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 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Schwingungen einer kreisförmligen Membran\label{chapter:kreismembran}}
-\lhead{Schwingungen einer kreisförmligen Membran}
+\chapter{Schwingungen einer kreisförmigen Membran\label{chapter:kreismembran}}
+\lhead{Schwingungen einer kreisförmigen Membran}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Andrea Mozzini Vellen und Tim Tönz}
 
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index 0b6a683..1aef90b 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/references.bib
+++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib
@@ -24,7 +24,7 @@
 }
 
 @article{kreismembran:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
+        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
         title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
         journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
         year = 2019,
@@ -33,3 +33,25 @@
         url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
 }
 
+@book{lokenath_debnath_integral_2015,
+	edition = {Third Edition},
+	title = {Integral Tansforms and Their Applications},
+	publisher = {{CRC} Press},
+	author = {{Lokenath Debnath} and Dambaru Bhatta},
+	date = {2015},
+}
+
+@thesis{nishanth_p_vibrations_2018,
+	title = {Vibrations of a Circular Membrane - Some Undergraduadte Exercises},
+	type = {phdthesis},
+	author = {{Nishanth P.} and {Udayanandan K. M.}},
+	date = {2018},
+}
+
+@thesis{prof_dr_horst_knorrer_kreisformige_2013,
+	title = {Kreisförmige Membranen},
+	institution = {{ETHZ}},
+	type = {phdthesis},
+	author = {{Prof. Dr. Horst Knörrer}},
+	date = {2013},
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
index aef5b79..38bcfe4 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
@@ -7,13 +7,14 @@
 \section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode 
 	\label{kreismembran:section:teil1}}
 \rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode}
-An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmetode gelöst.
+An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Kapitel wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
 
+\subsection{Aufgabestellung\label{sub:aufgabestellung}}
 Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt:
 \begin{equation*}
-	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u
+	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u.
 \end{equation*}
-Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator ergibt:
+Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so dass sich der Laplaceoperator
 \begin{equation*}
 	\Delta
 	=
@@ -23,78 +24,98 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d
 	\frac{\partial}{\partial r}
 	+
 	\frac{1}{r 2}
-	\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}.
+	\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
 	\label{buch:pde:kreis:laplace}
 \end{equation*}
+ergibt.
 
-Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die den Gebietbereich $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist.
+Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die das Gebiet $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist.
 Es wird daher davon ausgegangen, dass die Membran aus einem homogenen Material von vernachlässigbarer Dicke gefertigt ist.
-Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eigespannten homogenen schwingenden Membran.
+Die Membran kann verformt werden, aber innere elastische Kräfte wirken den Verformungen entgegen. Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran.
 
 Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$:
 \begin{align*}
 	u: \overline{\rm \Omega} \times \mathbb{R}_{\geq 0} &\longrightarrow \mathbb{R}\\
 	(r,\varphi,t) &\longmapsto u(r,\varphi,t)
 \end{align*}
-Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} gilt:
+Da die Membran am Rand befestigt ist, kann es keine Schwingungen geben, so dass die \textit{Dirichlet-Randbedingung} \cite{prof_dr_horst_knorrer_kreisformige_2013}
 \begin{equation*}
-	u\big|_{\Gamma} = 0
+	u\big|_{\Gamma} = 0 \quad \text{für} \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\quad t \geq 0
 \end{equation*}
+gilt.
+
 Um eine eindeutige Lösung bestimmen zu können, werden die folgenden Anfangsbedingungen festgelegt:
 \begin{align*}
 	u(r,\varphi, 0) &= f(r,\varphi)\\
-	\frac{\partial}{\partial t} u(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi)
+	u_t(r,\varphi, 0) &= g(r,\varphi).
 \end{align*}
+
+\subsection{Lösung\label{sub:lösung1}}
+\subsubsection{Ansatz der Separation der Variablen\label{subsub:ansatz_separation}}
 Daher muss an dieser Stelle von einer Separation der Variablen ausgegangen werden:
 \begin{equation*}
 	u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t)
 \end{equation*}
-Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetz in der Differenzialgleichung ergibt:
+Dank der Randbedingungen kann also gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich:
 \begin{equation*}
-	\frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}
+	\frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}.
 \end{equation*}
-Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Grunden suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen:
-\begin{gather*}
-	T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0\\
-	r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 = - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}
-\end{gather*}
+Da die linke Seite nur von $t$ und die rechte Seite nur von $r$ und $\varphi$ abhängt, müssen sie gleich einer reellen Zahl sein. Aus physikalischen Gründen suchen wir nach Lösungen, die weder exponentiell in der Zeit wachsen noch exponentiell abklingen. Dies bedeutet, dass die Konstante negativ sein muss, also schreibt man $k=-k^2$. Daraus ergeben sich die folgenden zwei Gleichungen:
+\begin{align*}
+	T''(t) + c^2\kappa^2T(t) &= 0\\
+	r^2\frac{F''(r)}{F(r)} + r \frac{F'(r)}{F(r)} +\kappa^2 r^2 &= - \frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}.
+\end{align*}
 In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rechte Seite nur von $\varphi$ abhängt. Sie müssen also wiederum gleich einer reellen Zahl $\nu$ sein. Also das:
-\begin{gather*}
-	r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) = 0 \\
-	G''(\varphi) = \nu G(\varphi)
-\end{gather*}
-$G$ kann in einer Fourierreihe entwickelt werden, so dass man sieht, dass $\nu$ die Form $n^2$ mit einer positiven ganzen Zahl sein muss, also:
+\begin{align*}
+	r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - \nu)F(r) &= 0 \\
+	G''(\varphi) &= \nu G(\varphi).
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Lösung für $G(\varphi)$\label{subsub:lösung_G}}
+Da für die Zweite Gelichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt die gemeinsame Konstante als $-\nu^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also:
 \begin{equation*}
  G(\varphi) = C_n \cos(\varphi) + D_n \sin(\varphi)
+ \label{eq:cos_sin_überlagerung}
 \end{equation*}
-Die Gleichung $F$ hat die Gestalt
-\begin{equation*}
-	r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 \quad (*)
-\end{equation*}
-Wir bereits in der Vorlesung von Prof. Müller gezeigt, sind die Besselfunktionen
+
+\subsubsection{Lösung für $F(r)$\label{subsub:lösung_F}}
+Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt
+\begin{align}
+	r^2F''(r) + rF'(r) + (\kappa^2 r^2 - n^2)F(r) = 0 
+	\label{eq:2nd_degree_PDE}
+\end{align}
+Wir bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Besselfunktionen
 \begin{equation*}
 	J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)}
 \end{equation*}
-Lösungen der "Besselschen Differenzialgleichung"
+Lösungen der Besselschen Differenzialgleichung
 \begin{equation*}
 	x^2 y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0
 \end{equation*}
-Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung $(*)$. Die
+Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen also die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}. Die
 Randbedingung $F(R)=0$ impliziert, dass $\kappa R$ eine Nullstelle der Besselfunktion
 $J_n$ sein muss. Man kann zeigen, dass die Besselfunktionen $J_n, n \geq 0$, alle unendlich
 viele Nullstellen
 \begin{equation*}
 	\alpha_{1n} < \alpha_{2n} < ...
 \end{equation*}
-haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergit sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass
+haben, und dass $\underset{\substack{m\to\infty}}{\text{lim}} \alpha_{mn}=\infty$. Somit ergibt sich, dass $\kappa = \frac{\alpha_{mn}}{R}$ für ein $m\geq 1$, und dass
 \begin{equation*}
-	F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad mit \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R}
+	F(r) = J_n (\kappa_{mn}r) \quad \text{mit} \quad \kappa_{mn}=\frac{\alpha_{mn}}{R}
 \end{equation*}
-Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung
-\begin{equation}
-	u(r, \varphi, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n (k_{mn}r)\cos(n\varphi)[a_{mn}\cos(c \kappa_{mn} t)+b_{mn}\sin(c \kappa_{mn} t)]
-\end{equation}
-Dabei sind m und n ganze Zahlen, wobei m für die Anzahl der Knotenkreise und n
-für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei kmn die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten.
 
