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0f1, abgabe

14 files changed, 476 insertions, 394 deletions

diff --git a/buch/papers/0f1/images/airy.pdf b/buch/papers/0f1/images/airy.pdf
deleted file mode 100644
index 672d789..0000000
--- a/buch/papers/0f1/images/airy.pdf
+++ /dev/null
diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf
index 2e635ea..206cd3a 100644
--- a/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf
+++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf
index 3b58be4..03b2ba1 100644
--- a/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf
+++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf
index 24e3fd5..2e45129 100644
--- a/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf
+++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf b/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf
index be4af42..13dea39 100644
--- a/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf
+++ b/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
index befea8e..d897b8f 100644
--- a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
@@ -1,5 +1,13 @@
-static double fractionRekursion0f1(const double c, const double x, unsigned int n)

+/**

+  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)

+  * @param b0 in 0F1(;b0;z)

+  * @param z in 0F1(;b0;z)

+  * @param n number of itertions (precision)

+  * @return Result

+  */

+static double fractionRekursion0f1(const double c, const double z, unsigned int n)

 {

+    //declaration

     double a = 0.0;

     double b = 0.0;

     double Ak = 0.0;

@@ -21,15 +29,15 @@ static double fractionRekursion0f1(const double c, const double x, unsigned int
         else if (k == 1)

         {

             a = 1.0; //a1

-            b = x/c; //b1

+            b = z/c; //b1

             //recursion fomula for A1, B1

             Ak = a * Ak_1 + b * 1.0;

             Bk = a * Bk_1;

         }

         else

         {

-            a = 1 + (x / (k * ((k - 1) + c)));//ak

-            b = -(x / (k * ((k - 1) + c)));   //bk

+            a = 1 + (z / (k * ((k - 1) + c)));//ak

+            b = -(z / (k * ((k - 1) + c)));   //bk

             //recursion fomula for Ak, Bk

             Ak = a * Ak_1 + b * Ak_2;

             Bk = a * Bk_1 + b * Bk_2;

diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
index 958d4e1..3caaf43 100644
--- a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
@@ -1,19 +1,27 @@
-static double fractionIter0f1(const double b0, const double z, unsigned int n)

+/**

+  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;c;z)

+  * @param c in 0F1(;c;z)

+  * @param z in 0F1(;c;z)

+  * @param k number of itertions (precision)

+  * @return Result

+  */

+static double fractionIter0f1(const double c, const double z, unsigned int k)

 {

+    //declaration

     double a = 0.0;

     double b = 0.0;

-    double abn = 0.0;

+    double abk = 0.0;

     double temp = 0.0;

 

-    for (; n > 0; --n)

+    for (; k > 0; --k)

     {

-        abn = z / (n * ((n - 1) + b0));  //abn = ak, bk

+        abk = z / (k * ((k - 1) + c));  //abk = ak, bk

         

-        a = n > 1 ? (1 + abn) : 1;  //a0, a1

-        b = n > 1 ? -abn : abn;     //b1

+        a = k > 1 ? (1 + abk) : 1;      //a0, a1

+        b = k > 1 ? -abk : abk;         //b1

 

-        temp = b / (a + temp); 

+        temp = b / (a + temp);          //bk / (ak + last result)

     }

 

-    return a + temp;   //a0 + temp

+    return a + temp;                    //a0 + temp

 }
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c b/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c
index bfaa0e3..23fdfea 100644
--- a/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c
+++ b/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c
@@ -1,12 +1,68 @@
 #include <math.h>

 

-static double powerseries(const double b, const double z, unsigned int n)

+/**

+  * @brief Calculates pochhammer

+  * @param (a+n-1)!

+  * @return Result

+  */

+static double pochhammer(const double x, double n)

+{

+    double temp = x;

+

+    if (n > 0)

+    {

+        while (n > 1)

+        {

+            temp *= (x + n - 1);

+            --n;

+        }

+

+        return temp;

+    }

+    else

+    {

+        return 1;

+    }

+}

+

+/**

+  * @brief Calculates the Factorial

+  * @param n!

