Merge branch 'master' of github.com:JODBaer/SeminarSpezielleFunktionen

5 files changed, 544 insertions, 0 deletions

diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex
new file mode 100644
index 0000000..3db69f5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex
@@ -0,0 +1,134 @@
+\documentclass[ngerman, aspectratio=169, xcolor={rgb}]{beamer}
+
+% style
+\mode<presentation>{
+	\usetheme{Frankfurt}
+}
+%packages
+\usepackage[utf8]{inputenc}\DeclareUnicodeCharacter{2212}{-}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{array}
+
+\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
+\usepackage{ragged2e}
+
+\usepackage{bm} % bold math
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{multirow} % multi row in tables
+\usepackage{booktabs} %toprule midrule bottomrue in tables
+\usepackage{scrextend}
+\usepackage{textgreek}
+\usepackage[rgb]{xcolor}
+
+\usepackage{ marvosym } % \Lightning
+
+\usepackage{multimedia} % embedded videos
+
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{pgf}
+\usepackage{pgfplots}
+
+\usepackage{algorithmic}
+
+%citations
+\usepackage[style=verbose,backend=biber]{biblatex}
+\addbibresource{references.bib}
+
+
+%math font
+\usefonttheme[onlymath]{serif}
+
+%Beamer Template modifications
+%\definecolor{mainColor}{HTML}{0065A3} % HSR blue
+\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink
+\definecolor{invColor}{HTML}{28d79b} % OST pink
+\definecolor{dgreen}{HTML}{38ad36} % Dark green
+
+%\definecolor{mainColor}{HTML}{000000} % HSR blue
+\setbeamercolor{palette primary}{bg=white,fg=mainColor}
+\setbeamercolor{palette secondary}{bg=orange,fg=mainColor}
+\setbeamercolor{palette tertiary}{bg=yellow,fg=red}
+\setbeamercolor{palette quaternary}{bg=mainColor,fg=white} %bg = Top bar, fg = active top bar topic
+\setbeamercolor{structure}{fg=black} % itemize, enumerate, etc (bullet points)
+\setbeamercolor{section in toc}{fg=black} % TOC sections
+\setbeamertemplate{section in toc}[sections numbered]
+\setbeamertemplate{subsection in toc}{%
+	\hspace{1.2em}{$\bullet$}~\inserttocsubsection\par}
+
+\setbeamertemplate{itemize items}[circle]
+\setbeamertemplate{description item}[circle]
+\setbeamertemplate{title page}[default][colsep=-4bp,rounded=true]
+\beamertemplatenavigationsymbolsempty
+
+\setbeamercolor{footline}{fg=gray}
+\setbeamertemplate{footline}{%
+	\hfill\usebeamertemplate***{navigation symbols}
+	\hspace{0.5cm}
+	\insertframenumber{}\hspace{0.2cm}\vspace{0.2cm}
+}
+
+\usepackage{caption}
+\captionsetup{labelformat=empty}
+
+%Title Page
+\title{Laguerre-Polynome}
+\subtitle{Anwendung: Approximation der Gamma-Funktion}
+\author{Patrik Müller}
+% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+% \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}}
+\date{\today}
+
+\input{../packages.tex}
+
+\newcommand*{\QED}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}%
+
+\newcommand*{\HL}{\textcolor{mainColor}}
+\newcommand*{\RD}{\textcolor{red}}
+\newcommand*{\BL}{\textcolor{blue}}
+\newcommand*{\GN}{\textcolor{dgreen}}
+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+
+\makeatletter
+\newcount\my@repeat@count
+\newcommand{\myrepeat}[2]{%
+	\begingroup
+	\my@repeat@count=\z@
+	\@whilenum\my@repeat@count<#1\do{#2\advance\my@repeat@count\@ne}%
+	\endgroup
+}
+\makeatother
+
+\usetikzlibrary{automata,arrows,positioning,calc,shapes.geometric, fadings}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}
+	\titlepage
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Inhaltsverzeichnis}
+	\tableofcontents
+\end{frame}
+
+\input{sections/laguerre}
+
+\input{sections/gaussquad}
+
+\input{sections/gamma}
+
+\input{sections/gamma_approx}
+
+\appendix
+\begin{frame}
+	% \centering
+	% \Large
+	% \textbf{Vielen Dank für die Aufmerksamkeit}
+\end{frame}
+
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..7dca39b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+\section{Gamma-Funktion}
+
+\begin{frame}{Gamma-Funktion}
+\begin{columns}
+
+\begin{column}{0.55\textwidth}
+\begin{figure}[h]
+\vspace{-16pt}
+\centering
+% \scalebox{0.51}{\input{../images/gammaplot.pdf}}
+\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/gammaplot.pdf}
+% \caption{Gamma-Funktion}
+\end{figure}
+\end{column}
+
+\begin{column}{0.45\textwidth}
+Verallgemeinerung der Fakultät
+\begin{align*}
+\Gamma(n) = (n-1)!    
