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+\node at (22.5:1.4) {$\displaystyle\frac{\pi}4$}; + +\draw[->] (-1,0) -- (9,0) coordinate[label={$\operatorname{Re}$}]; +\draw[->] (0,-1) -- (0,6) coordinate[label={left:$\operatorname{Im}$}]; + +\draw[->,color=red,line width=1.4pt] (0,0) -- (7,0); +\draw[->,color=blue,line width=1.4pt] (7,0) arc (0:45:7); +\draw[->,color=darkgreen,line width=1.4pt] (45:7) -- (0,0); + +\node[color=red] at (3.5,0) [below] {$\gamma_1(t) = tR$}; +\node[color=blue] at (25:7) [right] {$\gamma_2(t) = Re^{it}$}; +\node[color=darkgreen] at (45:3.5) [above left] {$\gamma_3(t) = te^{i\pi/4}$}; + +\node at (7,0) [below] {$R$}; +\node at (45:7) [above] {$Re^{i\pi/4}$}; + +\end{tikzpicture} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf b/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..9c21951 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.pdf diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.pov b/buch/papers/fresnel/images/schale.pov new file mode 100644 index 0000000..085a6a4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.pov @@ -0,0 +1,191 @@ +// +// schale.pov -- +// +// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +// +#version 3.7; 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+ #declare P = punkt(phi, theta(phi)); + #while (phi < phimax - phistep/2) + sphere { P, 0.003 } + #declare phi = phi + phistep; + #declare P2 = punkt(phi, theta(phi)); + cylinder { P, P2, 0.003 } + #declare P = P2; + #end + sphere { P, 0.003 } + pigment { + color stripcolor + } + finish { + specular 0.8 + metallic + } +} diff --git a/buch/papers/fresnel/images/schale.tex b/buch/papers/fresnel/images/schale.tex new file mode 100644 index 0000000..577ede4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fresnel/images/schale.tex @@ -0,0 +1,77 @@ +% +% schlange.tex +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{times} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{txfonts} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{graphics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math,calc} +\usepackage{ifthen} +\begin{document} + +\newboolean{showgrid} +\setboolean{showgrid}{false} +\def\breite{4} +\def\hoehe{4} +\def\a{47} +\def\r{3.3} +\def\skala{0.95} + +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala] + +\begin{scope}[xshift=-7.4cm,yshift=-1.2cm] + \clip (-3.6,-2.2) rectangle (3.6,5.1); + + \fill[color=blue!20] (0,0) + -- ({180-\a}:{0.4*\r}) arc ({180-\a}:180:{0.4*\r}) + -- cycle; + \node[color=blue] at ({180-\a/2}:{0.3*\r}) {$\vartheta$}; + + \fill[color=blue!20] (0,{\r/sin(\a)}) + -- ($(0,{\r/sin(\a)})+({270-\a}:{0.3*\r})$) + arc ({270-\a}:270:{0.3*\r}) + -- cycle; + \node[color=blue] at ($(0,{\r/sin(\a)})+({270-\a/2}:{0.2*\r})$) + {$\vartheta$}; + + + \draw (0,0) circle[radius=\r]; + \draw[->] (0,-3.0) -- (0,5); + \draw ({-\r-0.2},0) -- ({\r+0.2},0); + \fill (0,0) circle[radius=0.06]; + + \draw (0,0) -- ({180-\a}:\r); + \node at ({180-\a+3}:{0.65*\r}) [above right] {$1$}; + + \draw[color=red,line width=1.4pt] + ({180-\a}:\r) -- (0,{\r/cos(90-\a)}); + \fill[color=red] ({180-\a}:\r) circle[radius=0.08]; + \fill[color=red] (0,{\r/cos(90-\a)}) circle[radius=0.08]; + \node[color=red] at (-1.0,3.7) [left] {$r=\cot\vartheta$}; + \node[color=red] at ({180-\a}:\r) [above left] {$P$}; + \node[color=red] at (0,{\r/sin(\a)}) [right] {$Q$}; +\end{scope} + +% Povray Bild +\node at (0,0) {\includegraphics[width=7.6cm]{schale.jpg}}; + +% Gitter +\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ +\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe); +\fill (0,0) circle[radius=0.05]; +}{} + +\node[color=red] at (-1.4,1.4) {$r$}; +\node[color=red] at (-2.2,-0.2) {$P$}; +\node[color=red] at (0,3.3) [right] {$Q$}; + +\end{tikzpicture} + +\end{document} + diff --git a/buch/papers/fresnel/main.tex b/buch/papers/fresnel/main.tex index bbaf7e6..2050fd4 100644 --- a/buch/papers/fresnel/main.tex +++ b/buch/papers/fresnel/main.tex @@ -3,29 +3,16 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Thema\label{chapter:fresnel}} -\lhead{Thema} +\chapter{Fresnel-Integrale\label{chapter:fresnel}} +\lhead{Fresnel-Integrale} \begin{refsection} -\chapterauthor{Hans Muster} +\chapterauthor{Andreas Müller} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} +{\parindent0pt Die} Fresnel-Integrale tauchen in der Untersuchung der Beugung +in paraxialer Näherung auf, auch bekannt als die Fresnel-Approximation. +In diesem Kapitel betrachen wir jedoch nur die geometrische +Anwendung der Fresnel-Integrale als Parametrisierung der Euler-Spirale +und zeigen, dass letztere eine Klothoide ist. \input{papers/fresnel/teil0.tex} \input{papers/fresnel/teil1.tex} diff --git a/buch/papers/fresnel/references.bib b/buch/papers/fresnel/references.bib index 84cd3bc..cf8fb21 100644 --- a/buch/papers/fresnel/references.bib +++ b/buch/papers/fresnel/references.bib @@ -33,3 +33,20 @@ url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} } +@online{fresnel:fresnelC, + url = { https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/FresnelC/introductions/FresnelIntegrals/ShowAll.html }, + title = { FresnelC }, + date = { 2022-05-13 } +} + +@online{fresnel:wikipedia, + url = { https://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral }, + title = { Fresnel Integral }, + date = { 2022-05-13 } +} + +@online{fresnel:schale, + url = { https://www.youtube.com/watch?v=D3tdW9l1690 }, + title = { A Strange Map Projection (Euler Spiral) - Numberphile }, + date = { 2022-05-14 } +} diff --git a/buch/papers/fresnel/teil0.tex b/buch/papers/fresnel/teil0.tex index 5e9fdaf..85b8bf7 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil0.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil0.tex @@ -1,22 +1,101 @@ % -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% teil0.tex -- Definition % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{fresnel:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{fresnel:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. +\section{Definition\label{fresnel:section:teil0}} +\rhead{Definition} +Die Funktion $e^{x^2}$ hat bekanntermassen keine elementare Stammfunktion, +weshalb die Fehlerfunktion als Stammfunktion definiert wurde. +Die Funktionen $\cos x^2$ und $\sin x^2$ sind eng mit $e^{x^2}$ +verwandt, es ist daher nicht überraschend, dass sie ebenfalls +keine elementare Stammfunktionen haben. +Dies rechtfertigt die Definition der Fresnel-Integrale als neue spezielle +Funktionen. -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. +\begin{definition} +Die Funktionen +\begin{align*} +C(x) &= \int_0^x \cos\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt +\\ +S(x) &= \int_0^x \sin\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt +\end{align*} +heissen die Fresnel-Integrale. +\end{definition} +Der Faktor $\frac{\pi}2$ ist einigermassen willkürlich, man könnte +daher noch allgemeiner die Funktionen +\begin{align*} +C_a(x) &= \int_0^x \cos(at^2)\,dt +\\ +S_a(x) &= \int_0^x \sin(at^2)\,dt +\end{align*} +definieren, so dass die Funktionen $C(x)$ und $S(x)$ der Fall +$a=\frac{\pi}2$ werden, also +\[ +\begin{aligned} +C(x) &= C_{\frac{\pi}2}(x), +& +S(x) &= S_{\frac{\pi}2}(x). +\end{aligned} +\] +Durch eine Substitution $t=bs$ erhält man +\begin{align*} +C_a(x) +&= +\int_0^x \cos(at^2)\,dt += +b +\int_0^{\frac{x}b} \cos(ab^2s^2)\,ds += +b +C_{ab^2}\biggl(\frac{x}b\biggr) +\\ +S_a(x) +&= +\int_0^x \sin(at^2)\,dt += +b +\int_0^{\frac{x}b} \sin(ab^2s^2)\,ds += +b +S_{ab^2}\biggl(\frac{x}b\biggr). +\end{align*} +Indem man $ab^2=\frac{\pi}2$ setzt, also +\[ +b += +\sqrt{\frac{\pi}{2a}} +, +\] +kann man die Funktionen $C_a(x)$ und $S_a(x)$ durch $C(x)$ und $S(x)$ +ausdrücken: +\begin{align} +C_a(x) +&= +\sqrt{\frac{\pi}{2a}} +C\biggl(x +\sqrt{\frac{2a}{\pi}} +\biggr) +&&\text{und}& +S_a(x) +&= +\sqrt{\frac{\pi}{2a}} +S\biggl(x +\sqrt{\frac{2a}{\pi}} +\biggr). +\label{fresnel:equation:arg} +\end{align} +Im Folgenden werden wir meistens nur den Fall $a=1$, also die Funktionen +$C_1(x)$ und $S_1(x)$ betrachten, da in diesem Fall die Formeln einfacher +werden. +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf} +\caption{Graph der Funktionen $C(x)$ ({\color{red}rot}) +und $S(x)$ ({\color{blue}blau}) +\label{fresnel:figure:plot}} +\end{figure} +Die Abbildung~\ref{fresnel:figure:plot} zeigt die Graphen der +Funktion $C(x)$ und $S(x)$. diff --git a/buch/papers/fresnel/teil1.tex b/buch/papers/fresnel/teil1.tex index a2df138..c716cd7 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil1.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil1.tex @@ -1,55 +1,205 @@ % -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper +% teil1.tex -- Euler-Spirale % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 1 -\label{fresnel:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{fresnel:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. +\section{Euler-Spirale +\label{fresnel:section:eulerspirale}} +\rhead{Euler-Spirale} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/images/eulerspirale.pdf} +\caption{Die Eulerspirale ist die Kurve mit der Parameterdarstellung +$x\mapsto (C(x),S(x))$, sie ist rot dargestellt. +Sie windet sich unendlich oft um die beiden Punkte $(\pm\frac12,\pm\frac12)$. +\label{fresnel:figure:eulerspirale}} +\end{figure} +Ein besseres Verständnis für die beiden Funktionen $C(x)$ und $S(x)$ +als die Darstellung~\ref{fresnel:figure:plot} ermöglicht die +Abbildung~\ref{fresnel:figure:eulerspirale}, die die beiden Funktionen +als die $x$- und $y$-Koordinaten der Parameterdarstellung einer Kurve +zeigt. +Sie heisst die {\em Euler-Spirale}. +Die Spirale scheint sich für $x\to\pm\infty$ um die Punkte +$(\pm\frac12,\pm\frac12)$ zu winden. -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/images/pfad.pdf} +\caption{Pfad zur Berechnung der Grenzwerte $C_1(\infty)$ und +$S_1(\infty)$ mit Hilfe des Cauchy-Integralsatzes +\label{fresnel:figure:pfad}} +\end{figure} -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{fresnel:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{fresnel:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{fresnel:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. +\begin{satz} +Die Grenzwerte der Fresnel-Integrale für $x\to\pm\infty$ sind +\[ +\lim_{x\to\pm\infty} C(x) += +\lim_{x\to\pm\infty} S(x) += +\frac12. +\] +\end{satz} +\begin{proof}[Beweis] +Die komplexe Funktion +\( +f(z) = e^{-z^2} +\) +ist eine ganze Funktion, das Integral über einen geschlossenen +Pfad in der komplexen Ebene verschwindet daher. +Wir verwenden den Pfad in Abbildung~\ref{fresnel:figure:pfad} +bestehend aus den drei Segmenten $\gamma_1$ entlang der reellen +Achse von $0$ bis $R$, dem Kreisbogen $\gamma_2$ um $0$ mit Radius $R$ +und $\gamma_3$ mit der Parametrisierung $t\mapsto te^{i\pi/4}$. + +Das Teilintegral über $\gamma_1$ ist +\[ +\lim_{R\to\infty} +\int_{\gamma_1} e^{-z^2}\,dz += +\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt += +\frac{\sqrt{\pi}}2. +\] +Das Integral über $\gamma_3$ ist +\begin{align*} +\lim_{R\to\infty} +\int_{\gamma_3} +e^{-z^2}\,dz +&= +-\int_0^\infty \exp(-t^2 e^{i\pi/2}) e^{i\pi/4}\,dt += +- +\int_0^\infty e^{-it^2}\,dt\, +e^{i\pi/4} +\\ +&= +-e^{i\pi/4}\int_0^\infty \cos t^2 - i \sin t^2\,dt +\\ +&= +-\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) +\bigl( +C_1(\infty) +-i +S_1(\infty) +\bigr) +\\ +&= +-\frac{1}{\sqrt{2}} +\bigl( +C_1(\infty)+S_1(\infty) ++ +i(C_1(\infty)-S_1(\infty)) +\bigr), +\end{align*} +wobei wir +\[ +C_1(\infty) = \lim_{R\to\infty} C_1(R) +\qquad\text{und}\qquad +S_1(\infty) = \lim_{R\to\infty} S_1(R) +\] +abgekürzt haben. +Das Integral über das Segment $\gamma_2$ lässt sich +mit der Parametrisierung +\( +\gamma_2(t) += +Re^{it} += +R(\cos t + i\sin t) +\) +wie folgt +abschätzen: +\begin{align*} +\biggl|\int_{\gamma_2} e^{-z^2} \,dz\biggr| +&= +\biggl| +\int_0^{\frac{\pi}4} +\exp(-R^2(\cos 2t + i\sin 2t)) iR e^{it}\,dt +\biggr| +\\ +&\le +R +\int_0^{\frac{\pi}4} +e^{-R^2\cos 2t} +\,dt +\le +R +\int_0^{\frac{\pi}4} +e^{-R^2(1-\frac{4}{\pi}t)} +\,dt. +\intertext{Dabei haben wir $\cos 2t\ge 1-\frac{4}\pi t$ verwendet. +Mit dieser Vereinfachung kann das Integral ausgewertet werden und +ergibt} +&= +Re^{-R^2} +\int_0^{\frac{\pi}4} +e^{R^2\frac{\pi}4t} +\,dt += +Re^{-R^2} +\biggl[ +\frac{4}{\pi R^2} +e^{R^2\frac{\pi}4t} +\biggr]_0^{\frac{\pi}4} += +\frac{4}{\pi R} +e^{-R^2}(e^{R^2}-1) += +\frac{4}{\pi R} +(1-e^{-R^2}) +\to 0 +\end{align*} +für $R\to \infty$. +Im Grenzwert $R\to \infty$ kann der Teil $\gamma_2$ des Pfades +vernachlässigt werden. + +Das Integral über den geschlossenen Pfad $\gamma$ verschwindet. +Da der Teil $\gamma_2$ keine Rolle spielt, müssen sich die +Integrale über $\gamma_1$ und $\gamma_3$ wegheben, also +\begin{align*} +0 += +\int_\gamma e^{-z^2}\,dz +&= +\int_{\gamma_1} e^{-z^2}\,dz ++ +\int_{\gamma_2} e^{-z^2}\,dz ++ +\int_{\gamma_3} e^{-z^2}\,dz +\\ +&\to +\frac{\sqrt{\pi}}2 +-\frac{1}{\sqrt{2}}(C_1(\infty)+S_1(\infty)) +-\frac{i}{\sqrt{2}}(C_1(\infty)-S_1(\infty)). +\end{align*} +Der Imaginärteil ist $C_1(\infty)-S_1(\infty)$, da er verschwinden +muss, folgt $C_1(\infty)=S_1(\infty)$. +Nach Multlikation mit $\sqrt{2}$ folgt aus der Tatsache, dass auch +der Realteil verschwinden muss +\[ +\sqrt{\frac{\pi}{2}} = C_1(\infty)+S_1(\infty) +\qquad +\Rightarrow +\qquad +C_1(\infty) += +S_1(\infty) += +\frac12 +\sqrt{ +\frac{\pi}{2} +}. +\] +Aus +\eqref{fresnel:equation:arg} +erhält man dann auch die Grenzwerte +\[ +C(\infty)=S(\infty)=\frac12. +\qedhere +\] +\end{proof} diff --git a/buch/papers/fresnel/teil2.tex b/buch/papers/fresnel/teil2.tex index 701c3ee..ec8c896 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil2.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil2.tex @@ -3,38 +3,177 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 2 -\label{fresnel:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{fresnel:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\section{Klothoide +\label{fresnel:section:klothoide}} +\rhead{Klothoide} +In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die Krümmung der +Euler-Spirale proportional zur vom Nullpunkt aus gemessenen Bogenlänge +ist. + +\begin{definition} +Eine ebene Kurve, deren Krümmung proportionale zur Kurvenlänge ist, +heisst {\em Klothoide}. +\end{definition} + +Die Klothoide wird zum Beispiel im Strassenbau für Autobahnkurven +verwendet. +Fährt man mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer Klothoide, +muss man die Krümmung mit konstaner Geschwindigkeit ändern, +also das Lenkrad mit