describe link between Jacobi-weights and Beta-distribution

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 %
 \section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion
 \label{dreieck:section:ordnungsstatistik}}
-\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion}
-In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion
-$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen
-Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind.
-Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte
-des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe
-zu finden.
-Wir schreiben $[n]=\{1,\dots,n\}$ für die Menge der natürlichen
-Zahlen von zwischen $1$ und $n$.
+\rhead{}
 
-\subsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und
-$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
-\label{dreieck:subsection:minmax}}
-Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat
-den Wert
-\begin{align*}
-F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-&=
-P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x)
-\\
-&=
-P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x)
-\\
-&=
-P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x)
-\\
-&=
-P(X\le x)^n
-=
-F_X(x)^n.
-\end{align*}
-Für die Gleichverteilung ist
-\[
-F_{\text{equi}}(x)
-=
-\begin{cases}
-0&\qquad x< 0
-\\
-x&\qquad 0\le x\le 1
-\\
-1&\qquad 1<x.
-\end{cases}
-\]
-In diesem Fall ist Verteilung des Maximums
-\[
-F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-=
-\begin{cases}
-0&\qquad x<0\\
-x^n&\qquad 0\le x\le 1\\
-1&\qquad 1 < x.
-\end{cases}
-\]
-Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte
-\[
-\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}
-=
-\frac{d}{dx}
-F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-=
-\begin{cases}
-nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
-0       &\qquad \text{sonst}
-\end{cases}
-\]
-kann man zum Beispiel den Erwartungswert
-\[
-E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n))
-=
-\int_{-\infty}^\infty 
-x
-\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x)
-\,dx
-=
-\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt
-=
-\biggl[
-\frac{n}{n+1}x^{n+1}
-\biggr]_0^1
-=
-\frac{n}{n+1}
-\]
-berechnen.
-
-Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von
-$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen.
-Sie ist
-\begin{align*}
-F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-&=
-P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n)
-\\
-&=
-1-
-P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n)
-\\
-&=
-1-
-(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n))
-\\
-&=
-1-(1-F_X(x))^n,
-\end{align*}
-Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die
-Verteilungsfunktion des Minimums
-\[
-F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
-=
-\begin{cases}
-0        &\qquad x<0        \\
-1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\
-1        &\qquad 1 < x
-\end{cases}
-\]
-mit Wahrscheinlichkeitsdichte
-\[
-\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
-=
-\frac{d}{dx}
-F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
-=
-\begin{cases}
-n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
-0           &\qquad \text{sonst}
-\end{cases}
-\]
-und Erwartungswert
-\begin{align*}
-E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)
-&=
-\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx
-=
-\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx
-\\
-&=
-\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx
-=
-\biggl[
--
-\frac{1}{n+1}
-(1-x)^{n+1}
-\biggr]_0^1
-=
-\frac{1}{n+1}.
-\end{align*}
-Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach
-der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den
-Werten $X_i$.
-
-\subsection{Der $k$-t-grösste Wert}
-Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten
-Zufallsvariablen.
-Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden
-mit
-\[
-X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n}
-\]
-bezeichnet.
-Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten
-Ordnungsstatistiken.
-Die in Abschnitt~\ref{dreieck:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen
-$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
-und
-$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$
-sind die Fälle
-\begin{align*}
-X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\
-X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n).
-\end{align*}
-
-Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir 
-die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht
-übersteigen.
-Der $k$-te Wert $X_{k:n}$ übersteigt genau dann $x$ nicht, wenn
-mindestens $k$ der Zufallswerte $X_i$ $x$ nicht übersteigen, also
-\[
-P(X_{k:n} \le x)
-=
-P\left(
-|\{i\in[n]\,|\, X_i\le x\}| \ge k
-\right).
-\]
-
-Das Ereignis $\{X_i\le x\}$ ist eine Bernoulli-Experiment, welches mit
-Wahrscheinlichkeit $F_X(x)$ eintritt.
