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author | Joshua Baer <joshua.baer@ost.ch> | 2022-07-26 09:31:45 +0200 |
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diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex new file mode 100644 index 0000000..7dca39b --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex @@ -0,0 +1,51 @@ +\section{Gamma-Funktion} + +\begin{frame}{Gamma-Funktion} +\begin{columns} + +\begin{column}{0.55\textwidth} +\begin{figure}[h] +\vspace{-16pt} +\centering +% \scalebox{0.51}{\input{../images/gammaplot.pdf}} +\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/gammaplot.pdf} +% \caption{Gamma-Funktion} +\end{figure} +\end{column} + +\begin{column}{0.45\textwidth} +Verallgemeinerung der Fakultät +\begin{align*} +\Gamma(n) = (n-1)! +\end{align*} + +Integralformel +\begin{align*} +\Gamma(z) += +\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +,\quad +\operatorname{Re} z > 0 +\end{align*} + +Funktionalgleichung +\begin{align*} +z \Gamma(z) += +\Gamma(z + 1) +\end{align*} + +Reflektionsformel +\begin{align*} +\Gamma(z) \Gamma(1 - z) += +\frac{\pi}{\sin \pi z} +, \quad +\text{für } +z \notin \mathbb{Z} +\end{align*} + +\end{column} +\end{columns} + +\end{frame}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex new file mode 100644 index 0000000..b5e1131 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex @@ -0,0 +1,201 @@ +\section{Approximieren der Gamma-Funktion} + +\begin{frame}{Anwenden der Gauss-Laguerre-Quadratur auf $\Gamma(z)$} + +\begin{align*} +\Gamma(z) + & = +\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx +\uncover<2->{ +\approx +\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i +} +\uncover<3->{ += +\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i +} +\\\\ +\uncover<4->{ + & \text{wobei } +A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} +\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$} +} +\end{align*} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Fehlerabschätzung} +\begin{align*} +R_n(\xi) + & = +\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) +\\ + & = +(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z - 2n - 1} +,\quad +0 < \xi < \infty +\end{align*} + +% \textbf{Probleme:} +\begin{itemize} +\item Funktion ist unbeschränkt +\item Maximum von $R_n$ gibt oberes Limit des Fehlers an +\uncover<2->{\item[$\Rightarrow$] Schwierig ein Maximum von $R_n(\xi)$ zu finden} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Einfacher Ansatz} + +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +% \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}} +\includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf} +\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte +von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome} +\end{figure} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Wieso sind die Resultate so schlecht?} + +\textbf{Beobachtungen} +\begin{itemize} +\item Wenn $z \in \mathbb{Z}$ relativer Fehler $\rightarrow 0$ +\item Gewisse Periodizität zu erkennen +\item Für grosse und kleine $z$ ergibt sich ein schlechter relativer Fehler +\item Es gibt Intervalle $[a,a+1]$ mit minimalem relativem Fehler +\item $a$ ist abhängig von $n$ +\end{itemize} + +\uncover<2->{ +\textbf{Ursache?} +\begin{itemize} +\item Vermutung: Integrand ist problematisch +} +\uncover<3->{ +\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden +} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{$f(x) = x^z$} +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand.pdf} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$} +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}} +\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand_exp.pdf} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Neuer Ansatz?} + +\textbf{Vermutung} +\begin{itemize} +\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ in denen der relative Fehler minimal +ist +\item $a(n) > 0$ +\end{itemize} + +\uncover<2->{ +\textbf{Idee} +\begin{itemize} +\item[$\Rightarrow$] Berechnen von $\Gamma(z)$ im geeigneten Intervall und dann +mit Funktionalgleichung zurückverschieben +\end{itemize} +} + +\uncover<3->{ +\textbf{Wie finden wir $\boldsymbol{a(n)}$?} +\begin{itemize} +\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm +} +\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen} +\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen} +\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll, +da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Verschiebungsterm} +\begin{columns} +\begin{column}{0.625\textwidth} +\begin{figure}[h] +\centering +\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/targets.pdf} +\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$} +\end{figure} +\end{column} +\begin{column}{0.375\textwidth} +\begin{align*} +\Gamma(z) +\approx +\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i +\end{align*} +\end{column} +\end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame}{Schätzen von $m^*$} +\begin{columns} +\begin{column}{0.65\textwidth} +\begin{figure} +\centering +\vspace{-12pt} +% \scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}} +\includegraphics[width=1.0\textwidth]{../images/estimates.pdf} +% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$} +\end{figure} +\end{column} +\begin{column}{0.34\textwidth} +\begin{align*} +\hat{m} +&= +\alpha n + \beta +\\ +&\approx +1.34154 n + 0.848786 +\\ +m^* +&= +\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil +\end{align*} +\end{column} +\end{columns} + +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}} +\includegraphics{../images/rel_error_shifted.pdf} +\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{} +\begin{figure}[h] +\centering +% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}} +\includegraphics{../images/rel_error_range.pdf} +\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Vergleich mit Lanczos-Methode} +Maximaler relativer Fehler für $n=6$ +\begin{itemize} + \item Lanczos-Methode $< 10^{-12}$ + \item Unsere Methode $\approx 10^{-6}$ +\end{itemize} +\end{frame}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex new file mode 100644 index 0000000..4d973b8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +\section{Gauss-Quadratur} + +\begin{frame}{Gauss-Quadratur} +\textbf{Idee} +\begin{itemize}[<+->] +\item Polynome können viele Funktionen approximieren +\item Wenn Verfahren gut für Polynome funktioniert, +sollte es auch für andere Funktionen funktionieren +\item Integrieren eines Interpolationspolynom +\item Interpolationspolynom ist durch Funktionswerte $f(x_i)$ bestimmt +$\Rightarrow$ Integral kann durch Funktionswerte berechnet werden +\item Evaluation der Funktionswerte an geeigneten Stellen +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Gauss-Quadratur} +\begin{align*} +\int_{-1}^{1} f(x) \, dx +\approx +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i +\end{align*} + +\begin{itemize}[<+->] +\item Exakt für Polynome mit Grad $2n-1$ +\item Interpolationspolynome müssen orthogonal sein +\item Stützstellen $x_i$ sind Nullstellen des Polynoms +\item Fehler: +\begin{align*} +E += +\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_{-1}^{1} l(x)^2 \, dx +,\quad +\text{wobei } +l(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i) +\end{align*} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Gauss-Laguerre-Quadratur} +\begin{itemize}[<+->] +\item Erweiterung des Integrationsintervall von $[-1, 1]$ auf $(a, b)$ +\item Hinzufügen einer Gewichtsfunktion +\item Bei uneigentlichen Integralen muss Gewichtsfunktion schneller als jedes +Integrationspolynom gegen $0$ gehen +\item[$\Rightarrow$] Für Laguerre-Polynome haben wir den Definitionsbereich +$(0, \infty)$ und die Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ +\begin{align*} +\int_0^\infty & f(x) e^{-x} \, dx +\approx +\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i +\\ + & \text{wobei } +A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2} +\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$} +\end{align*} +\end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame}{Fehler der Gauss-Laguerre-Quadratur} +\begin{align*} +R_n += +\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi) +,\quad +0 < \xi < \infty +\end{align*} +\end{frame}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex new file mode 100644 index 0000000..f99214e --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex @@ -0,0 +1,91 @@ +\section{Laguerre-Polynome} + +\begin{frame}{Laguerre-Differentialgleichung} + +\begin{itemize} +\item Benannt nach Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886) +\item Aus Artikel von 1879, +in dem er $\int_0^\infty \exp(-x)/x \, dx$ analysierte +\end{itemize} + +\begin{align*} +x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) + & = +0 +, \quad +n \in \mathbb{N}_0 +, \quad +x \in \mathbb{R} +\end{align*} + +\end{frame} + +\begin{frame}{Lösen der Differentialgleichung} + +\begin{align*} +x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x) + & = +0 +\\ +\end{align*} + +\uncover<2->{ +\centering +\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay] +%% use here too +\path[draw=mainColor, very thick,->](0, 1.1) to +node[anchor=west]{Potenzreihenansatz} (0, -0.8); +\end{tikzpicture} +} + +\begin{align*} +\uncover<3->{ +L_n(x) + & = +\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k +} +\end{align*} +\uncover<4->{ +\begin{itemize} + \item Die Lösungen der DGL sind die Laguerre-Polynome +\end{itemize} +} +\end{frame} + +\begin{frame} +\begin{figure}[h] +\centering +% \resizebox{0.74\textwidth}{!}{\input{../images/laguerre_poly.pgf}} +\includegraphics[width=0.7\textwidth]{../images/laguerre_poly.pdf} +\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$} +\end{figure} +\end{frame} + +\begin{frame}{Orthogonalität} +\begin{itemize}[<+->] +\item Beweis: Umformen in Sturm-Liouville-Problem (siehe Paper) +\begin{alignat*}{5} +((p(x) &y'(x)))' + q(x) &y(x) +&= +\lambda &w(x) &y(x) +\\ +((x e^{-x} &y'(x)))' + 0 &y(x) +&= +n &e^{-x} &y(x) +\end{alignat*} +\item Definitionsbereich $(0, \infty)$ +\item Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ +\end{itemize} + +\uncover<4->{ +\begin{align*} +\int_0^\infty e^{-x} L_n(x) L_m(x) \, dx += +0 +,\quad +n \neq m +,\quad +n, m \in \mathbb{N} +\end{align*} +} +\end{frame}
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