+\end{align*}
+
+Integralformel
+\begin{align*}
+\Gamma(z) 
+=
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+,\quad
+\operatorname{Re} z > 0
+\end{align*}
+
+Funktionalgleichung
+\begin{align*}
+z \Gamma(z)
+=
+\Gamma(z + 1)
+\end{align*}
+
+Reflektionsformel
+\begin{align*}
+\Gamma(z) \Gamma(1 - z)
+=
+\frac{\pi}{\sin \pi z}
+, \quad
+\text{für }
+z \notin \mathbb{Z}
+\end{align*}
+
+\end{column}
+\end{columns}
+
+\end{frame}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
new file mode 100644
index 0000000..b5e1131
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
@@ -0,0 +1,201 @@
+\section{Approximieren der Gamma-Funktion}
+
+\begin{frame}{Anwenden der Gauss-Laguerre-Quadratur auf $\Gamma(z)$}
+
+\begin{align*}
+\Gamma(z)
+ & =
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+\uncover<2->{
+\approx
+\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
+}
+\uncover<3->{
+=
+\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i
+}
+\\\\
+\uncover<4->{
+ & \text{wobei }
+A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
+\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
+}
+\end{align*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Fehlerabschätzung}
+\begin{align*}
+R_n(\xi)
+ & =
+\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
+\\
+ & =
+(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z - 2n - 1}
+,\quad
+0 < \xi < \infty
+\end{align*}
+
+% \textbf{Probleme:}
+\begin{itemize}
+\item Funktion ist unbeschränkt
+\item Maximum von $R_n$ gibt oberes Limit des Fehlers an
+\uncover<2->{\item[$\Rightarrow$] Schwierig ein Maximum von $R_n(\xi)$ zu finden}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Einfacher Ansatz}
+
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+% \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+\includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf}
+\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte
+von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+\end{figure}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Wieso sind die Resultate so schlecht?}
+
+\textbf{Beobachtungen}
+\begin{itemize}
+\item Wenn $z \in \mathbb{Z}$ relativer Fehler $\rightarrow 0$
+\item Gewisse Periodizität zu erkennen
+\item Für grosse und kleine $z$ ergibt sich ein schlechter relativer Fehler
+\item Es gibt Intervalle $[a,a+1]$ mit minimalem relativem Fehler
+\item $a$ ist abhängig von $n$
+\end{itemize}
+
+\uncover<2->{
+\textbf{Ursache?}
+\begin{itemize}
+\item Vermutung: Integrand ist problematisch
+}
+\uncover<3->{
+\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden
+}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{$f(x) = x^z$}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand.pdf}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand_exp.pdf}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Neuer Ansatz?}
+
+\textbf{Vermutung}
+\begin{itemize}
+\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ in denen der relative Fehler minimal
+ist
+\item $a(n) > 0$
+\end{itemize}
+
+\uncover<2->{
+\textbf{Idee}
+\begin{itemize}
+\item[$\Rightarrow$] Berechnen von $\Gamma(z)$ im geeigneten Intervall und dann
+mit Funktionalgleichung zurückverschieben
+\end{itemize}
+}
+
+\uncover<3->{
+\textbf{Wie finden wir $\boldsymbol{a(n)}$?}
+\begin{itemize}
+\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm
+}
+\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen}
+\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen}
+\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll,
+da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Verschiebungsterm}
+\begin{columns}
+\begin{column}{0.625\textwidth}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/targets.pdf}
+\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\end{figure}
+\end{column}
+\begin{column}{0.375\textwidth}
+\begin{align*}
+\Gamma(z)
+\approx
+\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
+\end{align*}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Schätzen von $m^*$}
+\begin{columns}
+\begin{column}{0.65\textwidth}
+\begin{figure}
+\centering
+\vspace{-12pt}
+% \scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}}
+\includegraphics[width=1.0\textwidth]{../images/estimates.pdf}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{column}
+\begin{column}{0.34\textwidth}
+\begin{align*}
+\hat{m}
+&=
+\alpha n + \beta
+\\
+&\approx
+1.34154 n + 0.848786
+\\
+m^*
+&=
+\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil
+\end{align*}
+\end{column}
+\end{columns}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}}
+\includegraphics{../images/rel_error_shifted.pdf}