-Die Anzahl der Zufallsvariablen $X_i$, die $x$ übertreffen, ist also
-Binomialverteilt mit $p=F_X(x)$.
-Damit haben wir gefunden, dass mit Wahrscheinlichkeit
-\begin{equation}
-F_{X_{k:n}}(x)
-=
-P(X_{k:n}\le x)
-=
-\sum_{i=k}^n \binom{n}{i}F_X(x)^i (1-F_X(x))^{n-i}
-\label{dreieck:eqn:FXkn}
-\end{equation}
-mindestens $k$ der Zufallsvariablen den Wert $x$ überschreiten.
-
-\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik}
-Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ordnungsstatistik kann durch Ableitung
-von \eqref{dreieck:eqn:FXkn} gefunden, werden, sie ist
-\begin{align*}
-\varphi_{X_{k:n}}(x)
-&=
-\frac{d}{dx}
-F_{X_{k:n}}(x)
-\\
-&=
-\sum_{i=k}^n
-\binom{n}{i}
-\bigl(
-iF_X(x)^{i-1}\varphi_X(x) (1-F_X(x))^{n-i}
--
-F_X(x)^k
-(n-i)
-(1-F_X(x))^{n-i-1}
-\varphi_X(x)
-\bigr)
-\\
-&=
-\sum_{i=k}^n
-\binom{n}{i}
-\varphi_X(x)
-F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i-1}
-\bigl(
-iF_X(x)-(n-i)(1-F_X(x))
-\bigr)
-\\
-&=
-\varphi_X(x)
-\biggl(
-\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
--
-\sum_{j=k}^n (n-j)\binom{n}{j} F_X(x)^{j}(1-F_X(x))^{n-j-1}
-\biggr)
-\\
-&=
-\varphi_X(x)
-\biggl(
-\sum_{i=k}^n i\binom{n}{i} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
--
-\sum_{i=k+1}^{n+1} (n-i+1)\binom{n}{i-1} F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
-\biggr)
-\\
-&=
-\varphi_X(x)
-\biggl(
-k\binom{n}{k}F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}
-+
-\sum_{i=k+1}^{n+1}
-\left(
-i\binom{n}{i} 
--
-(n-i+1)\binom{n}{i-1}
-\right)
-F_X(x)^{i-1}(1-F_X(x))^{n-i}
-\biggr)
-\end{align*}
-Mit den wohlbekannten Identitäten für die Binomialkoeffizienten
-\begin{align*}
-i\binom{n}{i} 
--
-(n-i+1)\binom{n}{i-1}
-&=
-n\binom{n-1}{i-1}
--
-n
-\binom{n-1}{i-1}
-=
-0
-\end{align*}
-folgt jetzt
-\begin{align*}
-\varphi_{X_{k:n}}(x)
-&=
-\varphi_X(x)k\binom{n}{k} F_X(x)^{k-1}(1-F_X(x))^{n-k}(x).
-\intertext{Im Speziellen für gleichverteilte Zufallsvariablen $X_i$ ist
-}
-\varphi_{X_{k:n}}(x)
-&=
-k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
-\end{align*}
-Dies ist die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Betaverteilung
-\[
-\beta(k,n-k+1)(x)
-=
-\frac{1}{B(k,n-k+1)}
-x^{k-1}(1-x)^{n-k}.
-\]
-Tatsächlich ist die Normierungskonstante 
-\begin{align}
-\frac{1}{B(k,n-k+1)}
-&=
-\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k)\Gamma(n-k+1)}
-=
-\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}.
-\label{dreieck:betaverteilung:normierung1}
-\end{align}
-Andererseits ist
-\[
-k\binom{n}{k}
-=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-=
-\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!},
-\]
-in Übereinstimmung mit~\eqref{dreieck:betaverteilung:normierung1}.