+  * @return Result

+  */

+static double fac(int n)

+{

+    double temp = n;

+

+    if (n > 0)

+    {

+        while (n > 1)

+        {

+            --n;

+            temp *= n;

+        }

+        return temp;

+    }

+    else

+    {

+        return 1;

+    }

+}

+

+/**

+  * @brief Calculates the Hypergeometric Function 0F1(;b;z)

+  * @param c in 0F1(;c;z)

+  * @param z in 0F1(;c;z)

+  * @param n number of itertions (precision)

+  * @return Result

+  */

+static double powerseries(const double c, const double z, unsigned int n)

 {

     double temp = 0.0;

 

     for (unsigned int k = 0; k < n; ++k)

     {

-        temp += pow(z, k) / (factorial(k) * pochhammer(b, k));

+        temp += pow(z, k) / (factorial(k) * pochhammer(c, k));

     }

 

     return temp;

diff --git a/buch/papers/0f1/main.tex b/buch/papers/0f1/main.tex
index b8cdc21..0b1020f 100644
--- a/buch/papers/0f1/main.tex
+++ b/buch/papers/0f1/main.tex
@@ -1,24 +1,24 @@
-%
-% main.tex -- Paper zum Thema <0f1>
-%
-% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
-%
-%
-
-
-
-\chapter{Algorithmus zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1$\label{chapter:0f1}}
-\lhead{Algorithmus zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1$}
-\begin{refsection}
-\chapterauthor{Fabian Dünki}
-
-
-
-
-\input{papers/0f1/teil0.tex}
-\input{papers/0f1/teil1.tex}
-\input{papers/0f1/teil2.tex}
-\input{papers/0f1/teil3.tex}
-
-\printbibliography[heading=subbibliography]
-\end{refsection}
+%

+% main.tex -- Paper zum Thema <0f1>

+%

+% (c) 2020 Hochschule Rapperswil

+%

+%

+

+

+

+\chapter{Algorithmus zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1$\label{chapter:0f1}}

+\lhead{Algorithmus zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1$}

+\begin{refsection}

+\chapterauthor{Fabian Dünki}

+

+

+

+

+\input{papers/0f1/teil0.tex}

+\input{papers/0f1/teil1.tex}

+\input{papers/0f1/teil2.tex}

+\input{papers/0f1/teil3.tex}

+

+\printbibliography[heading=subbibliography]

+\end{refsection}

diff --git a/buch/papers/0f1/references.bib b/buch/papers/0f1/references.bib
index ce9b8da..47555da 100644
--- a/buch/papers/0f1/references.bib
+++ b/buch/papers/0f1/references.bib
@@ -10,7 +10,7 @@
 	date = {2022-07-07},
 	year = {2022},
 	month = {7},
-	day = {19}
+	day = {7}
 }
 
 @online{0f1:wiki-airyFunktion,
@@ -19,7 +19,7 @@
 	date = {2022-07-07},
 	year = {2022},
 	month = {7},
-	day = {25}
+	day = {7}
 }
 
 @online{0f1:wiki-kettenbruch,
@@ -37,7 +37,7 @@
 	date = {2022-07-07},
 	year = {2022},
 	month = {7},
-	day = {25}
+	day = {7}
 }
 
 @online{0f1:wolfram-0f1,
@@ -46,7 +46,7 @@
 	date = {2022-07-07},
 	year = {2022},
 	month = {7},
-	day = {25}
+	day = {7}
 }
 
 @online{0f1:wiki-fraction,
@@ -55,7 +55,16 @@
 	date = {2022-07-07},
 	year = {2022},
 	month = {7},
-	day = {25}
+	day = {7}
+}
+
+@online{0f1:code,
+	title = {Vollständiger C-Code},
+	url ={https://github.com/AndreasFMueller/SeminarSpezielleFunktionen/tree/master/buch/papers/0f1/listings},
+	date = {2022-07-07},
+	year = {2022},
+	month = {7},
+	day = {7}
 }
 
 @book{0f1:SeminarNumerik,
diff --git a/buch/papers/0f1/teil0.tex b/buch/papers/0f1/teil0.tex
index 780d432..adccac7 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil0.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil0.tex
@@ -1,15 +1,15 @@
-%
-% einleitung.tex -- Einleitung
-%
-% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Ausgangslage\label{0f1:section:ausgangslage}}
-\rhead{Ausgangslage}
-Die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ wird in vielen Funktionen als Basisfunktion benutzt, 
-zum Beispiel um die Airy Funktion zu berechnen. 
-In der GNU Scientific Library \cite{0f1:library-gsl} 
-ist die Funktion $\mathstrut_0F_1$ vorhanden. 
-Allerdings wirft die Funktion, bei negativen Übergabenwerten wie zum Beispiel \verb+gsl_sf_hyperg_0F1(1, -1)+, eine Exception. 
-Bei genauerer Untersuchung hat sich gezeigt, dass die Funktion je nach Betriebssystem funktioniert oder eben nicht. 
-So kann die Funktion unter Windows fehlerfrei aufgerufen werden, beim Mac OS und Linux sind negative Übergabeparameter im Moment nicht möglich.
-Ziel dieser Arbeit war es zu evaluieren, ob es mit einfachen mathematischen Operationen möglich ist, die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ zu implementieren.
+%

+% einleitung.tex -- Einleitung

+%

+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Ausgangslage\label{0f1:section:ausgangslage}}

+\rhead{Ausgangslage}

+Die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ wird in vielen Funktionen als Basisfunktion benutzt, 

+zum Beispiel um die Airy Funktion zu berechnen. 

