0f1, inhalt struktur

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-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund
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-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 1
-\label{0f1:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
+\section{Mathematischer Hintergrund
+\label{0f1:section:mathHintergrund}}
+\rhead{Mathematischer Hintergrund}
+
+\subsection{Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$
+\label{0f1:subsection:0f1}}
+Wie in Kapitel \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} beschrieben,
+wird die Funktion $\mathstrut_0F_1$ folgendermassen definiert.
+\begin{definition}
+    \label{0f1:rekursion:hypergeometrisch:def}
+    Die hypergeometrische Funktion
+    $\mathstrut_0F_1$ ist definiert durch die Reihe
+    \[
+    \mathstrut_0F_1
+    \biggl(
+    \begin{matrix}
+    \\
+    b_1
+    \end{matrix}
+    ;
+    x
+    \biggr)
+    =
+    \mathstrut_0F_1(;b_1;x)
+    =
+    \sum_{k=0}^\infty
+    \frac{1}{(b_1)_k}\frac{x^k}{k!}.
+    \]
+\end{definition}
+
+
+\subsection{Airy Funktion
+\label{0f1:subsection:airy}}
+Wie in \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} dargestellt, ist die Airy-Differentialgleichung
+folgendermassen definiert.
+\begin{definition}
+    y'' - xy = 0
+    \label{0f1:airy:eq:differentialgleichung}
+\end{definition}
+
+Daraus ergibt sich wie in Aufgabe~\ref{503} gefundenen Lösungen der
+Airy-Differentialgleichung als hypergeometrische Funktionen.
+
+
+\begin{align*}
+y_1(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
+=
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\\
+y_2(x)
 =
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
 =
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{0f1:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{0f1:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{0f1:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{0f1:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
+\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\qedhere
+\end{align*}
 
 
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics{papers/0f1/images/airy.pdf}
+    \caption{Plot der Lösungen der Airy-Differentialgleichung $y''-xy=0$
+    zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$ in {\color{red}rot}
+    und $y(0)=0$ und $y'(0)=1$ in {\color{blue}blau}.
+    \label{0f1:airy:plot:vorgabe}}
+\end{figure}
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