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path: root/buch/papers/fm
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authorJoshua Baer <joshua.baer@ost.ch>2022-08-17 18:29:07 +0200
committerJoshua Baer <joshua.baer@ost.ch>2022-08-17 18:29:07 +0200
commit7d7dd6055db4cd39053f766e86242b12d93a9cd9 (patch)
treedfa268f50f4da43974c431ad176b4c429da6b84b /buch/papers/fm
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Diffstat (limited to 'buch/papers/fm')
-rw-r--r--buch/papers/fm/02_FM.tex60
1 files changed, 26 insertions, 34 deletions
diff --git a/buch/papers/fm/02_FM.tex b/buch/papers/fm/02_FM.tex
index 3b4fdfd..a46b63c 100644
--- a/buch/papers/fm/02_FM.tex
+++ b/buch/papers/fm/02_FM.tex
@@ -10,7 +10,6 @@
(skript Nat ab Seite 60)
Als weiterer Parameter, um ein sinusförmiges Trägersignal \(x_c = A_c \cdot \cos(\omega_c t + \varphi)\) zu modulieren,
bietet sich neben der Amplitude \(A_c\) auch der Phasenwinkel \(\varphi\) oder die momentane Frequenzabweichung \(\frac{d\varphi}{dt}\) an.
-Da beide nur durch die Operation differenzieren getrennt wird, sind diese zwei Modulationen so miteinenader Verwandt das ich nur auf die Frequenzmodulation eingehe.
Bei der Phasenmodulation (Englisch: phase modulation, PM) erzeugt das Nachrichtensignal \(m(t)\) eine Phasenabweichung \(\varphi(t)\)
des modulierten Trägersignals im Vergleich zum nicht-modulierten Träger.
Sie ist proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit der Phasenhubkonstanten (Englisch: phase deviation constant)
@@ -18,20 +17,20 @@ Sie ist proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\) durch eine Skalierung mit de
k_p [rad],
\]
welche die Amplitude des Nachrichtensignals auf die Phasenabweichung des
-modulierten Trägersignals abbildet: φ(t) = k p · m(t). Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersignal:
+modulierten Trägersignals abbildet: \(\varphi(t) = k_p \cdot m(t)\).
+Damit ergibt sich für das phasenmodulierte Trägersignal:
\[
- x_PM (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + k_p \cdot m(t))
+ x_{PM} (t) = A_c \cdot \cos (\omega_c t + k_p \cdot m(t))
\]
Die modulierte Phase \(\varphi(t)\) verändert dabei auch die Momentanfrequenz (Englisch: instantaneous frequency) \(\omega_i\)
, welche wie folgt berechnet wird:
\[
- f_i = 2\pi
- \omega_i (t) = \omega_c + \frac{d\varphi(t)}{dt}
+ f_i = 2\pi \omega_i (t) = \omega_c + \frac{d\varphi(t)}{dt}
\]
Bei der Frequenzmodulation (Englisch: frequency modulation, FM) ist die Abweichung der momentanen
Kreisfrequenz \(\omega_i\) von der Trägerkreisfrequenz \(\omega_c\) proportional zum Nachrichtensignal \(m(t)\).
- Sie ergibt sich, indem \(m(t)\) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) \(k_f [rad/s] \)skaliert wird:
- \[
+Sie ergibt sich, indem \(m(t)\) mit der (Kreis-)Frequenzhubkonstanten (Englisch: frequency deviation constant) \(k_f [rad/s] \)skaliert wird:
+\[
\omega_i (t) = \omega_c + k_f \cdot m(t).
\]
Diese sich zeitlich verändernde Abweichung von der Kreisfrequenz \(\omega_c\)
@@ -39,35 +38,28 @@ verursacht gleichzeitig auch Schwankungen der Phase \(\varphi(t)\),
welche wie folgt berechnet wird:
\[
\varphi (t) =
- \int_{-\infty}^0
-%ω i (τ ) − ω c dτ =
-%Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal:
-%
-%Z t
-%−∞
-%x FM (t) = A c · cos  ω c t + k f
-%k f · m(t) dτ
-%Z t
-%−∞
-%
-%m(τ ) dτ 
+ \int_{-\infty}^t \omega_i (\tau ) - \omega_c\, d\tau =
+ \int_{-\infty}^t k_f \cdot m(t)\,d\tau
+\]
+%\intertext{Somit ergibt sich für das frequenzmodulierte Trägersignal: }
+\[
+ x_{FM} (t) = A_c \cdot \cos \left( \omega_c t + \int_{-\infty}^t k_f \cdot m ( \tau) \,d\tau \right)
\]
+Die Phase \(\varphi(t)\) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal \(x_{FM}(t)\) weist keine Stellen auf,
+ wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten
+ Signalen - speziell auch bei digitalen FM-Signalen - von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Englisch: continuous phase modulation).
+Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Modulationsverfahren.
+Beide variieren sowohl die Phase \(\varphi\) wie auch die Momentanfrequenz \(\omega_i.\)
+Dadurch kannman leider nicht - wie vielleicht erhofft - je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersignal unabhängig PM- und FM-modulieren,
+ ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar vermischen würden.
+Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund dieser Äquivalenzen gerechtfertigt,
+dass PM und FM gemeinsam behandelt werden.
+Da beide nur durch die Operation differenzieren getrennt wird, sind diese zwei Modulationen so miteinenader Verwandt das ich nur auf die Frequenzmodulation eingehe.
+Jeweils vor der Modulation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder
+Integration durchgeführt wird, um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen.
+\citeauthor{fm:NAT}
-%Die Phase φ(t) hat dabei einen kontinuierlichen Verlauf, d.h. das FM-modulierte Signal x FM (t) weist keine
-%Stellen auf, wo sich die Phase sprunghaft ändert. Aus diesem Grund spricht man bei frequenzmodulierten
-%Signalen – speziell auch bei digitalen FM-Signalen – von einer Modulation mit kontinuierlicher Phase (Eng-
-%lisch: continuous phase modulation).
-%Wie aus diesen Ausführungen hervorgeht, sind Phasenmodulation und Frequenzmodulation äquivalente Mo-
-%dulationsverfahren. Beide variieren sowohl die Phase φ wie auch die Momentanfrequenz ω i . Dadurch kann
-%man leider nicht – wie vielleicht erhofft – je mit einem eigenen Nachrichtensignal ein gemeinsames Trägersi-
-%gnal unabhängig PM- und FM-modulieren, ohne dass sich diese Modulationen für den Empfänger untrennbar
-%vermischen würden.
-%
-%Um die mathematische Behandlung der nicht-linearen Winkelmodulation etwas zu verkürzen, ist es aufgrund
-%dieser Äquivalenzen gerechtfertigt, dass PM und FM gemeinsam behandelt werden. Jeweils vor der Modu-
-%lation bzw. nach der Demodulation kann dann noch eine Differentiation oder Integration durchgeführt wird,
-%um von der einen Modulationsart zur anderen zu gelangen.
-%\subsection{Frequenzbereich}
+\subsection{Frequenzbereich}
%Nun
%TODO
%Hier Beschreiben ich FM und FM im Frequenzspektrum.