konstanter Geschwindigkeit drehen. +Dies ermöglicht eine ruhige Fahrweise. + +\subsection{Krümmung einer ebenen Kurve} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/images/kruemmung.pdf} +\caption{Berechnung der Krümmung einer ebenen Kurve. +\label{fresnel:figure:kruemmung}} +\end{figure} +Abbildung~\ref{fresnel:figure:kruemmung} erinnert daran, dass der +Bogen eines Kreises vom Radius $r$, entlang dem sich die Richtung +der Tangente um $\Delta\varphi$ ändert, die Länge +$\Delta s = r\Delta\varphi$. +Die Krümmung ist der Kehrwert des Krümmungsradius, daraus kann +man ablesen, dass +\[ +\kappa = \frac{1}{r} = \frac{\Delta \varphi}{\Delta s}. +\] +Für eine beliebige ebene Kurve ist daher die Krümmung +\[ +\kappa = \frac{d\varphi}{ds}. +\] + +\subsection{Krümmung der Euler-Spirale} +Wir betrachten jetzt die Euler-Spirale mit der Parametrisierung +$\gamma(s) = (C_1(s),S_1(s))$. +Zunächst stellen wir fest, dass die Länge der Tangente +\[ +\dot{\gamma}(s) += +\frac{d\gamma}{ds} += +\begin{pmatrix} +\dot{C}_1(s)\\ +\dot{S}_1(s) +\end{pmatrix} += +\begin{pmatrix} +\cos s^2\\ +\sin s^2 +\end{pmatrix} +\qquad\Rightarrow\qquad +|\dot{\gamma}(s)| += +\sqrt{\cos^2s^2+\sin^2s^2} += +1. +\] +Insbesondere ist der Parameter $s$ der Kurve $\gamma(s)$ die +Bogenlänge. + +Der zu $\dot{\gamma}(s)$ gehörige Polarwinkel kann aus dem Vergleich +mit einem Vektor mit bekanntem Polarwinkel $\varphi$ abgelesen werden: +\[ +\begin{pmatrix} +\cos \varphi\\ +\sin \varphi +\end{pmatrix} += +\dot{\gamma}(s) += +\begin{pmatrix} +\cos s^2\\\sin s^2 +\end{pmatrix}, +\] +der Polarwinkel +ist daher $\varphi = s^2$. +Die Krümmung ist die Ableitung des Polarwinkels nach $s$, also +\[ +\kappa += +\frac{d\varphi}{ds} += +\frac{ds^2}{ds} += +2s, +\] +sie ist somit proportional zur Bogenlänge $s$. +Damit folgt, dass die Euler-Spirale eine Klothoide ist. + +\subsection{Eine Kugel schälen} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics[width=\textwidth]{papers/fresnel/images/schale.pdf} +\caption{Schält man eine einen Streifen konstanter Breite beginnend am +Äquator von einer Kugel ab und breitet ihn in der Ebene aus, entsteht +eine Klothoide. +\label{fresnel:figure:schale}} +\end{figure} +\begin{figure} +\centering +\includegraphics{papers/fresnel/images/apfel.pdf} +\caption{Klothoide erhalten durch Abschälen eines Streifens von einem +Apfel (vgl.~Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale}) +\label{fresnel:figure:apfel}} +\end{figure} +Schält man einen Streifen konstanter Breite beginnend parallel zum Äquator +von einer Kugel ab und breitet ihn in die Ebene aus, entsteht eine +Approximation einer Klothoide. +Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale} zeigt blau den abgeschälten Streifen, +Abbildung~\ref{fresnel:figure:apfel} zeigt das Resultat dieses Versuches +an einem Apfel, das Youtube-Video \cite{fresnel:schale} des +Numberphile-Kanals illustriert das Problem anhand eines aufblasbaren +Globus. + +Windet sich die Kurve in Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale} $n$ +mal um die vertikale Achse, bevor sie den Nordpol erreicht, dann kann +die Kurve mit der Funktion +\[ +\gamma(t) += +\begin{pmatrix} +\cos(t) \cos(t/n) \\ +\sin(t) \cos(t/n) \\ +\sin(t/n) +\end{pmatrix} +\] +parametrisiert werden. +Der Tangentialvektor +\[ +\dot{\gamma}(t) += +\begin{pmatrix} +-\sin(t)\cos(t/n) - \cos(t)\sin(t/n)/n \\ +\cos(t)\cos(t/n) - \sin(t)\sin(t/n)/n \\ +\cos(t/n)/n +\end{pmatrix} +\] +hat die Länge +\[ +| \dot{\gamma}(t) |^2 += +\frac{1}{n^2} ++ +\cos^2\frac{t}{n}. +\] +Die Ableitung der Bogenlänge ist daher +\[ +\dot{s}(t) += +\sqrt{ +\frac{1}{n^2} ++ +\cos^2\frac{t}{n} +}. +\] + + +Der Krümmungsradius des blauen Streifens, der die Kugel im Punkt $P$ bei +geographischer $\vartheta$ berührt, hat die Länge der Tangente, die +die Kugel im Punkt $P$ berührt und im Punkt $Q$ durch die Achse der +Kugel geht (Abbildung~\ref{fresnel:figure:schale}). +Die Krümmung in Abhängigkeit von $\vartheta$ ist daher $\tan\vartheta$. + + diff --git a/buch/papers/fresnel/teil3.tex b/buch/papers/fresnel/teil3.tex index d4f15f6..ceddbe0 100644 --- a/buch/papers/fresnel/teil3.tex +++ b/buch/papers/fresnel/teil3.tex @@ -3,38 +3,110 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 3 -\label{fresnel:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? +\section{Numerische Berechnung der Fresnel-Integrale +\label{fresnel:section:numerik}} +\rhead{Numerische Berechnung} +Die Fresnel-Integrale können mit verschiedenen Methoden effizient berechnet +werden. -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{fresnel:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +\subsection{Komplexe Fehlerfunktionen} +Es wurde schon darauf hingewiesen, dass der Integrand der Fresnel-Integrale +mit $e^{t^2}$ verwandt ist. +Tatsächlich kann gezeigt werden dass sich die Fresnel-Integrale mit +Hilfe der komplexen Fehlerfunktion als +\[ +\left. +\begin{matrix} +S_1(z) +\\ +C_1(z) +\end{matrix} +\; +\right\} += +\frac{1\pm i}4\biggl( +\operatorname{erf}\biggl(\frac{1+i}2\sqrt{\pi}z\biggr) +\mp +\operatorname{erf}\biggl(\frac{1-i}2\sqrt{\pi}z\biggr) +\biggr) +\] +ausdrücken lassen \cite{fresnel:fresnelC}. +Diese Darstellung ist jedoch für die numerische Berechnung nur +beschränkt nützlich, weil die meisten Bibliotheken für die Fehlerfunktion +diese nur für reelle Argument auszuwerten gestatten. + +\subsection{Als Lösung einer Differentialgleichung} +Da die Fresnel-Integrale die sehr einfachen Differentialgleichungen +\[ +C'(x) = \cos \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr) +\qquad\text{und}\qquad +S'(x) = \sin \biggl(\frac{\pi}2 x^2\biggr) +\] +erfüllen, kann man eine Methode zur numerischen Lösung von +Differentialgleichung verwenden. +Die Abbildungen~\ref{fresnel:figure:plot} und \ref{fresnel:figure:eulerspirale} +wurden auf diese Weise erzeugt. + +\subsection{Taylor-Reihe integrieren} +Die Taylorreihen +\begin{align*} +\cos x +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} +&&\text{und}& +\sin x +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} +\intertext{% +der trigonometrischen Funktionen werden durch Einsetzen von $x=t^2$ +zu} +\cos t^2 +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} t^{4k} +&&\text{und}& +\sin t^2 +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} t^{4k+2}. +\intertext{% +Die Fresnel-Integrale $C_1(x)$ und $S_1(x)$ können daher durch +termweise Integration mit Hilfe der Reihen} +C_1(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} \frac{x^{4k+1}}{4k+1} +&&\text{und}& +S_1(x) +&= +\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \frac{x^{4k+3}}{4k+3} +\end{align*} +berechnet werden. +Diese Reihen sind insbesondere für kleine Werte von $x$ sehr +schnell konvergent. + +\subsection{Hypergeometrische Reihen} +Aus der Reihenentwicklung kann jetzt auch eine Darstellung der +Fresnel-Integrale durch hypergeometrische Reihen gefunden werden +\cite{fresnel:fresnelC}. +Es ergibt sich +\begin{align*} +S(z) +&= +\frac{\pi z^3}{6} +\cdot +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}\frac34\\\frac32,\frac74\end{matrix} +; +-\frac{\pi^2z^4}{16} +\biggr) +\\ +C(z) +&= +z +\cdot +\mathstrut_1F_2\biggl( +\begin{matrix}\frac14\\\frac12,\frac54\end{matrix} +; +-\frac{\pi^2z^4}{16} +\biggr). +\end{align*} |