+In der GNU Scientific Library \cite{0f1:library-gsl} 

+ist die Funktion $\mathstrut_0F_1$ vorhanden. 

+Allerdings wirft die Funktion, bei negativen Übergabenwerten wie zum Beispiel \verb+gsl_sf_hyperg_0F1(1, -1)+, eine Exception. 

+Bei genauerer Untersuchung hat sich gezeigt, dass die Funktion je nach Betriebssystem funktioniert oder eben nicht. 

+So kann die Funktion unter Windows fehlerfrei aufgerufen werden, beim Mac OS und Linux sind negative Übergabeparameter im Moment nicht möglich.

+Ziel dieser Arbeit war es zu evaluieren, ob es mit einfachen mathematischen Operationen möglich ist, die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ zu implementieren.

diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex
index 2a60737..2ca9647 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -1,102 +1,101 @@
-%
-% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund
-%
-% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Mathematischer Hintergrund
-\label{0f1:section:mathHintergrund}}
-\rhead{Mathematischer Hintergrund}
-Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}
-und dem Seminarbuch Numerik \cite{0f1:kettenbrueche}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate
-beschrieben.
-
-\subsection{Hypergeometrische Funktion
-\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}
-Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.
-
-\begin{definition}
-	\label{0f1:math:qFp:def}
-	Die hypergeometrische Funktion
-	$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe
-	\[
-	\mathstrut_pF_q
-	\biggl(
-	\begin{matrix}
-		a_1,\dots,a_p\\
-		b_1,\dots,b_q
-	\end{matrix}
-	;
-	x
-	\biggr)
-	=
-	\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)
-	=
-	\sum_{k=0}^\infty
-	\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.
-	\]
-\end{definition}
-
-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:
-
-\begin{equation}
-    \label{0f1:math:0f1:eq}
-    \mathstrut_0F_1
-    \biggl(
-    \begin{matrix}
-    \\
-    b_1
-    \end{matrix}
-    ;
-    x
-    \biggr)
-    =
-    \mathstrut_0F_1(;b_1;x)
-    =
-    \sum_{k=0}^\infty
-    \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.
-\end{equation}
-
-
-
-
-\subsection{Airy Funktion
-\label{0f1:subsection:airy}}
-Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}
-
-\begin{definition}
-    \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}
-    Die Differentialgleichung
-    $y'' - xy = 0$
-    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
-\end{definition}
-
-Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 
-Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.
-
-\begin{align}
-\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
-Ai(x)
-=
-\sum_{k=0}^\infty
-\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
-=
-\mathstrut_0F_1\biggl(
-\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
-\biggr).
-\\
-Bi(x)
-=
-\sum_{k=0}^\infty
-\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
-=
-x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
-\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
-\frac{x^3}{9}
-\biggr).
-\qedhere
-\end{align}
-
-In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}
-benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.
-
-
+%

+% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund

+%

+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Mathematischer Hintergrund

+\label{0f1:section:mathHintergrund}}

+\rhead{Mathematischer Hintergrund}

+Basierend auf den Herleitungen des vorhergehenden Kapitels \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion}, werden im nachfolgenden Abschnitt nochmals die Resultate

+beschrieben.

+

+\subsection{Hypergeometrische Funktion

+\label{0f1:subsection:hypergeometrisch}}

+Als Grundlage der umgesetzten Algorithmen dient die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$. Diese ist eine Unterfunktion der allgemein definierten Funktion $\mathstrut_pF_q$.

+

+\begin{definition}

+	\label{0f1:math:qFp:def}

+	Die hypergeometrische Funktion

+	$\mathstrut_pF_q$ ist definiert durch die Reihe

+	\[

+	\mathstrut_pF_q

+	\biggl(

+	\begin{matrix}

+		a_1,\dots,a_p\\

+		b_1,\dots,b_q

+	\end{matrix}

+	;

+	x

+	\biggr)

+	=

+	\mathstrut_pF_q(a_1,\dots,a_p;b_1,\dots,b_q;x)

+	=

+	\sum_{k=0}^\infty

+	\frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{x^k}{k!}.