-An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche und Diskussion mit Prof. Müller wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist.
+\subsubsection{Lösung für $T(t)$\label{subsub:lösung_T}}
+Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. 
+
+\subsubsection{Zusammenfassung der Lösungen\label{subsub:zusammenfassung_lösungen}}
+Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung
+\begin{align}
+	u(r, \varphi, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} J_n (k_{mn}r)[a_{mn}\cos(n\varphi) + b_{mn}\sin(n\varphi)](n\varphi)[c_{mn}\cos(c \kappa_{mn} t)+d_{mn}\sin(c \kappa_{mn} t)]
+	\label{eq:lösung_endliche_generelle}
+\end{align}
+
+Dabei sind $m$ und $n$ ganze Zahlen, wobei $m$ für die Anzahl der Knotenkreise und $n$
+für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membran, in denen es keine Bewegung oder Vibration gibt. Wenn der nicht schwingende Bereich ein Kreis ist, nennt man ihn einen Knotenkreis, und wenn er eine Linie ist, nennt man ihn ebenfalls eine Knotenlinie. $Jn(\kappa_{mn}r)$ ist die Besselfunktion $n$-ter Ordnung, wobei $\kappa mn$ die Wellenzahl und $r$ der Radius ist. $a_{mn}$ und $b_{mn}$ sind die zu bestimmenden Konstanten.
+
+
+An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass die beste Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist.
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@@ -5,95 +5,98 @@
 \section{Die Hankel Transformation \label{kreismembran:section:teil2}}
 \rhead{Die Hankel Transformation}
 
-Hermann Hankel (1839-1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analyse und insbesondere für seine namensgebende Transformation bekannt ist.
-Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von funktionen auf, die nur von der Enternung des Ursprungs abhängen.
-Er studierte auch funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art.
-Die Hankel Transformation mit Bessel Funktionen al Kern taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in Zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind.
-In diesem Kapitel werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert.
-
-
-Wir führen die Definition der Hankel Transformation aus der zweidimensionalen Fourier Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
+Hermann Hankel (1839--1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analysis und insbesondere für die nach ihm benannte Transformation bekannt ist.
+Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von Funktionen auf, die nur von der Entfernung des Ursprungs abhängen.
+Er studierte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art.
+Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind.
+In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert.
+
+\subsubsection{Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}}
+Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
 \begin{align}
-	\mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\
-	\mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) dx dy \label{equation:inv_fourier_transform}
+	\mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx dy,\label{equation:fourier_transform}\\
+	\mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r}))}F(k,l) \; dx dy \label{equation:inv_fourier_transform}
 \end{align}
-wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Wie bereits erwähnt, sind Polarkoordinaten für diese Art von Problemen am besten geeignet, also mit, $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$, findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach:
+wo $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problemen am besten geeignet, mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach:
 \begin{align}
-	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) d\phi.
+	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r \; dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) \; d\phi.
 	\label{equation:F_ohne_variable_wechsel}
 \end{align}
 Dann wird angenommen dass, $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, und es wird eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren:
 \begin{align}
-	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} d\alpha,
+	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) \; dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} \; d\alpha,
 	\label{equation:F_ohne_bessel}
 \end{align}
 wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$.
 
-Unter Verwendung der Integral Darstellung der Besselfunktion vom Ordnung n 
-\begin{align}
-	J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} d\alpha
+Unter Verwendung der Integraldarstellung der Besselfunktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung}
+\begin{equation*}
+	J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} \; d\alpha
 	\label{equation:bessel_n_ordnung}
-\end{align}
+\end{equation*}
 \eqref{equation:F_ohne_bessel} wird sie zu:
 \begin{align}
-	F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr \label{equation:F_mit_bessel_step_1} \\
+	F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr  \nonumber \\ 
 	&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa),
 	\label{equation:F_mit_bessel_step_2}
 \end{align}
-wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch:
+wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel-Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch:
 \begin{align}
-	\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) dr.
+	\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr.
 	\label{equation:hankel}
 \end{align}
 
+\subsubsection{Inverse Hankel-Transformation \label{subsub:inverse_hankel_tansformation}}
 Ähnlich verhält es sich mit der inversen Fourier Transformation in Form von polaren Koordinaten unter der Annahme $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$ mit \eqref{equation:F_mit_bessel_step_2}, wird die inverse Fourier Transformation \eqref{equation:inv_fourier_transform}:
 
