2. Ueberarbeitung

5 files changed, 79 insertions, 75 deletions

diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
index d897b8f..3caaf43 100644
--- a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
@@ -1,53 +1,27 @@
 /**

-  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)

-  * @param b0 in 0F1(;b0;z)

-  * @param z in 0F1(;b0;z)

-  * @param n number of itertions (precision)

+  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;c;z)

+  * @param c in 0F1(;c;z)

+  * @param z in 0F1(;c;z)

+  * @param k number of itertions (precision)

   * @return Result

   */

-static double fractionRekursion0f1(const double c, const double z, unsigned int n)

+static double fractionIter0f1(const double c, const double z, unsigned int k)

 {

     //declaration

     double a = 0.0;

     double b = 0.0;

-    double Ak = 0.0;

-    double Bk = 0.0;

-    double Ak_1 = 0.0;

-    double Bk_1 = 0.0;

-    double Ak_2 = 0.0;

-    double Bk_2 = 0.0;

+    double abk = 0.0;

+    double temp = 0.0;

 

-    for (unsigned int k = 0; k <= n; ++k)

+    for (; k > 0; --k)

     {

-        if (k == 0)

-        {

-            a = 1.0; //a0

-            //recursion fomula for A0, B0

-            Ak = a;

-            Bk = 1.0;

-        }

-        else if (k == 1)

-        {

-            a = 1.0; //a1

-            b = z/c; //b1

-            //recursion fomula for A1, B1

-            Ak = a * Ak_1 + b * 1.0;

-            Bk = a * Bk_1;

-        }

-        else

-        {

-            a = 1 + (z / (k * ((k - 1) + c)));//ak

-            b = -(z / (k * ((k - 1) + c)));   //bk

-            //recursion fomula for Ak, Bk

-            Ak = a * Ak_1 + b * Ak_2;

-            Bk = a * Bk_1 + b * Bk_2;

-        }        

-        //save old values

-        Ak_2 = Ak_1;

-        Bk_2 = Bk_1;

-        Ak_1 = Ak;

-        Bk_1 = Bk; 

+        abk = z / (k * ((k - 1) + c));  //abk = ak, bk

+        

+        a = k > 1 ? (1 + abk) : 1;      //a0, a1

+        b = k > 1 ? -abk : abk;         //b1

+

+        temp = b / (a + temp);          //bk / (ak + last result)

     }

-    //approximation fraction

-    return  Ak/Bk;

-}

+

+    return a + temp;                    //a0 + temp

+}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
index 3caaf43..d897b8f 100644
--- a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
@@ -1,27 +1,53 @@
 /**

-  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;c;z)

-  * @param c in 0F1(;c;z)

-  * @param z in 0F1(;c;z)

-  * @param k number of itertions (precision)

+  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)

+  * @param b0 in 0F1(;b0;z)

+  * @param z in 0F1(;b0;z)

+  * @param n number of itertions (precision)

   * @return Result

   */

-static double fractionIter0f1(const double c, const double z, unsigned int k)

+static double fractionRekursion0f1(const double c, const double z, unsigned int n)

 {

     //declaration

     double a = 0.0;

     double b = 0.0;

-    double abk = 0.0;

-    double temp = 0.0;

+    double Ak = 0.0;

+    double Bk = 0.0;

+    double Ak_1 = 0.0;

+    double Bk_1 = 0.0;

+    double Ak_2 = 0.0;

+    double Bk_2 = 0.0;

 

-    for (; k > 0; --k)

+    for (unsigned int k = 0; k <= n; ++k)

     {

-        abk = z / (k * ((k - 1) + c));  //abk = ak, bk

-        

-        a = k > 1 ? (1 + abk) : 1;      //a0, a1

-        b = k > 1 ? -abk : abk;         //b1

-

-        temp = b / (a + temp);          //bk / (ak + last result)

+        if (k == 0)

+        {

+            a = 1.0; //a0

+            //recursion fomula for A0, B0

+            Ak = a;

+            Bk = 1.0;

+        }

+        else if (k == 1)

+        {

+            a = 1.0; //a1

+            b = z/c; //b1

+            //recursion fomula for A1, B1

+            Ak = a * Ak_1 + b * 1.0;

+            Bk = a * Bk_1;

+        }

+        else

+        {

+            a = 1 + (z / (k * ((k - 1) + c)));//ak

+            b = -(z / (k * ((k - 1) + c)));   //bk

+            //recursion fomula for Ak, Bk

+            Ak = a * Ak_1 + b * Ak_2;

+            Bk = a * Bk_1 + b * Bk_2;

