\\
-		b_1,\dots,b_q
-	\end{matrix}
-	;
-	x
-	\biggr)
-	=
-	\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)
-	=
-	\sum_{k=0}^\infty
-	\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.
-	\]
-\end{definition}
-
-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:
-
-\begin{equation}
-    \label{0f1:math:0f1:eq}
-    \mathstrut_0F_1
-    \biggl(
-    \begin{matrix}
-    \\
-    b_1
-    \end{matrix}
-    ;
-    x
-    \biggr)
-    =
-    \mathstrut_0F_1(;b_1;x)
-    =
-    \sum_{k=0}^\infty
-    \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.
-\end{equation}
-
-
-
-
-\subsection{Airy Funktion
-\label{0f1:subsection:airy}}
-Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}
-
-\begin{definition}
-    \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
-    Die Differentialgleichung
-    $y'' - xy = 0$
-    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
-\end{definition}
-
-Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
-Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.
-
-\begin{align}
-\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
-Ai(x)
-=
-\sum_{k=0}^\infty
-\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
-=
-\mathstrut_0F_1\biggl(
-\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
-\biggr).
-\\
-Bi(x)
-=
-\sum_{k=0}^\infty
-\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
-=
-x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
-\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
-\frac{x^3}{9}
-\biggr).
-\qedhere
-\end{align}
-
-In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
-benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.
-
-
+%

+% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund

+%

+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Mathematischer Hintergrund

+\label{0f1:section:mathHintergrund}}

+\rhead{Mathematischer Hintergrund}

+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate

+beschrieben.

+

+\subsection{Hypergeometrische Funktion

+\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}

+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.

+

+\begin{definition}

+	\label{0f1:math:qFp:def}

+	Die hypergeometrische Funktion

+	$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe

+	\[

+	\mathstrut_pF_q

+	\biggl(

+	\begin{matrix}

+		a_1,\dots,a_p\\

+		b_1,\dots,b_q

+	\end{matrix}

+	;

+	x

+	\biggr)

+	=

+	\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)

+	=

+	\sum_{k=0}^\infty

+	\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.

+	\]

+\end{definition}

+

+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:

+

+\begin{equation}

+    \label{0f1:math:0f1:eq}

+    \mathstrut_0F_1

+    \biggl(

+    \begin{matrix}

+    \\

+    b_1

+    \end{matrix}

+    ;

+    x

+    \biggr)

+    =

+    \mathstrut_0F_1(;b_1;x)

+    =

+    \sum_{k=0}^\infty

+    \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.

+\end{equation}

+

+

+

+

+\subsection{Airy Funktion

+\label{0f1:subsection:airy}}

+Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}

+

+\begin{definition}

+    \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}

+    Die Differentialgleichung

+    $y'' - xy = 0$

+    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 

+\end{definition}

+

+Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 

+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.

+

+\begin{align}

+\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

+Ai(x)

+=

+\sum_{k=0}^\infty

+\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k

+=

+\mathstrut_0F_1\biggl(

+\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}

+\biggr).

+\\

+Bi(x)

+=

+\sum_{k=0}^\infty

+\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k

+=

+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(

+\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};

+\frac{x^3}{9}

+\biggr).

+\qedhere

+\end{align}

+

+In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

+benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.

+

+