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0f1, entwurf struktur

13 files changed, 292 insertions, 157 deletions

diff --git a/buch/papers/0f1/images/airy.pdf b/buch/papers/0f1/images/airy.pdf
new file mode 100644
index 0000000..672d789
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/images/airy.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf
new file mode 100644
index 0000000..2e635ea
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf
new file mode 100644
index 0000000..3b58be4
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf b/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf
new file mode 100644
index 0000000..24e3fd5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf b/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf
new file mode 100644
index 0000000..be4af42
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/images/stabilitaet.pdf
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
new file mode 100644
index 0000000..befea8e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c
@@ -0,0 +1,45 @@
+static double fractionRekursion0f1(const double c, const double x, unsigned int n)

+{

+    double a = 0.0;

+    double b = 0.0;

+    double Ak = 0.0;

+    double Bk = 0.0;

+    double Ak_1 = 0.0;

+    double Bk_1 = 0.0;

+    double Ak_2 = 0.0;

+    double Bk_2 = 0.0;

+

+    for (unsigned int k = 0; k <= n; ++k)

+    {

+        if (k == 0)

+        {

+            a = 1.0; //a0

+            //recursion fomula for A0, B0

+            Ak = a;

+            Bk = 1.0;

+        }

+        else if (k == 1)

+        {

+            a = 1.0; //a1

+            b = x/c; //b1

+            //recursion fomula for A1, B1

+            Ak = a * Ak_1 + b * 1.0;

+            Bk = a * Bk_1;

+        }

+        else

+        {

+            a = 1 + (x / (k * ((k - 1) + c)));//ak

+            b = -(x / (k * ((k - 1) + c)));   //bk

+            //recursion fomula for Ak, Bk

+            Ak = a * Ak_1 + b * Ak_2;

+            Bk = a * Bk_1 + b * Bk_2;

+        }        

+        //save old values

+        Ak_2 = Ak_1;

+        Bk_2 = Bk_1;

+        Ak_1 = Ak;

+        Bk_1 = Bk; 

+    }

+    //approximation fraction

+    return  Ak/Bk;

+}

diff --git a/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
new file mode 100644
index 0000000..958d4e1
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c
@@ -0,0 +1,19 @@
+static double fractionIter0f1(const double b0, const double z, unsigned int n)

+{

+    double a = 0.0;

+    double b = 0.0;

+    double abn = 0.0;

+    double temp = 0.0;

+

+    for (; n > 0; --n)

+    {

+        abn = z / (n * ((n - 1) + b0));  //abn = ak, bk

+        

+        a = n > 1 ? (1 + abn) : 1;  //a0, a1

+        b = n > 1 ? -abn : abn;     //b1

+

+        temp = b / (a + temp); 

+    }

+

+    return a + temp;   //a0 + temp

+}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c b/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c
new file mode 100644
index 0000000..bfaa0e3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/0f1/listings/potenzreihe.c
@@ -0,0 +1,13 @@
+#include <math.h>

+

+static double powerseries(const double b, const double z, unsigned int n)

+{

+    double temp = 0.0;

+

+    for (unsigned int k = 0; k < n; ++k)

+    {

+        temp += pow(z, k) / (factorial(k) * pochhammer(b, k));

+    }

+

+    return temp;

+}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/main.tex b/buch/papers/0f1/main.tex
index 264ad56..b8cdc21 100644
--- a/buch/papers/0f1/main.tex
+++ b/buch/papers/0f1/main.tex
@@ -3,29 +3,17 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Thema\label{chapter:0f1}}
-\lhead{Thema}
+%
+
+
+
+\chapter{Algorithmus zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1$\label{chapter:0f1}}
+\lhead{Algorithmus zur Berechnung von $\mathstrut_0F_1$}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Hans Muster}
-
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
+\chapterauthor{Fabian Dünki}
+
+
+
 
