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author | Andreas Müller <andreas.mueller@ost.ch> | 2022-07-19 18:48:09 +0200 |
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committer | GitHub <noreply@github.com> | 2022-07-19 18:48:09 +0200 |
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Erster Entwurf Laguerre
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-rw-r--r-- | buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex | 66 |
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diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index b0cc3a3..4adbe86 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -3,35 +3,31 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Eigenschaften - \label{laguerre:section:eigenschaften}} -{ -\large \color{red} -TODO: -Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur -benötigt wird. -} - -Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften -\rhead{Eigenschaften} - -\subsection{Orthogonalität - \label{laguerre:subsection:orthogonal}} -Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet, -dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind. +\section{Orthogonalität + \label{laguerre:section:orthogonal}} +Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} +haben wir die Behauptung aufgestellt, +dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind. Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern. -Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein -Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich -bei -den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe +Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein +Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich +bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}). -Der Sturm-Liouville-Operator hat die Form +Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator \begin{align} S = \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right). \label{laguerre:slop} \end{align} +und den Laguerre-Operator +\begin{align} +\Lambda += +x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} +\end{align} +erhalten werden, +indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen. Aus der Beziehung \begin{align} S @@ -49,24 +45,27 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung \begin{align*} x \frac{dp}{dx} = --(\nu + 1 - x) p, +-(\nu + 1 - x) p \end{align*} erfüllen muss. Durch Separation erhalten wir dann \begin{align*} \int \frac{dp}{p} & = --\int \frac{\nu + 1 - x}{x}dx +-\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx += +-\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx \\ \log p & = --\log \nu + 1 - x + C +-(\nu + 1)\log x - x + c \\ p(x) & = -C x^{\nu + 1} e^{-x} +. \end{align*} -Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} erhalten wir +Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich \begin{align*} \frac{C}{w(x)} \left( @@ -106,14 +105,9 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) 0 \end{align*} für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$. -Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal -bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion -$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind. - - -\subsection{Rodrigues-Formel} - -\subsection{Drei-Terme Rekursion} - -\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion} - +Damit können wir schlussfolgern: +Die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind orthogonal +bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ +mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$. +Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$ +mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$. |