+\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}}
+\includegraphics{../images/rel_error_range.pdf}
+\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Vergleich mit Lanczos-Methode}
+Maximaler relativer Fehler für $n=6$
+\begin{itemize}
+    \item Lanczos-Methode $< 10^{-12}$
+    \item Unsere Methode $\approx 10^{-6}$ 
+\end{itemize}
+\end{frame}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex
new file mode 100644
index 0000000..4d973b8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex
@@ -0,0 +1,67 @@
+\section{Gauss-Quadratur}
+
+\begin{frame}{Gauss-Quadratur}
+\textbf{Idee}
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Polynome können viele Funktionen approximieren
+\item Wenn Verfahren gut für Polynome funktioniert,
+sollte es auch für andere Funktionen funktionieren
+\item Integrieren eines Interpolationspolynom
+\item Interpolationspolynom ist durch Funktionswerte $f(x_i)$ bestimmt
+$\Rightarrow$ Integral kann durch Funktionswerte berechnet werden
+\item Evaluation der Funktionswerte an geeigneten Stellen
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Gauss-Quadratur}
+\begin{align*}
+\int_{-1}^{1} f(x) \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
+\end{align*}
+
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Exakt für Polynome mit Grad $2n-1$
+\item Interpolationspolynome müssen orthogonal sein
+\item Stützstellen $x_i$ sind Nullstellen des Polynoms
+\item Fehler:
+\begin{align*}
+E
+=
+\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_{-1}^{1} l(x)^2 \, dx
+,\quad
+\text{wobei }
+l(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i)
+\end{align*}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Gauss-Laguerre-Quadratur}
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Erweiterung des Integrationsintervall von $[-1, 1]$ auf $(a, b)$
+\item Hinzufügen einer Gewichtsfunktion
+\item Bei uneigentlichen Integralen muss Gewichtsfunktion schneller als jedes
+Integrationspolynom gegen $0$ gehen
+\item[$\Rightarrow$] Für Laguerre-Polynome haben wir den Definitionsbereich
+$(0, \infty)$ und die Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$
+\begin{align*}
+\int_0^\infty & f(x) e^{-x} \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
+\\
+                & \text{wobei }
+A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
+\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
+\end{align*}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Fehler der Gauss-Laguerre-Quadratur}
+\begin{align*}
+R_n
+=
+\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
+,\quad
+0 < \xi < \infty
+\end{align*}
+\end{frame}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex
new file mode 100644
index 0000000..f99214e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex
@@ -0,0 +1,91 @@
+\section{Laguerre-Polynome}
+
+\begin{frame}{Laguerre-Differentialgleichung}
+
+\begin{itemize}
+\item Benannt nach Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886)
+\item Aus Artikel von 1879,
+in dem er $\int_0^\infty \exp(-x)/x \, dx$ analysierte
+\end{itemize}
+
+\begin{align*}
+x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+ & =
+0
+, \quad
+n \in \mathbb{N}_0
+, \quad
+x \in \mathbb{R}
+\end{align*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Lösen der Differentialgleichung}
+
+\begin{align*}
+x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+ & =
+0
+\\
+\end{align*}
+
+\uncover<2->{
+\centering
+\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
+%% use here too
+\path[draw=mainColor, very thick,->](0, 1.1) to
+node[anchor=west]{Potenzreihenansatz} (0, -0.8);
+\end{tikzpicture}
+}
+
+\begin{align*}
+\uncover<3->{
+L_n(x)
+ & =
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
+}
+\end{align*}
+\uncover<4->{
+\begin{itemize}
+    \item Die Lösungen der DGL sind die Laguerre-Polynome
+\end{itemize}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \resizebox{0.74\textwidth}{!}{\input{../images/laguerre_poly.pgf}}
+\includegraphics[width=0.7\textwidth]{../images/laguerre_poly.pdf}
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Orthogonalität}
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Beweis: Umformen in Sturm-Liouville-Problem (siehe Paper)
+\begin{alignat*}{5}
+((p(x) &y'(x)))' + q(x) &y(x) 
+&=
+\lambda &w(x) &y(x)
+\\
+((x e^{-x} &y'(x)))' + 0 &y(x)
+&=
+n &e^{-x} &y(x)
+\end{alignat*}
+\item Definitionsbereich $(0, \infty)$
+\item Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$
+\end{itemize}
+
+\uncover<4->{
+\begin{align*}
+\int_0^\infty e^{-x} L_n(x) L_m(x) \, dx
+=
+0
+,\quad 
+n \neq m
+,\quad
+n, m \in \mathbb{N}
+\end{align*}
+}
+\end{frame}
\ No newline at end of file