 \input{papers/0f1/teil0.tex}
 \input{papers/0f1/teil1.tex}
diff --git a/buch/papers/0f1/teil0.tex b/buch/papers/0f1/teil0.tex
index 9087808..bfc265f 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil0.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil0.tex
@@ -1,22 +1,15 @@
 %
-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+% einleitung.tex -- Einleitung
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 0\label{0f1:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{0f1:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
-
-
+\section{Ausgangslage\label{0f1:section:ausgangslage}}
+\rhead{Ausgangslage}
+Die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ wird in vielen Funktionen als Basisfunktion benutzt, 
+zum Beispiel um die Airy Funktion zu berechnen. 
+In der GNU Scientific Library \cite{library-gsl} 
+ist die Funktion $\mathstrut_0F_1$ vorhanden. 
+Allerdings wirft die Funktion, bei negativen Übergabenwerten wie zum Beispiel \verb+gsl_sf_hyperg_0F1(1, -1)+, eine Exception. 
+Bei genauerer Untersuchung hat sich gezeigt, dass die Funktion je nach Betriebssystem funktioniert oder eben nicht. 
+So kann die Funktion unter Windows fehlerfrei aufgerufen werden, beim Mac OS und Linux sind negative Übergabeparameter im Moment nicht möglich.
+Ziel dieser Arbeit war es zu evaluieren, ob es mit einfachen mathematischen Operationen möglich ist, die Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$ zu implementieren.
diff --git a/buch/papers/0f1/teil1.tex b/buch/papers/0f1/teil1.tex
index aca84d2..910e8bb 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil1.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil1.tex
@@ -1,55 +1,80 @@
 %
-% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+% teil1.tex -- Mathematischer Hintergrund
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 1
-\label{0f1:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
-\begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
+\section{Mathematischer Hintergrund
+\label{0f1:section:mathHintergrund}}
+\rhead{Mathematischer Hintergrund}
+
+\subsection{Hypergeometrische Funktion $\mathstrut_0F_1$
+\label{0f1:subsection:0f1}}
+Wie in Kapitel \ref{buch:rekursion:section:hypergeometrische-funktion} beschrieben,
+wird die Funktion $\mathstrut_0F_1$ folgendermassen definiert.
+\begin{definition}
+    \label{0f1:rekursion:hypergeometrisch:def}
+    Die hypergeometrische Funktion
+    $\mathstrut_0F_1$ ist definiert durch die Reihe
+    \[
+    \mathstrut_0F_1
+    \biggl(
+    \begin{matrix}
+    \\
+    b_1
+    \end{matrix}
+    ;
+    x
+    \biggr)
+    =
+    \mathstrut_0F_1(;b_1;x)
+    =
+    \sum_{k=0}^\infty
+    \frac{1}{(b_1)_k}\frac{x^k}{k!}.
+    \]
+\end{definition}
+
+
+\subsection{Airy Funktion
+\label{0f1:subsection:airy}}
+Wie in \ref{buch:differentialgleichungen:section:hypergeometrisch} dargestellt, ist die Airy-Differentialgleichung
+folgendermassen definiert.
+\begin{definition}
+    y'' - xy = 0
+    \label{0f1:airy:eq:differentialgleichung}
+\end{definition}
+
+Daraus ergibt sich wie in Aufgabe~\ref{503} gefundenen Lösungen der
+Airy-Differentialgleichung als hypergeometrische Funktionen.
+
+
+\begin{align*}
+y_1(x)
+=
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac23)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
+=
+\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac23\end{matrix};\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\\
+y_2(x)
 =
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
+\sum_{k=0}^\infty
+\frac{1}{(\frac43)_k} \frac{1}{k!}\biggl(\frac{x^3}{9}\biggr)^k
 =
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{0f1:equation1}
-\end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{0f1:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{0f1:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{0f1:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+x\cdot\mathstrut_0F_1\biggl(
+\begin{matrix}\text{---}\\\frac43\end{matrix};
+\frac{x^3}{9}
+\biggr).
+\qedhere
+\end{align*}
 
 
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics{papers/0f1/images/airy.pdf}
+    \caption{Plot der Lösungen der Airy-Differentialgleichung $y''-xy=0$
+    zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$ in {\color{red}rot}
+    und $y(0)=0$ und $y'(0)=1$ in {\color{blue}blau}.
+    \label{0f1:airy:plot:vorgabe}}
+\end{figure}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/teil2.tex b/buch/papers/0f1/teil2.tex
index 804d11b..07e17c0 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil2.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil2.tex
@@ -1,40 +1,75 @@
 %
-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
+% teil2.tex -- Umsetzung in C Programmen
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 2 
+\section{Umsetzung
 \label{0f1:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{0f1:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\rhead{Umsetzung}
+Zur Umsetzung wurden drei Ansätze gewählt und 
+Die Unterprogramme wurde jeweils, wie die GNU Scientific Library, in C geschrieben.
 
+\subsection{Potenzreihe
+\label{0f1:subsection:potenzreihe}}
+Die naheliegendste Lösung ist die Programmierung der Potenzreihe.
 
