einleitung und herleitung DGL erste version fertig

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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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 \section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}}
-\rhead{Membrane}
-Eine naheliegendes Beispiel einer kreisförmigen Membrane ist eine Runde Trommel. 
-Der Zusammenhang zwischen rund und kreisförmig wird hier nicht erläutert, was in diesem Kapitel als Membrane verstanden wird sollte jedoch erwähnt sein. 
-Eine Membrane, Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membrane} ein "dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., ...". 
-Um zu verstehen wie sich eine Kreisförmige Membrane oder eben eine Trommel verhaltet, wird vorerst das Verhalten eines infinitesimal kleines Stück einer Membrane untersucht.     
+\rhead{Membran}
+Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein "dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen ...". 
+Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften auf, wie ein gespanntes Stück Papier. 
+Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. 
+Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. 
+Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. 
+Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt welche das Material daran hindert aus der Ruhelage gebracht zu werden. 
 
-\paragraph{Annahmen} Für die Herleitung einer Differentialgleichung mit überschaubarer Komplexität werden gebräuchliche Annahmen zur Modellierung einer Membrane \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung} getroffen: 
+Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. 
+Sie besteht herkömmlicher weise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. 
+Das Leder alleine erzeugt nach einem Aufschlag keine hörbaren Schwingungen. 
+Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. 
+Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können wird in der Folgenden Arbeit Diskutiert.
+
+
+\paragraph{Annahmen} 
+Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. 
+Das untersuchte Modell einer Membrane Erfüllt folgende Eigenschaften:
 \begin{enumerate}[i]
-	\item Die Membrane ist homogen. 
-	Dies bedeutet, dass die Membrane über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $  und Elastizität hat. 
-	Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membrane unter gleichmässiger Spannung $ T $.
-	\item Die Membrane ist perfekt flexibel. 
-	Daraus folgt, dass die Membrane ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. 
-	Die Membrane ist dadurch nicht alleine schwing-fähig, hierzu muss sie gespannt werden mit der Kraft $ T $.
-	\item Die Membrane kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass Auslenken.
-	Auslenkungen in der ebene der Membrane sind nicht möglich.
-	\item Die Membrane erfährt keine Art von Dämpfung. 
-	Neben der perfekten Flexibilität wird die Membrane auch nicht durch ihr umliegendes Medium aus gebremst.
-	Dadurch entsteht kein dämpfender Term abhängig von der Geschwindigkeit der Membrane in der Differenzialgleichung. 
+	\item Die Membran ist homogen. 
+	Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $  und Elastizität hat. 
+	Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $.
+	\item Die Membran ist perfekt flexibel. 
+	Daraus folgt, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. 
+	Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwing-fähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $.
+	\item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass Auslenken.
+	Auslenkungen in der ebene der Membran sind nicht möglich.
+	\item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. 
+	Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation.
+	Die resultierende Schwingung wird daher nicht gedämpft sein.
+	
 \end{enumerate}
 
+\subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet.
+Es lohnt sich das Verhalten einer Saite zu beschreiben da eine Saite das selbe Verhalten wie eine Membran aufweist mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension.
+Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor.
+%Wie analog zur Membran kann eine Saite erst unter Spannung schwingen. 
+
+Abbildung \ref{TODO} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert.
+Wie für die Membran ist die Annahme iii gültig, keine Bewegung in die Richtung $ \hat{x} $.
+Um dies zu erfüllen muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark in Richtung $ -\hat{x} $ gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung $ \hat{x} $ gezogen wird. Ist $ T_1 $ die Kraft welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte 
+\begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation}
+	T_1 \cos \alpha = T_2 \cos \beta = T
+\end{equation}
+gleichgesetzt werden. 
+Das dynamische verhalten der senkrechten Auslenkung $ u(x,t) $ muss das newtonsche Gesetz 
+\begin{equation*}
+	\sum F = m \cdot a
+\end{equation*} 
+befolgen. Die senkrecht wirkenden Kräfte werden mit $ T_1 $ und $ T_2 $ ausgedrückt, die Masse als Funktion der Dichte $ \rho $ und die Beschleunigung in Form der zweiten Ableitung als
+\begin{equation*}
+	T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} .
+\end{equation*}
+Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \ref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann
+\begin{equation*}
+	\frac{T_2 \sin \beta}{T_2 \cos \beta} - \frac{T_1 \sin \alpha}{T_1 \cos \alpha} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+\end{equation*}
+vereinfacht als  
+\begin{equation*}
+	\tan \beta - \tan \alpha = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+\end{equation*}
+geschrieben werden. 
+Der $ \tan \alpha $ entspricht der örtlichen Ableitung von $ u(x,t) $ an der Stelle $ x_0 $ und analog der $ \tan \beta $ für die Stelle $ x_0 + dx $.
+Die Gleichung wird dadurch zu
+\begin{equation*}
+	\frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
+\end{equation*} 
+Durch die Division mit $ dx $ entsteht 
+\begin{equation*}
+	\frac{1}{dx} \bigg[\frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \big\vert_{x_0}\bigg] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
+\end{equation*}
+Auf der Linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervall-Länge geteilt, in anderen Worten die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $ berechnet. Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird mit $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. Somit resultiert die, in der Literatur gebräuchliche Form 
+\begin{equation}
+	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u.
+\end{equation}
+In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. Für den Fall einer Membran muss lediglich die Ableitung in zwei Dimensionen gerechnet werden.
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