-\begin{align}
-	e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) d\phi\\
-	&= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} d\phi,
-\end{align}
+\begin{align*}
+	e^{in\theta}f(r)&=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \; d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{i\kappa r \cos (\theta - \phi)}F(\kappa,\phi) \; d\phi  \\
+	&= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa \int_{0}^{2\pi}e^{in(\phi - \frac{\pi}{2})- i\kappa r \cos (\theta - \phi)} \; d\phi,
+\end{align*}
 was durch den Wechsel der Variablen $\theta-\phi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ und $\theta_0=-(\theta+\frac{\pi}{2})$,
 
-\begin{align}
-	&= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} d\alpha \nonumber \\
-	&= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa,\quad \text{von \eqref{equation:bessel_n_ordnung}}
-\end{align}
+\begin{align*}
+	&= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\kappa \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa \int_{\theta_0}^{2\pi+\theta_0}e^{in(\theta + \alpha - i\kappa r \sin\alpha)} \; d\alpha \\
+	&= e^{in\theta}\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa,
+\end{align*}
 
-Also, die inverse \textit{Hankel Transformation} ist so definiert:
+von \eqref{equation:bessel_n_ordnung} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert:
 \begin{align}
-	\mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) d\kappa.
+	\mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa.
 	\label{equation:inv_hankel}
 \end{align}
 
-Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird.
+Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird.
 \eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} Integralen existieren für eine grosse Klasse von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen benötigt werden.
-Alternativ kann auch die berühmte Hankel Transformationsformel verwendet werden, 
+Alternativ kann auch die berühmte Hankel-Transformationsformel verwendet werden, 
 
-\begin{align}
-	f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) dp,
+\begin{align*}
+	f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \; d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) \; dp,
 	\label{equation:hankel_integral_formula}
-\end{align}
-um die Hankel Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren.
-Insbesondere die Hankel Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden.
-
-\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel Transformation\label{sub:op_properties_hankel}}
-In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert.
+\end{align*}
+um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Inverse \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren.
+Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden.
 
-\subsubsection{Theorem 1: Skalierung \label{subsub:skalierung}}
-Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann:
+\subsection{Operative Eigenschaften der Hankel-Transformation\label{sub:op_properties_hankel}}
+In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Der Beweis für ihre Gültigkeit wird jedoch nicht analysiert.
 
-\begin{equation*}
-	\mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0.
-\end{equation*}
+\begin{satz}{Skalierung:}
+	Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann:
+	
+	\begin{equation*}
+		\mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0.
+	\end{equation*}
+\end{satz}
 
-\subsubsection{Theorem 2: Persevalsche Relation \label{subsub:perseval}}
+\begin{satz}{Persevalsche Relation (Skalarprodukt bleibt erhalten):}
 Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann:
 
 \begin{equation*}
-	\int_{0}^{\infty}rf(r) dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) d\kappa.
+	\int_{0}^{\infty}rf(r)g(r) \; dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) \; d\kappa.
 \end{equation*}
+\end{satz}
 
-\subsubsection{Theorem 3: Hankel Transformationen von Ableitungen \label{subsub:ableitungen}}
+\begin{satz}{Hankel-Transformationen von Ableitungen:}
 Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann:
 
 \begin{align*}
@@ -101,13 +104,13 @@ Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann:
 	&\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa),
 \end{align*}
 bereitgestellt dass $[rf(r)]$ verschwindet als $r\to0$ und $r\to\infty$.
+\end{satz}
 
-\subsubsection{Theorem 4 \label{subsub:thorem4}}
+\begin{satz}
 Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann:
 
 \begin{equation*}
 	\mathscr{H}_n \left\{ \left( \nabla^2 - \frac{n^2}{r^2} f(r)\right)\right\}= \mathscr{H}_n\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{df}{dr}\right) - \frac{n^2}{r^2}f(r)\right\}=-\kappa^2\tilde{f}_{n}(\kappa),
 \end{equation*}
-bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden als $r\to0$ und $r\to\infty$.
-
-
+bereitgestellt dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden für $r\to0$ und $r\to\infty$.
+\end{satz}
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
index bef8b5f..10338e7 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
@@ -6,7 +6,10 @@
 \section{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode
 \label{kreismembran:section:teil3}}
 \rhead{Lösungsmethode 2: Transformationsmethode}
-Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion u nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. Wir führen also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein:
+Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwendet. Es müssen jedoch einige Änderungen an dem Problem vorgenommen werden, damit es mit den Annahmen übereinstimmt, die für die Verwendung der Hankel-Transformation erforderlich sind. Das heisst, dass die Funktion $u$ nur von der Entfernung zum Ausgangspunkt abhängt. 
+
+\subsubsection{Transformation und Reduktion auf eine algebraische Gleichung\label{subsub:transf_reduktion}}
+Führt man also das Konzept einer unendlichen und achsensymmetrischen Membran ein:
 \begin{equation*}
 	\frac{\partial^2u}{\partial t^2}
 	=
@@ -18,16 +21,15 @@ Die Hankel-Transformation wird dann zur Lösung der Differentialgleichung verwen
 \end{equation*}
 