+	\]

+\end{definition}

+

+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_pF_q$ ergibt sich für $\mathstrut_0F_1$:

+

+\begin{equation}

+    \label{0f1:math:0f1:eq}

+    \mathstrut_0F_1

+    \biggl(

+    \begin{matrix}

+    \\

+    b_1

+    \end{matrix}

+    ;

+    x

+    \biggr)

+    =

+    \mathstrut_0F_1(;b_1;x)

+    =

+    \sum_{k=0}^\infty

+    \frac{x^k}{(b_1)_k \cdot k!}.

+\end{equation}

+

+

+

+

+\subsection{Airy Funktion

+\label{0f1:subsection:airy}}

+Die Airy-Funktion $Ai(x)$ und die verwandte Funktion $Bi(x)$ werden als Airy-Funktion bezeichnet. Sie werden zur Lösung verschiedener physikalischer Probleme benutzt, wie zum Beispiel zur Lösung der Schrödinger-Gleichung. \cite{0f1:wiki-airyFunktion}

+

+\begin{definition}

+    \label{0f1:airy:differentialgleichung:def}

+    Die Differentialgleichung

+    $y'' - xy = 0$

+    heisst die {\em Airy-Differentialgleichung}. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 

+\end{definition}

+

+Die Airy Funktion lässt sich auf verschiedene Arten darstellen. \cite{0f1:wiki-airyFunktion} 

+Als hypergeometrische Funktion berechnet, ergibt sich wie in Kapitel \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} hergeleitet, folgende Lösungen der Airy-Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen $A(0)=1$ und $A'(0)=0$, sowie $B(0)=0$ und $B'(0)=0$.

+

+\begin{align}

+\label{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

+Ai(x)

+=

+\sum_{k=0}^\infty

+\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k

+=

+\mathstrut_0F_1\biggl(

+\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}

+\biggr).

+\\

+Bi(x)

+=

+\sum_{k=0}^\infty

+\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k

+=

+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(

+\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};

+\frac{x^3}{9}

+\biggr).

+\qedhere

+\end{align}

+

+In diesem speziellem Fall wird die Airy Funktion $Ai(x)$ \eqref{0f1:airy:hypergeometrisch:eq}

+benutzt, um die Stabilität der Algorithmen zu $\mathstrut_0F_1$ zu überprüfen.