+\begin{equation}
+    \label{0f1:rekursion:hypergeometrisch:eq}
+    \mathstrut_0F_1(;b;z)
+    =
+    \sum_{k=0}^\infty
+    \frac{z^k}{(b)_k \cdot k!}
+\end{equation}
+
+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursivformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:potenzreihe}]{papers/0f1/listings/potenzreihe.c}
+
+\subsection{Kettenbruch
+\label{0f1:subsection:kettenbruch}}
+Ein endlicher Kettenbruch ist ein Bruch der Form
+\begin{equation}
+a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{n-1}}{a_{n-1} + \cfrac{b_n}{a_n}}}}}
+\end{equation}
+in welchem $a_0, a_1,\dots,a_n$ und $b_1,b_2,\dots,b_n$ ganze Zahlen
+darstellen.
+
+{\color{red}TODO: Bessere Beschreibung mit Verknüpfung zur Potenzreihe}
+
+%Gauss hat durch 
+
+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursivformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchIterativ}]{papers/0f1/listings/kettenbruchIterativ.c}
+\subsection{Rekursionsformel
+\label{0f1:subsection:rekursionsformel}}
+Wesentlich effizienter zur Berechnung eines Kettenbruches ist die Rekursionsformel.
+
+\begin{align*}
+\frac{A_n}{B_n}
+=
+a_0 + \cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\cfrac{\cdots}{\cdots+\cfrac{b_{n-1}}{a_{n-1} + \cfrac{b_n}{a_n}}}}}
+\end{align*}
+
+Die Berechnung von $A_n, B_n$ kann man auch ohne die Matrizenschreibweise
+aufschreiben:
+\begin{itemize}
+\item Start:
+\begin{align*}
+A_{-1} &= 0		&		A_0 &= a_0 \\
+B_{-1} &= 1		&		B_0 &= 1 
+\end{align*}
+$\rightarrow$ 0-te Näherung: $\displaystyle\frac{A_0}{B_0} = a_0$
+\item Schritt $k\to k+1$:
+\[
+\begin{aligned}
+k &\rightarrow k + 1:
+&
+A_{k+1} &= A_{k-1} \cdot b_k + A_k \cdot a_k \\
+&&
+B_{k+1} &= B_{k-1} \cdot b_k + B_k \cdot a_k
+\end{aligned}
+\]
+\item
+Näherungsbruch $n$: \qquad$\displaystyle\frac{A_n}{B_n}$
+\end{itemize}
+{\color{red}TODO: Verweis Numerik}
+
+
+\lstinputlisting[style=C,float,caption={Rekursivformel für Kettenbruch.},label={0f1:listing:kettenbruchRekursion}]{papers/0f1/listings/kettenbruchRekursion.c}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/0f1/teil3.tex b/buch/papers/0f1/teil3.tex
index 25472cb..dca61f8 100644
--- a/buch/papers/0f1/teil3.tex
+++ b/buch/papers/0f1/teil3.tex
@@ -1,40 +1,57 @@
 %
-% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+% teil3.tex -- Resultate und Ausblick
 %
-% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+% (c) 2022 Fabian Dünki, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 3
+\section{Resultate
 \label{0f1:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{0f1:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\rhead{Resultate}
+Im Verlauf des Seminares hat sich gezeigt, 
+das ein einfacher mathematischer Algorithmus zu implementieren gar nicht so einfach ist.
+So haben alle drei umgesetzten Ansätze Probleme mit grossen negativen x in der Funktion $\mathstrut_0F_1(;b;x)$.
+Ebenso wird, je grösser der Wert x wird $\mathstrut_0F_1(;b;x)$, desto mehr weichen die berechneten Resultate
+von den erwarteten ab. 
+{\color{red}TODO cite wolfram alpha rechner}
+
+\subsection{Auswertung
+\label{0f1:subsection:auswertung}}
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzAiry.pdf}
+    \caption{Konvergenz nach drei Iterationen, dargestellt anhand der Airy Funktion}.
+    \label{0f1:ausblick:plot:airy:konvergenz}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzPositiv.pdf}
+    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat}.
+    \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:positiv}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/0f1/images/konvergenzNegativ.pdf}
+    \caption{Konvergenz: Logarithmisch dargestellte Differenz vom erwarteten Endresultat}.
+    \label{0f1:ausblick:plot:konvergenz:negativ}}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[width=1\textwidth]{papers/0f1/images/stabilitaet.pdf}
+    \caption{Stabilität der 3 Algorithmen verglichen mit der GNU Scientific Library}.
+    \label{0f1:ausblick:plot:airy:stabilitaet}}
+\end{figure}
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+\begin{itemize}
+    \item Negative Zahlen sind sowohl für die Potenzreihe als auch für den Kettenbruch ein Problem.
+    \item Die Potenzreihe hat das Problem, je tiefer die Rekursionstiefe, desto mehr machen die Brüche ein Problem. Also der Nenner mit der Fakultät und dem Pochhammer Symbol.
+    \item Die Rekursionformel liefert für sehr grosse positive Werte die genausten Ergebnisse, verglichen mit der GNU Scientific Library.
+\end{itemize}
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+\subsection{Ausblick
+\label{0f1:subsection:ausblick}}
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