 \begin{align}
-	u(r,0)=f(r), \quad \frac{\partial}{\partial t} u(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0<r<\infty
+	u(r,0)=f(r), \quad u_t(r,0) = g(r), \quad \text{für} \quad 0<r<\infty
 	\label{eq:PDE_inf_membane_RB}
 \end{align}
 
 Mit Anwendung der Hankel-Transformation nullter Ordnung in Abhängigkeit von $r$ auf die Gleichungen \eqref{eq:PDE_inf_membane} und \eqref{eq:PDE_inf_membane_RB}:
 
 \begin{align}
-	\tilde{u}(\kappa,t)=\int_{0}^{\infty}r J_0(\kappa r)u(r,t) dr,
+	\tilde{u}(\kappa,t)=\int_{0}^{\infty}r J_0(\kappa r)u(r,t) \; dr,
 \end{align}
-
 bekommt man:
 
 \begin{equation*}
@@ -36,43 +38,47 @@ bekommt man:
 
 \begin{equation*}
 	\tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{f}(\kappa), \quad 
-	\frac{\partial}{\partial t}\tilde{u}(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa).
+	\tilde{u}_t(\kappa,0)=\tilde{g}(\kappa).
 \end{equation*}
-
-Die allgemeine Lösung für diese Transformation lautet, wie schon gesehen, wie folgt
+Die allgemeine Lösung für diese Transformation lautet, wie in Gleighung \eqref{eq:cos_sin_überlagerung} gesehen, wie folgt
 
 \begin{equation*}
 	\tilde{u}(\kappa,t)=\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) + \frac{1}{c\kappa}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t).
 \end{equation*}
-
 Wendet man an nun die inverse Hankel-Transformation an, so erhält man die formale Lösung
 
 \begin{align}
-	u(r,t)=\int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) J_0(\kappa r) d\kappa +\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t)J_0(\kappa r) d\kappa.
+	u(r,t)=\int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\cos(c\kappa t) J_0(\kappa r) \; d\kappa +\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\tilde{g}(\kappa)\sin(c\kappa t)J_0(\kappa r) \; d\kappa.
 	\label{eq:formale_lösung}
 \end{align}
 
-Es wird daher davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Zeitpunkt $t=0$ freigegeben wird
+\subsubsection{Erfüllung der Anfangsbedingungen\label{subsub:erfüllung_AB}}
+Es wird in Folgenden davon ausgegangen, dass sich die Membran verformt und zum Zeitpunkt $t=0$ freigegeben wird
 
 \begin{equation*}
-	u(r,0)=f(r)=Aa(r^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}}, \quad \frac{d}{dt}(r,0)=g(r)=0
+	u(r,0)=f(r)=Aa(r^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}}, \quad u_t(r,0)=g(r)=0
 \end{equation*}
-
 so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und
-
 \begin{equation*}
-	\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}
+	\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}
 \end{equation*}
-
 Die formale Lösung  \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
 \begin{align*}
-	u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t)dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r)dk\\
+	u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t) \; dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r) \; dk\\
 	&=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}
 \end{align*}
 
+Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung mit Summationen, 
+
+\begin{align}
+	u(r, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} J_0 (k_{m}r)[a_{m}\cos(c \kappa_{m} t)+b_{m}\sin(c \kappa_{m} t)]
+	\label{eq:lösung_unendliche_generelle}
+\end{align}
+kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen.
 
 \subsection{Vergleich der Lösungen
 \label{kreismembran:vergleich}}
-Hier kommt noch der Vergleich der Lösungen ;)
+Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, und in einer unendlichen Membran gibt es keine. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist.
+Die Funktion hängt also nicht mehr von der Besselfunktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der $0$-ter Ordnung.