+

+

diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index 446bc93..9269961 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -1,178 +1,172 @@
-%
-% teil2.tex -- Umsetzung in C Programmen
-%
-% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Umsetzung
-\label{0f1:section:teil2}}
-\rhead{Umsetzung}
-Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.
-Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Libray in Python die Resultate geplottet.
-
-\subsection{Potenzreihe
-\label{0f1:subsection:potenzreihe}}
-Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:potenzreihe}, dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt und so der Bruch gegen Null strebt. Spätesten ab $k=167$ stösst diese Umsetzung  \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq} an ihre Grenzen, da die Fakultät von $168$ eine Bereichsüberschreitung des \textit{double} Bereiches darstellt. \cite{0f1:double}
-
-\begin{align}
-    \label{0f1:umsetzung:0f1:eq}
-    \mathstrut_0F_1(;b;z)
-    &=
-    \sum_{k=0}^\infty
-    \frac{z^k}{(b)_k \cdot k!}
-    &= 
-    \frac{1}{b}
-    +\frac{z^1}{(1+b) \cdot 1}
-    + \cdots
-    + \frac{z^{20}}{(20+b) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}
-\end{align}
-
-\lstinputlisting[style=C,float,caption={Potenzreihe.},label={0f1:listing:potenzreihe}]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}
-
-\subsection{Kettenbruch
-\label{0f1:subsection:kettenbruch}}
-Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form
-\begin{equation*}
-a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}
-\end{equation*}
-in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen darstellen.
-
-Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist 
-\begin{equation*}
-	a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots
-\end{equation*}
-und ist somit verknüpfbar mit der Potenzreihe.
-\cite{0f1:wiki-kettenbruch}
-
-Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies:
-\begin{equation*}
-	\mathstrut_0F_1(;b;z) = 1 + \frac{z}{a1!} + \frac{z^2}{a(a+1)2!} + \frac{z^3}{a(a+1)(a+2)3!} + \cdots
-\end{equation*}
-\cite{0f1:wiki-fraction}
-
-Nach allen Umformungen ergibt sich folgender, irregulärer Kettenbruch \eqref{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
-\begin{equation}
-	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}
-	\mathstrut_0F_1(;b;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{b}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(1+b)}}{1+\cfrac{z}{2(1+b)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(2+b)}}{1+\cfrac{z}{5(4+b)} + \cdots}}},
-\end{equation}
-der als Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} umgesetzt wurde. 
-\cite{0f1:wolfram-0f1}
-
-\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ}]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}
-
-\subsection{Rekursionsformel
-\label{0f1:subsection:rekursionsformel}}
-Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche})
-
-\subsubsection{Verkürzte Herleitung}
-Ein Näherungsbruch in der Form
-\begin{align*}
-	\cfrac{A_k}{B_k} = a_k + \cfrac{b_{k + 1}}{a_{k + 1} + \cfrac{p}{q}}
-\end{align*}
-lässt sich zu
-\begin{align*}
-	\cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}
-\end{align*}
-umformen.
-Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:
-\begin{equation*}
-	\begin{pmatrix}
-		A_k\\
-		B_k
-	\end{pmatrix}
-	= 		\begin{pmatrix}
-		b_{k+1} \cdot q\\
-		a_{k+1} \cdot q + p
-	\end{pmatrix}
-	=\begin{pmatrix}
-		0&	b_{k+1}\\
-		1&	a_{k+1}
-	\end{pmatrix}
-	\begin{pmatrix}
-		p \\
-		q
-	\end{pmatrix}.
-	%\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}
-\end{equation*}
-
-Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form
-\begin{equation*}
-	\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}
-\end{equation*}
-an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:
-
-\begin{align*}
-	\begin{pmatrix}
-		A_k\\
-		B_k
-	\end{pmatrix}
-	&=
-	\begin{pmatrix}
-		1& a_0\\
-		0& 1
-	\end{pmatrix}
-	\begin{pmatrix}
-		0& b_1\\
-		1& a_1
-	\end{pmatrix}
-	\cdots
-	\begin{pmatrix}
-		0& b_{k-1}\\
-		1& a_{k-1}
-	\end{pmatrix}
-	\begin{pmatrix}
-		b_k\\
-		a_k
-	\end{pmatrix}
-\end{align*}
-
-Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix
-\begin{equation}
-	\label{0f1:math:matrix:ende:eq}
-	 \begin{pmatrix}
-		A_{k}\\
-		B_{k}			
-	\end{pmatrix} 
-	=
-		\begin{pmatrix}
-		A_{k-2}& A_{k-1}\\
-		B_{k-2}& B_{k-1}			
-	\end{pmatrix}
-		\begin{pmatrix}
-		b_k\\
-		a_k
-	\end{pmatrix}.
-\end{equation}
-
-Und Schlussendlich kann der Näherungsbruch
-\[
-\frac{Ak}{Bk}
-\] 
-berechnet werden.
-
-
-\subsubsection{Lösung}
-Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise aufschreiben: \cite{0f1:wiki-fraction}
-\begin{itemize}
-\item Startbedingungen:
-\begin{align*}
-A_{-1} &= 0		&		A_0 &= a_0 \\
-B_{-1} &= 1		&		B_0 &= 1 
-\end{align*}
-\item Schritt $k\to k+1$:
-\[
-\begin{aligned}
-k &\rightarrow k + 1:
-&
-A_{k+1} &= A_{k-1} \cdot b_k + A_k \cdot a_k \\
-&&
-B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k
-\end{aligned}
-\]
-\item
-Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$
-\end{itemize}
-
-Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} eine Division gespart werden kann und somit weniger Folgefehler entstehen können.
-
-%Code
-\lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion}]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}
\ No newline at end of file
+%

+% teil2.tex -- Umsetzung in C Programmen

+%

+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Umsetzung

+\label{0f1:section:teil2}}

+\rhead{Umsetzung}

+Zur Umsetzung wurden drei verschiedene Ansätze gewählt.\cite{0f1:code} Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Funktionalität und eine gute Lesbarkeit des Codes gelegt.

+Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben. Die Zwischenresultate wurden vom Hauptprogramm in einem CSV-File gespeichert. Anschliessen wurde mit der Matplot-Libray in Python die Resultate geplottet.