-Die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte der
-Ordnungsstatistik sind in Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} dargestellt.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics{papers/dreieck/images/order.pdf}
-\caption{Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte der
-Ordnungsstatistiken $X_{k:n}$ einer gleichverteilung Zuvallsvariable
-mit $n=10$.
-\label{dreieck:fig:order}}
-\end{figure}
-
-\subsubsection{Erwartungswert}
-Mit der Wahrscheinlichkeitsdichte kann man jetzt auch den Erwartungswerte
-der $k$-ten Ordnungsstatistik bestimmen.
-Die Rechnung ergibt:
-\begin{align*}
-E(X_{k:n})
-&=
-\int_0^1 x\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
-=
-k
-\binom{n}{k}
-\int_0^1
-x^{k}(1-x)^{n-k}\,dx.
-\intertext{Dies ist das Beta-Integral}
-&=
-k\binom{n}{k}
-B(k+1,n-k+1)
-\intertext{welches man durch Gamma-Funktionen bzw.~durch Fakultäten wie in}
-&=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-\frac{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}{n+2}
-=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-\frac{k!(n-k)!}{(n+1)!}
-=
-\frac{k}{n+1}
-\end{align*}
-ausdrücken kann.
-Die Erwartungswerte haben also regelmässige Abstände, sie sind in
-Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} als blaue vertikale Linien eingezeichnet.
-
-\subsubsection{Varianz}
-Auch die Varianz lässt sich einfach berechnen, dazu muss zunächst
-der Erwartungswert von $X_{k:n}^2$ bestimmt werden.
-Er ist
-\begin{align*}
-E(X_{k:n}^2)
-&=
-\int_0^1 x^2\cdot k\binom{n}{k} x^{k-1}(1-x)^{n-k}\,dx
-=
-k
-\binom{n}{k}
-\int_0^1
-x^{k+1}(1-x)^{n-k}\,dx.
-\intertext{Auch dies ist ein Beta-Integral, nämlich}
-&=
-k\binom{n}{k}
-B(k+2,n-k+1)
-=
-k\frac{n!}{k!(n-k)!}
-\frac{(k+1)!(n-k)!}{(n+2)!}
-=
-\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}.
-\end{align*}
-Die Varianz wird damit
-\begin{align}
-\operatorname{var}(X_{k:n})
-&=
-E(X_{k:n}^2) - E(X_{k:n})^2
-\notag
-\\
-&
-=
-\frac{k(k+1)}{(n+1)(n+2)}-\frac{k^2}{(n+1)^2}
-=
-\frac{k(k+1)(n+1)-k^2(n+2)}{(n+1)^2(n+2)}
-=
-\frac{k(n-k+1)}{(n+1)^2(n+2)}.
-\label{dreieck:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
-\end{align}
-In Abbildung~\ref{dreieck:fig:order} ist die Varianz der
-Ordnungsstatistik $X_{k:n}$ für $k=7$ und $n=10$ als oranges
-Rechteck dargestellt.
-
-\begin{figure}
-\centering
-\includegraphics[width=0.84\textwidth]{papers/dreieck/images/beta.pdf}
-\caption{Wahrscheinlichkeitsdichte der Beta-Verteilung
-$\beta(a,b,x)$
-für verschiedene Werte der Parameter $a$ und $b$.
-Die Werte des Parameters für einen Graphen einer Beta-Verteilung
-sind als Punkt im kleinen Quadrat rechts
-im Graphen als Punkt mit der gleichen Farbe dargestellt.
-\label{dreieck:fig:betaverteilungn}}
-\end{figure}
-
-Die Formel~\eqref{dreieck:eqn:ordnungsstatistik:varianz}
-besagt auch, dass die Varianz der proportional ist zu $k((n+1)-k)$.
-Dieser Ausdruck ist am grössten für $k=(n+1)/2$, die Varianz ist
-also grösser für die ``mittleren'' Ordnungstatistiken als für die
-extremen $X_{1:n}=\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ und
-$X_{n:n}=\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$.