+        }        

+        //save old values

+        Ak_2 = Ak_1;

+        Bk_2 = Bk_1;

+        Ak_1 = Ak;

+        Bk_1 = Bk; 

     }

-

-    return a + temp;                    //a0 + temp

-}
\ No newline at end of file
+    //approximation fraction

+    return  Ak/Bk;

+}

diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex
index 50198fc..c0f857d 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -96,7 +96,7 @@ x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
 \qedhere

 \end{align}

 

-Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in diesem speziellem Fall die Airy Funktion $\operatorname{Ai}(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

+Um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen, wird in dieser Arbeit die Airy Funktion $\operatorname{Ai}(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

 benutzt.

 

 

diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index 587f63b..06ac53e 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -11,7 +11,7 @@ Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieb
 

 \subsection{Potenzreihe

 \label{0f1:subsection:potenzreihe}}

-Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq}. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}), dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt. Dies führt zu einer Bereichsüberschreitung des \verb+double+ Bereiches \cite{0f1:double}. Spätesten ab $k=167$ tritt dieser Falle ein.

+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq}.

 

 \begin{align}

     \label{0f1:umsetzung:0f1:eq}

@@ -30,6 +30,9 @@ Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe \eqref{0f1:ums
 

 \subsection{Kettenbruch

 \label{0f1:subsection:kettenbruch}}

+Eine weitere Variante zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ ist die Umsetzung als Kettenbruch.

+Der Vorteil einer Umsetzung als Kettenbruch gegenüber der Potenzreihe, ist die schnellere Konvergenz.

+

 Ein endlicher Kettenbruch \cite{0f1:wiki-kettenbruch} ist ein Bruch der Form

 \begin{equation*}

 a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}

@@ -44,6 +47,7 @@ Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies \cite{0f1:wiki-fract
 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots

 \end{equation*}

 Umgeformt ergibt sich folgender Kettenbruch \cite{0f1:wolfram-0f1}

+{\color{red}TODO Herleitung}

 \begin{equation}

 	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}

 	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},

@@ -115,7 +119,7 @@ an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:
 	\begin{pmatrix}

 		b_k\\

 		a_k

-	\end{pmatrix}

+	\end{pmatrix}.

 \end{align*}

 Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix

 \begin{equation}

@@ -142,7 +146,7 @@ berechnet werden.
 

 

 \subsubsection{Lösung}

-Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben:

+Die Berechnung von $A_k, B_k$ gemäss \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise \cite{0f1:kettenbrueche} aufschreiben:

 \begin{itemize}

 \item Startbedingungen:

 \begin{align*}

@@ -161,7 +165,7 @@ B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k
 \end{aligned}

 \]

 \item

-Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$

+Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$.

 \end{itemize}

 

 Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung als Rekursionsformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.

diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 00d4182..2942a0b 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -13,25 +13,25 @@ Ebenso kann festgestellt werden, dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F
 

 \subsection{Konvergenz

 \label{0f1:subsection:konvergenz}}

-Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.

+Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen genaue Resultate im Bereich von $-2$ bis $2$ liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $\operatorname{Ai}(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.

 

-Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen, bezüglich Konvergenz überlegen. 

-Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner.

-Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:loesung:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.

+Erst wenn mehrerer Iterationen gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen bezüglich Konvergenz überlegen. 

+Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach, wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} zu beobachten ist, einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von $k$ bis zum Abbruch kleiner.

+Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} zurück zu führen. Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.

 

-Ist $z$ negativ wie im Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab.

-Die ansteigende Differenz mit anschliessender, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.

+Ist $z$ negativ wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen. Dies führt dazu, dass die Rekursionsformel zusammen mit der Potenzreihe abbricht.

+Die ansteigende Differenz mit anschliessendendem Einschwingen, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.

 

 \subsection{Stabilität

 \label{0f1:subsection:Stabilitaet}}

-Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.

+Verändert sich der Wert von $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion (Listing \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ}) \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.

 

-Wohingegen die Potenzreihe (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}) das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.

+Wohingegen die Potenzreihe (Listing \ref{0f1:listing:potenzreihe}) das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät im Nenner. Dies führt zu einer Bereichsüberschreitung des \verb+double+ Bereiches \cite{0f1:double}, der spätesten ab $k=167$ eintritt. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.

 Die Rekursionformel \eqref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.

 

-Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von z, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.

-

+{\color{red}TODO Abb. 20.3}

 

+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Potenz von $z$, was zum Phänomen der Auslöschung \cite{0f1:SeminarNumerik} führt. Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.

 

 \begin{figure}

     \centering