+

+\subsection{Potenzreihe

+\label{0f1:subsection:potenzreihe}}

+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe. Allerdings ist ein Problem dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:potenzreihe}, dass die Fakultät im Nenner schnell grosse Werte annimmt und so der Bruch gegen Null strebt. Spätesten ab $k=167$ stösst diese Umsetzung  \eqref{0f1:umsetzung:0f1:eq} an ihre Grenzen, da die Fakultät von $168$ eine Bereichsüberschreitung des \textit{double} Bereiches darstellt. \cite{0f1:double}

+

+\begin{align}

+    \label{0f1:umsetzung:0f1:eq}

+    \mathstrut_0F_1(;c;z)

+    &=

+    \sum_{k=0}^\infty

+    \frac{z^k}{(c)_k \cdot k!}

+    &= 

+    \frac{1}{c}

+    +\frac{z^1}{(c+1) \cdot 1}

+    + \cdots

+    + \frac{z^{20}}{c(c+1)(c+2)\cdots(c+19) \cdot 2.4 \cdot 10^{18}}

+\end{align}

+

+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Potenzreihe.},label={0f1:listing:potenzreihe}, firstline=59]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}

+

+\subsection{Kettenbruch

+\label{0f1:subsection:kettenbruch}}

+Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form

+\begin{equation*}

+a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{b_3}{a_3+\cdots}}}

+\end{equation*}

+in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen darstellen.

+Die Kurzschreibweise für einen allgemeinen Kettenbruch ist 

+\begin{equation*}

+	a_0 + \frac{a_1|}{|b_1} + \frac{a_2|}{|b_2} + \frac{a_3|}{|b_3} + \cdots

+\end{equation*}

+und ist somit verknüpfbar mit der Potenzreihe.

+\cite{0f1:wiki-kettenbruch}

+Angewendet auf die Funktion $\mathstrut_0F_1$ bedeutet dies\cite{0f1:wiki-fraction}:

+\begin{equation*}

+	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \frac{z}{c\cdot1!} + \frac{z^2}{c(c+1)\cdot2!} + \frac{z^3}{c(c+1)(c+2)\cdot3!} + \cdots

+\end{equation*}

+Nach allen Umformungen ergibt sich folgender, irregulärer Kettenbruch \eqref{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}

+\begin{equation}

+	\label{0f1:math:kettenbruch:0f1:eq}

+	\mathstrut_0F_1(;c;z) = 1 + \cfrac{\cfrac{z}{c}}{1+\cfrac{-\cfrac{z}{2(c+1)}}{1+\cfrac{z}{2(c+1)}+\cfrac{-\cfrac{z}{3(c+2)}}{1+\cfrac{z}{5(c+4)} + \cdots}}},

+\end{equation}

+der als Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} umgesetzt wurde. 

+\cite{0f1:wolfram-0f1}

+

+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Iterativ umgesetzter Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ},  firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}

+

+\subsection{Rekursionsformel

+\label{0f1:subsection:rekursionsformel}}

+Wesentlich stabiler zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel. Nachfolgend wird die verkürzte Herleitung vom Kettenbruch zur Rekursionsformel aufgezeigt. Eine vollständige Schritt für Schritt Herleitung ist im Seminarbuch Numerik, im Kapitel Kettenbrüche zu finden. \cite{0f1:kettenbrueche}

+

+\subsubsection{Herleitung}

+Ein Näherungsbruch in der Form

+\begin{align*}

+	\cfrac{A_k}{B_k} = a_k + \cfrac{b_{k + 1}}{a_{k + 1} + \cfrac{p}{q}}

+\end{align*}

+lässt sich zu

+\begin{align*}

+	\cfrac{A_k}{B_k} = \cfrac{b_{k+1}}{a_{k+1} + \cfrac{p}{q}} = \frac{b_{k+1} \cdot q}{a_{k+1} \cdot q + p}

+\end{align*}

+umformen.

+Dies lässt sich auch durch die folgende Matrizenschreibweise ausdrücken:

+\begin{equation*}

+	\begin{pmatrix}

+		A_k\\

+		B_k

+	\end{pmatrix}

+	= 		\begin{pmatrix}

+		b_{k+1} \cdot q\\

+		a_{k+1} \cdot q + p

+	\end{pmatrix}

+	=\begin{pmatrix}

+		0&	b_{k+1}\\

+		1&	a_{k+1}

+	\end{pmatrix}

+	\begin{pmatrix}

+		p \\

+		q

+	\end{pmatrix}.

+	%\label{0f1:math:rekursionsformel:herleitung}

+\end{equation*}

+Wendet man dies nun auf den Kettenbruch in der Form

+\begin{equation*}

+	\frac{A_k}{B_k} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{k-1}}{a_{k-1} + \cfrac{b_k}{a_k}}}}}

+\end{equation*}

+an, ergibt sich folgende Matrixdarstellungen:

+

+\begin{align*}

+	\begin{pmatrix}

+		A_k\\

+		B_k

+	\end{pmatrix}

+	&=

+	\begin{pmatrix}

+		1& a_0\\

+		0& 1

+	\end{pmatrix}

+	\begin{pmatrix}

+		0& b_1\\

+		1& a_1

+	\end{pmatrix}

+	\cdots

+	\begin{pmatrix}

+		0& b_{k-1}\\

+		1& a_{k-1}

+	\end{pmatrix}

+	\begin{pmatrix}

+		b_k\\

+		a_k

+	\end{pmatrix}

+\end{align*}

+Nach vollständiger Induktion ergibt sich für den Schritt $k$, die Matrix

+\begin{equation}

+	\label{0f1:math:matrix:ende:eq}

+	 \begin{pmatrix}

+		A_{k}\\

+		B_{k}			

+	\end{pmatrix} 

+	=

+		\begin{pmatrix}

+		A_{k-2}& A_{k-1}\\

+		B_{k-2}& B_{k-1}			

+	\end{pmatrix}

+		\begin{pmatrix}

+		b_k\\

+		a_k

+	\end{pmatrix}.

+\end{equation}

+Und Schlussendlich kann der Näherungsbruch

+\[

+\frac{Ak}{Bk}

+\] 

+berechnet werden.

+

+

+\subsubsection{Lösung}

+Die Berechnung von $A_k, B_k$ \eqref{0f1:math:matrix:ende:eq} kann man auch ohne die Matrizenschreibweise aufschreiben: \cite{0f1:wiki-fraction}

+\begin{itemize}

+\item Startbedingungen:

+\begin{align*}

+A_{-1} &= 0		&		A_0 &= a_0 \\

+B_{-1} &= 1		&		B_0 &= 1 

+\end{align*}

+\item Schritt $k\to k+1$:

+\[

+\begin{aligned}

+\label{0f1:math:loesung:eq}

+k &\rightarrow k + 1:

+&

+A_{k+1} &= A_{k-1} \cdot b_k + A_k \cdot a_k \\

+&&

+B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k

+\end{aligned}

+\]

+\item

+Näherungsbruch: \qquad$\displaystyle\frac{A_k}{B_k}$

+\end{itemize}

+

+Ein grosser Vorteil dieser Umsetzung \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} ist, dass im Vergleich zum Code \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} eine Division gespart werden kann und somit weniger Rundungsfehler entstehen können.

+

+%Code

+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursionsformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion},  firstline=8]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 76d6e32..2855e26 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -1,56 +1,64 @@
-%
-% teil3.tex -- Resultate und Ausblick
-%
-% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
-%
-\section{Resultate
-\label{0f1:section:teil3}}
-\rhead{Resultate}
-Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt, 
-das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.
-So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen x in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;b;x)$.
-Ebenso wird, je grösser der Wert x wird $\mathstrut_0F_1(;b;x)$, desto mehr weichen die berechneten Resultate
-von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1}
-
-\subsection{Auswertung
-\label{0f1:subsection:auswertung}}
-\begin{figure}
-    \centering
-    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf}
-    \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$.
-    \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-    \centering
-    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}
-    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
-    \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-    \centering
-    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}
-    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.
-    \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}
-\end{figure}
-
-\begin{figure}
-    \centering
-    \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf}
-    \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der GNU Scientific Library.
-    \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}}
-\end{figure}
-
-\begin{itemize}
-    \item Negative Zahlen sind sowohl für die Potenzreihe als auch für den Kettenbruch ein Problem.
-    \item Die Potenzreihe hat das Problem, je tiefer die Rekursionstiefe, desto mehr machen die Brüche ein Problem. Also der Nenner mit der Fakultät und dem Pochhammer Symbol.
-    \item Die Rekursionformel liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library.
-\end{itemize}
-
-
-\subsection{Ausblick
-\label{0f1:subsection:ausblick}}
-Eine mögliche Lösung zum Problem ist \cite{0f1:SeminarNumerik}
-{\color{red} TODO beschreiben Lösung}
-
+%

+% teil3.tex -- Resultate und Ausblick

+%

+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil

+%

+\section{Auswertung

+\label{0f1:section:teil3}}

+\rhead{Resultate}

+Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt, 

+das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.

+So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen $z$ in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;c;z)$.

+Ebenso kann festgestellt werden,dass je grösser der Wert $z$ in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ wird, desto mehr weichen die berechneten Resultate von den Erwarteten ab. \cite{0f1:wolfram-0f1}

+

+\subsection{Konvergenz

+\label{0f1:subsection:konvergenz}}

+Es zeigt sich in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}, dass schon nach drei Iterationen ($k = 3$) die Funktionen schon genaue Resultate im Bereich von -2 bis 2 liefert. Ebenso kann festgestellt werden, dass der Kettenbruch schneller konvergiert und im positiven Bereich sogar mit der Referenzfunktion $Ai(x)$ übereinstimmt. Da die Rekursionsformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} eine Abwandlung des Kettenbruches ist, verhalten sich die Funktionen in diesem Fall gleich.

+

+Erst wenn mehrere Durchläufe gemacht werden, um die Genauigkeit zu verbessern, ist der Kettenbruch den anderen zwei Algorithmen, bezüglich Konvergenz überlegen. 

+Interessant ist auch, dass die Rekursionsformel nahezu gleich schnell wie die Potenzreihe konvergiert, aber sich danach einschwingt. Dieses Verhalten ist auch bei grösseren $z$ zu beobachten, allerdings ist dann die Differenz zwischen dem ersten lokalen Minimum von k bis zum Abbruch kleiner.

+\ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}

+Dieses Phänomen ist auf die Lösung der Rekursionsformel zurück zu führen.\ref{0f1:math:loesung:eq} Da im Gegensatz die ganz kleinen Werte nicht zu einer Konvergenz wie beim Kettenbruch führen, sondern sich noch eine Zeit lang durch die Multiplikation aufschwingen.

+

+Ist $z$ negativ wie im Abbild \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}, führt dies zu einer Gegenseitigen Kompensation von negativen und positiven Termen so bricht die Rekursionsformel hier zusammen mit der Potenzreihe ab.

+Die ansteigende Differenz mit anschliessender, ist aufgrund der sich alternierenden Termen mit wechselnden Vorzeichens zu erklären.

+

+\subsection{Stabilität

+\label{0f1:subsection:Stabilitaet}}

+Verändert sich der Wert von z in $\mathstrut_0F_1(;c;z)$ gegen grössere positive Werte, wie zum Beispiel $c = 800$ liefert die Kettenbruch-Funktion \ref{0f1:listing:kettenbruchIterativ} \verb+inf+ zurück. Dies könnte durch ein Abbruchkriterien abgefangen werden. Allerdings würde das, bei grossen Werten zulasten der Genauigkeit gehen. Trotzdem könnte, je nach Anwendung, auf ein paar Nachkommastellen verzichtet werden.

+

+Wohingegen die Potenzreihe \ref{0f1:listing:potenzreihe} das Problem hat, dass je mehr Terme berechnet werden, desto schneller wächst die Fakultät und irgendwann gibt es eine Bereichsüberschreitung von \verb+double+. Schlussendlich gibt das Unterprogramm das Resultat \verb+-nan(ind)+ zurück.

+Die Rekursionformel \ref{0f1:listing:kettenbruchRekursion} liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library. Wie schon vermutet ist die Rekursionsformel, im positivem Bereich, der stabilste Algorithmus. Um die Stabilität zu gewährleisten, muss wie in \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} dargestellt, die Iterationstiefe $k$ genug gross gewählt werden.

+

+Im negativem Bereich sind alle gewählten und umgesetzten Ansätze instabil. Grund dafür ist die Fakultät im Nenner, was zum Phänomen der Auslöschung führt.\cite{0f1:SeminarNumerik} Schön zu beobachten ist dies in der Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet} mit der Airy-Funktion als Test. So sind sowohl der Kettenbruch, als auch die Rekursionsformel bis ungefähr $\frac{-15^3}{9}$ stabil. Dies macht auch Sinn, da beide auf der gleichen mathematischen Grundlage basieren. Danach verhält sich allerdings die Instabilität unterschiedlich. Das unterschiedliche Verhalten kann damit erklärt werden, dass beim Kettenbruch jeweils eine zusätzliche Division stattfindet. Diese Unterschiede sind auch in Abbildung \ref{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv} festzustellen.

+

+

+

+\begin{figure}

+    \centering

+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf}

+    \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion zu den Anfangsbedingungen $Ai(0)=1$ und $Ai'(0)=0$.

+    \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}}

+\end{figure}

+

+\begin{figure}

+    \centering

+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}

+    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.

+    \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}

+\end{figure}

+

+\begin{figure}

+    \centering

+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}

+    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat.

+    \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}

+\end{figure}

+

+\begin{figure}

+    \centering

+    \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf}

+    \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der Referenz Funktion $Ai(x)$.

+    \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}}

+\end{figure}

+